iL- w?«- -W-/ "T LEHRBUCH DER A L G E B R A ERSTER BAND LEHRBUCH DER ALGEBRA VON HEINRICH WEBER PROKEäSOR DER MATHE^rATIK AX DER UNIVERSITÄT STRAS.SIit:R6 ZWEITE AUFLAGE PEPARTV.ENT OF MATHEMATICS i^NiVERSITY Or TORONTO ERSTER BAND BRAUNSCHWEIG DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN 18 9 8 ,^ Alle Eechte, namentlich dasjenige der Uebersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. -^ß^^^^^\ JÜN 111958 /./ VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE. JDei der Entwickelung , welche die Algebra in den letzten Jahrzehnten genommen hat, dürfte eine zusammenlassende Dar- stellung und Verknüpfung der verschiedenen theoretischen Be- trachtungen und mannigfachen Anwendungen auch nach dem für seine Zeit treftlichen Lehrbuch von Serret nützlich sein. Seit Jahren hege ich den Plan eines solchen Unternehmens, das ja gross und weitaussehend erschien, und mancherlei Vor- arbeiten erforderte. Erst nachdem ich in Universitätsvorlesungen mehrmals das Gebiet im Ganzen durchwandert und einzelne Theile specieller behandelt hatte, entschloss ich mich, an die Ausführung des Werkes zu gehen, von dem jetzt der erste Band vollendet vorliegt. Es war meine Absicht, ein Lehrbuch zu geben, das, ohne viel Vorkenntnisse vorauszusetzen, den Leser in die moderne Algebra einführen und auch zu den höheren und schwierigeren Partien hinführen sollte, in denen da? Interesse an dem Gegen- stande erst recht lebendig wird. Dabei sollten die erforderlichen Hülfsmittel, die elementaren sowohl als die höheren, aus dem Gange der Entwickelung selbst abgeleitet werden, um die Dar- stellung von anderen Lehrbüchern möglichst unabhängig zumachen. Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der Algebra ganz besonders von Bedeutung geworden sind; das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie, VI Vorwort zur ersten Auflage. Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hin- ausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie, oder in ihren Amveiidungen auch in die Geometrie hinüber greift, so ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlen- theorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind vorliegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg be- zeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte. Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen kann, sodann die Vorschriften über die numerische Berechnung der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois'schen Theorie. Der zweite Band, der dem ersten hoffentlich in kurzer Zeit folgen wird, soll die allgemeine Theorie der endlichen Grupi^en, die Theorie der linearen Substitutionsgruppen und Anwendungen auf verschiedene einzelne Probleme bringen und soll abschliessen mit der Theorie der algebraischen Zahlen, wo der Versuch gemacht ist, die verschiedenen Gesichtspunkte, unter denen diese Theorie bisher betrachtet worden ist, zu vereinigen. Endlich soll der zweite Band ein alphabetisches Register über beide Bände bringen. Wie es bei einer Disciplin, die in rascher Eutwickelung begriffen ist. und an der von den verschiedensten Seiten gearbeitet wird, nicht anders sein kann, ist auch in der Algebra der Sprach- gebrauch und die Bezeichnungsweise sehr mannigfaltig und häufig nicht übereinstimmend. Dadurch wird eine einheitliche Dar- stellung und das Eindringen in die verschiedenen Arbeiten sehr erschwert. Ich habe mich daher bemüht, eine möglichst zweckmässige Ausdrucksweise einheitlich beizubehalten, und habe mich dabei vielfach mit Fachgenossen berathen. Ich darf die Hoffnung aus- sprechen, dadurch zur Befestigung einer einheitlichen Termino- logie beigetragen zu haben. Die Literaturnachweisungen und historischen Notizen , die in dem Buche gegeben sind, machen in keiner Weise den An- spruch auf Vollständigkeit, wenn ich auch bemüht gewesen bin. Vorwort zur ersten Auflage. VII nach Möglichkeit die wichtigsten Quellen und literarischen Hülfs- mittel an geeigneter Stelle zu erwähnen. Es ist mir eine angenehme Pflicht, so manchem Freunde und Collegen, der au dem Fortschreiten meiner Arbeit regen und thatkräftigen Antheil genommen hat, hier meinen Dank auszu- sprechen. Zuerst gilt dieser Dank meinem Freunde Dedekind für seine treue Hülfe bei der Correctur, und wenn er auch auf den Plan und die Ausführung meines Werkes keinen Einfluss ausgeübt hat, so möchte ich doch nicht unerwähnt lassen, dass ich schon vor vielen Jahren durch ein Heft einer Vorlesung, die er im Winter 1857/58 in Göttingen über höhere Algebra, ins- besondere über die Theorie von Galois gehalten hat, ein noch lebhafteres Interesse für diese Theorie gewonnen habe, die vordem auf unseren Hochschulen in solcher Vollständigkeit wohl noch nicht vorgetragen war. Auch der mannigfachen Anregung und Belehrung habe ich hier zu gedenken, die ich meinem Freunde und Collegen F. Klein verdanke, der das Fortschreiten der Arbeit mit regstem Interesse begleitet hat und dessen sachkundiger, stets bereitwilligst ge- gebener Rath in manchen Theilen des Buches von grossem Einfluss gewesen ist. Ich kann hier nicht alle Fachgenossen und Freunde namhaft machen, die mich durch ihren Rath unterstützt haben, wie der Leser an den betreffenden Stellen finden wird. Aber der Herren E. Hess in Marburg, Fr. Meyer in Clausthal, R. Fr icke in Brauuschweig, die durch kundige und sorgfältige Ausführung der mühevollen Correctur der Druckbogen Genauigkeit und Richtigkeit des Textes gefördert haben, muss ich hier noch gedenken. Endlich gilt mein Dank der Verlagsbuchhandlung, die durch bereitwilliges Eingehen auf meine Wünsche, durch Sorgfalt in Druck und Ausstattung wesentlich zum Gelingen des Ganzen beigetragen hat. Göttingen, im November 1894. Der Verfasser. VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE. J_yas Lehrbuch der Algebra geht hiermit zum zweiten Male in die Oeffentlichkeit. Plan und Gang der ersten Auflage sind durchweg beibehalten. Trotzdem ist das ganze Gebiet wiederholt durchgearbeitet, und manches Neue ist hinzugenommen, theils zur Berichtigung einzelner Irrthümer oder zur Erhöhung der Klarheit und Verständlichkeit, theils um durch Berücksichtigung neuer Arbeiten der Vollständigkeit näher zu kommen. Eine wesentliche Erweiterung hat die Theorie der Elimination im vierten Abschnitt gefunden. Es ist mir abermals eine erfreuliche Pflicht, den zahlreichen Freunden des Buches, die mich durch Mittheilungen in der Neu- bearbeitung unterstützt haben, meinen Dank zu sagen. Ausser den in der Vorrede der ersten Auflage Genannten gilt dieser Dank vorzugsweise den Herren Hensel, Frobenius, Netto, sowie einem unbekannten Freunde und sorgfältigen Leser des Buches. Strassburg, im Januar 1898. Der Verfasser. INHALT DES ERSTEN BANDES. Seite Einleitung 1 Erstes Buch. Die Grundlagen. Erster Abschnitt. Rationale Functionen. §. 1. Ganze Functionen 25 §. 2. Ein Satz von Gauss 27 §. 3. Division 30 §. 4. Theilung durch eine lineare Function 32 §. 5. Gebrochene Functionen; Theilbarkeit 34 §. 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler 37 §. 7. Producte linearer Factoren 41 §. 8. Der binomische Lehrsatz 45 §. 9. Interpolation 47 §. 10. Lösung des Interpolationsproblems durch die Differenzen ... 49 §. IL Arithmetische Reihen höherer Ordnung 50 §. 12. Der polynomische Lehrsatz 53 i^. 13. Derivirte Functionen 54 §. 14. Derivirte eines Productes 57 §. 15. Partialbrüche 59 §. 16. Entwickelung einer gebrochenen Function nach fallenden Potenzen der Variablen 62 §. 17. Ganze Functionen mehrerer Veränderlichen: Formen 64 §. 18. Die Derivirten von Functionen mehrerer Variablen 67 {5. 19. Das Euler'sche Theorem über homogene Functionen 70 §. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen 71 Zweiter Abschnitt. Determinanten. §. 21. Permutationen von n Elementen 78 §. 22. Perrautationen erster und zweiter Art 79 §. 23. Determinanten 82 §• 25. §• 26. §• 27. ?^- 28. ?j. 29. §• 30. >;. 31. §• 32. X Inhalt des ersten Bandes. Seite §. 24. Hauptsätze über Determinanten 84 Unterdeterminanten 86 Die Unterdeterminanten im weiteren Sinne 91 Lineare homogene Gleichungen 96 Elimination aus linearen Gleichungen 102 Unhomogene lineare Gleichungen 104 Multiplikation von Determinanten 108 Determinanten der Unterdeterminanten 113 Determinantensatz von Sylvester 115 Dritter Abschnitt. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. §. 33. Begriff der Wurzeln. Mehrfache Wurzeln 117 §. 34. Stetigkeit ganzer Functionen 119 §. 35. Yorzeichenwechsel von f{x). Wurzeln von Gleichungen un- geraden Grades und von reinen Gleichungen 123 §. .36. Lösung reiner Gleichungen durch trigonometrische Functionen 127 §. 37. Befreiung einer Gleichung vom zweiten Gliede 130 §. 38. Cubische Gleichungen. Gar dänische Formel 132 §. 39. Der Gay ley' sehe Ausdruck der Car danischen I'ormel . . . 134 §. 40. Die biquadratische Gleichung 135 §. 41. Beweis des P'undamentalsatzes der Algebra 137 §. 42. Algorithmus zur Berechnung der AVurzeln 143 §. 43. Zahlenwerthe ganzer Functionen 147 §. 44. Stetigkeit der Wurzeln 148 Vierter Abschnitt. Symmetrische Functionen. §. 45. Begriff der symmetrischen Functionen. Symmetrische Grund- functionen 154 ' §. 46. Die Potenzsummen 156 §. 47. Beweis des Hauptsatzes für zwei Variable 160 §. 48. Allgemeiner Beweis des Hauptsatzes 161 §. 49. Zweiter Beweis des Satzes von den symmetrischen Functionen 163 §. 50. Discriminanten 167 §. 51. Kennzeichen für die Anzahl der verschiedenen Wurzeln . . . 170 §. 52. Discriminanten der Formen dritter und vierter Ordnung ... 172 §. 53. Resultanten 175 §. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren 179 ij. 55. Elimination. Theorem von Bezout 185 §. 56. Elimination aus drei Gleichungen 190 §. 57. Grad und Gewicht der Resultanten. Das Theoi'em von Bezout 193 §. 58. Tschirnhausen-Transformation 199 vj. 59. Anwendung auf die cubischen uud biquadratischeu Gleichungen 202 §. 60. Die Tschirnhausen -Transformation der Gleichung 5ten Grades 204 Inhalt des ersten Bandes. XI Seite Fünfter Abschnitt. Lineare Transformation. Invarianten. §. 61. Einführung der linearen Transformation 207 §. 62. Quadratische Formen 208 §. 63. Transformation der quadratischen Formen iu eine Summe von Quadraten 210 §. 64. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 212 §. 65. Transformation von Formen «te" Grades 214 §. 66. Invarianten und Covarianten 216 §. 67. Lineare Transformation der binären Formen 219 §. 68. Binäre cubische Formen 223 §. 69. Das volle Formensystem der binären cubischen Form 226 §. 70. Biquadratische Formen 229 §. 71. Auflösung der biquadratischen Gleichung 231 §. 72. Die Covarianten 233 §. 73. Das volle Invariantensystem der binären biquadratischen Form 236 Sechster Abschnitt. Tschirnhausen-Transformation. §. 74. Die Hermite'sche Form der Tschirnhausen -Transformation . 240 §. 75. Invarianteneigenschaft der Tschirnhausen -Transformation . . . 242 §. 76. Ausführungen über den Hermite'schen Satz 245 ^. 77. Transformation der culnschen Gleichung 248 §. 78. Allgemeine Ausführung der Transformation 253 ^. 79. Die Bezoutiante 255 §. 80. Transformation der Gleichung fünften Grades 260 §. 81. Normalform der Gleichung fünften Grades 263 Zweites Buch. Die Wurzeln, Siebenter Abschnitt. Realität der Wurzeln. §. 82. Allgemeines über Realität von Gleichungswurzeln und über Discriminanten 271 §. 83. Discussion der quadratischen und cubischen Gleichung .... 273 §. 84. Discussion der biquadratischen Gleichung 276 §. 85. Die Bezoutiante und ihre Bedeutung für die Wurzelreahtät . . 281 §. 86. Die Trägheit der Formen zweiten Grades 284 55. 87. Quadratische Formen mit verschwindender Determinante . . . 287 sj. 88. Quadratische Formen mit nicht verschwindender Determinante 290 §, 89. Anzahl der positiven und negativen Quadrate 291 {}. 90. Anwendung auf die Bezoutiante 296 §• 91. sj. 92. ?;. 93. §• 94. 55- 95. §. 96. §• 97. §. 98. §• 99. j;. 100. S- 101. ^?- 102. §■ 103. §• 104. §. 105. §• lOG. XII Inhalt des ersten Bandes. Seite Achter Abschnitt. Der Sturm'sche Lehrsatz. Das Sturm'sche Problem 301 Die Sturm'schen Ketten 302 Erstes Beispiel: Kngelfunctionen 304 Zweites Beispiel 307 Die Sturm'schen Functionen 311 Hermite's Lösung des Sturm'schen Problems 313 Bestimmung der Hermite'schen Form H 314 Die Determinante der Hermite'schen Form . 316 Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz 318 Grundzüge der Charakteiistikentheorie 323 Charakteristik eines Systems von drei Functionen 325 Beziehung der Charakteristik zu den Schnittpunkten 327 Anwendung der Charakteristiken auf die Eingrenzung der complexen Wurzeln einer Gleichung 329 Bestimmung der Charakteristik 331 Gauss' erster beweis des P'undamentalsatzes der Algebra . . 333 Der Satz von Hurwitz 335 Neunter Abschnitt. Absehätzung der Wurzeln. Das Budan-Fourier'sche Theorem 341 Die Newton'sche Regel 345 Der Cartesische Lehrsatz 350 Das Jacobi'sche Kriterium 353 Kleins geometrische Yergleichung der verschiedenen Kriterien 354 Bestimmung einer oberen Grenze für die Wurzeln 358 Abschätzung der imaginären Wurzeln 360 Das Theorem von Rolle 361 Die Sätze von Laguerre für Gleichungen mit nur reellen Wurzeln 364 Zehnter Abschnitt. Genäherte Berechnung der Wurzeln. Interpolation. Regula falsi 372 Die Newton'sche Näherungsmethode 376 Die Näherungsmethode von Daniel Bernoulli und ver- wandte Methodea 383 Die Näherungsmethode von Gräffe 386 Trigonometrische Auflösung cuV)ischer Gleichungen 391 Die Gauss' sehe Methode der Auflösung trinomischer Glei- chungen 393 Berechnung der imaginären Wurzeln einer trinomischen Gleichung 397 §• 107. S- 108. §. 109. >;. 110. ^• 111. §• 112. i^- 113. §. 114. §• 115. §• 116. §• 117. §. 118. §. 119. §• 120. §• 121. §• 122. Inlialt des ersten Bandes. XIII Seite Elfter Abschnitt. Kettenbrüehe. §. 123. Verwandlung rationaler Brüche in Kettenbrüche 400 §. 124. Kettenbruchentwickelung irrationaler Zahlen 403 §. 125. Die Näherungsbrüche 404 §. 126, Lösung unbestimmter Gleichungen mit zwei Unbekannten . . 407 §. 127. Convergenz der Näherungsbrüche 411 §. 128. Aequivalente Zahlen 413 §. 129. Entwickelung äquivalenter Zahlen in Kettenbrüche 417 §. 130. Quadratische Irrationalzahlen 419 §. 131. Reducirte Zahlen mit negativer Discriminante 423 §. 132. Reducirte Zahlen mit positiver Discriminante 427 §. 133. Entwickelung reeller quadratischer Irrationalzahlen in Ketten- brüche 429 §. 134. Beispiele 435 §. 135. Die PelTsche Gleichung 438 §. 136. Ableitung aller Lösungen der Pell 'sehen Gleichung aus der kleinsten positiven 442 §. 137. Genäherte Berechnung der reellen Wurzeln einer numerischen Gleichung durch Kettenbrüche 445 §. 138. Rationale Wurzeln ganzzahliger Gleichungen. Reducible Gleichungen 447 Zwölfter Abschnitt. Theorie der Einlieitswurzeln. §. 139. Die Einheitswurzelu 452 §. 140. Primitive Einheitswurzeln 455 §. 141. Gleichungen für die primitiven Einheitswurzeln Ht<=i Grades . 458 §. 142. * Die Discriminante der Kreistheiluugsgleichung 462 §. 143. Primitive Congruenzwurzeln 466 §. 144. Multiplikation und Theilung der trigonometrischen Functionen 474 §. 145. Vorzeichenbestimmung. Quadratische Reste 480 Drittes Buch. Algebraische Grössen. Dreizehnter Abschnitt. Die Galoissche Theorie. §. 146. Der Körperbegriff 491 §. 147. Adjunction ^^^ §. 148. Functionen in einem Körper 494 §. 149. Algebraische Körper 497 §. 150. Gleichzeitige Adjunction mehrerer algebraischer Grössen ... 499 XIV Inhalt des ersten Bandes. Seite §. 151. Primitive und imprimitive Körper 501 §. 152. Normalkörper. Galois'sche Resolvente 505 §. 153. Die Substitutionen eines Normalkörpers 508 §. 154. Zusammensetzung der Substitutionen 511 §. 155. Permutatiousgruppen 513 §. 156. Galois'sche Gruppe 517 §. 157. Transitive und intransitive (iruppen 523 §. 158. Primitive und imprimitive Gruppen 524 Vierzelmter Abschnitt. Anwendung der Permutationsgruppen auf Gleichungen. §. 159. Wirkung der Permutationsgruppen auf Functionen von un- abhängigen Veränderlichen 529 §. 160. Zerlegung von Permutationen in Transposition und in Cyklen 533 §. 161. Divisoren der Gruppen, Xebengruppeu und conjugirte Gruppen 542 §. 162. Reduction der Galois'schen Resolvente durch Adjunction. Normaltheiler einer Gruppe 548 §. 163. Die Gruppe der Resolventen 553 §. 164. Reduction der Galois'schen Gruppe durch Adjunction belie- biger Irrationalitäten 555 §. 1G5. Imprimitive Gruppen 558 Fünfzehnter Abschnitt. Cyklisehe Gleichungen. §. 166. Cubische Gleichungen 564 §. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen 566 §. 168. Auflösung der biquadratischen Gleichungen 570 §. 169. Abel'sche Gleichungen . . .• 575 §. 170. Reduction der Abel' sehen Gleichuugen auf cyklisehe .... 579 §. 171. Resolventen von Lagrange 584 §. 172. Auflösung der cvklischen Gleichungen 588 §. 173. Theilung des Winkels 593 Sechzehnter Abschnitt. Kreis theilung, §. 174. Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung 596-, §. 175. Die Kreistheilungsperioden und die Periodengleichungen . . . 601 §. 176. Gauss' sehe Methode zur Berechnung der Resolventen .... 606 §. 177. Zurückführung der Kreistheilungsgleichung auf reine Glei- chungen 610 §. 178. Eigenschaften der Zahlen »/< 617 §. 179. Die Gauss' sehen Summen 621 §. 180. Die Perioden von VsC» — 1) und \^(n — ]) Gliedern 628 §. 181. Die complexen Zahlen von Gauss 635 §. 182. Der Körper der dritten Eiuheitswurzeln 641 Inhalt des ersten Bandes. XV Seite Siebzelinter Abschnitt. Algebraische Auflösung von Gleichlingen, §. 183. Reduction der Gruppe durch reine Gleichungen 644 §. 184. Metacyklische Gleichungen 646 §. 185. Einfachheit der alternirendcn Gruppe 649 §. 186. Xichtmetacyklische Gleichungen im Körper der rationalen Zahlen 652 §. 187. Auflösung durch reelle Eadicale 655 §. 188. Metacyklische Gleichungen von Primzahlgrad 658 §. 189. Anwendung auf die metacyklischen Gleichungen Sten Grades . 670 §. 190. Die Gruppe der Resolvente 676 Achtzehnter Abschnitt. Wurzeln metacyklischer Gleichungen. §. 191. Stellung der Aufgabe. Hülfssatz 680 §. 192. Sätze über die Resolventen 683 §. 193. Wurzeln metacyklischer Gleichungen 688 §. 194. Befreiung von den beschränkenden Voraussetzungen 691 §. 195. Realitätsverhältnisse 697 §. 196. Metacyklische Gleichungen 5ten Grades 698 EI^LEITU^^G. Wir setzen bei unseren Betrachtungen die natürlichen Zahlen 1, 2, 3 . . . und die Regeln, nach denen mit diesen Zahlen gerechnet wird, als bekannt und gegeben voraus. Die fundamentalen Rechenarten, die sogenannten vier Species, sind die Addition, die Multiplication, zu der als Wiederholung das Potenziren gehört, die Subtraction und die Division. Die beiden ersten heissen die directen Rechenoperationen; sie sind dadurch ausgezeichnet, dass sie im Reiche der natürlichen Zahlen unbegrenzt ausgeführt werden können. Die erste der indirecten oder inversen Operationen, die Subtraction, lässt sich nur dann ausführen, wenn der Minuend grösser ist als der Sub- trahend. Die Aufgabe der Division kann man auf zwei Arten auf- fassen. Bei der ersten elementaren Auffassung wird gefragt, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Eine Zahl ist nicht in einer kleineren enthalten. Ist aber der Dividend gleich oder grösser als der Divisor, so giebt die Beantwortung der Frage einen Quotienten und in den meisten Fällen einen Rest, der kleiner als der Divisor ist. Wenn kein Rest bleibt, so sagt man, die Division geht auf, oder der Dividend ist durch den Divisor theilbar, oder der Divisor ist ein Factor oder Theiler der Zahl, die den Dividenden bildet. Diese Aufgabe, die sich schon auf den ersten Stufen der Rechenkunst einstellt, führt zu einer tiefer liegenden Unter- scheidung der Zahlen, die das Fundament aller Zahlentheorie ist. Da ein Factor nie grösser sein kann als die Zahl, deren Factor sie ist, so hat jede Zahl nur eine endliche Anzahl von Factoren. Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst theilbar, und eine Zahl, die sonst keinen Theiler hat, heisst eine Prim- zahl. Die Zahl 1 selbst pflegt man aus Zweckmässigkeitsgründen Weber, Algebra. I. 1 2 Einleitung. nicht als Primzahl zu bezeichnen. Sind zwei Zahlen durch eine dritte theilbar, so ist auch die Summe und die Differenz der beiden ersten durch die dritte theilbar; und ist eine Zahl durch eine zweite, diese durch eine dritte theilbar, so ist auch die erste durch die dritte theilbar. Zwei Zahlen haben immer den gemeinsamen Theiler 1. Wenn sie keinen anderen gemeinsamen Theiler haben, wie z. B. die Zahlenpaare 5 und 7 oder 21 und 38, so heissen die beiden Zahlen relative Primzahlen oder auch theilerfremde Zahlen. Unter den gemeinsamen Theilern von irgend zwei gegebenen Zahlen wird einer der grösste sein, und es ist eine sehr wichtige Aufgabe, diesen grössten gemeinschaftlichen Theiler zu finden. Dazu führt ein Verfahren, das unter dem Namen Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers bekannt ist, und sich schon bei Euklid^) findet. Sind a, «i die beiden Zahlen, so nehme man die grössere von ihnen, die a sei, als Dividenden, die kleinere «j als Divisor, und bestimme den Quotienten gi ; und wenn die Division nicht aufgeht, den Rest a^^ also a = q^ ciy -|- «2? so dass a, .. Also ist ttv der grösste gemeinschaftliche Theiler von a und cti, und wir sind zugleich zu dem Satze gelangt, dass jeder gemein- schaftliche Theiler zweier Zahlen in ihrem grössten gemein- schaftlichen Theiler aufgehen muss. Sind a und «i relative Primzahlen, so ist der letzte Divisor a» = 1. Multiplicirt man unter dieser Voraussetzung die vor- ij Elemente, Buch VIL'II, Bd. II der Heiberg'schen Ausgabe (Leipzig^ Teubner, 1883). Zerlegung in Primzahlen. 3 stehenden Gleichungen mit irgend einer Zahl &, so folgt, dass h der grösste gemeinschaftliche Theiler von ah und a^h ist, und dass also jeder gemeinschaftliche Theiler von ah und «j oder von a und a^ h Theiler von h sein muss. Ist also a^ relativ prim zu a und zu h, so ist es auch relativ prim zu ah, und aus der speciellen Annahme, dass a^ eine Primzahl sei, ergiebt sich, dass ein Product nur dann durch eine Primzahl theilbar sein kann, wenn wenigstens einer der Factoren durch sie theilbar ist. Ist also das Product ah durch a^ theilbar und ist a^ relativ prim zu a, so muss h durch «^ theilbar sein. Sind a, h irgend zwei Zahlen mit dem grössten gemeinschaft- lichen Theiler d und ist a = d o', h ::= d h\ so sind a' und h' relativ prim zu einander. Jede Zahl m, die zugleich ein Viel- faches von a und von h ist, hat die Form m = am' = da' m' und darin muss a' m' ein Vielfaches von h' sein, also muss auch 7n' ein Vielfaches von h' sein, d. h. jede Zahl, die zugleich ein Vielfaches von a und von h ist, ist durch a'h'd theilbar. Diese Zahl a'h'd, die selbst ein gemeinschaftliches Vielfaches von a und h ist, heisst daher das kleinste gemeinschaftliche Viel- fache von a und h. Wenn eine Zahl durch zwei relative Primzahlen theilbar ist, so ist sie auch durch ihr Product theilbar. und wenn also eine Zahl m durch mehrere Zahlen theilbar ist, von denen je zwei zu einander relativ prim sind, so ist sie auch durch das Product aller dieser Zahlen theilbar. Jede Zahl m, mit Ausnahme von 1, ist durch eine Primzahl theilbar. Denn ist m nicht selbst eine Primzahl, so hat m einen von 1 verschiedenen Theiler wi', der kleiner als m ist. Ist m' auch keine Primzahl, so hat es einen kleineren Theiler m", der grösser als 1 ist, und der auch Theiler von m ist, u. s. f., und so gelangt man auf einen Primzahltheiler von ni. Eine Potenz a" einer Primzahl a kann durch keine von a verschiedene Primzahl h theilbar sein, weil eben sonst a durch h theilbar sein müsste. Folglich kann a" keine anderen Theiler haben, als Potenzen von a, deren Exponent nicht grösser als « ist. Potenzen verschiedener Primzahlen, wie a", &.^, sind daher stets relativ prim. Hierauf gründet sich der Beweis des wichtigen Satzes, dass eine Zahl m immer und nur auf eine einzige Weise als ein 1* 4 Einleitung. Prodiict von Primzahlen dargestellt werden kann. Denn da der Theiler nicht grösser sein kann als der Dividend, so kann m sicher nur durch eine endliche Anzahl von Primzahlen theilbar sein. Ist a eine von diesen Primzahlen und a" die höchste Potenz von a, die in m aufgeht, so ist auch « eine bestimmte Zahl. Es seien nun ebenso 6^, c^ . . . die höchsten Potenzen der übrigen in m aufgehenden Primzahlen b. c . . ., durch die sich m theilen lässt, dann muss. da je zwei der Zahlen a", h\ C'' . . . relativ prim sind , m auch durch das Product a" h^ & . . . theilbar sein , und es muss m diesem Product e gleich sein, da sonst noch eine andere Primzahl oder eine höhere Potenz einer der Primzahlen o, &, c . . , in m aufgehen müsste. Wir geben nun einen Ueberblick über die in der Mathe- matik nothwendigen und allmählich eingeführten Erweiterungen des Zahlenbegriffes. Wir verstehen unter einer Mannigfaltigkeit oder Menge, oder dem abkürzenden Zeichen 50^ ein System von Objecten oder Elementen irgend welcher Art, das so in sich abgegrenzt und vollendet ist, dass von jedem beliebigen Object vollkommen be- stimmt ist, ob es zu dem System gehört oder nicht, gleichviel, ob wir im Stande sind, in jedem besonderen Falle die Ent- scheidung wirklich zu treffen oder nicht. Eine Menge heisst geordnet, wenn von irgend zwei unter- schiedenen ihrer Elemente immer ein in sich vollkommen be- stimmtes als das grössere gilt, und zwar so, dass aus a >> &, 6 >. c stets « >> c folgt. Ist a >> 6 und & >> c oder rt >> & >> c, so sagen wir, dass & zwischen a und c liegt. Die natürlichen Zahlen bilden eine geordnete Menge; zwischen zwei auf einander folgenden ihrer Elemente liegt kein weiteres Element. Eine solche Mannigfaltigkeit heisst eine discrete. Eine geordnete ^lenge von der Eigenschaft, dass zwischen je zwei Elementen immer noch andere Elemente gefunden werden, heisst dicht. Eine dichte Menge kann man bilden, wenn man die natürlichen Zahlen in Paaren zusammenfasst, und diese Paare als Elemente einer Menge auffasst. Diese Paare sollen Brüche genannt und mit m : n oder — bezeichnet werden, und zwei solche Brüche m:ii und m' -.n' werden einander gleich gesetzt, wenn m n' = n m' ist. Fasst man alle unter einander gleichen Brüche Schnitte. 5 ZU einem Element zusammen, so erhält man eine Mannigfaltig- keit, die geordnet ist, wenn man noch festsetzt, dass m : n grösser als m' : n' ist, wenn m n' >> n m' ist. Dass diese Mannigfaltigkeit dicht ist, sieht man so ein: sind |u. = w* : w, |u,' = m' : n' zwei Brüche und /x >> fi', so kann man, wenn h eine willkürliche Zahl ist, limn' , hm! n ^ hnn'^ hnn' setzen, und darin ist hmn' >> hm' n. Man kann h immer so annehmen, dass zwischen hmn' und hm' n noch Zahlen liegen, und wenn ^j eine solche Zahl ist, so liegt p : hnn' zwischen ^ und fi'. Die Punkte einer geraden Linie kann man auch als eine geordnete Menge auffassen, wenn man unter grösser und kleiner irgend eine Ortsbeziehung, z. B. weiter rechts und weiter links oder höher und tiefer versteht. Eine Eintheilung einer geordneten Menge 5Ji in zwei Theile J., B der Art, dass jedes Element a von A kleiner ist als jedes Element h von 7?, wird ein Schnitt in ^]li genannt und wird passend durch (J., B) bezeichnet. Ein solcher Schnitt entsteht, wenn man irgend ein Element ft von '»Dt herausgreift, alle kleineren Elemente zu A^ alle grösseren zu B und fi selbst nach Belieben zu A oder zu B rechnet. Es entstehen, genau gesagt, je nachdem man das eine oder das andere thut, zwei Schnitte, die wir aber immer als gleich betrachten wollen. Wenn in einem Schnitt fJ., B) entweder A ein grösstes oder B ein kleinstes Element ju- enthält, so sagen wir, dass ^ den Schnitt (J., B) er- zeugt. Es kann aber auch der Fall vorkommen, dass weder A ein grösstes noch B ein kleinstes Element besitzt. Wenn jeder Schnitt in einer dichten Menge durch ein bestimmtes Element ft erzeugt wird, so heisst die Menge stetig. Stetigkeit sowohl als Dichtigkeit sind Eigenschaften, die der Natur der Sache nach unserer Sinneswahrnehmung unzugänglich sind; sie lassen sich daher auch an Dingen der Aussenwelt, an Raumgrössen, Zeiträumen, Massen, niemals mit Strenge nach- weisen, wie sehr sie uns auch im Wesen unserer Anschauung zu liegen scheinen. Es lassen sich aber sehr wohl reine Begriffs- 6 Einleitung. Systeme construiren , denen die Dichtigkeit ohne die Stetigkeit oder auch Dichtigkeit und Stetigkeit zukommen i). Ein Beispiel einer dichten Menge bieten die rationalen Brüche. Diese Mannigfaltigkeit, die wir mit 9i bezeichnen wollen, ist keine stetige. Denn nehmen wir irgend einen rationalen Bruch ^ = m : n^ worin m und n keinen gemeinschaftlichen Theiler haben und nicht beide Quadratzahlen sind, so ist ^ nicht das Quadrat eines rationalen Bruches. Denn wäre [i = p- : q'^, so würde niq^ = np- folgen, und daraus, wenn auch p und q ohne gemeinschaftlichen Theiler angenommen werden , m = p"^, n ^= g^ was durch die Voraussetzung ausgeschlossen ist. Wenn wir also einen Schnitt (J., B) in der Mannigfaltigkeit 9i bilden, indem wir jedes Element a von 5R zu A rechnen, dessen Quadrat kleiner als ft ist, und jedes Element 6 zu jB, dessen Quadrat grösser als ^ ist, so ist weder in A ein grösstes noch in B ein kleinstes Element enthalten, und der Schnitt (J., B) wird nicht durch ein Element in 9t erzeugt. Denn angenommen, es sei a=p : q irgend ein Element in A^ also p- : q- ny (2 p + ^)i woraus folgt: x^ (mq-^ — np-) ^ nxy {2p + 1) > w (2p xy + y-), also auch mq^x^ >> n(px -\- y)^. Setzen wir also a' =: (p x -\- y) : q x^ so ist a' >> a und a' - •< ft, also a' auch in A enthalten; und ebenso kann man zeigen, dass es in B kein kleinstes Element giebt. Die Mannigfaltigkeit 9i kann uns aber als Ausgangspunkt dienen, um eine stetige Menge zu construiren. Die Gesammtheit aller Schnitte in 9i ist gewiss eine Mannigfaltigkeit, die mit S bezeichnet sein mag. Betrachten wir zwei verschiedene ihrer Elemente a = (A, B), u' — (A'. B'), so wird entweder A ein Theil von A! oder A ein Theil von A sein. Denn wenn irgend 1) Dies ist von Dedekind nachgewiesen, dem wir überhaupt die oben gegebene Definition der Stetigkeit verdanken. Vgl. die Schriften von Dedekind, „Stetigkeit und irrationale Zahlen", Braunschweig 1872, 1892. „Was sind und was sollen die Zahlen?", Braunschweig 1888, 1893. Andere Mannigfaltigkeiten, denen die Stetigkeit zukommt, sind von Weierstrass und G. Cantor gebildet. Stetigkeit. 7 ein Element a zm A gehört, so gehört auch jedes kleinere Ele- ment von IR zu A. Ist A ein Theil von A', so wollen wir a kleiner als a nennen, und dadurch ist die Menge © zu einer geordneten geworden. Sehen wir die durch die rationalen Brüche erzeugten Schnitte als gleichwerthig mit diesen rationalen Brüchen selbst an und nennen sie kurz rationale Schnitte, so enthält die Menge @ die Menge 9t, und 'B ist also jedenfalls eine dichte Menge. Die Menge > a, so erhcält man einen Schnitt (Ä, B) in 511, wenn man alle Elemente x, für die a -\- x ^ c ist, nach A, und für die a + a; > c ist, nach B verweist. Dieser Schnitt wird durch ein Element h erzeugt, für das a -\- h = c sein rauss. Die natürlichen Zahlen bilden nach unserer Definition eine messbare Menge, in der ein kleinstes Element, nämlich 1, vor- kommt. Die Mannigfaltigkeit der rationalen Brüche wird eben- falls messbar, wenn man Addition und Subtraction nach den bekannten Regeln der Bruchrechnung erklärt. Besonders wichtig und gleichsam typisch für die messbaren Mengen ist die Mannig- faltigkeit der geradlinigen Strecken oder Längen einer Linie, die einfach durch Aneinanderlegen addirt werden. Auch Stoff- mengen, durch die Wage verglichen, und Zeiträume, mit der Uhr gemessen , liefern Beispiele messbarer Mengen. Die Art des Messens liegt nicht in der Natur der Mannigfaltigkeit selbst, sondern wird durch den denkenden Beobachter hineingelegt; so würde es z. B. ebenso gut zulässig sein, unter der Summe a -^ b zweier Strecken a und h die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a, h zu verstehen, statt, wie es ge- wöhnlich angenommen wird, die aus a und h durch Aneinander- legen zusammengesetzte Strecke. Um die stetige Menge © der Schnitte in der Mannigfaltig- keit der rationalen Brüche 9i zu einer messbaren zu machen, beachte man zunächst Folgendes. Ist a = {A^ B) ein Element in © und ft ein beliebig ge- gebener rationaler Bruch, so kann man immer ein Element a' in A so bestimmen, dass a' -\- [i = b' in B enthalten ist. Denn wählt man in J., B zwei beliebige Elemente a, h, so kann man die natürliche Zahl m so bestimmen, dass m^^ b — a ist, so dass a -}- m^ in B enthalten ist. Ist dann h die kleinste ganze Zahl, für die a -|- /ift in 53 enthalten ist, so ist a-\-{li — 1)^ = a' in A und also a' -\- ^ = h' in B enthalten. Wir verstehen nun unter der Summe {A^ B) -j- {A\ B') = (A'\ B") oder a -\- c/J := a" den Schnitt in 9t, den man erhält, wenn man einen rationalen Bruch a" nur dann nach A" verweist, wenn ein a in J. und ein a' in A' existirt von der Beschaffen- heit, dass a" ^ a -{- a' ist. In der That ist {A!\ B") ein Schnitt; denn ist a" in A" enthalten, so gilt dasselbe von jedem kleineren Bruch, und es giebt Brüche, die in A'\ und Brüche, die nicht in A" enthalten sind, nämlich die Brüche von der Form a -\- a' 10 Einleitung. und h -[- h'. Es ist ferner a" grösser als a und a'. Denn A" enthält zunächst alle J., und wenn a' ein beliebiger Bruch in Ä ist, so kann man a in A so wählen, dass das Element a -\- a' von A" in B enthalten ist; also ist A!' umfassender als A. Die durch rationale Brüche fi, ft' erzeugten Schnitte ergeben durch Addition den durch (u- -}- ft' erzeugten Schnitt. Die Bedeutung dieser Definition erweist sich in folgendem Satze: Ist 53^ eine stetige messbare Mannigfaltigkeit, und 93li ein Theil von 93^, der gleichfalls stetig und nach der in 9Ji geltenden Ptegel messbar ist, so ist 53ii mit 93? identisch. Der Beweis ergiebt sich folgendermaassen : 1. Ist 93li von 93i verschieden, so giebt es in Wl Elemente a, die kleiner sind als alle Elemente von !}3li. Denn sei a ein nicht in 'D3?i enthaltenes Element von W. Wenn es in 93?i Elemente giebt, die kleiner als a sind, so bringt a einen Schnitt (^i, JB-^) in 93?i hervor, den man erhält, wenn man alle Elemente von 93^1, die kleiner als a sind, in Ay aufnimmt, die anderen in B^. Dieser Schnitt muss aber wegen der voraus- gesetzten Stetigkeit von 93ti auch durch ein Element a^ in 93ti erzeugt werden, und weil 93?i ein Theil von 931 ist, so muss «i auch in 93? vorkommen. Wenn aber a nicht in 93?i vorkommt, so sind a und a^ von einander verschieden, und kein zwischen a und «i gelegenes Element von 93? kann zu 93?i gehören. Denn ist z. B. a <^ a^, und h^ ein Element von 93?i , was der Bedingung ci <^hi 3 und ausserdem die Zahl 2 in > 3 in (2i dem Element ß — 2 in ©. Es haben dann, wenn man von © zu ©j übergeht, die Elemente gewissermaassen nur andere Namen erhalten. Wir gehen nun über zu der Definition der Verhältnisse, die von Alters her als Grundlage der Zahlenlehre betrachtet werden, und folgen dabei zunächst Euklid^). Wenn man die Elemente einer stetigen messbaren Menge 5Ji zu Paaren verbindet, und diese Paare an sich als Elemente be- trachtet, so entsteht eine neue Mannigfaltigkeit; wir bezeichnen ein solches Paar mit a : h, oder auch mit -r-, unterscheiden aber, wenn a und b verschiedene Elemente sind, a : b von ö : a, und nennen a den Zähler und b den Nenner von a : b. Diese Paare wollen wir Verhältnisse nennen und wollen diese neue Menge nun ordnen und messbar machen. Nehmen wir zunächst an, dass zwei ganze Zahlen >», oi exi- stiren, so dass na = mb wird, wie es z. B. immer der Fall ist, wenn «, b zwei natürliche Zahlen oder zwei commensurable Strecken sind; dann ist, wenn p, q zwei andere ganze Zahlen sind, dann und nur dann qa = pb, wenn mq = np ist. Denn aus na = mb folgt qua = qmb, und wenn also qa = pb ist, pnb =-- qmb, und folglich pn = qin. Das Zahlenpaar p^ q ist durch diese Forderung vollständig bestimmt, wenn noch die Be- dingung hinzukommt, dass p^ q relative Primzahlen sein sollen. Dann kann, wenn li eine beliebige ganze Zahl ist, m = hp, n = hq sein. In diesem Falle nennen wir das Verhältniss a : b ein rationales und setzen es gleich dem rationalen Bruch m : n oder p : q. Diese rationalen Brüche können hiemach als Ver- hältnisse ganzer Zahlen aufgefasst werden. Alle unter einander gleichen rationalen Verhältnisse bilden eine rationale Zahl, und die rationalen Zahlen bilden, wie die ratio- nalen Brüche, eine geordnete, dichte und messbare Mannigfaltigkeit. 1) Elemente, Buch V. Verhältnisse. 13 In die Mannigfaltigkeit der rationalen Zahlen ordnen sich die natürlichen Zahlen selbst mit ein, wenn man unter einer natürlichen Zahl m das Verhältniss m : 1 versteht. Wir kehren jetzt zu irgend einer messbaren Mannigfaltigkeit W zurück und nehmen aus ihr irgend zwei Elemente a und h. Wählt man, was immer möglich ist. zwei natürliche Zahlen m, w, so dass na ^ tnh, so heisst das Verhältniss a : h grösser als das rationale Verhältniss m : n oder a m und wenn m : n ^ p : q, so ist auch a : h ^ p : q. Ebenso folgt, wenn n' a > 7W : »i, so kann man eine und folglich auch be- liebig viele rationale Zahlen tn^ : Wj fiaden, so dass ist, d. h. man kann zwischen a : b und m : n beliebig viele rationale Verhältnisse einschalten. Um dies zu zeigen, wähle man eine beliebige ganze Zahl Tc und bestimme die ganze Zahl h so, dass h {n a — mb) >. Je b wird, was immer möglich ist; dann ist a hin -^ Je m b Jm n Und ebenso folgt, wenn n' a Je' a ist, a Ji' m' m' T ^ li' n' + Je' "^ »7* Wenn nun a : b und « : ß irgend zwei Verhältnisse sind, die wir der Kürze wegen auch mit e, £ bezeichnen wollen, deren Elemente derselben oder auch verschiedenen Mannigfaltigkeiten angehören, so sind zwei Fälle möglich: 1) Es liegt kein ratio- nales Verhältniss ^ zwischen e und £, oder 2) es liegt ein ratio- nales Verhältniss zwischen e und s. Im Falle 1) heissen die beiden Verhältnisse e und e ein- ander gleich, und man sieht, dass zwei Verhältnisse, die einem dritten gleich sind, auch unter einander gleich sind; denn ist e <; ft < £, so ist jedes andere Verhältniss e' entweder kleiner oder gleich oder grösser als ^. Ist e' gleich ^, so liegen so- 14 Einleitung. wohl zwischen e und e' als zwischen e' und £ rationale Verhält- nisse. Ist aber e' kleiner als ft, so liegt \i zwischen e' und £, und ist e' grösser als ft, so liegt \i zwischen e und e'; also kann e' nicht zugleich gleich e und gleich a sein. Im Falle 2) heissen die Verhältnisse e, £ ungleich. Es kann also entweder «j e <; ft <; £ oder /3) e ^ /x.' >> £ sein, und diese beiden Fälle schliessen sich aus, weil aus e <; ^ <[■ £, £ << ^' folgt, dass fi << ft', und folglich e a, so wähle man zunächst eine ganze Zahl n so , dass na :> b und n {a' — a) > b. Hierauf nehme man die kleinste ganze Zahl m, die der Bedingung mb ":> na ge- nügt; dann ist na < mb, aber mb na -\- b\ also wäre gegen die Voraussetzung schon (m — 1) 6 > na. Dann ist a m a' b n b also a:b <: a' -.b; und ganz ebenso kann man beweisen , dass, wenn b' > b ist, a : b ^ a : b' wird. Man drückt diesen Satz auch so aus, dass ein Verhältniss zugleich mit dem Zähler wächst und mit wachsendem Nenner abnimmt. Hieraus ergiebt sich auch leicht der folgende Satz: Sind a, 6, c, d Elemente derselben messbaren Menge und ist a : b = c : d, so ist auch a : c ::^ b : d. Denn angenommen, es wäre a : c m d. Dann aber wäre nach dem eben bewiesenen Satze na : nb > («' -|- h') : c' ist, auch h : c ^ h' : c' sein muss. Es sei also, wenn m und n zwei ganze Zahlen sind, a -\- b in a' -\- b' c~ ^n^ c' ' dann ist n (a -\- b) j> mc und m c' ^ n a' -I- b. Dann ist um so mehr m c' >> n a' und wegen a : c = a' : c' auch m c ^ na. Es ist also auch b mc — n a m c' — n a' V c nc ^ nc' c' Andererseits folgt aber leicht aus der Voraussetzung a : c = a' : c', dass auch ni c — na m c' — na' nc nc' ist, also b:c ^ b' -.c^ w. z. b. w. Hiermit ist also nachgewiesen, dass auch die Zahlen, wie wir sie detinirt haben, eine messbare Menge bilden. Sind a und c einer stetigen Mannigfaltigkeit entnommen, so bilden auch bei feststehendem c die Verhältnisse a : c eine stetige Menge und es folgt also, da es überhaupt stetige Mengen giebt, dass auch die Zahlen eine stetige Menge bilden. Sind a, ß, 7, Ö jetzt Zahlen, so kann man aus der Proportion a: ß = y.d eine beliebige der vier Zahlen durch die drei anderen gegebenen bestimmen. Setzt man ö = 1 und sucht a, so erhält man die Multiplication u^=ß'y, und die Vertauschbarkeit der Factoren ist eine Folge des Satzes, dass a:y = ß:d aus u : ß = y.d folgt. Sucht man y, so erhält man die Division; und aus der oben gegebenen Definition der Addition folgt die Grund- formel a(ß-{-y) = uß-\-uy. Die vier Grundrechnungsarten sind also in dem Gebiete der Zahlen ausführbar mit der einzigen Beschränkung, dass bei der Subtraction der Subtrahend kleiner sein muss als der Minuend. Zahlenreihen. 17 Die Construction eines Schnittes in der Reilie der Zahlen liefert stets den Beweis für die Existenz einer Zahl, die hestimmten Anforderungen genügt. So erhält man einen Schnitt (J., B), wenn man alle und nur die Zahlen, deren Quadrat kleiner als eine bestimmte Zahl « ist, in Ä aufnimmt; diesem Schnitt ent- spricht eine bestimmte Zahl, deren Quadrat gleich a ist und die mit V« bezeichnet wird, und dadurch wird die Existenz der Quadratwurzeln nachgewiesen. Auf die Schnitte lassen sich auch die von G. Cantor zur Definition der Irrationalzahlen eingeführten Zahlenreihen zurückführen i). Nach Cantor ist unter einer Zahlenreihe irgend ein un- begrenztes, in bestimmter Weise geordnetes System von Zahlen zu verstehen: O *^li *^^^ *^3i *^A • • • von der Beschaffenheit, dass es eine bestimmte Zahl g giebt, unter die keine der Zahlen S heruntersinkt, und dass, wenn d eine beliebig gewählte Zahl ist, und Xn^ x,n verschiedene Ele- mente aus S sind, Xn — x,n oder x,,, — Xn immer kleiner bleibt als d, wenn tn und n eine hinlänglich grosse Zahl überschritten haben. Es giebt immer Zahlen, die von den Zahlen einer solchen Reihe nicht überschritten werden; denn hat man d gewählt und n passend bestimmt, so überschreitet x„i, welchen Werth auch m haben mag, niemals die grösste der Zahlen x^, x^ ... Xn, Xn -\- ö. Andererseits giebt es auch Zahlen, die von unendlich vielen Xn überschritten werden, z. B. jede Zahl, die kleiner ist als (/. Man erhält nun einen Schnitt (Ä, J5), wenn man die Zahlen nach B wirft, die, wenn n einen hinlänglich hohen Werth hat, von keinem Xn mehr überschritten werden (die also von keinem oder nur von einer endlichen Anzahl von Xn über- schritten werden), und alle anderen Zahlen (die also von unend- lich vielen rr„ überschritten werden) nach Ä. Wird dieser Schnitt durch die Zahl a erzeugt, so giebt es, wie klein auch s sei, immer unendlich viele Zahlen Xn zwischen « — s und a, und man kann sagen, dass diese durch S vollkommen bestimmte Zahl 1) Cantor, Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Mathematische Annalen, Bd. 5 (1872); vergl. auch Heine, Elemente der Functionenlehre. Journal für Mathematik, Bd. 74 (1872). Weber, Algebra. I. , 2 18 Einleitung. « durch die Zahlenreihe S erzeugt wird. Nach Cantor ist die Zahlenreihe S geradezu die Definition der Zahl a. Selbstver- ständlich kann eine und dieselbe Zahl a durch sehr verschiedene Zahlenreihen erzeugt werden. Diese Zahlenreihen sind aber alle als unter einander gleich zu betrachten. Man kann unter Anderem die Zahlen von S alle als rationale Brüche annehmen. Es lässt sich auch umgekehrt leicht nachweisen, dass man zu jeder gegebenen Zahl a immer Zahlenreihen S angeben kann, durch die a erzeugt wird, so dass also die Gesammtheit der Zahlen- reihen S gleichfalls eine stetige Menge bildet. Bei der Erklärung der Grundrechnungsarten hat sich bei der Subtraction eine unbequeme Beschränkung ergeben, von der wir uns frei machen durch Einführung der Null und der nega- tiven Zahlen. Es möge X jedes Element des bisher definirten Zahlensystems bedeuten, das wir jetzt als das System der positiven Zahlen bezeichnen wollen. Wir nehmen dies Zahlensystem ein zweites Mal und bezeichnen zum Unterschied in diesem zweiten System, das als das System der negativen Zahlen bezeichnet werden soll, jedes Element mit — x. Das zweite System ordnen wir nun dem ersten gerade entgegengesetzt, so dass überall, wo in dem System x „grösser" steht, in dem System — x „kleiner" gesetzt wird, und umgekehrt. Addition und Subtraction werden in — x ebenso erklärt wie in x, so dass ( — x) -\- ( — y) =" — (^ ~{~ V)'^ ( — x) — ( — y) = — (^ — y) sein soll. Wir wollen aber diese beiden Zahlensysteme in der Weise zusammenordnen, dass jedes — x kleiner sein soll als jedes x. Wir erhalten so eine geordnete Menge, in der kein grösstes und kein kleinstes Element vorhanden ist. Dieses System ist auch im Allgemeinen stetig, nur der einzige Schnitt ( — x, x) wird durch kein Element erzeugt, und hier, wo beide Systeme zu- sammenstossen, ist also noch eine Verletzung der Stetigkeit vor- handen. Um die Stetigkeit herzustellen, müssen wir also dem Schnitt ( — X, x) entsprechend noch eine Zahl Null oder 0 hinzufügen, die eben durch diesen Schnitt definirt ist. Dann haben wir eine geordnete stetige, beiderseits unbegrenzte Menge, die vollständige Reihe der reellen Zahlen. In dem so erweiterten Zahlenbereiche erklären wir nun die Addition allgemein, indem wir detinitionsweise setzen: Negative Zahlen. 19 X -j- {— x) = 0, X -{- 0 = X, X -\- {— y) = X — y, wenn x :> y, = — (y — x), wenn y > x. Bei dieser Erklärung der Addition gelten, wenn ^j , z^_, z-^ irgend drei Zahlen des ganzen Zalilenbereiches sind, die Gesetze : ^1 + ^2 = ^2 + ^1, (^I + ^2) + ^3 = ^1 + (^2 + ^3), die man das commutative und das associative Gesetz nennt. Man bildet die Summe aus einer beliebigen Anzahl von Summanden, indem man nach Belieben der Reihe nach je zwei Summanden zu einer Summe vereinigt. Die Subtraction braucht nicht mehr besonders berücksichtigt zu werden, wenn man z-^ — s^ durch ^1 -j- ( — ^2) erklärt und — ( — z) =^ s setzt. Man stellt die Zahlenreihe anschaulich durch Punkte dar, indem man von einem festen mit 0 bezeichneten Punkte einer geraden Linie die positiven Zahlen als Strecken nach der einen, etwa der rechten, die negativen Zahlen nach der anderen (linken) Seite aufträgt. Das Bild der Summe zweier Strecken z^ -j- s^ erhält man, wenn man von dem Punkte ^^ aus die Strecke von der Länge + z^ nach der rechten oder nach der linken Seite abträgt, je nachdem z^, positiv oder negativ ist. Die Multiplication und Division wird in dem erweiterten Zahlenbereich durch die Gleichungen ^ i—y) = (— -») y = — xy (—x) i—y) = xy, Oa; = 0 erklärt. Die Division als die Umkehrung der Multiplication ist immer möglich, ausser wenn der Divisor Null ist. . Für ein Product aus mehreren Factoren und für den Quo- tienten zweier solcher Producte gilt der Satz, dass sein Werth positiv oder negativ ist, je nachdem die Anzahl der überhaupt darin (im Zähler und Nenner) vorkommenden Factoren gerade oder ungerade ist. Eine fernere Erweiterung des Zahlbegriffes besteht in der Einführung der com plexen Grössen. Wir combiniren je zwei Zahlen der gesammten Zahlenreihe zu Paaren {x, y), und be- trachten zwei solche Paare {x, y) und (a, h) nur dann als gleich, wenn x = a, y =^ h ist. Diese Zahlenpaare bilden eine Mannig- faltigkeit, deren Elemente zwar nicht geordnet werden, mit denen aber die Rechenoperationen der Addition, Subtraction, 20 Einleitung. Multiplication und Division vorgenommen werden sollen, nach folgenden Regeln. Es sei (^; y) + ^«1 ^) = (^ + «^ y + ^J- {x, ij) (a, h) = {xa — ijh, xh -[- ya). und wir setzen ausserdem fest, dass (x. 0) = x sei, was diesen Gleichungen nicht widerspricht. Es ist (x, y) nur dann = 0, wenn x und y beide gleich Null sind. Ferner bezeichnen ^dr zur Abkürzung (0, 1) mit i. Dann ergeben obige Gleichungen die Folgerungen: fr, 0) (0, l) = (0, X) oder = ir, (r, 0) -^ (0, y) = {x, y) = X -f 2/«. ^ + 2/^' + ^ -^ ^^' = (^ + ^0 + (2/ + ^)' und die Umkehrung der Addition: X -\- yi — (a 4- bi) = (x — a) -^ i{y — h), ferner die Multiplication: {x -^.yi) (a -\- bf) = xa — yb -^ i(xb -\- ya). i- = — 1, {x + yi) {x — yi) = x'- + y'^. oder , • f , 1 •\ ((^ — bi) (x -^ yi) ^ + 2" = (« + «") (a^ + b^ X -\- yi ax -^ by -\- i (ay — bx) a -{-bi ~ «2 _[_ ^,2 ' wodurch die Division erklärt ist, ausser wenn a -j- ü = 0 ist. Zahlen von der Form ix heissen rein imaginäre Zahlen und / die imaginäre Einheit. Eine Zahl ix soll positiv oder negativ imaginär heissen, je nachdem x positiv oder negativ ist. Die Zahlen a -j- bi heissen imaginär oder complex. Das System der reellen und der rein imaginären Zahlen sind darunter als Specialfälle enthalten. Es sind also in dem Gebiete der complexen Zahlen X -\- yi die Grundrechnungsarten unbegrenzt auszuführen (mit Ausnahme der Division durch Null), und die Rechnung mit den reellen Zahlen ist ein Specialfall davon. Man stellt die complexen Zahlen z ^= x -\- yi nach Gauss geometrisch durch die Punkte einer Ebene dar, indem man ein rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde legt und den Punkt mit den Coordinaten r, y als Bild des Zahlwerthes s betrachtet. Die Punkte der Ä;-Axe stellen in der oben besprochenen Weise Imaginäre Zahlen. 21 die reellen Zahlen x dar. Die Punkte der ?/-Axe sind die Bilder der rein imaginären Zahlen yi. Der Coordinatenanfangspunkt ist das Bild der Zahl 0. Der Radius Yector vom Nullpunkte nach dem Punkte z hat den Zahlwerth q = V^^~4-^, und wird der absolute Werth oder der Betrag oder, nach älterer Ausdrucks- weise, der Modulus der complexen Zahl z genannt. Die einzige Zahl 0 hat den absoluten Werth 0. Jede positive Zahl kommt bei unendlich vielen complexen Zahlen als absoluter Werth vor und die Bildpunkte aller Zahlen mit demselben abso- luten Werthe liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt im Coordinatenanfangspunkte liegt. Zwei imaginäre Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen von i unterscheiden, also x -\- yi und x — yi, heissen conjugirt imaginär. Ihr Product ist das Quadrat des absoluten Werthes von jeder von ihnen. Wenn von zwei conjugirt imaginären Zahlen die eine gleich Null ist, so ist auch die andere gleich Null, und man kann also in jeder richtigen Zahlengleichung i durch — i ersetzen, ohne dass die Richtigkeit gestört wird. Wir wollen noch den oft angewandten Satz anführen, dass der absolute Werth einer Summe zweier von Null verschiedener complexer Zahlen niemals grösser ist, als die Summe der abso- luten Werthe der Summanden, und nur dann gleich, wenn das Verhältniss (der Quotient) beider Summanden reell und positiv ist. Sei nämlicli z = X -\- yi, c = a -\- hi, Z = {x -^ a) -\- {y -\- h)i, q2 = x^ -j- %j\ r- = a^ + b^ R^ = {x + ay -f (y + ^)-, dann ist (r-\-Q — R){ri-Q-^R) = (r+Qy-R^ = 2irQ — ax — hyy, das ist sicher positiv, wenn ux -\- by ^ 0 ist. Wenn aber ax -\- by ^ 0 ist, so folgt aus r2^2 _ (^ax -\- byy = {ay — bxy, dass rQ ^ ax -\- by ist, und nur dann gleich, wenn ay — bx = 0. Daraus also ergiebt sich, dass r -j- (> >> i? ist und nur in dem besonderen Falle r -\- q = R, wenn ay — bx = 0, ax -\- by '^ 0, woraus das Gesagte folgt. Bei der geometrischen Darstellung ist dieser Satz ein Aus- druck dafür, dass in einem Dreieck eine Seite kleiner ist, als die Summe der beiden anderen. Der Satz hat noch die andere 22 Einleitung. Folge, dass der absolute Werth einer Summe nicht kleiner sein kann, als die Differenz der absoluten Werthe der Summanden. Denn wenden wir den vorigen Satz auf die Summe c = Z — z an, so folgt r ^ it -}- 9 oder Fl ^ r — Q. Die Gleichheit findet hier nur dann statt, wenn der Quotient 3 : c reell und negativ ist. 'O^ Es ist noch ein Wort über das wichtigste Hülfsmittel der Algebra, die Buchstabenrechnung, zu sagen. Die Anwendung dieses Hülfsmittels ist so allgemein, dass man bisweilen das Wort Buchstabenrechnung geradezu synonym mit Algebra gebraucht. Die Regeln , wie mit solchen Buchstabenausdrücken gerechnet wird, setzen wir als bekannt voraus. Gleichungen zwischen Buchstabenausdrücken können von zweierlei Art sein ; entweder es sind sogenannte Identitäten, d. h. die zwei einander gleich gesetzten Ausdrücke können durch Anwendung der Rechenregeln so umgeformt werden, dass beide Ausdrücke genau überein- stimmen. Man erhält dann aus solchen Buchstabengleichungen richtige Zahlengleichungen, wenn die Buchstaben durch irgend welche, sei es reelle, sei es complexe Zahlen ersetzt werden, vorausgesetzt, dass dabei nicht die Forderung der Division durch Null auftritt. Die Buchstaben in solchen Gleichungen werden oft auch als Varial^le bezeichnet, weil man sich vorstellen kann, ohne je zu einem Widerspruch zu gelangen, dass für die Buch- staben nach und nach andere und andere Zahlwerthe gesetzt werden. Eine andere Art von Gleichungen zwischen Buchstabenaus- drücken haben nicht diesen Charakter der Identität. Sie enthalten vielmehr eine Forderung, die an solche Zahlen gestellt wird, die man, ohne die Gleichungen unwahr zu machen, für die Buch- staben einsetzen darf. Die Algebra hat die Aufgabe, Zahlwerthe zu ermitteln, die einer solchen Forderung genügen, die Gleichung zu lösen. In diesen Gleichungen werden die Buchstaben auch als „Unbekannte" bezeichnet. Es kommen sehr häufig in ein und derselben Gleichung Buchstaben von zwei Arten vor, solche, für die beliebige Zahlwerthe gesetzt werden sollen, und andere, deren Zahlwerth erst ermittelt werden soll. ERSTES BUCH. DIE GRÜNDLAGEN. Erster Abschnitt. Rationale Functionen. §. 1- Ganze Functionen, Nächster Gegenstand der Betrachtung sind ganze rationale oder auch kurz ganze Functionen einer Veränderlichen. Wir verstehen darunter Ausdrücke von folgender Form: (1) f{x) = aox'' + «lic»-! + a^x"-'- -\ \- cin-iX + «,,, worin n ein ganzzahliger Exponent, der Grad der Function f{x) ist. Der Grad ist eine natürliche Zahl. Bisweilen ist aber auch nützlich, von ganzen rationalen Functionen Oten Grades zu sprechen, worunter ein von x unabhängiger Ausdruck verstanden wird. X heisst die Veränderliche, «qi '-hi '^2 • • • «n— 1, «h che Co ef fielen ten. Sowohl x als %, a^ . . . an sind Symbole für unbestimmte Grössen, mit denen nach den Regeln der Buch- stabenrechnung verfahren wird, für die auch unter Umständen bestimmte Zahlwerthe gesetzt werden können (vgl. die Einleitung). Wenn die Function f{x) in der Weise wie in (1) geschrieben ist, so nennen wir sie nach absteigenden Potenzen von x geordnet. Die Summanden können in jeder beliebigen anderen Reihenfolge angeordnet, also z. B. auch nach aufsteigenden Po- tenzen von X geordnet sein : f{x) = an + an-ix + • • • + «1^""^ + «0^"- Durch Addition (Subtraction) und Multiplication ganzer rationaler Functionen entstehen wieder ganze rationale Func- tionen. Die Vorschriften der Buchstabenrechnung geben un- mittelbar die Bildungsgesetze dieser neuen Functionen. Bei der Addition ist der Coefficient irgend einer Potenz x" in der Summe gleich der Summe der Coefficienten von x'' in den einzelnen Summanden. Der Grad der entstandenen Function ist 26 Erster Abschnitt. §. 1. gleich dem höchsten der Grade der Summanden und kann sich nur in dem besonderen Falle erniedrigen, wenn der höchste Grad in mehreren Summanden vorkommt und die Summe der Coefficieuten der höchsten Potenzen gleich Null ist. Bei der Multiplication zweier oder mehrerer ganzer rationaler Functionen entsteht eine Function, deren Grad gleich der Summe der Grade der Factoren ist. Um für das Product das Bildungsgesetz der Coefficieuten zu übersehen, setzen wir , A(x) = üoX'" -f ciiX"'-'^ -f- «2ä:'"-2 4- . . ., ^^ B{x) = boOf' 4- ^1^"-' + ^2«"-' -h • • •. (3) Ä{x)B(x) = C{x) = c^x"' + " + Ci^'" + "-i 4- C2X"' + »-^ J und erhalten C() = ftfj Oq, Ci = cio hl -f- «1 ^01 6-2 = «0^2 + «1^1 + «2^01 oder in allgemeinen Zeichen, wenn v eine der Zahlen 0. 1, 2 . . . m -f- n bedeutet: (4) Cv = «o&v + «i&v-i + a^hv-i + • • • ay-i\ + a, &o- worin alle a, deren Index grösser als m^ und alle &, deren Index grösser als n ist, gleich Null zu setzen sind. Denn c,. ist der Coefficient von :r'" + "-', und es entsteht also c,.a;'" + "— *' durch Multiplication aller Glieder von der Form «uä;'"""" mit allen Gliedern der Form &»— .ua^"~'' + " und darauf folgende Addition. Sind «0 und &o = li so ist auch Co = 1. Hat in allen Factoren eines solchen Productes die höchste Potenz von x den Coefficienten 1, so ist auch im Product der Coefficient der höchsten Potenz = 1. Aus diesen Vorschriften für die Ptechnung mit ganzen Func- tionen folgt, dass die Regeln des Rechnens, die sich in Formeln wie ah = ha^ {ah)c = a(hc), (a -|- ö)c = ac -\- hc und ähn- lichen aussprechen, auch wenn a, &, c ganze Functionen von x sind, gelten, und zwar in dem Sinne, dass ganze Functionen nur dann als gleich gelten, wenn gleich hohe Potenzen gleiche Coeffi- cienten haben. Unter ganzen Functionen mehrerer Veränderlichen verstehen wir Summen von Producten von ganzen, positiven Potenzen der Veränderlichen x^ y^ z . . . mit irgend welchen Coefficienten, die §. 2. Rationale Functionen. 27 als constaut gelten. Man kann sich diese Functionen entstanden denken aus den Functionen einer Veränderlichen x, wenn man darin die Coefficienten Oq, «i ... a„ selbst wieder als ganze rationale Functionen von anderen Verhältnissen ?/, z . . . auf- fasst. So entstehen Functionen von m Veränderlichen aus Func- tionen von m — 1 Veränderlichen. Alle Glieder einer solchen Function sind von der Form x''if z^ . . ., multiplicirt mit einem Coefficienten, und wenn die Function gehörig zusammengefasst ist, so kommt jede Combination der Exponenten r, s, ^ . . . nur einmal vor. Zwei so geordnete ganze Functionen gelten nur dann als einander gleich, wenn sie dieselben Producte x'^ if z* . . . mit denselben Coefficienten enthalten; und eine geordnete ganze Function ist nur dann gleich Null, wenn alle ihre Coefficienten verschwinden. §. 2. Ein Satz von Gauss. Wir wollen sogleich eine Anwendung der Multiplicationsregel zweier ganzer rationaler Functionen machen zum Beweise eines Satzes von Gauss, der uns später noch nützlich sein wird, hier aber zur Einführung in die Rechnungsweise und als Beispiel dienen soll ^). Wir betrachten hier den Fall, dass die Coefficienten in den Functionen Ä(x), B{x) ganze Zahlen sind, so dass nach (4) auch die Coefficienten von C{x) = A{x)B{x) ganze Zahlen sind. Wenn die sämmtlichen ganzzahligen Coefficienten «oi «n • • • «»i einer Function A{x) keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so heisst die Function A{x) eine ursprüngliche oder primitive Function, und der Satz, den wir beweisen wollen, lautet: Wenn A{x) und B {x) ursprüngliche Functionen sind, so ist auch ihr Product C{x) eine ursprüngliche Function. Der Beweis ergiebt sich fast unmittelbar aus dem Anblick der Formel (4), §. 1. Wenn nämlich die sämmtlichen Coefficienten Co, Cj, C2... Cm + n-, wie sie dort angegeben sind, einen gemeinschaftlichen Theiler haben, der grösser als 1 ist, so muss es auch wenigstens eine 1) Gauss, Disquisitiones arithmeticae, Art. 42. 28 Erster Abschnitt. §. 2. Primzahl geben, die in allen diesen Coefficienten aufgeht. Es sei i) eine solche Primzahl; diese kann nach der Voraussetzung, dass A (rr), B {x) ursprünglich seien, weder in allen ao, «i . . . «w, noch in allen 60, \ ... &„ aufgehen. Es möge nun p aufgehen in : «0? % • • • "r— 1, aber nicht in a^, in ^0, hl . . . hs—i, aber nicht in &«, dann ist nach Voraussetzung r ^ m und kann auch gleich Null sein, wenn p schon in «o nicht aufgeht. Ebenso ist s (x)ilf(x) = a:"» + » -I- yia;'» + «-i + y2;r'" + "-2 -f . . . -|- y,„ + „ die Coefficienten y nicht alle ganze Zahlen sein, wenn die Coefficienten a, ß in q}{x) und ip{x) nicht alle ganze Zahlen sind. Denn bezeichnen wir den kleinsten Hauptnenner der Coeffi- cienten a von q) mit «oi c^er Coefficienten ß von ^ mit öoi so sind ao(p{x) = A{x), 6o^(^") '= P{x) primitive Functionen von x. Ihr Product «q h^ cp (x) i^ (x) hätte, wenn die Coefficienten y ganze Zahlen wären , den Theiler a^ &o und wäre also , wenn üq und &o nicht beide gleich 1 wären, nicht primitiv; dies aber wäre ein Widerspruch mit dem oben bewiesenen Satze. 30 Erster Abschnitt. §. 3. §. 3. Division. Es seien, wie bisher A =^ A{x) ^= a^x'" -\- a^x'"-'^ + • • • ^ ^ B = B{x) = &o ^" + &i ^"-' + • • • zwei ganze rationale Functionen von x\, es soll jetzt vorausgesetzt werden, dass m ^ n sei und dass «o und h^ von Null verschieden sind. Dann ist die Differenz (2) A — ^ x"^—B auch eine ganze rationale Function von x^ deren Grad aber kleiner ist als w, da die höchste Potenz in beiden Gliedern der Differenz denselben Coefficienten hat und also herausfällt. Wir setzen diese Differenz: (3) A' = A'(x) = «U'"' + aU'"'-^ + • • ', »i' < m. Ist nun m' noch ^ w, so können wir in (2) A' an Stelle von A setzen und dieselbe Schlussweise wiederholen. So ergiebt sich eine Kette von Gleichungen: (4) ^ öo ' A"— p. :r'«"-"5 = A"\ Oft und diese Kette lässt sich so lange fortsetzen, bis der Grad der entstandenen Function kleiner als « geworden ist. Da nun in der Reihe der Functionen A, A\ A" . . . der Grad jeder folgenden mindestens um eine Einheit erniedrigt ist, so besteht die Kette der Gleichungen (4) höchstens aus m — n -\- 1 Gliedern ; sie kann aber auch weniger Glieder enthalten, wenn sich gleich- zeitig mehrere Potenzen herausheben. Addiren wir die sämmt- lichen Gleichungen (4), bezeichnen die letzte der Functionen A, A' . . . mit C und setzen zur Abkürzung (5) Q = t" ^'"~" + T- •^'"'"" H '■ §. 3. Division. gj SO dass auch Q eine ganze rationale Function von x ist, so folgt (6) A = QB -^ C. Die hier geschilderte Operation, durch die aus ^, B die Functionen Q, C gefunden werden, heisst Division. J. ist der Dividendus, B der Divisor, C der Rest und Q der Quo- tient. Der Grad des Restes ist immer niedriger als der Grad des Divisors. Die Coefficienten der Functionen Q und C sind aus den Coefficienten a und b durch Addition, Subtraction, ^lultiplication und Theilung zusammengesetzt. Im Nenner kommen aber nur Potenzen von 60 vor, und wenn also bo = 1 ist, so sind die Coefficienten von Q und C ganze Functionen der a und b. Die höchste Potenz von b,) , die im Nenner auftreten kann , ist die (m — n -\- 1)*% da in der Kette (4) in jeder folgenden Gleichung im Nenner einmal der Factor &o hinzukommt. Es kann aber in besonderen Fällen die höchste Potenz von b^ in allen Nennern niedriger sein. Nehmen wir z. B. für Ä eine Function dritten Grades (7) f{x) = (loX-^ -f aiX'^ -^ a^x -\- a-^ und für B die sogenannte erste Derivirte von f{x), die vom zweiten Grade ist (8) f'{x) = 'iüQX'^ -(- 2«!^; -|- «2, so erhält man: no) ^ __ eooOij^-^^ . 9 «0 «3 — «1 «2 Wie man die in den Gleichungen (4) vorgeschriebene Rech- nung zweckmässig anordnet, darf hier aus den Elementen als bekannt vorausgesetzt werden. Wir machen auf die Analogie aufmerksam, die zwischen dieser Rechnung und der Division im dekadischen Zahlsystem besteht. Eine Function f{x) stellt eine dekadisch geschriebene Zahl dar, wenn die Coefficienten tto, «1 ... ganze Zahlen zwischen Null (einschliesslich) und 10 (ausschliesslich) sind, und a; = 10 gesetzt wird. Lässt man in den Coefficienten auch Zahlen zu, die grösser als 10 sind, so kann man eine Zahl auf verschiedene Arten durch f{x) dar- stellen. Man wendet dies bei dem Divisionsverfahren an, um auf 32 Erster Abschnitt. §. 4. die einfachste Weise in den Resultaten gebrochene und negative Coefticienten zu vermeiden. Ebenso wie man bei der Rechnung mit dekadischen Zahlen eine nicht aufgehende Division durch die Decimalbrüche fort- setzen kann, so kann man auch bei der Division von Functionen die Rechnung noch weiter führen. Ist nämlich jetzt 0(x') eine Function m*™ Grades nnäf(x) eine Function n^'^'' Grades, wobei über die Grössenbeziehung von m und n nichts festgesetzt werden soll, so nehme man einen beliebig hohen Exponenten v, und wende die Regel der Division durch /(ic) auf die Function x^''^(x) an. Bezeichnet man einen Rest von höchstens (n — l)*^"' Grade mit ^v(«), so ergiebt sich: (11) x'0(x) =f{x) {c„_,^_ia;'«-« + '' 4- c„_,„^'"-" + ^-i H + Cv_i} + 0,{x). Die Coefficienten c„_„i_i, Cn—m-, Cn-m + i ■ • - sind rational aus den Coefticienten von f(x) und ^(x) gebildet. Der Coeffi- cient Cx ist von der Wahl von v unabhängig, sofern nur v >» x ist. Denn wenn man in (11) f(x) = «0^" + ttiiC^-l -\- ' ' • -\- ein {x) = b^x'" + biX'"-'^ + • • • + Öm setzt, so erhält man zur successiven Berechnung der c„_„,_i, Cn-m, Cn-m + 1 • • • dic Glcicliungen ^0 ^M — m — 1 "o fic)\ 0^0 ^n — m ~T~ Ö!'! ^n — m — 1 ^-^ ^^l Oq^« — w + l |~ ^1 Cn — m ~l Oj{xl und der Grad von cp(x) kleiner als der Grad von f{x) ist; dem- nach ist (o. Fix) _ ^ , ^P(^ ^^ fix) - ^ -^ fix) ' und daraus der Satz: Jede gebrochene Function kann in die Summe aus einer ganzen und einer echt gebrochenen Function zer- legt werden. Ist n der Grad von fix)., so ist der Grad von (p ix) höchstens 11 — 1 , er kann aber auch niedriger sein ; insbesondere kann auch der Fall eintreten, dass fpix) identisch verschwindet. Dann heisst die Function Fix) durch fix) theilbar. Die Function Fix) fix) ist in diesem Falle nur scheinbar gebrochen, in Wirklichkeit der ganzen Function Q gleich. Die Formel (4) ^ = ä;'«-i -f ä;«-2 -f a;'"-3 + • kl X — 1 giebt hierfür ein einfaches Beispiel. Es ist dies die bekannte Formel für die Summe der geometrischen Progression \ -\- X -\- x''- -{-■•• -\- x"'-^. Für die Theilbarkeit von Functionen gelten dieselben Ge- setze, wie für die Theilbarkeit der Zahlen, insbesondere die folgenden : 1. Wenn die Function Fix) durch die Function fix), fix) durch eine dritte Function (p ix) theilbar ist, so ist auch Fix) durch tpix) theilbar. Denn ist F= Qf f=acp, worin Q und q ganze, rationale Functionen sind, so ist F=Qqcp, und da Q q eine ganze rationale Function ist, F durch (p theilbar. 3* 36 Erster Abschnitt. §. 5. 2. Ist F(x) durch f(x) tbeilbar und Q eine beliebige ganze rationale Function, so ist auch QF(x) durch /(a;) theilbar. 3. Ist F(x) und f(x) durch cp (x) theilbar, so ist auch F(x) + /(a;) durch q)(x) theilbar, oder allgemeiner: 4. Sind 2^1, is . , . durch /(a;) theilbar und ^j, Q-2 > • • beliebige ganze rationale Functionen, so ist auch QiFi -L- Q0F2 -\- • • • durch f(x) theilbar. Der letzte Satz umfasst die beiden vorhergehenden und wird einfach so bewiesen. Sind i^i, F2 . • . durch / theilbar, so kanu man die ganzen rationalen Functionen ^1, 0.2 •■ • so bestimmen, dass F, = OJ, F,^0J... und folglich Q.F, -\- Q,F,^ = {Q,0, + Q.2O, -\ )/ Da nun ^1 ^1 -|- ^2 ^2 + • • • ^ine ganze rationale Function ist, so ist der Satz bewiesen. 5. Jede Function ist durch sich selbst theilbar. In Bezug auf die Theilbarkeit oder Untheilbarkeit von Func- tionen wird nichts geändert, wenn die Functionen mit beliebigen, von X unabhängigen Factoren multiplicirt werden. Eine von x unabhängige, von Null verschiedene Grösse kann als Function nullten Grades aufgefasst werden. Nennen wir eine solche Grösse eine Constante, so können wir sagen: 6. Jede Function ist durch jede Constante theilbar. Wenn eine Function durch eine andere theilbar ist, so ist der Grad des Quotienten gleich der Differenz des Grades des Dividenden und des Grades des Divisors. Ersterer kann also nicht kleiner sein als letzterer. Sind die Grade gleich, so ist der Quotient eine Constante, und daraus folgt: 7. Wenn von zwei ganzen rationalen Functionen gleichen Grades die eine durch die andere theilbar ist, so unterscheiden sie sich nur durch einen con- stanten Factor von einander, und es ist auch die zweite durch die erste theilbar. 8. Nach §. 4 ist die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Function f{x) durch die lineare Function x — u theilbar ist, die, dass /(«j = 0 sei. §• 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler. 37 §• 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler. Es ist eine Aufgabe von fundamentaler Bedeutung, zu ent- scheiden, ob zwei ganze rationale Functionen ausser den Con- stanten noch einen anderen gemeinschaftlichen Theiler haben. Man tindet die Lösung durch den Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers ganz in derselben Weise, wie die entsprechende Frage in Bezug auf die Theilbarkeit ganzer Zahlen beantwortet wird. (S. die Einleitung.) Es seien (1) f(x)=Ä, cp(x)=A' zwei gegebene Functionen ; der Grad von gj (x) möge niedriger oder wenigstens nicht höher als der von f(x) sein. Wir dividiren Ä durch A' und bezeichnen den Rest, dessen Grad niedriger ist als der Grad von Ä', mit Ä'\ also: A = Q'A' + A"; nun dividiren wir A' durch A" und bezeichnen den Eest mit A'\ und fahren so fort in der Bildung der Functionenreihe : (2) A A\ A'\ A'" . . ., deren Grade w, n', n", n'" . . . immer abnehmen und folglich nach einer endlichen Anzahl von Divisionen auf Null heruntergehen. Der letzte Rest vom Grade Null, der also eine Constante ist, sei A^'\ Dann haben wir die Kette der Gleichungen: A = Q'A' -f A" A' = Q"A" -I- A'" (3) worin J.^'^ eine Constante ist. Wenn nun A^ A' irgend einen gemeinsamen Theiler haben, so ist dieser nach den Sätzen des vorigen Paragraphen, wie der Anblick der Gleichungen (3) lehrt, auch Theiler von A", A'", A"" u. s. f. bis A'-''\ Ist A^"' eine von Null verschiedene Con- stante, so kann also kein von x abhängiger Theiler von f(x) und (p(x) existiren. Solche Functionen heissen theilerfremd oder relativ prim. Man sagt auch, indem man nur die von x 38 Erster Abschnitt. §. 6. abhängigen Theiler berücksichtigt, die Functionen haben keinen gemeinsamen Theiler. Die Bedingung, dass die beiden Functionen einen gemein- samen Theiler haben, ist also: (4) A^'^ = 0. In diesem Falle ist J.^'^^^ Theiler von ä'-''~^\ wie die letzte Gleichung (3) zeigt, und nach der vorletzten dieser Gleichungen Theiler von J.^*'~^^ u. s. f., also auch Theiler von Ä und Ä\ d. h. von / und gp. Und da umgekehrt jeder gemeinsame Theiler von A, A' auch Theiler von J.^'~^^ ist, so heisst A^'^^^ der grösste gemeinsame Theiler von / und (p. Der Algorithmus (3) zeigt, dass man A''^ oder^''~^^ aus den Coefficienten von/ und cp durch die rationalen Rechenoperationen ableiten kann, und zwar so, dass immer nur durch die Coefficienten der höchsten Potenzen von x in den Functionen A, A\ A" . . ., die von Null verschieden sind, dividirt wird. Wir wollen diese Betrachtungen auf zwei Beispiele an- wenden. Es seien zunächst: .^x A = ttf^x^ -\- üiX -\- a2 ^°^ B = h^x"- 4- hoc \- &2 zwei Functionen zweiten Grades, also ao, &,j von Null ver- schieden. Der erste Schritt ist die Bildung der Gleichung (6) A = ^ B ^C, worin (7j C = CoX -{- Ci, und /ßx ^ «1 h &1 «0 «2 ^n — &2 «0 KP) Cy = T , Ci = j Co Of) Ist Co = 0, also C constant, so haben A, B nur dann einen gemeinsamen Factor, wenn auch Ci = 0 ist, und dann ist A durch B theilbar, d. h. A und B unterscheiden sich nur durch einen constanten Factor. Ist aber Cq von Null verschieden, so setzen wir die Rechnung fort, indem wir B = QC ^ n setzen, worin (nach §. 4, wenn dort « = — c^ : Co gesetzt wird) §. 6. Quadratische und cubische Function. 39 (9) D = &o Cf — h Co Ci -f h Cq . Ist D von Null verschieden, so sind J., i? ohne gemein- schaftlichen Theiler, Ist aber D = 0, so ist C der grösste ge- meinschaftliche Theiler von A und 2^. Setzt man die Werthe Cq, Cj aus (8) in (9) ein, so erhält man mit Weglassung des Nenners boC^ die Bedingung für die Existenz eines gemeinsamen Theilers C von A und B in der Form (10) a^-ftg- -|- a.ß^- — 2 ao«2^o&2 — aiCi^hoh^ — ao«i&i^2 oder (11) («0^2 — ^0«2)'- + («0^1 — «l^o) («o&i — «iZ^ä) = 0. Diese Bedingung ist auch erfüllt, wenn Co und Ci gleich Null sind, und ist also die nothwendige und hinreichende Be- dingung dafür, dass A, B einen gemeinsamen Theiler haben. Die linke Seite von (10) oder (11) heisst die Resultante der Functionen A und B. Als zweites Beispiel nehmen wir das schon im §. 3 gewählte. Setzen wir ..^. f(3o)= (lox^ -^ a^x^ -\- a^x -{- Us = A ^ ^ f'{x) = SaoX'' + 2aiX -f ag = B, und setzen a^ von Null verschieden voraus, so haben wir nach §. 3 : (13) A — QB + C, (14) C • — C{)X 1 c^, worin (15j Co — Göotta — ^af 9aoa3 — «i«2 9ao ' ^' 9ao Wenn Cq gleich Null ist, so ist hiermit der Algorithmus schon geschlossen; wenn Cj von Null verschieden ist, dann haben A und B keinen gemeinsamen Theiler; ist aber c^ auch gleich Null, so ist B selbst der grösste gemeinsame Theiler von A und B^ d. h, A ist durch B theilbar. Die Bedingungen hierfür sind also: (16) 3ao«2 — "f = 0, 9ao«3 — «i«2 = 0. Ist Co nicht gleich Null, so gehen wir einen Schritt weiter und setzen (17) B=PC-{-I), worin B constant wird und den Ausdruck erhält: ^ ^ a,c:i — 2aiCoCi + Sffpcf ^0 40 Erster Abschnitt. §• 6. Ist dieser Ausdruck von Null verschieden, so sind A und B theilerfremd, ist er gleich Null, so haben Ä und B den grössten gemeinschaftlichen Theiler C. Setzen wir für Co, c^ die Werthe (15) ein, lassen den Nenner weg, heben noch den von Null verschie- denen Factor 9ao heraus und kehren das Vorzeichen um, so erhält diese Bedingung nach einfacher Rechnung die Gestalt: (19) af«! ~\~ 18 «0^1 «2 '^3 — 4:aoa.^ — 4afa3 — 21 a^a^ = 0. Sie ist, wie man leicht durch Rechnung oder auch aus (18) sieht, auch dann erfüllt, wenn die Bedingungen (16) bestehen, und ist also die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass f{x) und f (x) einen gemeinsamen Theiler haben. Die linke Seite von (19), die eine ganze rationale und homogene Function der Coefficienten von f{x) ist, heisst die Discrimi- nante der Function /(a;). Wir leiten noch einen Satz aus dem Algorithmus (3) her, der oft angewandt wird. Aus der ersten dieser Gleichungen folgt: (20) A" = A — Q'A\ und wenn man diesen Werth von A" in die folgende Gleichung einsetzt: A'" = (1 + Q'Q")A' — Q"A. also, wenn mit p, p' ganze rationale Functionen bezeichnet werden, (21) A'" =pA +p'A'. Setzt man die Ausdrücke (20), (21) in die dritte Gleichung (3) ein, so ergiebt sich für A'" wieder ein Ausdruck von der Form (21) und so kann man fortfahren, und erhält schliesslich: (22) A^'^ = FA-{- P'A\ worin P, F' ganze rationale Functionen sind, deren Coefficienten durch rationale Rechenoperationen aus den Coefficienten von A und A' zusammengesetzt sind. Die Gleichung (22) bleibt richtig, wenn man P durch P — QA' und P' durch P' -\- QA ersetzt, worin Q eine beliebige ganze Function von x ist. Sind nun n und n' die Grade von A und A\ so kann man Q nach §. 3 so bestimmen, dass der Grad von P — QA' nicht grösser als n' — 1 wird, und dann folgt, da in (22) die höchsten Potenzen von x sich wegheben müssen, dass der Grad von P' -|- QA nicht höher als n — 2 sein kann. §.6. Producte linearer Functionen. 41 In der Formel (22) ist A^''^ eine Constante. Besonders wichtig ist dieser Satz in dem Falle, wo J.^"* von Null verschie- den, also A, A' relativ prim sind. Setzen wir in diesem Falle P = A^''^F{x), P' = A^''^ 0 (x), so können wir nach Weglassung des Factors A^*'^ dem Satze fol- genden Ausdruck geben: I. Sind f(x) und (p{x) zwei ganze Functionen ohne gemeinsamen Theiler von den Graden n und m, so kann man zwei andere ganze Functionen F{x) und 0 (x) bestimmen, deren Grade nicht höher als m — 1 und ti — 1 sind, die der Gleichung (23) F(x)f{x) -{- (I>{x)(p(x) = 1 identisch genügen. Der Satz lässt sich noch verallgemeinern. Multipliciren wir die Gleichung (23) mit einer beliebigen ganzen J'unction x(^), so folgt: (24J F(x) X {x)f(x) -i-0(x)x (x) cpix)=x (x), und nach §. 3 können wir (25) ^{x)xix) = Q(x)f{x) + i^{x) setzen, so dass Q{x), t(x) ganze Functionen von x sind, und der Grad von ip{x) kleiner ist als der von f(x). Setzen wir dies in (24) ein und setzen an Stelle von F(x) x(^) ~\~ Q (^) 9 (^) wieder F(x)^ so erhalten wir: F(x)f{x) ^(p{x)^p(x) =x(x). Wir können daher den vorigen Satz so verallgemeinern: IL Sind/(a;), q){x), x(^) gegebene ganze rationale Functionen, und/(a;) und q) (x) ohne gemein- samen Theiler, so lassen sich die ganzen rationalen Functionen F(x), ip{x) und zwar ip{x) von niedrigerem Grade als f{x) so bestimmen, dass die Gleichung (26) F(x)fix) ^^(x)(p (X) = X {X) identisch befriedigt ist. §• 7. Producte linearer Factoren. Nach §. 1 erhalten wir durch Multiplication ganzer Func- tionen ebensolche Functionen von höherem Grade, und zwar be- 42 Erster Abschnitt. §. 7. stimmt sich der Grad des Productes durch die Summe der Grade der einzelnen Factoren. Wenn wir also n lineare Factoren mit einander multi- pliciren, so entsteht eine Function wten Grades, deren ßildungs- weise wir etwas genauer untersuchen müssen. Wir wollen die linearen Factoren in der einfachen Form X — «1, a; — «2, . . ., X — «„ annehmen, und setzen, da der Coefficient der höchsten Potenz = 1 ist, (1) f{x) = (a; — «i) (x — «2) . . . (a; — «„) = a:" -|- aiic"-! + a^x'^-^ -\- • • - ün- Eine leichte Ueberlegung lässt folgendes Bildungsgesetz der Coefficienten «i, a^ . . • an erkennen: Es ist — cLi gleich der Summe «, «2 gleich der Summe der Producte von je zweien der a, — «3 die Summe der Pro- ducte von je dreien der «, allgemein ( — 1)' a,. die Summe der Producte von je v der Grössen a, oder in Formeln ausgedrückt: -|- «2 = -^ «1 ^-2 ^ ^ ( ly fl, = Z'«! «2 . . . «v ( — l)"fl„ = «iWa ...«„. Um aber noch deutlicher die Piichtigkeit dieses Bildungs- gesetzes einzusehen, bedient man sich der vollständigen In- duction. Man bestätigt die Piichtigkeit zunächst in den ersten Fällen durch wirkliche Ausführung der Multiplication {x — «1) {x — a^) = X'- — («1 -|- «2) X -\- aia.2, {x — Kj {x — «2) {x — «3) = X-' — («1 -\- «2 4- W3) a-2 -f {a^U^ + «i«3 + «2 «3) ^ — «1«2«3- W Nehmen wir die Piichtigkeit unseres Bildungsgesetzes bei — 1 Factoren als bewiesen an und setzen: {x — «1) (x — «2) ... {x — «n-i) = ^""^ + aix'"-^ -^ ••• fl».-i- so findet man durch Multiplication mit x — w„: §. 7. Producte linearer Factoren. 43 a, tti ß„ «2 a'o Cn a[ tto «3 «n ttä (3) ........ a, = a[ — «„a'v_i ^n ^« f« — li und daraus ist die Richtigkeit der Formeln (2) unmittelbar er- sichtlich. Es ist von Wichtigkeit, die Anzahl der Glieder zu bestim- men, die in jeder der Summen (2) vorkommen. Wir bezeichnen die Anzahl derTerme, die in der Summe ( — 1)'«, vorkommen, mit 5l"^; es ist die Anzahl der Combinationen ohne Wiederholung von n Elementen zur v*^° Classe (d. h. von je v verschiedenen der n Elemente). Um sie zu bestimmen, denke man sich zu- nächst die B["l.i Combinationen zur (v — 1)*«" Classe gebildet. Aus jeder dieser Combinationen kann man durch Hinzufügung je eines der fehlenden n — v -{- l Elemente n — v -\^ l Combi- nationen zur v*'^^ Classe ableiten. Auf diese Art aber wird jede Combination vmal, nämlich durch Hinzufügung jedes ihrer Ele- mente gebildet, so dass man die Relation (4) B':' = B^U ''-" + ^ V erhält, während B^i^ oöenbar denWerth n hat. Wenn man also die aus (4) folgenden Gleichungen BT' = n ßin) __ ß(n) n 1 5i"> - B':u '' multiplicirt, so folgt i' -f- 1 V . {n — V -|- 1) ^^^ -^' 1.2.3. . . V Wir werden in der Folge oft, wenn m eine beliebige positive ganze Zahl ist, das Zeichen (7j n(m) = 1 . 2 . 3 . . . m, r/(0) = 1 benutzen, so dass (8) n(ni) = mn{m — 1). 44 Erster Abschnitt. §.7. Mit Hülfe dieses Zeichens lässt sich der Ausdruck für 5l"^ übersichtlicher so darstellen: ^^^ ^' —^''-' — n{v)n{n-vy der, wenn JBo*^ = 1 gesetzt wird, auch noch für i^ = 0 und v = n gilt, und die Unveränderlichkeit von 5t"^ bei der Vertauschung von V mit n — v erkennen lässt. Das Product 77 (m) wird auch die Facultät von m genannt und mit 1 . 2 . S . . . m = m\ bezeichnet. Die Ableitung der Formel (4), die wir soeben nach den Vorschriften der Combinationslehre gegeben haben, ist zwar vollkommen richtig und einleuchtend, erfordert aber zur ge- nauen Begründung einige Ueberlegung, die sich nicht gut in kurze Worte fassen lässt. Wir wollen daher nachträglich noch durch das Mittel der vollständigen Induction die Pdchtigkeit beweisen. Die Formeln (3) geben nämlich die folgenden Recursions- formeln : 73(") T)(n — 1) X),i -Dn — 1 Nun lässt sich die Formel (6) für die ersten Werthe von n sehr leicht durch Abzählen bestätigen. Nimmt man sie für n — 1 als richtig an, so ergiebt (lOj: T.(n) _ n{n-\) n{n - 1) ' n(v) n{n — V — 1) ~^ n{v — i) 77 (w — vy woraus nach (8) _g(n) ^ 77 (w) n{v) n(n — V)' und hierdurch ist die Allgemeingültigkeit der Formel (9) bewiesen. Aus der Bedeutung von j5v'^ ergiebt sich, und wird auch aus den Formeln (10) durch vollständige Induction be'VNaesen, dass die ^1"^ positive ganze Zahlen sind. §• 8. Binomial-Coefficienten. 45 §. 8. Der binomische Lehrsatz. Wenn wir in der Formel (1) des vorigen Paragraphen die bisher willkürlichen Grössen a^, «2 . , . a„ einander gleich setzen, so erhalten wir den binomischen Lehrsatz, der in nichts Anderem besteht, als in der Ordnung der wten Potenz eines Binomiums x -\- y nach Potenzen von x. Wenn wir nämlich «1 = «0 = • • • = cin = — y setzen, so ergiebt die Formel (2) tty = (— lyUa^a-i . . . «,. = 7/5t'*\ worin nach der Definition des vorigen Paragraj^hen J5t"^ die An- zahl der Terme der Summe bedeutet, die alle einander gleich und gleich ( — !)*■ y" werden. Demnach ergiebt sich (1) (X H- yy = x- -{- B^^^x^-'^y + Bi^^ x—^f -\ f- B^:\f\ oder entwickelt geschrieben: {x -j- yY = rr" + nx^'-Uj -] \ — —^ x»-^f- -{-... -j- tß die letzte Summe über alle nicht negativen ganzzahligen Werthe et, ß erstreckt, die der Bedingung a -\- ß = n genügen. Hiernach heissen die Coefficienten B["^ die Binomial- coefficienten. Wir setzen der Uebersicht wegen eine kleine Tabelle der ersten Werthe der Binomialcoefficienten hierher: n=l 1, 1, n = 2 1, 2, 1, n = 3 L 3, 3, 1, n = 4 1, 4, 6, 4, 1, M = 5 1, 5, 10, 10, 5, 1. n — 6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, n= 1 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. 46 Erster Abschnitt. §. 8. AYir wollen unter den verschiedenen Eigenschaften der Bino- mialcoefficienten zwei ableiten, von denen wir nachher eine interessante Anwendung machen werden. Aus (1) ergeben sich, wenn man x^ y durch 1, x ersetzt, und n = 0, 1, 2, 3 • . . nimmt, die Formeln 1 = BT (2) (1 + xf = BT + BTx + Bfx^ (1 -f xr = B^"^ + B'fx -f Bf^x-^ H [- B'::^x\ Wir machen nun von der Summenformel der geometrischen Reihe Gebrauch: n -4- r^l^ + i 1 l-f-(l+^) + (l + ^j2_^ ^ (1 _^ ^)n _ Ljll^L £ die man aus §. 5 (4) erhält, wenn man dort x durch \ -\- x er- setzt. Entwickelt man hier wieder (1 -|- a^)'» + i nach der Bino- mialformel, indem man in der letzten Formel (2) n in n -{- 1 verwandelt und B'q~^' = 1 setzt, so erhält man für die rechte Seite : Vergleicht man dies mit der Summe der rechten Seiten von (2) und setzt den Vorschriften des §. 1 gemäss die Coefficienten entsprechender Potenzen von x einander gleich, so folgt: Bf + Bf -\-BT ^ h ^o" = B'^^'' ^4) BV -^Bf -^.^•^BT=B',^^'^ T>fn) -p(n + 1) oder allgemein (5) 5<;> + 5t' +^^ H h B'^T = B^^^^. Wenn man aber die Gleichungen (2j der Fteihe nach mit Bt\ -B'i\ + 1?^"^ • • ± 5ir\ multiplicirt (wo das obere Zeichen bei geradem, das untere bei ungeradem n gilt), so ergiebt die Summe der linken Seiten nach (1) BT - BT (1 + X) -^ bT{i + xy ± bT(i + ^)" = [!-(]+ X)]- = (- xy, §. 9. Interpolation. 47 S und die Gleichsetzimg der Coefficienten gleich hoher Potenzen auf der rechten und linken Seite liefert das Formelsystem 0 ^ BfB"-^ — B'VB^^ + BfB\^^ + B'^^B"^^ ^^^ 0 =- — bVb"^^ + bTb^:^'' + ^i">£l.") (6) + 1 = ± 5^r^-Bi"^- Dies Formelsystem lässt sich in umgekehrter Reihenfolge mit Benutzung der Relation B^^ = B\"Lv auch so darstellen: 1 = B^^^B'i'^ 0 = M"^5^"^ - Bf-'^B["^ (7) 0 = BfBl;'^ - B^;'-'^B["^ + b\;'-'^bP 0 = B^:^Bir' - £L'-i^^M"^ + b^^ZoPb'.^^ — + bTb'-:\ oder auch in zusammenfassender Bezeichnung: (8) k (- l)'i^,lr-v''5l"^ =1 .ti = 0 0,u = 0 /Lt = 1, 2 . . . w. §• 9- Interpolation. Wir wollen von den zuletzt gewonnenen Formeln eine An- wendung machen auf eine Aufgabe aus der Theorie der Inter- polation. Es soll eine ganze rationale Function «ten Gra- des bestimmt werden, die für n -{- \ gegebene Werthe der Veränderlichen x vorgeschriebene Werthe hat. Es handelt sich also um die Bestimmung der n + 1 Coeffi- cienten «ov «1, . . . a,j in aus den n -\- \ Gleichungen (2) /(«) = A, /K) = A,... f{u,,) = An, wenn «o, «1 • • • «n die gegebenen Werthe von ic, und Aq, A^ ... A^i die entsprechenden Werthe von f(x) sind. Die Gleichungen (2) sind ein System von Gleichungen ersten Grades für die Unbe- kannten «0, «1, • . •, «tn die sich im Allgemeinen durch Deter- minanten auflösen lassen, wie wir im nächsten Abschnitt sehen 48 Erster Abschnitt. §. 9. werden. Wir kommen später auf diese Aufgabe zurück, be- handeln sie aber jetzt unter der besonderen Voraussetzung, dass die gegebenen Werthe von x die n -\- \ ersten ganzen Zahlen 0, 1, 2, ... M seien. Die Binomialcoefficienten 5t"\ wie sie durch §. 7 (6) definirt sind, behalten ihren guten Sinn, auch wenn n keine ganze Zahl ist, wie bisher vorausgesetzt war, sondern eine beliebige veränder- liche Grösse. Es ist dann (^^ ^' - 1 .2.3...T. eine ganze rationale Function vten Grades von x i). Der Coeffi- cient von x'^ ist von Null verschieden und daher kann auch x^ ausgedrückt werden durch B^f^ und durch niedrigere Potenzen von X. Es lässt sich also auch jede ganze Function wten Grades f{x) von X linear ausdrücken durch Bt\ -Bi"^^ • . . Bn^ in der Form : (4) fix) = M, Bt^ + M, B'^' -\ h ^nBt\ worin 3Io, M^ ... Ji"„ Constanten sind, und die Function /(ic) ist bestimmt, wenn diese Constanten bestimmt sind. Es sei nun nach unserer Voraussetzung /(0),/(l),/(2) . . ./(w) gegeben; da nach (3) J5t^^ immer verschwindet, wenn x einen der Werthe 0, 1, 2, ... v — 1 hat, so ergeben sich aus (4) die fol- genden linearen Gleichungen für die Unbekannten 31: f{Q) = M,BT /(l) = Jfo5?^ + m,bT (5) /(2) = 3I,B? + 3I,Bf' + M,Bf f{n) = 3I,B':' + 3I,B[^' -j- 31,Bf' -\ \- 3InB':\ Diese Gleichungen sind nun in Bezug auf Mo, 31^ . . . 3In aufzulösen, was sehr leicht mit Hülfe der Schlussgleichungen (8) des vorigen Paragraphen geschieht. Die erste Gleichung (5) er- giebt nämlich direct (6) Mo=f(0). 1) Die Bedeutung dieser verallgemeinerten Binomialcoefficienten für die Entwickelung der Potenzen des Binoms gehört nicht hierher , sondern in die Analysis. §. 10. Interpolationsproblem. 49 Multiplicirt man die erste Gleichung (5) mit Bo\ die zweite mit — B^i^ und addirt, so erhält man nach dem erwähnten Formelsjstem (auf n = l angewandt): - M, = Bi''f{0) - B[''f{l) und so allgemein, indem man die v ersten Gleichungen (.5) der Eeihe nach mit B^o\ — B^;\ -f B'i'^ • ■ - ± B['^ multiplicirt und addirt: (7) ±M. = 5^/(0) - B^'fil) + ^^■V(2) . . . ± B':'f(v), wodurch nach (4) die Function F(x) bestimmt und die Aufgabe gelöst ist. Es ist klar, dass, so lange wir über die Werthe /(O), /(l), . . . f(n) keine besondere Voraussetzung machen, in dieser Form jede beliebige ganze rationale Function von x dargestellt werden kann. §• 10. Lösung des Interpolationsproblems durch die Differenzen. Die Definition der ganzen rationalen Function B^^^ /n 7?(^) _ ^ (^ — l) ■ ■ ' (x — V -\- l) ^^^ ^' - 1.2. '6 ...V giebt die früher schon für den speciellen Fall eines ganzen positiven x bewiesene Relation: (2) J5t" + '^ = J5t"^ + 5lli, :B|,"+" = Bi^^ = 1. Daraus erhalten wir für die Coefficienten Jio, M^ . . . Mn eine Bestimmungsweise, die für die praktische Rechnung viel be- quemer ist, als die Anwendung der Formeln des vorigen Para- graphen. Es ist nämlich nach den Formeln (4) und (6), §. 9, (3) fix) =/(0) + 3f,Bt' -f Jf^^B^^ H h -^"^ir^ und wenn wir darin x durch x -|- 1 ersetzen und die Differenz (4) Zl^=f(x-i-l)-f{x) bilden, mit Rücksicht auf (2) (.5) z/, = M, -f M,B'r' + M,B^^^ -\ h MnB^:U woraus sich ergiebt [da (5) eine Gleichung von derselben Art wie (3) ist, nur dass w — 1 an Stelle von n getreten ist]: Weber, Algebra. I. 4 50 Erster Abschnitt. M, = ^0 =/(l)-/(0). §. 11. Setzen wir 'x + l — /I, = ^; (6) ^' x-\-\ ^; = ^i ^x + 1 ^x ^x ? SO wird also hiernach Mo = /(O), 31, == z^o, M, = ^o ... Mn = ^^T und die Formel (3) ergiebt und ebenso kann man die Functionen z/^;, z/^, z/^ . . . ausdrücken: ^, = z^o + ^;^i'^ H h ^[.""'^^L^^i f(n-l) (8) ^/: (n-l) War) z/o + z/o^r^H [-^'r^s'nL Die z/^, z/' z/" . f(n-l) a:) sind ganze rationale Functionen der Grade n — 1, w — 2, ... 0, die letzte von ihnen also con- stant. Um sie alle darzustellen, braucht man nur die Werthe /(O), z/q, z^oi ^Ö'? • • • ^o^~^\ die man am leichtesten berechnet, wenn man eine Tabelle anlegt, die für den Fall n = S z. B. folgende Form haben würde: /(O) A -^;, /(l) ^1 ^1 /(2) ^2 /(3) und, wenn die /(O), /(l), . tractionen berechnet wird. gegeben sind, durch einfache Sub- §. 11. Arithmetische Reihen höherer Ordnung. Das Vorhergehende ist die Grundlage für die Theorie der arithmetischen Reihen höherer Ordnung. Wir bezeichnen mit (1) Wo, Ml, II2, «31 • . . irgend eine unendliche Reihe von Grössen und mit §• n. Aritlimetisclie Reihen. 5X (2) z/q = Ml — Mo, ^1 = «2 — Ml, ^2 = % — ^2 • . . die Reihe ihrer Diiferenzen, mit (3) z/i = ^1 — z/o, z/1 =r z/2 — ^1 . . . die Reihe ihrer zweiten Differenzen u. s. f. Es ist klar, dass die Reihe (1) vollständig bestimmt ist, wenn ihr erstes Glied und die Reihe ihrer ersten Differenzen gegeben ist; denn es ist Ml = Mo 4- ^0, ^2 = Mo -^ z/o + z/i . . ., Wm = Mo + z/o + z/i + . . • + z/,„_i. Ebenso ist die Reihe (1) völlig bestimmt, wenn die beiden ersten Glieder und die Reihe ihrer zweiten Differenzen gegeben ist u. s. f. Die Reihe (1) wird eine arithmetische Reihe wter Ordnung genannt, wenn die Reihe ihrer wten Diffe- renzen constant ist, also die Reihe der (n -\- l)ten Differenzen aus lauter Nullen besteht. Man erhält eine arithmetische Reihe wter Ordnung, wenn man in einer ganzen Function wten Grades f (x) für x die Zahlen 0, 1, 2, 3 . . . einsetzt. Denn setzt man z/, =f(xJri)-f(x) ^x '^(x + l) ^x » SO ist z/a; vom (n — l)ten, z/^ vom {n — 2)ten Grade in Bezug auf X, und also z/^""^^ constant. Ist nun eine arithmetische Reihe wter Ordnung, so ist die ganze Reihe vollständig bestimmt, wenn die n Werthe Mq, Mi, % . . . Wn-i und ausserdem die constante wte Differenz gegeben sind. Diese letztere ist aber bestimmt, wenn auch noch das (n -\- l)te Glied Un gegeben ist. Wir können also den Satz aussprechen: Eine arithmetische Reihe wter Ordnung ist voll- ständig bestimmt, wenn ihre n -\- 1 ersten Glieder gegeben sind. Da nun eine Function f{x) vom nten Grade gleichfalls durch die willkürlich gegebenen Werthe /(0),/(i),/(2), .../(n) 4* 52 Erster Abschnitt, §• H. völlig bestimmt ist, so folgt, dass aus den ganzen ratio- nalen Functionen nten Grades f{x) alle arithmeti- schen Reihen wter Ordnung erzeugt werden, wenn man darin für x die Reihe der natürlichen Zahlen setzt. Der Ausdruck des allgemeinen Gliedes ist dann durch die Formel (7) des vorigen Paragraphen gegeben. Die Summen der 7n -{- 1 ersten Glieder einer arithmetischen Reihe niev Ordnung Sm = ■l<0 + Wi + • • • + ^m bilden eine arithmetische Reihe (n -f- l)ter Ordnung, da ihre ersten Differenzen Sm -|- 1 S,n iim + 1 eine arithmetische Reihe wter Ordnung bilden. Es lässt sich also mit Hülfe der Formel (7) des §. 10 die Summe s,n allgemein bestimmen, wenn man So-, Si . . . Sn + i als bekannt annimmt. Um die erzeugende Function F(x) von s^ zu finden, wenn f(x) die erzeugende Function von u^, ist, setzt man F{0) = /(O) F(l) = /(O) -f /(l) J'X2)=/(0j+/(lJ+/(2) und hat dann in der Formel (7), §.10: F{x) = F{0) -f- Do-Bi"^ + D'oJB'^^ -^ zu setzen: Do = F{1) - F(()j =/(l), i>'o =/(2) -/(l) = z/„ A = F{2) - Fil) =/(2), D; =/(3) -/(2) = ^„ D, = F{3)-F{2)=f{S), Dl = zi, -^, =A, So erhält man: F{x) =/(o) +/(ij^i^^ 4- ^1^2^^ + ^1^3"^ H Nehmen wir z. B. f{x) = a;-', so giebt uns F{iin) die Summe der m ersten Quadratzahlen. Es ist §• 12. Der polynomische Lehrsatz. 53 also F(..) -. .. + .q^-=i) , ^ ^(^ - 1) (^ - 2) ^ 1.2 1 1.2.3 _ a;(a; 4- 1) (2^ -f 1) "~ 6 Für fix) = x^ ergiebt dieselbe Rechnung: i.(.)=p±i)y. Die Summe der m ersten Guben ist also gleich dem Quadrat der mten Trigonalzahl. Der polynomische Lehrsatz. Im §. 8 ist für den binomischen Lehrsatz die Form ab- geleitet: (1) {x-]-yy = n (n) V jjj^— ^ .^^ n(cc) n(ß) in der sich die Summe auf alle Combinationen zweier Zahlen a, ß erstreckt, deren keine negativ ist und die der Bedingung (2) a ^ ß =n genügen. Diese Form gestattet, zunächst durch Induction, eine Ver- allgemeinerung auf die wte Potenz eines Polynoms: (3) (. + , + . + ...)» = n('0°'Sn(^'^w'zf(;)...' mit der Bestimmung, dass a, /3, y . . , alle positiven oder ver- schwindenden ganzzahligen Werthe durchlaufen, die der Be- dingung (4) ci -\- ß -\- y -\- ' • • = n genügen. Um aber die Richtigkeit dieser Formel allgemein zu beweisen, nehmen wir an, sie sei bewiesen, wenn das Polynom ein Glied weniger enthält, wie sie es in der That ist, wenn das Polynom nur zwei Glieder enthält. "Wir setzen dann (5) ti = y -{- 0 -\ und wenden auf (x -\- u) die Formel (1) an, aus der sich er- giebt : 54 Erster Abschnitt. §. 1.3. a, V y.a ^v (6) ra; + 2/ -f- ^ + • . -J" = n(n) 2; n{a) n(y) mit der Beschränkung (7) u -j- V = n. Nun ist aber nach der Annahme schon bewiesen: (8) «• = ^(-) S/zrgf,;... (9) ^ 4- y H = ", und wenn dies in (6) eingesetzt wird, so ergiebt sich unmittel- bar die Formel (3), und (7) geht in (4) über. Die Coefficienten neu P(") — ^<^^) ^^^^ ^"„'?.-/-.. — j7(«^ niß) n{y) . . .' die ihrer Bedeutung nach ganze Zahlen sind, heissen die Poly- nomialcoefficienten. Beispielsweise erhält man für die dritte Potenz des Trinoms: (11) {x -^ ij -{- gy = x^ ^ iß + ^3 j^^x^y -\- Sxtß 4- 3x^2 -}- 3x3^ -\- Sy^2 -{- 3yz^ -{- 6xy0. Wenn n eine Primzahl ist, so hat in (10) der Zähler den Factor »?, während der Nenner n{a)n{ß)n{y) . . . den Factor n nur dann enthält, w^enn eine der Zahlen oc, /3, y . . . gleich n, die übrigen gleich Null sind. Es folgt hieraus, dass die Poly- nomialcoefficienten P'u,\^,y • • • alle durch n theilbar sind, mit Ausnahme der Coefficienten von x'^, if\ ^", . , . die gleich 1 sind. Von diesem wichtigen Satze werden wir später häufig Ge- brauch machen. §. 13. Derivirte Functionen. Es sei (Ij f(x) = Ooä;" J- aiic«-i -f a^x""-^ -f • • • + «n eine ganze rationale Function «ter Ordnung. Wenn wir darin x durch ein Binom x -\- y ersetzen, so können wir auf jedes einzelne Glied den binomischen Lehrsatz anwenden, und können das Ergebniss nach fallenden oder nach steigenden Potenzen von x oder von y ordnen. Wir wollen die Ordnung nach steigenden Potenzen von y ausführen. Die höchste §• 13. Derivirte Functionen. 55 Potenz von y, die vorkommt, ist die wte, und der Coefficient der nullten Potenz von y ist dieFunction/(:c) selbst, wie man erkennt, wenn man ^ = 0 setzt. Wir setzen also, indem wir die anderen Coefficienten mit f(x\ ^'^^> /"(^) •^ ^ ^' n{2y J7(3) *•• bezeichnen, (2) /(x + y) =f(x) + yf'{x) + J^ /"(x) + • . • 0, r» '^ '' Die Functionen /(x), /"(^), /'"(a;) . . . heissen die erste, zweite, dritte, . . . Derivirte oder Abgeleitete von fix). Es sind ganze Functionen von x und ß'\x) kann den Grad 71 — V nicht übersteigen, da die Summe der Exponenten von x und y in keinem Gliede den Grad n übersteigt. Die erste Derivirte, die also der Coefficient der ersten Potenz von y in der Entwickelung von f(x -\- y) nach steigenden Potenzen von y ist, erhält man durch Anwen- dung des binomischen Lehrsatzes auf (1): (3) f'{x) = waoo:"-! + {n — \)a^x''-^ + {n — 2)a.2X»-^ +... Der Hauptsatz über die derivirten Functionen ergiebt sich aus (2), wenn wir x in x -^^ z oder y m y -\~ s verwandeln: y V (4) /(^ + 2/ + ^) = S Tlfe /^n^ + ^) = 2: %7#/^K^). Bezeichnen wir mit /^'''■") (x) die fite Derivirte von /t''> (a;), so ist nach (2) (5) FK^^-^) = ^j^^F^^Kx), 0, « — V ^^^ und nach dem binomischen Satze: ^^ 77(1/) 2j n(ß) n(yy ^^^ ^' Setzen wir dies in (4) ein, so folgt: Die letzte Summe ist über alle nicht negativen Zahlen ß, y zu erstrecken, deren Summe den Grad n von f{x) nicht über- 56 Erster Abschnitt. §. 13. steigt. Dieselben Zahlencombinationen durchlaufen aber auch die Exponenten v, fi auf der linken Seite, und die Vergleichung der Coefficienten gleicher Potenzen und Producte ergiebt (nach §. 1): (8) /^.")(:r)=/'' + ^)(^), also den Satz: Die fite Derivirte von der vten Derivirten ist die (v -)- fi)te Derivirte der ursprünglichen Function. Man erhält also die sämmtlichen höheren Derivirten , indem man nach der Regel (3) aus jeder vorangehenden die erste Deri- virte bildet: / (x) = «oo;" + aia;"-^ + «a^'""" + «sic"-^ -j- • . . (9) / (x) = na^x''-^ + (n — 1) a^x"-^ -\- (n — 2) a^a^-^ -f • • /" (x) = n (n — 1) aoa;«-2 -{- (n — 1) (n — 2) a^x"-^ + • • • Eine etwas einfachere Form nehmen diese Derivirten an, wenn man sich einer anderen Bezeichnungsweise bedient, die häufig im Gebrauch und für gewisse Zwecke fast unentbehrlich ist, die wir im Anschluss hieran besprechen wollen. Es liegt wegen der Unbestimmtheit der Coefficienten tto, tti . . . ün ofi'enbar keine Beschränkung darin, wenn wir eine ganze rationale Function wten Grades so darstellen: (10) f{x) = «0^" + J5i"^aia;»-i + B^^ a^x^-^ -\ ^ a„, oder ausführlich: (11) fix) = «0«" + Ma^a;"-! -\ \. — ^ a^x*"-^ + • • • Wenn eine Function f(x) so dargestellt ist, werden wir sagen, sie sei „mit den Binomialcoefficienten geschrieben". Grössere Uebereinstimmung zeigen hierdurch bereits die Formeln (9), die dann so lauten: f{x) = «0^" + «a,a;"-i -\ ^ — ^-^ a^x''-^ + • • • ^12) = a,x-^-\-{n-\)a,x-' + (n-|)_(n-2) ^^^^_^ _^ _ _ n{n — Ij l'« 9) (^i 3") = ao^""- + (»i — 2)fliX"-2 + ^^ Y^ ^ a^x»-^ -\- §• 14. Derivirte eines Productes. 57 worin die rechten Seiten alle auch mit den Binomialcoefficienten geschrieben erscheinen. \Yir werden später den Nutzen dieser Bezeichnungsweise noch weiter kennen lernen, müssen aber schon hier hervorheben, dass die Wahl der einen oder anderen Dar- stellungsweise doch nicht ganz gleichgültig ist. die erste oft auch den Vorzug verdient. Besonders in den Fällen, wo die Coefficienten Zahlen sind und es auf das zahlentheoretische Ver- halten dieser Coefficienten ankommt, darf man nicht ausser Acht lassen, dass durch die Binomialcoefficienten ein der Sache fremdes numerisches Element eingeführt wird. Dass Gauss in der Theorie der quadratischen Formen (in den Disq. ar.) die Schreibweise mit den Binomialcoefficienten anwendet, wenn er die quadratischen Formen durch ax"^ -j- 21 xy -(- ciß darstellt, und dass diese Bezeichnung allgemein Eingang gefunden hat, hat in der Zahlentheorie zu einer unnöthigen und sehr bedauer- lichen Complication geführt. §. 14. Derivirte eines Productes. Die derivirten Functionen, die wir hier betrachtet haben, sind keine anderen als die aus der Differentialrechnung bekannten Differential quotienten ; wir haben den Begriff aber hier, wo es sich um ganze rationale Functionen handelt, ohne Anwendung der Infinitesimalrechnung gewonnen aus den Entwickelungscoeffi- cienten der Potenzen von y in der Function /(a; -|- y). Bezeichnen wir die vte Ableitung von /(a:) mit -D,/, so ist nach (2), §. 13 und daraus ergeben sich sofort die beiden Grundsätze, die sich in den Formeln (2) I).{Cf)=CD.f, (3) D,(/+g,) = z;,/+D.9 ausdrücken, worin C eine Constante, qo eine zweite ganze ratio- nale Function von x ist. Eine Verallgemeinerung der Formel (2) giebt die Darstellung der Derivirten des Productes f(p. Setzt man nämlich nach (1) abkürzend 58 Erster Abschnitt. §• 1^- fix + y) = Wo + y^ (X) - A, j,j~^ + ^-2 j,j^-^ + • • • + ^„ ^,^ , wegen (3) die Eigenschaft, für a; = a^ in Av überzugehen, und es ist also eine ganze Function (n — l)ten Grades (p(x) dar- gestellt, die für n Werthe von x gegebene Werthe annimmt, wie 60 Erster Abschnitt. §. 15. in §. 9. Für besondere Werthe der Ä^ und a, kann der Grad von q) (x) auch noch niedriger werden. Die Formel (4) ist die Interpolationsformel von Lagrange. Sie lässt sich nach (2) auch so darstellen: f{x) ix-a,)f\u,)^ (x — a,)f'(a,) ' ' (^_«„)/'(«„)' und hierin kann cp{x) jede beliebige ganze Function (n — Ijten oder auch niedrigeren Grades bedeuten. Ist 0(x) eine Function von höherem als (n — l)ten Grade, so kann man nach §. 3: (6) 0{x) = Qf(x)-^ 0 ist. Aber auch für m = 0 ergiebt sich (9) in diesem Falle aus der Formel (5), die für (p{x) = x, «j = 0 so lautet: -T ' ■ • -r was für X = 0 wieder die Formel (9) ergiebt. Wir haben bei diesen Betrachtungen ausdrücklich ange- nommen, dass die Grössen «i, Wj, . . ., a„ von einander ver- schieden sind ; anderenfalls würden einige der Grössen /' (wi), /'(«,), • . ., /'(o'n) verschwinden. Verstehen wir aber allge- meiner unter f(x) ein Product aus Potenzen von einander ver- schiedener Linearfactoren der Form x — w, und unter 0(x) eine beliebige ganze Function, so lässt sich auch jetzt noch die ge- brochene Function C>(x) '. f(x) in eine ganze Function und eine Summe von Partialbrüchen zerlegen, wenn wir allge- meiner unter Partialbrüchen Brüche verstehen, die einen Constanten Zähler und eine Potenz des Binoms {x — u) im Nenner enthalten. Um dies durch vollständige Induction nachzuweisen, setzen wir (11) /(^) = (^-«)Vi(^) und verstehen unter /j {x) ein Product aus Potenzen von Linear- factoren, unter denen x — a nicht mehr vorkommt. Nun lässt sich nach §. .5 die Constante A so bestimmen, dass (12) Q {x) — Af, {x) = (X - a) 0, (x) durch (x — cc) theilbar wird. Es ist nur ZU setzen, und dann ergiebt sich aus (11) und (12): ^ ^ f{x) (:c-«)Vi(«)'^(^-«)"-Vi(^) Auf den zweiten Bruch auf der rechten Seite dieser Formel, der den Factor {x — «) einmal weniger im Nenner enthält, als der ursprünglich gegebene Bruch ^{x) :f{x), lässt sich dasselbe Verfahren wieder anwenden, und damit kann man so lange fortfahren, bis die gewünschte Darstellung durch Partialbrüche erreicht ist. 62 Erster Abschnitt. §. 16. §• 16- Entwickelung einer gebrochenen Function nach fallenden Potenzen der Variablen. Wir haben im §. 3 für einen beliebigen positiven Expo- nenten V die Formel abgeleitet: (1) x'0{x) =f(x) {c„_,„_ia;'«-« + ^' + Cn-,nX-'-^ + '-^ worin /, 0, 0i ganze Functionen von x der Grade n, w, n — 1 waren, und worin die c und ebenso die Coefficienten von Qi rational aus denen von / und von 0 abgeleitet sind. Dividirt man diese Formel durch x^f(x), so folgt: 0(x) fO^ /^ 'T"' — n I /o /)^jn — n — 1 yaj j, On — »n — X '^ ^^ <-^n — m -^ Der ins Unbestimmte fortgesetzte Theil dieses Ausdrucks heisst die Entwickelung des Bruches 0{x):f{x) nach fal- lenden Potenzen von x und die Cj die Entwickelungscoeffi- cienten. Das weggelassene Glied x—'Oy{x):f{x) heisst der Rest. Mit welchem Piechte man unter Umständen die Entwicke- lung für die Function selbst setzen kann, ist eine Frage, die in die Analysis gehört, auf die wir hier nicht einzugehen brauchen. Wenn Q(x):f{x) eine echt gebrochene Function ist, so enthält die Entwickelung nach fallenden Potenzen nur negative Exponenten von x. Ist aber 0 : f unecht gebrochen, so scheidet sich noch eine ganze Function oder eine Constante ab. Der Theil mit negativen Potenzen ^4-£i I £i I X ' X' ' X'^ ist der wichtigste: Er ist für alle Functionen 0 derselbe, die bei der Theilung durch / denselben Ptest geben. Die Entwickelung (2) ist in dem Sinne eindeutig bestimmt, dasSj wenn wir einen Ausdruck von der Form annehmen: §. 16. Entwickelung einer gebrochenen Function etc. G3 (4) J^J = c'n-m-lX^-^ ^ Cn_„,X-'-n-l und nur voraussetzen , dass in der gebrochenen Function Si der Grad des Nenners höher sei als der Grad des Zählers, dann nothwendig (5) d = d, Sl = — ^ sein muss. Es folgt nämlich zunächst aus der Annahme (4) durch Multiplication mit x*f{x), dass Sif{x) eine ganze Function von X ist, deren Grad also nach unserer Annahme höchstens = n — 1 ist, und dann werden die c'i durch Vergleichung mit der Formel (1) den d gleich gefunden, was dann für' Sl den Aus- druck (5) nach sich zieht. Daraus folgt weiter, dass man die Entwickelungscoefficienten für die Summe von zwei oder mehr gebrochenen Functionen er- hält, wenn man die entsprechenden Coefficienten der einzelnen Summanden addirt, und dass man die Entwickelung eines Pro- ductes zweier Functionen dadurch bilden kann, dass man hin- länglich weit fortgesetzte Stücke der Entwickelungen der ein- zelnen Factoren mit einander multiplicirt, und das Ergebniss wieder nach absteigenden Potenzen der Variablen ordnet. Hier- bei kann man einfach die Ptegel der Multiplication (§. 1) auf ganze Functionen von 1 : x anwenden. Für den einfachen Bruch 1 X — « ergiebt sich die Entwickelung — — — ~~j — — I — — ] — • o • **/ **/ *A/ «A/ wie man leicht aus §. 3, (12) findet, und daraus, wenn man einen nach §. 15, (8) in Partialbrüche zerlegten Bruch hat: ^(^^ _ n i *^^«i) I ^ K) 7777 — Vi- .//„ u^ ^ -r Ji^) /'(«lj(^— «l) /'(«2)(^ — «2) "^ r f(^a„)(x — a„y für die Coefficienten Cq, Cj, Cg . . . die folgenden Ausdrücke: worin sich das Summenzeichen auf a^, «25 • • •? ^^n erstreckt. C4 Erster Abschnitt. §. 17, Nehmen wir insbesondere 0 (x) = f (x) an , so werden die Grössen Co, c^, C2 • • • identisch mit den Summen der Potenz der a: . . (6) Co = n, Cy = Zai, c.2 = 2^«,?, . . - §• 17. Ganze Functionen mehrerer Veränderlichen: Formen. Wir haben bisher vorzugsweise die ganzen rationalen Func- tionen von einer Veränderlichen betrachtet; wir können uns aber nicht immer darauf beschränken und haben ja auch schon oben Functionen mehrerer Veränderlichen benutzt. Unter einer ganzen rationalen Function nten Grades mehrerer Veränderlichen F{x^ y, z, . . .) verstehen wir eine Summe von Gliedern: 2;j.„,^,j,... X" if zy . . ., worin «, /3, y , . . ganzzahlige, nicht negative Exponenten sind, deren Summe a -j- /3 -{- y -}- • • • den Werth n nicht übersteigt, und wenigstens in einem Gliede auch wirklich erreicht. Der Grad wird also bestimmt durch den grössten Werth, den die Summe « -j- /3 -j- y -f- • • • annimmt. Die Au,^,-,... können be- liebisce Grössen darstellen und heissen die Coefficienten. Wenn die Summe der Exponenten a -{- /3 -|- y -j- • • • in allen Gliedern denselben Werth hat, so heisst die Function homogen. Eine fundamentale Eigenschaft der homogenen Func- tionen »zten Grades ist die, dass, wenn alle Va- riablen mit demselben Factor vervielfältigt wer- den, der Erfolg derselbe ist, wie wenn die Function mit der 7iten Potenz vervielfältigt wird; in Zeichen, wenn t eine beliebige Veränderliche bedeutet: (1) F{tx, ty, tz . . .) = t"F(x, y,z.. .); denn ersetzt man in dem Product x" y^ z'' . . . die Variablen durch tx, ty, tz, . . ., so erhält es den Factor hat nun a -{- ß -\- y -\- • - • in allen Gliedern denselben Werth n, so kann der Factor i" vor die Summe F herausgenommen werden. Hat aber die Summe a -\- ß -\- y -i- - • - in den ein- zelnen Gliedern verschiedene Werthe, so kann ein solcher ge- meinschaftlicher Factor nicht herausgenommen werden, wenig- §. 17. Formen. ß5 stens nicht, ohne dass noch verschiedene Potenzen von t in den einzelnen Gliedern bleiben. Durch Vermehrung der Veränderlichen kann man jede nicht homogene Function in eine homogene von gleichem Grade verwandeln. Ist nämlich m — 1 die Anzahl der Variablen in einer nicht homogenen Function w*^'^ Grades, so setzen wir .z;, X.2 x^ X = — 1 ^= — , 2 = ^- • • -. und erhalten in X. n TP ( "^l '^2 •^;'. \ »i J^ \ ? 1 • • • I \Xffi X,fi Xfn / eine ganze homogene Function wten Grades der Variablen Xi, x^ . . . a?„„ die wir mit ^ (^n x=i . . . x„i) bezeichnen. Es empfiehlt sich bisweilen, die homogenen Functionen meh- rerer Variablen mit den Polynomialcoefficienten zu schreiben. Wir setzen daher (2) O (x^, X2 . . . Xr,^) — 2u j7(«ij ii(«2) . • • ^K) ^"'' "-••"- ^' ^' • • ■ ^- wo sich die Summe auf alle nicht negativen, der Bedingung (3) «1 + «2 + • • • + '^'« "= ''^ genügenden Zahlen erstreckt. Diese Bezeichnungsweise, ohne die Beschränkung (3), ist auch auf nicht homogene Functionen an- wendbar. Man kann aber die homogene Function auch so darstellen: worin jeder der Indices Vj, v^ . . . Vn von den übrigen unabhängig die Werthreihe 1 , 2 . . . »w zu durchlaufen hat. Die Summe (4) besteht also aus m" Gliedern, die aber nicht alle von einander verschieden sind. Das Product Xy^ Xy^. . , Xy^ bleibt nämlich un- geändert, wenn die Indices v^, v^ . . • v« beliebig unter einander permutirt werden. Die Anzahl der Permutationen von n Ele- menten beträgt aber 71 (wj. Sind unter diesen Elementen je Weber, Algebra. L 5 66 Erster Abschnitt. §. 17. Kj. «2 . . . einander gleich, so reducirt sich die Zahl der Permu- tationen auf n in) J7(a,)77(a,j . . .' woraus sich ergieht. dass in (4) irgend ein Product x"^xl^ . . . genau n(n) mal vorkommt. Setzt man also noch fest, dass Äy^^ v.2 . . . r„ sich nicht ändern soll, wenn die Indices beliebig permutirt werden, so erweisen sich die Bezeichnungsweisen (2j und (4) als iden- tisch, wenn durch Zusammenfassen gleicher Factoren rp /v^ /y nr^\ 0^^2 ^ 'i ''2 ■ ■ ■ n 1 2 • • • "' und -4,1, ip . . . r„ = -^«1, Cj . . . a„j gesetzt wird. Bezeichnen wir die Anzahl der Glieder, die in der Function CD [nach (2)] auftreten, mit (w, >?), so findet man, indem man zu- nächst die Glieder zählt, die den Praetor x-^ haben und dann die übrigen, die eine homogene Function «ter Ordnung von den übrigen m — 1 Variablen bilden, die Recursionsformel: (5) (w, n) = (m, n — 1) -f- {m — 1, n), mit deren Hülfe man durch vollständige Induction den Ausdruck: (a, A„ ,,^ _ ^» 0^^ -r 1) • • • 0'^ -r » — 1) _ -^ i^^ + ^? — 1) ^bj Kin.n)— 1.2...W "" 77(«) i7(m — Ij' der sowohl für n = \ als für m = 1 richtig ist, als allgemein gültig erkennt. Die ganzen homogenen Functionen werden auch Formen genannt. Man unterscheidet nach der Anzahl der Variablen unäre (einfache Potenzen), binäre, ternäre, quaternäre Formen. Die binären Formen sind es, die uns hier besonders interessiren , deren Theorie im Wesentlichen identisch ist mit der Theorie der ganzen rationalen Functionen einer Veränder- lichen. Man gelangt von den binären Formen zu diesen Func- tionen zurück, wenn man eine der homogenen Variablen als con- stant ansieht, z. B. ihr den Werth 1 giebt. §• 18. Kationale Functionen. 67 §• 18. Die Derivirten von Functionen mehrerer Variablen. Wir haben im §. 13 die derivirten Functionen einer ganzen rationalen Function einer Veränderlichen definirt. Der Begriff lässt sich unmittelbar übertragen auf Functionen mehrerer Variablen, indem man die Ableitungen in Bezug auf jede Variable für sich, als ob sie die einzige wäre, bildet. So erhält man, wenn man etwa wie in §. 17 (1) F(x, y,z...) = 2JÄa, ß,y... x"yi^sY . . . setzt, die erste Derivirte nach x: (2) F' (x) = EaA,, ^, , . . . x"~^ ifzr . . .. oder nach y: (3) F'iy) = UßA., ,,, y . . . x">/^-^zy . . . u. s. f. Aus diesen Functionen kann man nach denselben Regeln wieder die Ableitungen nach den verschiedenen Variablen bilden und erhält so die höheren Ableitungen. Um die Resultate übersichtlicher darzustellen, sei 0(;ri, x^... x^) eine ganze rationale Function wter Ordnung der m Veränderlichen Xi, x^ ... Xm- Wir ersetzen diese Veränderlichen durch Binome: •^l 1 feil ^2 ~T~ =25 • • -5 ^in ~\~ fem und entwickeln in jedem Gliede der Function ^ (^1 + fei, ^2 + ^2, • . ., ^m + Im) = ^ (« + |) durch Ausführung der Multiijlication {Xi 4- I,)"' {x, + la)«^ ...{Xm-{- U"«. nach Potenzen von |i , I2 • • • Im- Fassen wir gleiche Potenzen und Producte der Variablen | je in ein Glied zusammen, so ergiebt sich in der Bezeichnung (2) §. 17 für 1>{x -j- |) eine Darstellung, die in der Differentialrechnung die Taylor 'sehe Entwickelung heisst: Die Coefficienten, die wir mit bezeichnen, sind Functionen der Variablen x und heissen, wenn 5* ßg Erster Abschnitt. §• 18. «^ _|_ c/,2 -|- • • • -|- u,n = V ist, die Derivirten vier Ordnung der Function ^. Man stellt sie auch nach der in der Differentialrechnung gebräuchlichen Bezeichnungsweise so dar: (5) I)u„a^...a^^ = -cXi"^dXl^...dxy Das Bildungsgesetz der Derivirten lässt sich in folgende Sätze zusammenfassen, wobei wir der Kürze wegen die Indices bei dem Zeichen D weglassen. L Ist C eine Constante, so ist I){C<^) = GBO. II. Sind ^ und 'F irgend zwei Functionen, so ist 2)(0 _j- w) = DO -\- LW. Beides folgt unmittelbar aus (4). Wir können also leicht die derivirten Functionen allgemein bilden, wenn wir sie für den speci eilen Fall kennen, in dem ^ ein Product von Potenzen ist, also wenn wir -L^a^. c... .a^ \^l -^2 • • ' • m J kennen, worin die ^ beliebige, nicht negative Exponenten sind. Nun ist aber (X. + ; )"■ = S Ji(..jfli.". - %) «''^''"°' und folglich: (6) (^1 + ll)"^ • • • (^m + lm)"m vT^ ^' bl • • • 6>n } ^ 2^ n (ui — «!_).. . J7(fim — «„,) 77 («i) ... 77 («„,) und es ergiebt also die Vergleichung mit (4) und (6): V. 0 -Lfui . . . a„i V'^l • • • '^m ) 77(f^i) . ■ . 77 (.»„.) _ /n.-«m 77 (uj — «j) . . . 77(iLi„, — K,„) 1 so lange «i ^ i^i . . • «,„ ^ ji„,. Dagegen ist (8) D«! . . . a,„ fe'' • . . ^m") = ^' sobald einer der Indices « grösser ist als der entsprechende Exponent fi. §• 18. Rationale Functionen. 69 Bezeichnen wir nun mit ßi, ßz . . . ß,» ein zweites System von Indices, und bilden von der Function (7) die Ableitung •^^1' ßi- ■ • ßmi so ergiebt sich durch nochmalige Anwendung der- selben Formeln (7) und (8): (9) ^ß. . . . (^m ^"i . • • «„. fc'^ . . ^^) = i^s + «I . . . ^. + "^ fev . . ^rr), und daraus folgt nach II. die allgemeine Gültigkeit des Satzes: was eine Verallgemeinerung des Satzes (8), §. 13 ist, und man kann also die höheren Derivirten durch fortgesetzte Ableitung der niederen bilden. Für die ersten Derivirten einer Function <& A, 0 . . . 0 ^, Do, 1 . . . 0 ^, . . . i>o, 0 . . 1 ^ brauchen wir auch die kürzeren Zeichen ebenso für die zweiten i^2, 0 ... 0, -Dl, 1 ... 0, . . die Zeichen ^"{x„ Xi), ^"(^1, X2) = <^"{X2, x,l . . . Auch diese Bezeichnung lässt sich verallgemeinem und würde zu einem der Formel (4), §.17 entsprechenden Ausdruck führen. Alles dies behält seine Gültigkeit, mag die Function 0 homogen sein oder nicht. Wir erwähnen des häufigen Gebrauches wegen die Formeln für die quadratischen Formen besonders. Setzen wir (10) 0{X) = Züi^T^Xi Xk, worin i, Tc von einander unabhängig die Reihe der Zahlen 1, 2 . . . m durchlaufen und a,-, k = ciu, » ist, so ist (11) V2 ^' (^2) = «2, X a^i + a2, 2 3^2 + • • • + a2,mOC„ 72^ (Xm) ^= ttm, 1^1 ~I Cfm, 2^2 "T" ' ' ' l ^m,mXmf und wir setzen noch (12) 0{x, Ij = 0(|, a) = 2:^i0'(Xi] = Zxi0'ili). Dann ist (13) 0{x + ^j = 0(x) + 0iX., ^) + 0(1). 70 Erster Abschnitt. §• 19. Die Function 0{x, 'S,} wird die Polare von 0 genannt. Sie ist linear und homogen sowohl in Beziehung auf die x^ wie in Beziehung auf die |. Sie kann ausgedrückt werden durch (14) ^{x,^) = 2Zai^^iX^ und genügt der Bedingung (15) ^{x,x) = 10{x). §. 19. Das Euler'sche Theorem über homogene Functionen. Aus den vorstehenden Entwickelungen lässt sich mit Leich- tigkeit ein Fundamentalsatz über homogene Functionen her- leiten, der von Euler entdeckt und nach ihm benannt ist. Wir erhalten ihn am einfachsten aus der Formel (4) des vorigen Paragraphen, wenn wir darin 0 als homogene Function annehmen. Ist dann t eine beliebige Veränderliche und so ergiebt die Fundamentalformel §.17 (1) für die homogenen Functionen (2) a + tY^(x^ - V ^rA^2):i^^(^^>«)-'>^ j) ^ Wendet man auf der linken Seite von (2) den binomischen Satz an, und setzt dann die Coefficienten gleich hoher Potenzen von t beiderseits einander gleich, so ergiebt sich für jedes n(n) . (3) jj, ^^ ^(■^i, X2 . . . Xm) ^^ 77(aJ 77(«.j...77(cc,„) ^ 2 ,„ worin sich die Summe auf alle der Bedingung (4) «1 + «2 + • • • + «m = '^ genügenden Werthsysteme der a erstreckt. In dieser Form ist das zu erweisende Theorem in seiner Allgemeinheit enthalten. Für den besonderen Fall v = l erhalten wir die Formel (.5) n0{Xi, a^a . . . ^,«) = oc^ CD' (x^) -j- x^ 0' (^2) + • • • ^m ^'{x,n). §. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 71 wovon die Formel (15) des vorigen Paragraphen ein specieller Fall ist, und für v = 2: (6) n(n — 1) (Xi, x^ . . . x,n) = 2J Xi Xk ^"(Xi,Xu), worin die Summe von i = l bis i = m und von Je = 1 bis Je = m zu erstrecken ist, so dass jedes Glied mit ungleichen ^■, Je zweimal in der Summe auftritt. Setzen wir, wenn die a der Bedingung (4) unterworfen sind (7) ^.(1, x) = ^ l^ J^ ■'■\ D«.,.,...«^ ^, li(ai) n{a.2) . . . n(ci,n) so ist nach (4) des §. 18: (8) 0{x + I) = <^(x) + 0, (;r,|) + ^,(a:,|) H h ^n(^,|), und da die linke Seite ungeändert bleibt, wenn x mit | ver- tauscht wird, so ergiebt sich die Relation: (9) ^„-v (X, I) = 0», (I, X), also insbesondere (10) On{x.^) = Oa). Die Function Qv (x, |) wird, als Function von x betrachtet, die vte Polare der Function ^ für das Werthsystem ^ genannt. Wir wollen die Formel (3) noch für den Fall einer binären Form (m = 2) specialisiren. Wir bezeichnen die Variablen mit a;, y und setzen zur Abkürzung O (x, y) = u, JDh, y-h 0 = Uh und erhalten aus (4) ni>> n[n - v) ff n{ji)n{v - ji) ^'"^ ^ ' worin v jeden beliebigen Werth, der nicht grösser als n ist, annehmen kann. §• 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. Das Product von ganzen Functionen ist wieder eine ganze Function, die, wenn die Factoren von Null verschieden sind, selbst von Null verschieden ist (§. 2), und deren Grad gleich 72 Erster Abschnitt. §. 20. der Summe der Grade der Factoren ist. Dies ist zunächst evi- dent, wenn die Factoren, und folglich auch das Product, homo- gene Functionen sind, und es folgt dann allgemein aus der Bemerkung, dass sich jede nicht homogene ganze Function in eine Summe von homogenen Functionen verschiedener Grade zer- legen lässt, deren höchster den Grad der Function bestimmt. Wir haben nun unter den ganzen Functionen solche zu unterscheiden, die als Producte von zwei oder mehr ganzen Functionen, deren keine vom nullten Grade (also constant) ist, dargestellt werden können, und solche, bei denen dies nicht mög- lich ist. Die ersten heissen zerlegbar, die anderen unzer- legbar. Wenn eine ganze Function zerlegbar ist, so ist der Grad jedes der Factoren niedriger als der Grad der Function selbst. Eine lineare Function ist also immer unzerlegbar, und jede ganze Function lässt sich in eine endliche Zahl unzer- legbarer Factoren zerlegen. Wir nennen eine ganze Function W durch eine andere tv theilbar, wenn eine dritte ganze Function (oder auch eine Con- stante) w' existirt, so dass W = ww' ist. Daraus folgt dann, dass, wenn ü eine durch w theilbare und V eine beliebige ganze Function ist, auch das Product UV durch IV theilbar ist, und dass, wenn U, TJ\ U" . . . durch lo theilbare, F, F', V" . . . beliebige ganze rationale Functionen sind, auch UV + U'V -\- Ü"V" ^ durch w theilbar ist. Ist W durch w theilbar, so sagt man auch, w geht in TFauf. Zwei ganze rationale Functionen ?7, F, die nicht durch eine und dieselbe ganze rationale Function theilbar sind, heissen relativ prim oder theilerfremd. Wir beweisen den Satz: I. Sind C/, F, v ganze Functionen irgend welcher Veränderlichen, sind U und v relativ prim und U^F durch V theilbar, so ist F durch v theilbar. Dieser Satz entspricht genau einem bekannten Fundamental- satz aus der Lehre von den ganzen Zahlen, dass nämlich, wenn ein Product von zwei ganzen Zahlen durch eine dritte ganze §.20. Zerlegbare und unzerlegbare Fuuctionen. 73 Zahl theilbar ist, die zu dem einen Factor theilerfremd ist, der andere Factor durch diese Zahl theilbar sein muss. Wir beweisen ihn durch vollständige Induction. Sind U^V v nur von einer Veränderlichen x abhängig, so ist der Satz richtig; denn nach §. 6 (Satz I) kann man in diesem Falle, wenn U und V relativ prim sind, zwei andere ganze Functionen P und P von X so bestimmen, dass PU^ pv =1, woraus durch Multiplication mit V pur-^pVv = V folgt, und daraus ersieht man, dass, wenn IJV durch v theilbar ist, auch V durch v theilbar sein muss. Wir nehmen also an, der Satz, den wir beweisen wollen, sei für Functionen von w und weniger Veränderlichen bewiesen, und wir leiten daraus seine Richtigkeit für Functionen von w -j- 1 Veränderlichen ab. Dazu ist erforderlich, dass wir aus dem als richtig voraus- gesetzten Theorem I. einige Folgerungen ziehen, als deren Schluss sich dann die Gültigkeit des Theorems für die nächst höhere Variablenzahl ergiebt. Ist V eine unzerlegbare Function, so ist eine andere Func- tion ü derselben Veränderlichen entweder relativ prim zu v oder durch V theilbar. Daraus folgt nach I. , dass ein Product von zwei Functionen U V nur dann durch v theilbar sein kann, wenn einer der beiden Factoren durch v theilbar ist. Dasselbe gilt für ein Product von mehreren Functionen, und so folgt aus I. das Theorem: IL Ein Product aus mehreren ganzen Functionen ist nur dann durch eine unzerlegbare Function v theilbar, wenn wenigstens einer der Factoren des Productes durch v theilbar ist. Wenn eine ganze rationale Function U auf zwei Arten in unzerlegbare Factoren zerlegt ist, U = vv' v" ' ' ■ = w iv' iv" . . .^ so muss nach II. wenigstens einer der Factoren v, v\ v" . . . durch w theilbar sein, also etwa v. Dann aber kann, da auch V unzerlegbar ist, v von iv nur durch einen constanten Factor verschieden sein. 74 Erster Abschnitt. §. 20. Demnach ist, wenn c dieser constante Factor ist, cv'v" • . 4 = iv' ic" . . ., woraus folgt, dass eine der Functionen v\ v" . . ., etwa v'. durch tv' theilbar ist, und sich also von tu' nur durch einen constanten Factor unterscheidet u. s. f. Wir erhalten also als zweite Folgerung aus dem Theorem I: III. Eine ganze Function kann, von constanten Fac- toren abgesehen, nur auf eine Art in unzerleg- bare Factoren zerlegt werden. Hieraus ergiebt sich der Begriff des grössten gemein- schaftlichen Theilers von zwei oder mehr ganzen rationalen Functionen Z7, F. . . Man versteht darunter das Product aller unzerlegbaren Factoren, die in den Zerlegungen jeder der Func- tionen f/, F. . . vorkommen, oder die Function möglichst hohen Grades, die in allen Functionen U, V. . . aufgeht. Nach III. ist diese Function, von einem constanten Factor abgesehen, für jedes Functionen System ü, V. . . vollständig bestimmt. Mehrere Functionen C/, F, W . . . heissen relativ prim, wenn keine zwei von ihnen einen gemeinsamen Theiler haben. ■ Alle diese Definitionen und Sätze sind genau analog mit sehr bekannten Sätzen der elementaren Zahlenlehre, die dort als Folgerungen des Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers auftreten, nur dass hier die unzerlegbaren Functionen die Ptolle der Primzahlen übernehmen. Wir führen noch einen solchen Satz an: IV. Sind M, V relativ prim und Uu, üv durch iv theil- bar, so ist ü durch w theilbar. Denn zerlegt man die ganzen rationalen Functionen C/, m, v,w in ihre unzerlegbaren Factoren, so muss irgend ein Factor von w, da er nicht in u und v zugleich vorkommen kann, in U auf- gehen. Hebt man ihn aus ü und iv weg, so kann man ebenso für einen nächsten Factor von tv schliessen u. s. f. Wir betrachten nun ganze rationale Functionen einer Ver- änderlichen t fit) = Uj"^ + Ml f^-i -I \- U,n-i t + M,„, deren Coefficienten ganze rationale Functionen von n Veränder- lichen X sind, von denen t unabhängig ist. Sind die Coefficienten tfo, "i • • . Um ohne gemeinsamen §. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 75 Theiler, so heisst f{t) primitiv, im anderen Falle wird der grösste gemeinschaftliche Theiler der Coefficienten «to, Wi . . . Um der Theiler der Function /(^) genannt (vergl. §. 2). Wir schliessen, immer unter Voraussetzung der Gültigkeit von I: V. Das Product von zwei primitiven Functionen f{t) und (p{t) ist wieder eine primitive Function und der Theiler eines Productes zweier imprimitiver Functionen ist gleich dem Product der Theiler beider Factoren. Der Beweis ist ganz so wie für den entsprechenden Satz in §. 2. Es seien zwei primitive Functionen und (2) F{t) = ü,t'-+^ + c/,<»^+."-i H \- r„^^, ihr Product. Es ist dann, wenn r und s irgend zwei Ziffern aus den Reihen 0, 1 . . . m, und 0, 1, 2 ... /u- bedeuten (§. 2) (3) Ur + a = llrVs + ^r-l l's + 1 + • • • Wenn nun tv irgend eine unzerlegbare Function ist, die weder in allen Ur noch in allen Vg aufgeht, so wählen wir in (3) r und s so, dass Ur das erste nicht durch w theilbare u ist, also Ur-i, Ur-2 . . • durch IV theilbar sind, und dass ebenso Vs das erste, nicht durch ic theilbare v wird. Dann kann auch Lv + s nicht durch iv theilbar sein, weil alle Glieder, mit Ausnahme des ersten, durch iv theilbar sind, d. h. F{t) ist primitiv. Daraus folgt unmittelbar, wenn p und q irgend welche ganze rationale Functionen der x sind, dass j)q der Theiler des Pro- ductes der beiden im primitiven Functionen pf{t), ? "JP (0 i^^j ^l^o der zweite Theil des Satzes V. Daraus folgt weiter: VI. Wenn eine ganze rationale Function F (t) der n -\- 1 Variablen x und t in zwei Factoren zer- legbar ist, die in Bezug auf t ganz, in Bezug auf die X wenigstens rational sind, so ist sie auch in zwei Functionen zerlegbar, die in x und t ganz und rational sind. 76 Erster Abschnitt. §. 20. Denn nach der Voraussetzung giebt es eine ganze rationale Function to der x allein und zwei ganze rationale Functionen der X und t, f^ (t), (p^ (i), so dass •^^(0--/i(09'i(0, und nach V. muss w in dem Product der Theiler von /^ {t) und 9)1 {t) aufgehen, so dass wir auch F{t)=f{t)cp(t) erhalten, worin f{t), cp {t) gleichfalls ganze rationale Functionen von X und f, und zwar in Bezug auf t von demselben Grade wie /i (t) und (pi (t) sind, w. z. b. w. — Hieraus schliessen wir weiter, dass zwei Functionen i^(^), /(^), die als ganze rationale Functionen der n -\- 1 Veränderlichen x und t betrachtet, in dem oben defi- nirten Sinne relativ prim sind, sich auch, als Functionen von t allein betrachtet, und nach dem Algorithmus des grössten gemein- schaftlichen Theilers behandelt (§. 6), als relativ prim erweisen müssen. Denn wenn sie einen gemeinsamen Theiler hätten, der in Bezug auf t ganz, in Bezug auf die x gebrochen wäre, so liesse sich eine ganze Function T von x und t und eine ganze Function P der x allein so bestimmen, dass FF{f) = TF,{t\ Pfit) = Tf,(t) wäre, worin i^i, fi ganze Functionen ohne gemeinsamen Theiler sind. Wenn also Pj, pi, 31 die Theiler der Functionen Pi (^), /i (f), T sind, so sind P^ und p-^ relativ prim, und P^ 31 und p^ 31 sind durch P theilbar, also ist nach IV. auch 31 durch P theilbar; mithin sind F{t) und f(t) durch die ganze Function T: P theilbar, also nicht relativ prim, wie doch vorausgesetzt war. Es ergiebt sich also nach §. 6, dass sich zwei ganze Func- tionen Q, q von x und t und eine ganze Function X von den X allein so bestimmen lässt, dass die Identität (4) QF{t)-{-qf{t)=X besteht. Ist nun 0(t) eine weitere ganze Function von x und t, so folgt aus (4) durch Multiplication mit ^{t) Q0it) F{t) + qO{t)f{t) = XO{t). und wenn also 0(t) F(t) durch f{t) theilbar ist, so ist auch XQ(t) durch /(fj theilbar. Demnach können wir, wenn (p(t) und il){t) wieder zwei ganze Functionen von x und t bedeuten, setzen: §. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 77 ... XO{t) = cp{t)f{t) Multiplicirt man die zweite dieser Gleichungen mit X und setzt aus der ersten für XO{t) den Ausdruck (p{t)f{t) ein, so lässt sich f(t) wegheben und es folgt (p(t)F(t) = X^(0. Es muss also X sowohl im Theiler von (p(t)f(t) als in dem von (p{t)F(t) aufgehen, und da f(t) und F{t) und mithin auch ihre Theiler relativ prim sind, so muss X im Theiler von (p(f) aufgehen (nach IV). Setzen wir demnach 9 (0 = X > a2 >> «3 . . . >> a„ angenommen war. Wenn wir nun die Indices 1, 2, 3 ... w irgendwie unter ein- ander vertauschen, also etwa von 51 zu 51' übergehen, so geht P in (2) F' = (Cla^ üaj (a«i «a,) • • • (ciu^ ««„) (a„., — ««3) . . . (««, — ««„) über, und dies Product besteht, abgesehen vom Vorzeichen, aus denselben Factoren wie P, d. h. es ist P' entweder gleich P oder entgegengesetzt zu P. I. Wir rechnen nun die Anordnung W^ und also auch die Permutation, die 5t in 51' verwandelt, zur ersten oder zur zweiten Art, je nachdem P mit P' gleich oder entgegengesetzt ist, so dass 51 selbst zur ersten Art gehört. II. Durch eine einfache Transposition (/i, /■;), worin /i, Ji irgend zwei der Ziffern 1, 2 ... w bezeich- nen, ändert sowohl P als P' sein Vorzeichen. Denn die Factoren, die h und k gar nicht enthalten, werden durch diese Transposition nicht berührt; dann haben wir in P und P' den Factor + (cih — öa) und die Factorenpaare ib («Ä — «») (cijc — a»), wo V die Reihe der Zahlen 1, 2 . . . w, mit Ausnahme von A, h durchläuft. Der erstere Factor ändert aber sein Zeichen, während das Factorenpaar ungeändert bleibt bei der Transposition (Ä, k). Daraus folgt: §. 22. Permutation erster und zweiter Art, 3I ni. Die Permutationen der ersten Art sind aus einer geraden Anzahl von Transpositionen zusammengesetzt, und die der zweiten Art aus einer ungeraden Anzahl. Zu der ersten Art ist dann auch die sogenannte identische Permutation zu rechnen, die 51 ungeändert lässt. Daraus ergiebt sich noch die Folgerung: Auf wie verschie- denen Wegen man auch 51' aus 51 durch Transpositionen ab- leiten mag, die Anzahl dieser Transpositionen ist bei allen diesen Arten übereinstimmend gerade oder ungerade (je nachdem 51' zur ersten oder zur zweiten Art gehört). Wenn wir in den sämmtlichen Anordnungen 51, 51', 51" . . . der n Elemente eine Transposition, etwa (1, 2), vornehmen, so geht jede dieser Anordnungen in eine bestimmte andere über, etwa 51 in 5Ö, 51' in 53', 51" in S" . . ., und wenn wir dieselbe Transposition noch einmal wiederholen, so geht 33 wieder in 51, S' wieder in 51' . . . über. Daraus folgt, dass die Anordnungen Sß, 25', 53" . . . alle von einander verschieden sind und folglich in ihrer Gesammtheit mit der Gesammtheit der 51 überein- stimmen. Da nun, wie wir oben gesehen haben, die sämmtlichen Diflferenzenproducte P P' P' die aus P mit den verschiedenen Anordnungen 5t, 51', 51" . . . gebildet sind, durch eine Transposition das Zeichen ändern, so folgt, dass jedem 51 der ersten Art ein 33 der zweiten Art ent- spricht und jedem 51 der zweiten Art ein 53 der ersten Art. IV. Hiernach ist die Anzahl der Anordnungen der ersten Art ebenso gross, wie die Anzahl der Anordnungen der zweiten Art, nämlich — TKji)^). Für w = 3 haben wir die folgenden sechs Anordnungen, von denen die erste Horizontalreihe die erste Art bildet: .gx (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) (3, 2, 1), (2, 1, 3J, (1, 3, 2) 1) Diese Sätze sind hier aus der Betrachtung des Productes P, also einer Zahlgrösse, gewonnen. Wie man ohne Benutzung einer solchen Function zu denselben Ergebnissen gelangen kann, werden wir im XIV. Ab- schnitt sehen. Weber, Algebra. L ß 82 Zweiter Abschnitt. §. 23. §• 23. Determinanten. "Wir betrachten jetzt ein System von n^ beliebigen Grössen, mit denen die rationalen Rechenoperationen ausgeführt werden können. Zu einer einfachen Bezeichnung dieser Grössen wählen wir einen Buchstaben mit einem doppelten Index af\ worin i sowohl als Tc die Reihe der Ziffern 1, 2, 3 ... w durchlaufen soll. Zur besseren Uebersicht ordnen wir diese Grössen in ein Quadrat, so dass alle a mit demselben oberen Index in einer Horizontal- reihe, alle a mit demselben unteren Index in einer Verticalreihe stehen, und bezeichnen dies Quadrat mit ^, also: a^), ai'\ <) . . . a(i) af), ce\ af . . . af (1) ^ = af\ im a(3) n er"' (v"> er a in) Der Kürze halber nennt man die Horizontalreihen Zeilen, die Verticalreihen Colonnen oder Spalten. Die Grössen üi'^ heissen die Elemente des Systems z/. "Wir wollen aber unter dem zwischen verticalen Strichen eingeschlossenen Quadrat nicht nur den Complex der Grössen a verstehen, sondern eine bestimmte arithmetische Verbindung dieser Grössen, die sich ausrechnen lässt, sobald die a numerisch gegeben sind, und die wir jetzt beschreiben wollen. Man bilde das Product aller Elemente a, die in der von links oben nach rechts unten gehenden Diagonale stehen: (2) 31 = «(1)42)43) . . . «w, leite daraus 77 (w) Producte Jf, Jf, M" . . . her, indem man die unteren Indices permutirt, und gebe jedem so entstandenen Product das positive oder negative Zeichen, je nach- dem die angewandte Permutation zur ersten oder zur zweiten Art gehört, also nach der Bezeichnung des vorigen Paragraphen: (3) I Jf ' = 4- a(i) a(2) . . . a("\ • Die Summe aus diesen Producten Jf + ilf' + i¥" -|- • • • = U3I §. 23. Determinanten. 83 soll ^ sein. ^ wird die Determinante der n"^ Elemente a<^.'') genannt, und zwar, wenn die Unterscheidung nothwendig ist, eine w- reih ige Determinante (auch Determinante wten Grades oder wter Ordnung). Das Glied M dieser Summe, d. h. also das Product aller in der Diagonale des Quadrates stehenden Elemente, wird das Hauptglied genannt. Nehmen wir z. B. n = 2, so erhalten wir (4) A = ap) a^p — a^i) a(2), und für w = 3 [nach (3) des vorigen Paragraphen]: J = aWaf af + a^^"» a<-p a^^^ -f a'^^) af^ af^ JZi £• ». o 182' oder in anderer Bezeichnung: (5) (6) (7) a, h c, ä = ad hc. a, a' a' b, c b\ c' h", c" ah'c" + bc'a" + ca'b" — ac'b" — ba'c" — cb' a". Es ist dem Leser zu empfehlen , die Berechnung solcher Determinanten an Zahlenbeispielen einzuüben. Die Bezeichnung (1) ist in vielen Fällen zu umständlich; es sind daher noch andere, kürzere Zeichen im Gebrauch. So setzt Jacobi, indem er nur das Hauptglied der entwickelten Deter- minante ausführlich schreibt: (8) ^ = 2J ± a[i) af . . . «(«), und Kronecker noch kürzer: (9) z/ = I af^ |. Beide Bezeichnungen sind aber nur dann ganz deutlich, wenn die Elemente in der hier vorausgesetzten Weise durch zwei Indices bezeichnet sind, und durchaus unanwendbar, wenn die Elemente z. B. numerisch gegeben sind. Es kommen bisweilen Determinanten vor, bei denen t k ist, bei denen also in (1) die symmetrisch zur Diagonale des Quadrates stehenden Elemente einander gleich sind. Wir werden in diesen Fällen gewöhnlich beide Indices (um ihre Gleichwerthig- keit anzudeuten) unten hinsetzen, also tti, fc die, i setzen. Solche Determinanten heissen symmetrisch. G* 64 Zweiter Abschnitt. §. 24. §. 24. Hauptsätze über Determinanten. Aus dem Begriff der Determinante ergeben sich leicht die ersten Sätze, die für die Anwendung geeignet sind. ^Yenn wir in dem Product [§. 23, (3)] \^J — "1 «2 "n die Factoren umstellen, so ändert sich sein Werth nicht. Wir können also die Factoren auch so anordnen, dass die unteren Indices in ihrer natürlichen Reihenfolge 1 , 2 . . . « erscheinen. Dabei werden dann die oberen Indices in einer gewissen Weise permutirt erscheinen, also 31' die Form erhalten: (2) ± api)a(.^«) ... ai'H worin (/3„ ß, ... ßn) = SS, ebenso wie («1, «2 ... «n) = ^ eine Anordnung der Ziffern 1 , 2 . . . n bedeutet. Man kann die Anordnung S dadurch erbalten, dass man in den Factoren von 31' die Transpositionen, die zu 51 gefüln't haben, von der letzten anfangend, rückgängig macht, um in der Pieihe der unteren Indices wieder die ursprüngliche Anordnung zu erhalten. Die dabei sich ergebende Reihenfolge der oberen Indices ist dann die Anordnung S. Es folgt daraus, dass SB zur ersten oder zur zweiten Art gehört, je nachdem % zur ersten oder zur zweiten Art gehört, da beide durch die gleiche Anzahl von Transposi- tionen entstehen. Die Gesammtheit der 5Ö stellt ebenso wie die Gesammtheit der ^ alle Permutationen der n Elemente dar, da zwei verschiedene % niemals zu demselben S führen können. Damit ist bewiesen: I. Die Determinante ^ kann auch dadurch gebildet werden, dass man in dem Hauptgliede a'-^^a^^^ ... u'^> die oberen Indices auf alle möglichen Arten per- mutirt, jedem der so gebildeten Producte das positive oder negative Zeichen giebt, je nachdem die angewandte Permutation zur ersten oder zweiten Art gehört, und dann die Summe aller dieser Producte nimmt. §. 24. Determinanten. 85 In der Darstellung §. 23, (1) von /l werden durch die oberen Indices die Zeilen , durch die unteren Indices die Colonnen gekennzeichnet, und demnach können wir diesem Satze auch den folgenden Ausdruck geben: IL Eine Determinante ändert sich nicht, wenn die Zeilen zu Colonnen und die Colonnen zu Zeilen gemacht werden. Wenn wir in den sämmtlichen Anordnungen 51, 91', 91" . . . der w Elemente irgend zwei Elemente mit einander vertauschen, so bleibt die Gesammtheit dieser Anordnungen ungeändert, aber es geht jede Anordnung erster Art in eine Anordnung zweiter Art über und umgekehrt. Wenn wir also in den Gliedern Ji, 3/', M." . . ., aus denen /i zusammengesetzt ist, irgend zwei untere Indices vertauschen, so geht jedes Glied mit positivem Zeichen in ein anderes über, das in A mit dem negativen Zeichen behaftet war und umgekehrt, also es ändert z/ sein Vorzeichen. Daraus folgt mit Hülfe von II. der Satz: III. Wenn man in z/ zwei untere oder zwei obere In- dices mit einander vertauscht, so ändert die Determinante nur ihr Vorzeichen. Etwas anders ausgedrückt: Wenn man zwei Zeilen oder zwei Colonnen mit einander vertauscht, so ändert die Determinante nur ihr Vorzeichen, und daraus allgemeiner: IV. Wenn in einer Determinante die Zeilen oder die Colonnen permutirt werden, so ändert sich der absolute Werth nicht, und das Vorzeichen ändert sich nicht oder geht in das entgegengesetzte über, je nachdem die angewandte Permutation zur ersten oder zweiten Art gehört. Aus III. erhält man den folgenden Fundamentalsatz: V. Wenn in zwei Zeilen oder in zwei Colonnen die an gleicher Stelle stehenden Glieder einander gleich sind (kürzer ausgedrückt: wenn zwei Rei- hen einander gleich sind), so hat die Deter- minante den Werth Null. Denn die Vertauschung der zwei Reihen ändert nach III. das Zeichen, kann aber andererseits, da beide Reihen identisch 86 Zweiter Abschnitt. §. 25. sind, nichts ändern, so dass für ^ nur der Werth Null übrig bleibt. Man drückt den Satz V nur anders aus, wenn man sagt: VI. Man erhält eine verschwindende Determinante, wenn man die Elemente einer Reihe durch die entsprechenden Elemente einer anderen Reihe, oder, kurz gesagt, wenn man einen unteren oder oberen Index durch einen anderen ersetzt. §. 25. ü n t e r d e t e r m i n a n t e n. In jedem Gliede der entwickelten Determinante deren Werth wir jetzt mit A bezeichnen wollen, kommt jede der Zahlen 1, 2 ... n ein und nur einmal als unterer Index vor. Es wird also ein gewisser Complex von Gliedern den Factor oS^^ enthalten, ein anderer Complex den Factor af^ u. s. f., end- lich ein Complex den Factor a^"); jedes Glied der Determinante kommt in einem und nur in einem dieser Complexe vor. Bezeichnen wir also den ersten dieser Complexe mit a^^^^^l^^), den zweiten mit af^ A^^^ den letzten mit a(")^["\ so können wir die Determinante folgendermaassen darstellen: (1) A = a(i)^(i) -f ap)^p) -\ [- a["^A^«\ An Stelle des unteren Index 1 hätten wir ebenso gut jeden anderen, v, herausgreifen und daher (2) A = a'^^ A^^' + a?^ A'^' -] h «t"^ ^t"^ setzen können. Darin bedeutet das Product al"^^»"^ den Complex aller Glieder der Determinante, die den Factor a^^ enthalten. Da dieselben Regeln wie für die unteren so auch für die oberen Indices gelten, so kann man die Determinante auch noch in der folgenden "Weise schreiben: (3) A = af Af' + ar A^ -\ \- a^' A':\ worin fi gleichfalls jeden der Indices 1, 2 . . . n bedeuten kann. §. 25. Unterdeterminanten. 87 Die hierdurch vollständig definirten Grössen ^t"^ heissen die Unterdeterminanten der Determinante A. Um ihre Bildungs- weise genau kennen zu lernen, betrachten wir zunächst den Complex a^i^Ai\ Man erhält ihn, wenn man in dem Product a'^' ai'' den unteren Index 1 ungeändert lässt und nur die übrigen In- dices 2, 3 ... w auf alle Arten permutirt und die Summe der entstandenen Glieder mit Rücksicht auf die Zeichenregel bildet, d. h. es ist Ai^ die {n — 1) reihige Determinante: (4) ^(1) = «2 5 «3 (3) (I «2 5 "3 (.0 oder die Determinante, die man aus A erhält, wenn man in dem A darstellenden Quadrat [§. 23, (1)] die erste Zeile und die erste Colon ne weglässt. Daraus ergiebt sich leicht die Bedeutung von Af^; man kann, indem man v— 1 Zeilenvertauschungen vornimmt, die rte Zeile zur ersten machen, und wenn man noch ^ — 1 Ver- tauschungen der Colonnen hinzunimmt, die fite Colonne zur ersten; im Uebrigen bleiben die Reihen in ihrer Aufeinanderfolge ungeändert. Die Determinante selbst hat den Factor ( — 1)" + '' angenommen und ist dem absoluten Werthe nach ungeändert geblieben (§. 24, IV). In der so umgeänderten Reihenfolge ist aber das Element aV an die Stelle des Elementes a^i^ getreten, und daraus schliesst man auf folgendes Bildungsgesetz: Man erhält die Unterdeterminante Af^ dadurch, dass man in dem die Determinante darstellenden Qua- drat die beiden Reihen weglässt, die sich in af^ kreuzen, und den Factor ( — 1)" + " hinzufügt. So erhält man z. B. für die dreireihige Determinante die folgende Darstellung: (5) a, 6, c a', h\ d a", &", c" a b\ c' b'\ c" — — a{h'd' c'b ")-f & {c'a" a\ c a H Jl a'\ b" a'c") + eia'b" — b'a"). 88 Zweiter Abschnitt. §. 25. Da der untere Index v in ä[^^ gar nicht vorkommt, so ändert sich ^1"^ nicht, wenn der untere Index v durch einen anderen ersetzt wird. Dann aber verschwindet nach §. 24, VI. die Determinante. Wir erhalten demnach aus (2) die folgende wichtige Relation, in der /x, v irgend zwei von einander ver- schiedene Ziffern 1,2 ... n sein können: (6) 0 = a^^ Ä'^^ + af ^(2) + . . . _!- a?> Ai"\ und ebenso bekommt man aus (3): (7) 0 = af' AT + öL") A^ H h o!:' ^i'^ Beispielsweise ergiebt sich aus (5), wenn a, i, c durch a', h\ c' ersetzt werden: (8) a' (b' c" — c' b") + b' (c'a" — a' c") -f c' (a' b" — b' a") = 0, eine Formel, von deren Piichtigkeit man sich durch die einfachste Rechnung überzeugt. Wenn wir die Relation (6) mit einem beliebigen Factor X multipliciren und zu (2) addiren, so erhalten wir die Formel: (ü) A = (ai'' + A «L^O A'^^ + (a?' + X «^ A^^' + die uns den folgenden Satz ausdrückt: VII. Die Determinante ändert ihren Werth nicht, wenn man zu den Elementen einer Zeile die mit einem beliebigen gemeinschaftlichen Factor multiplicirten entsprechenden Elemente einer anderen Zeile addirt. Derselbe Satz gilt auch von den Colonnen. Er wird zur Vereinfachung und numerischen Berechnung von Determinanten oft mit Nutzen verwendet. Wir fügen noch folgende Sätze bei, die sich aus den Darstellungen (2), (3) sofort ablesen lassen. VIII. Wenn alle Elemente einer Zeile oder einer Co- lonne einen gemeinschaftlichen Factor haben, so kann dieser weggelassen und als Factor vor die Determinante gesetzt werden. Denn es ist nach (2): p at'> A^^^ + p ai'^ A'P -\ ^ pai""^ ^1"^ = p A. IX. Wenn in einer Zeile oder in einer Colonne alle Elemente bis auf eines verschwinden, so reducirt §. 25. Unterdeterminanten. 89 sich die Determinante auf das Product dieses einen Elementes mit der entsprechenden Unter- determinante. Denn wenn a'y\ a^ . . . at"^ mit Ausnahme von al;"^ schwinden, so ist nach (2): ver- A = a^"^^(">- V j der Werth von A ist dann von den af\ af"> . . . a«"^ (mit Aus- nahme von ttv"'') ganz unabhängig. Um von diesen Sätzen eine Anwendung zu machen, wollen wir den Werth der Determinante 1, a, a2 1, 6, h^ 1, C, C2 bestimmen, worin a, &, c beliebige Grössen seien. Multipliciren wir die zweite Colonne mit a und subtrahiren sie von der dritten, darauf die erste mit a und subtrahiren sie von der zweiten, so folgt nach VII: 1, 0, 0 1, h — a, h{h — a) 1 , c — a, c{c — a) und nach IX: J = und endlich nach VIII: (10) z/ = (h — a) (c — a) h — «, b{b — a) c — a, c (c — a) 1, & 1, c = (b — a) (c — a) (c — b). Auf die gleiche Weise kann man auch die n- reihige Deter- minante 1, Ol, a^ . 1, tta, ttj- . a a n — \ 1 n — 1 1 1, Cf,j, (In a„ behandeln und findet ihren Werth gleich (aa — ai) {a^ — a^) . . . (a,, (ttg — 0.2) . . . (a„ (11) «2) (a„ — a„_i). 90 Zweiter Abschnitt. §.25. Ordnet man die Colonnen in umgekehrter Reihenfolge, so sind dazu, je nachdem n gerade oder ungerade ist, n , n — 1 _ oder -2— Vertauschungen erforderlich, so dass sich die so geordnete Determinante von z/ durch den Factor n(n — \) unterscheidet. Es kommt auf dasselbe hinaus, wenn man den ■ Factoren des Productes (11) das entgegengesetzte Vorzeichen gieht. Es besteht also zugleich mit (11) die Gleichung: («1 — aa) («1 — 03) ... (ai — a„) (aj — tta) ... (tta — ein) (12) • «1, . «2, 1 1 • ^ni 1 (ttn — 1 ttn)- Wir wollen hier noch eine Bezeichnungsweise der Unter- determinanten erwähnen, die der Differentialrechnung entnommen ist und oft mit Nutzen verwendet wird, besonders wenn es sich um die Bildung von Derivirten handelt. Wenn die Grössen af^ als unabhängige Variable betrachtet werden, so ist die Determinante A in Bezug auf jede von ihnen nur vom ersten Grade. Die nach af^ genommene Ableitung oder der Differentialquotient ist also gleich dem Goefficienten von af\ also: dA dar ^''l Wenn demnach z. B. die af^ Functionen einer Variablen t sind, so ist auch A eine Function von i, und man erhält nach den ersten Regeln der Differentialrechnung die Ableitung von A in Bezug auf t in der Form (fc) daf^ JL [l) z= ^Ji.i' dt 7) a- wenn ■ ^^ die Ableitung von a^ nach t bedeutet. et Wenn wir die Uh' als von einander unabhängige Variable betrachten, so ist die Determinante A = i: ±a(^^ai^^ . . . öL"^ §. 26. Höhere Unterdeterminanten. 91 eine homogene Function nten Grades von n Variablen, jedoch von der besonderen Eigenschaft, dass jede einzelne Variable nur linear darin vorkommt. Aus der Darstellung durch die Unter- determinanten (2), (3) lässt sich leicht schliessen, dass diese Function unzerlegbar ist. Denn ist F der unzerlegbare Factor von Ä, der die Variable ai;"^ enthält, so muss dieser Factor F wegen (2) eine lineare homogene Function der Variablen a^y\ af^ . . . at"^ sein, und wegen (3) eine lineare Function der Variablen af\ af^ . . . a^Jt^ (§. 20). Es enthält daher F alle Variablen üh^ und ist folglich mit A identisch. Wir sprechen also noch den Satz aus: X. Die Determinante ist eine unzerlegbare Function ihrer «2-Elemente. §. 26. Die Unterdeterminanten im weiteren Sinne. Wir können nun die Betrachtungen des vorigen Paragraphen in folgender Weise verallgemeinern. Wie wir vorhin von der Aufgabe ausgegangen sind, alle Glieder in der entwickelten Determinante Ä aufzusuchen, die den Factor ap enthalten, so wollen wir jetzt alle die Glieder aufsuchen, die den Factor «r^ «^/^ . . . a':^ enthalten, worin v eine beliebige Zahl unter n sein kann. Diese Glieder erhalten wir aus dem Hauptgliede 1 2 . • . Cty v + 1 • • • Un , wenn wir bei der Permutation der unteren Indices 1 , 2 . . . v ungeändert lassen und nur v -\- l, . . . n auf alle Arten permu- tiren unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel. Demnach ist der Inbegriff der gesuchten Glieder (1) a(')af ... <") • + ! • • • *n (5) /3i, ß, .. . ßr, /3v + i . . . /3«, indem man a, + i ... «„ und ebenso ßy^x ... ßn der Grösse nach auf einander folgend annimmt. III. Die in IL beschriebene (w — v)-reihige Deter- minante erhält das positive oder negative Zeichen, je nachdem die beiden Anordnungen §. 26, Unterdeterminanten rter Ordnung. 93 (4) und (5) der Ziffern 1, 2 ... n beide zu der- selben oder zu verschiedenen Arten gehören. Denn die Determinante ändert ihr Zeichen durch jede Ver- tauschung zweier unterer oder zweier oberer Indices. Um den allgemeinen Fall (2) auf den besonderen Fall (1) zurückzuführen, hat man so viele Transpositionen oberer und unterer Indices vorzunehmen, dass die Permutationen (4) und (.5) beide in die ursprüngliche Anordnung 1, 2, 3 . . . n übergehen, und ebenso viele Zeichenwechsel haben stattgefunden. Die so definirten Grössen ■a-ui, «2 . . . uy heissen die vten Unterdeterminanten oder Unter- determinanten vter Ordnung. Sie sind dargestellt durch {n — vj- reihige Determinanten. Aus III. folgt in Bezug auf diese Unterdeterminanten der Satz: RR R IV. Die Unterdeterminante Ä^l ul'.. . ix\. ändert nur ihr Vorzeichen, wenn zwei ihrer unteren oder zwei ihrer oberen Indices vertauscht werden, oder allgemeiner: sie bleibt dem absoluten Werthe nach ungeändert, wenn die Anord- nung der Indices «i, «2 • • • «v durch irgend eine andere Anordnung ersetzt wird und ändert das Zeichen oder nicht, je nachdem diese Permutation zur zweiten oder zur ersten Art gehört. Bezeichnen wir aber mit «i, «2 ... «'„ irgend eine Anord- nung der «1, «2 . . . «„ so enthält die Determinante A auch den Complex der Glieder 4- fl^t') «fit«^ j'"^ .ßl.ß2...|*V j= *«; "«2 * ■ ' "" ^«i.«2---«v' und wenn wir also alle diese Glieder sammeln, so erhalten wir den Complex: (6) AX':.% 2:±a!^^ a^!f ...cÜjl Die hier auftretende o^- reihige Determinante 94 Zweiter Abschnitt. §. 26. "■«1 5 "'«2 (ft) a wollen wir die zw Äul%\\'.u\. complementäre Unterdeter- min ante nennen und mit JB«/, '«' 1) .'"^ä • • • i^v bezeichnen. Sie enthält genau die Zeilen und Colonnen, die in Äul'u.,'.'.'.ttl fehlen und stimmt, abgesehen vom Vorzeichen, mit der Unterdeterminante {n — v)\.Q,r Ordnung . /?v 4- 1 . . . /9„ -Äa,, + 1 . . . "„ Überein. Der Complex der Glieder (6) wird also bezeichnet mit (7J .hl ßi • • • ßv -pßl^ ^2 • ■ ■ ßv -a.„j^ U.2. . . Uy -tJui, «2 . . . ab- wählen wir nun für «i, «2 • • • <^v i^^^ Combination von v der Ziffern 1,2...«, deren Anzahl (nach §. 7) Bi"^ ist, so erhalten wir, indem wir ß^, ß.T . . . ßv festhalten, ebenso viele Complexe der Form (7), und jedes Glied der Determinante A kommt in einem und nur in einem dieser Complexe vor. V. Demnach erhalten wir, wenn wir alle Ausdrücke (7) Summiren, die Determinante Ä: (8) -o- ^ -o-u^, U.2. . . Uy -D Ol, a.2 ... Uy' Selbstverständlich kann man auch die Combination der ot festhalten und in Bezug auf die ß summiren. Dies ist der Satz von Laplace. Als häufig vorkommender specieller Fall mag der erwähnt werden , wo ß^, ß2 . . . ßy = l , 2 . . . v und wo a^f^ = 0 ist, wenn r einen der Werthe 1, 2 . . . v und gleichzeitig s einen der Werthe v -\- 1, . . . n hat. Dann werden alle Al[^ l^'.Wly = 0» mit Ausnahme von Äl]l'.\'.l., und man erhält )1, 2 Ä = A\:l.::i b\ Der Satz wird durch folgendes Diagramm veranschaulicht, in dem das ganze Quadrat die Determinante A vorstellt, und wo in dem schraffirten Rechteck lauter Nullen stehen. Sind g. 26. Unterdeterminanten rter Ordnung. 95 B v///////////////////. C dann 5 und C die in den beiden kleinen Quadraten stehenden Determinanten von v und n — v Reihen, so ist (9) A = B C. Noch eine andere Darstellung der Determinante Ä durch die ersten und zweiten Unterdeter- minanten erhält man auf folgende Weise. Man wähle in A irgend zwei Reihen aus , die sich in einem Ele- mente, etwa in a[;"), schneiden. In jedem Gliede von A kommt ein Element mit dem unteren Index v und ein Element mit dem oberen Index ^ vor. Wir haben also zunächst in A den Com- plex al"^ A'y'-' und ferner die verschie- denen Complexe al*^ a^"^ -4',.',^, worin i jeden von ^ verschiedenen und k jeden von v verschiedenen Index bedeuten kann. VI. Wirkönnendahersetzen: oder nach IV. (lOj ■ A = at"^ ^^"^ — 1' at') a^f A^^i Wir bemerken zu diesem Satze noch, dass .4" ^ die dem Ele- mente a'jj> entsprechende erste Unterdeterminante der {n — Ij reihigen Determinante A^'^ ist; denn Av'u ist der Coefficient von ai"^ ttk^ in der Entwickelung von J. und A[^^ der Coefficient von ai^\ folglich -4v,'fc der Coefficient von Uk^ in der Determinante Af\ Man kann nach diesem Satze die sogenannte geränderte Determinante aW, a[i) . . . a(^i\ u. (11) U a("), a^"> •'D Vo /(2). M., al»), w„ v„ nach den Elementen der letzten Zeile und Colonne entwickeln und erhält (12j U = qA — 2: 2J Ui Vk A): (i). 96 Zweiter Abschnitt. §. 27. Man erhält diese Gleichung aus (10), wenn man n in n -\- 1 verwandelt, und die Elemente der letzten Zeile und Colonne durch eine andere Bezeichnung auszeichnet. Ersetzt man q durch q — w, worin u wieder eine beliebige Grösse ist, so ergiebt sich die oft angewandte Formel: (13) n ' ^ u . -i^n, q = U — J.W, worin U die Bedeutung (12) hat. Auch bei den höheren Unterdeterminanten ist bisweilen die Bezeichnung durch Differentialquotienten zweckmässig, so dass z. B, (14) A'S = -f^a^i) y^ gesetzt wird. §. 27. Lineare homogene Gleichungen. Die hauptsächlichste Anwendung der Determinanten, der die ganze Theorie ihren Ursprung verdankt, ist die Auflösung linearer Gleichungen. Wir wollen hier die Aufgabe gleich in allgemeinster Weise in Angriff nehmen, da die specielle Form kaum eine Verein- fachung ist und sich nachher leicht aus dem allgemeinen Eesul- tate ableiten lässt. W^ir betrachten ein System von m Gleichungen ersten Grades, in denen n Unbekannte iTi, X2 . . . Xn homogen vorkommen: a<^^ X, 4- a^p x,-\ h «L^^ ^„ = 0 a("Oxi 4- a^a^a -\ \- a'^^x^ = 0, worin die Coefficienten aO") als gegebene Grössen betrachtet werden. Ueber die Zahlen m, n wollen wir vorläufig noch gar keioe Voraussetzung machen, sondern uns allgemein die Aufgabe §. 27. Lineare homogene Gleichungen. 97 stellen, alle Werthsysteme der x-^, x^ . . . Xy, zu ermitteln, die den Gleichungen (1) genügen. Eine Lösung der Gleichungen (1) können wir sofort angeben: sie sind nämlich, was auch die Coefficienten a^^) sein mögen, erfüllt, wenn (2) a^i = 0, a:^2 = 0, . . . x^ = 0. Einen anderen extremen Fall können wir noch erwähnen- wenn nämlich die Coefficienten af^ sämmtlich den Werth Null haben, dann sind die Gleichungen (1) für beliebige Werthe von a^i, x^ . . . Xn befriedigt. Der allgemeinen Beantwortung der Frage schicken wir fol- gende Bemerkungen voraus. Wir schreiben das System der Coefficienten von (1) in Form eines Rechtecks 1 ' 2 n Ein solches Schema, das für sich noch keine numerische Bedeutung hat, heisst eine Matrix, insofern es als Quelle einer grösseren Anzahl von Determinanten betrachtet wird. Die der Matrix entstammenden Determinanten er- hält man, wenn man beliebige Zeilen und Colonnen weg- lässt, in beliebiger, nur insoweit bestimmter Anzahl, dass die übrig bleibenden Elemente ein Quadrat bilden, und dieses Quadrat als Determinante auffasst. So erhält man aus der Matrix einreihige, zweireihige u. s. f. Determinanten. Die höchsten Determinanten sind n- oder m-reihig, je nachdem n oder m die kleinere Zahl ist (oder w-reihig, wenn n = m ist). Wir machen nun die Annahme, dass unter den v- reihigen Determinanten der Matrix wenigstens eine von Null ver- schieden sei, während die (v -j- 1) reihigen und folglich auch die höheren Determinanten, falls solche vorhanden sind, alle verschwinden sollen, v kann jede Zahl sein, die nicht grösser als die kleinere der beiden Zahlen n oder m ist (oder falls n = m ist, diesen gemeinschaftlichen Werth nicht übertrifft). Eine solche Zahl v wird sich immer finden lassen, wenn wir Weber, Algebra. L 7 98 Zweiter Abschnitt. §. 27, den schon erledigten, ganz interesselosen Fall ausschliessen, dass alle Coefticienten a^!'^ verschwinden. Wir können, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, zur Vereinfachung der Bezeichnung annehmen, die nicht verschwin- dende f-reihige Determinante sei (4) Ä = an\ «(1) . . . «(1) aO\ c/^') «(;) Denn offenbar steht es uns frei, das Gleichungssystem (1) in beliebiger Weise anzuordnen, und ferner können wir die Bezeich- nung der Unbekannten x so wählen, dass irgend v von ihnen die V ersten sind. Die Unterdeterminanten von Ä bezeichnen wir wie früher mit A(^\ worin i. Je von 1 bis v gehen, "Wenn nun zunächst v = n ist, was voraussetzt, dass m nicht kleiner als n ist, so haben die Gleichungen (1) keine andere Lösung, als die in den Gleichungen (2) enthaltene. Denn greifen wir die n ersten der Gleichungen (1) heraus: «(» X, + a(iJ 0^2 H h ail^ Xn = 0 (5) multipliciren diese der Reihe nach mit Au\ Ä^^ . . . äI'!*\ worin ^ jeder der Indices 1, 2 . . . n sein kann, und addiren sie, so folgt, weil nach §. 25 (2) und (6) («V „(0 = 0 oder = Ä ist, je nachdem /l von ^ verschieden ist oder nicht, und da nach unserer Voraussetzung Ä von Null verschieden ist, Xu = 0. Damit ist bewiesen: I. Wenn ein System von m linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten eine Lösung hat, bei der nicht alle Unbekannte verschwinden, so • §. 27, Lineare homogene Gleichungen. 99 müssen, wenn ni ^ n ist, sämmtliche w -reihige Unterdeterminanten der Matrix der Coefficienten, (3), verschwinden. Wir heben den am meisten angewendeten besonderen Fall m = n hervor und geben dem Satze für diesen Fall den folgen- den Ausdruck : II. Wenn ein System von w linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten eine von Null verschiedene Determinante hat, so haben sämmt- liche Unbekannte den Werth Null, oder: Wenn ein System von n linearen Gleichungen mit ebenso vielen homogen vorkommenden Un- bekannten eine Lösung hat, bei der nicht alle Unbekannten verschwinden, so verschwindet die Determinante des Systems. Unter der Determinante eines Systems von n linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten ist hier die Determinante aus den n^ Coefficienten dieser Gleichungen ver- standen. Wir betrachten ferner den Fall, dass v kleiner als n ist. Da m gleich oder grösser als v sein muss, so wählen wir die v ersten Gleichungen des Systems (1), und schreiben sie so: a^^^x, -f a(^^x^ H h a(^>x,. = — a'/^^^v + i a[l^ x^ (6) «f^^i + <'^2 H h «l^'^v = — <^ii^.+i af a:„ «("'a^i + a^'^x, H h <^^^' = — und summiren in Bezug auf ^: 10) AEa'^^Xu = -Exh h Z a\t> «L'^ Af, 1, V r + l,n 1, V l.v Dazu addiren wir beiderseits die Summe /^ = 1, 2 m m. und erhalten s- ..(''•) (11) AEa'u' Xa AE (jtn^ Xn »■ + l,n .CO .,(t) aH) --Ex,AA av -EE «r «r ^' • r + l, n \ l,*- l,v / Der Factor von Xu in der Summe auf der rechten Seite ist nach §. 26, (12) die Determinante a^^-\ af . . . af , af (12) V ' h af, afi . . . af , «jf^ und verschwindet daher, wenn Je ^ v ist, nach §, 24, V., weil zwei Zeilen übereinstimmen, wenn aber 7»; >» v ist, nach der DEPARTMtKf Of MATHÜMATICS" IINIVFRSITY OF TORONTO §. 27. Lineare homogene Gleichungen. 101 Voraussetzung, weil dann (12) eine v -\- 1 reihige Determinante der Matrix (3) ist. Wir bekommen also aus (11), da A von Null verschieden ist, (13) Ua^^Xf, =0, Jc=l,2...m, l,n d. h. das System der Gleichungen (1) ist durch (7) befriedigt. Damit ist bewiesen: III. Wenn in einem System von m linearen homogenen Gleichungen mit n Unbekannten alle v -|- Ireihi- gen Unterdeterminanten der Matrix der Coeffi- cienten verschwinden, so hat das System eine Lösung, in der mindestens n — v von der Unbe- kannten willkürlich bleiben. Ist m << 7^, so giebt es immer eine Lösung, in der mindestens n — m der Unbekannten willkürlich bleiben; und hiervon ist ein häufig vorkommender specieller Fall: IV. Wenn die Determinante eines Systems von n line- aren homogenen Gleichungen mit ebenso viel Unbekannten verschwindet, so können die Gleichungen so befriedigt werden, dass nicht alle Unbekannte verschwinden. Wir wollen von dem so bewiesenen Satze noch den anderen Fall hervorheben, dass m = n — 1 und v = n — 1 ist. In diesem Falle bleibt nur eine der Unbekannten beliebig und die Verhältnisse der Unbekannten sind völlig bestimmt. Wir können diesem Resultate folgenden Ausdruck geben: Bezeichnen wir die (n — 1) reihigen Determinanten der Matrix (14) «^ «f •••«^n^ 1 ' 2 n ' mit abwechselndem Vorzeichen genommen durch und nehmen an, dass wenigstens eine von diesen Grössen von Null verschieden sei, so ist die Lösung des Systems: 102 Zweiter Abschnitt. §. 28. a^^'^x. + a'^^x. __ . — 0 afx^ 4- afx. n " — 0 • ■ • (15) gegeben durch die Verhältnisse (16) Xx '• X.2 : • • • : Xn ^= A^ : A-i : ' ' ' : An- So erhalten wir für n =: 3 die Lösung des in der Geometrie oft vorkommenden Gleichungssystems . ax -Jr hy ^ CS = 0 ^^ a'x-{-h'y+ c'2 = 0 in der Form (18) X : y : s ^ hc' — cb'. : Ca' — ac' : ah' — ba'. §. 28. Elimination aus linearen Gleichungen. Es kommt bisweilen vor, dass es sich bei einem gegebenen System linearer Gleichungen nicht sowohl um die wirkliche Er- mittelung der Unbekannten handelt, als um die Beurtheilung der Möglichkeit ihrer Lösung, also um die Aufstellung der Bedingungs- gleichuugen, die zwischen den Coefficienten bestehen müssen, wenn Lösungen oder Lösungen von bestimmter Art überhaupt vorhanden sein sollen. Die Aufstellung dieser Bedingungs- gleichungen heisst Elimination. Implicite ist die Lösung dieser Aufgabe schon im Vorhergehenden enthalten; wir wollen aber noch ausdrücklich auf einige hierher gehörige Fragen zurückkommen. Wir betrachten, wie im vorigen Paragraphen, ein System von m linearen Gleichungen mit n homogen vorkommenden Unbekannten, und fragen: wann hat dies System eine Lösung, bei der nicht alle Unbekannten verschwinden? Wir haben schon gesehen, dass dies immer der Fall ist, wenn w >. m ist. Ist aber n ^ m, so ist die nothwendige und hin- reichende Bedingung für eine solche Lösung die, dass alle »^-reihigen Determinanten der Matrix verschwinden. Denn wenn eine. von diesen nicht verschwindet, so sind nach §. 27, IL die Werthe der Unbekannten nothwendig Null, während, wenn sie §. 28. Elimination. 103 alle verschwinden, eine Zahl v <^ n gefunden werden kann, so dass alle (v-|- 1) reihigen Determinanten der Matrix Null sind, während von den z'-reihigen wenigstens eine nicht verschwindet, so dass also nach §. 27, III eine Lösung von der verlangten Art vorhanden ist. Die Anzahl der aus einer Matrix von m Zeilen und n Colon- nen zu bildenden 7i-reihigen Determinanten ist, wenn n ^ m ist, gleich der Anzahl der Combinationen von m Elementen zur wten Classe ohne Wiederholung, also (nach §. 7) gleich: m (m — 1) . . . (m — n -\- 1) 1 . 2 n und so gross wäre also die Anzahl der Bedingungen. Ist n = m, so ist diese Zahl = I und wir erhalten den Fall §. 27, II. und wie zu erwarten war, eine Bedingung. Im Allgemeinen ist aber diese Anzahl der Bedingungen, obwohl sie alle erfüllt sein müssen, grösser als nöthig ist, weil einige von ihnen nothwendige Folgen der übrigen sind. Um ein System von nothwendigen, hinreichenden und von einander unabhängigen Bedingungen zu erhalten, fassen wir die Fragestellung etwas präciser und fragen nach den Bedingungen: dass aus einem System von 7n linearen, homogenen Gleichungen mit n Unbekannten v von den Un- bekannten durch n — v willkürlich bleibende vollkommen bestimmt werden können. Auch diese Frage ist in §. 27 eigentlich schon beantwortet. Es muss unter den v-reihigen Determinanten eine von Null ver- schieden sein, während die (r -|- 1) reihigen alle verschwinden. Es genügt aber schon, wenn es von einer kleineren Anzahl der (v -|- 1) reihigen Determinanten feststeht, dass sie verschwinden. Nehmen wir an, die Unbekannten x, + i, ä;v + 2 • • • ^n sollen willkürlich bleiben , x^ , x.^ . . . Xv durch sie bestimmt sein , und nehmen die Determinante: (1) Ä als von Null verschieden an. a") 104 Zweiter Abschnitt. §• 23. "Wir berechnen die Unbekannten x^, X2 . ■ . Xy nach §, 27, (9) und bilden die Summen §. 27 (11), deren Verschwinden besagt, dass das gegebene Gleichungssystem wirklich befriedigt ist. Die Bedingungen werden also : (2) af, "2 »■ ' h oder anders geschrieben: (3) f ' h ß) ^(fe) jW = 0, A af -E E al> a^ A'^' = 0, 1,»' ],V und diese Bedingungen genügen auch. Die Gleichung (2) oder (3) ist aber identisch befriedigt, wenn ä = 1, 2 . . . v oder ](, T= \^ 2 ... V ist , und giebt also für diese Werthe keine Bedingung für die Coefficienten. Solche Bedingungen ergeben sich nur für . h = V -^ \, V -{- 1 . . . n ^ ' Ä;=r'i'-f-l, v-|-2...m, also (5) (w — v) (m — v), der Zahl nach. Diese Bedingungen sind aber wirklich von einander unab- hängig, d. h. es folgt keine aus den übrigen; denn die linken Seiten von (3) können durch geeignete Annahmen über die Coef- ficienten a für jede Indexcombination aus der Reihe (4) einen ganz beliebigen Werth erhalten, wie man erkennt, wenn man sämmtliche ai'^, ajL''^ mit Ausnahme von an^ gleich Null setzt. §. 29. Unhomogene lineare Gleichungen. Wir haben die Aufgabe der Auflösung linearer Gleichungen in den bisherigen Betrachtungen dadurch nicht unwesentlich vereinfacht und auf allgemeinere Gesetze zurückgeführt, dass wir die Gleichungen in Bezug auf die Unbekannten homogen §. 29, Unhomogene Gleichungen. 105 vorausgesetzt haben. In den Anwendungen kommen aber häufig die Unbekannten nicht homogen vor, und wenn auch principiell der eine Fall von dem anderen nicht wesentlich verschieden ist, so wollen wir doch den Fall der nicht homogenen Gleichungen noch besonders betrachten. Wir können ihn aus dem Fall der homogenen Gleichungen dadurch ableiten, dass wir die Forderung hinzufügen, eine bestimmte der Unbekannten soll den Werth 1 haben. Wenn diese Unbekannte unter denen vorkommt, die das Problem willkürlich lässt, so entspringt daraus gar keine Schwierigkeit, weil wir sie ja nur = 1 zu setzen brauchen. Gehört sie aber zu denen, die durch die übrigen bestimmt sind, so müssen noch- gewisse Bedingungen erfüllt sein, die besagen, dass der Werth 1 für diese Unbekannte zulässig ist. Wir wollen hier die Frage selbständig und in etwas geän- derter Bezeichnung behandeln, beschränken uns aber der Ein- fachheit halber auf den wichtigsten Fall, wo die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen übereinstimmt. Es sei folgendes System von Gleichungen in Bezug auf die Unbekannten iCj, x^ . . . Xn aufzulösen : (]) «f -^1 -f «f ^2 H h «L^^^n = Vi a^-^x, -f- a<-^x, H h <^[:^Xn = Vn. worin die Coefficienten a(*^ und die unabhängigen Glieder ^/j, y^-'-Vn als gegeben betrachtet werden. Wir bezeichnen mit (2) ^ == 2: ± a ihre Unterdeterminanten mit Bk'\ worin /t, Je nur die Werthe von 1 bis V durchlaufen, und setzen nun voraus, alle (v -j- 1)- reihigen Unterdeterminanten von A verschwinden. Wenn •s\^r die ersten v Gleichungen des Systems (1) mit Bu\ Bk\..Bk^ multipliciren und addiren, so folgt [§.25, (2), (6)]: (7) Bx, = i B\f^7j, -Ex, EB^^a^. !,»■ v + 1, V 1,» Hierdurch sind v der Unbekannten x durch die übrigen bestimmt, und wir setzen, um zu sehen, inwieweit hierdurch die Gleichungen (1) befriedigt sind, die Ausdrücke in (1; ein. Wir multipliciren hierzu (7) mit a^^\ wo k die Werthe 1, 2 . . . w durchläuft, und summiren in Bezug auf Ji. So folgt: (8) B i a'i^xj, = E B^a^^Vi — E x/e B'^> a l,v l,v y + l,n 1, V s ttk j §. 29. Unhomogene Gleichuugen. 107 und wenn wir beiderseits addiren : (9) B 1 4') x^ = Z Bf af Vi + f Xs (b c^ - '^ ^1*^ a'J" ai'^Y l,n l,v »+],n \ l,v / Nun ist nach §, 26, (12) der Coefficient von Xg auf der rechten Seite eine (v -|- 1) reihige ünterdeterminante von Ä und also nach der Voraussetzung gleich Null, Nach (1) soll fc U a(j!-^Xk = yi sein, und folglich genügen die Ausdrücke (7) dann und nur dann den Gleichungen (1), wenn (10) By, = ZB^a^^yi ist. Diese Gleichung ist, wenn P. < v ist, wegen §. 25, (2), (6) immer befriedigt. Ist aber A = r -f- 1, v -\- 2 . . . n^ so sind n — V Bedingungen für die y in (10) enthalten, die, da jede Bedingung eine neue der Grössen y enthält, von einander unab- hängig sind. Ist eine dieser Bedingungen nicht erfüllt, so hat das gegebene Gleichungssystem keine Lösung. Wenn wir in dem Gleichungssystem (1) die x nicht als Unbekannte, sondern als Veränderliche betrachten, so werden auch die y veränderliche Grössen sein. Bei dieser Auffassung nennen wir das System (l) eine lineare Substitution, inso- fern dadurch der Uebergang von einem System von Variablen, zum anderen vermittelt wird. Nur wenn die Determinante J., die wir jetzt die Substitutions-Determinante nennen, von Null verschieden ist, werden die y als unabhängige Variable an- gesehen werden können. Ist dies der Fall, so ergiebt das System (5) die Darstellung der Variablen x durch die y oder die zu (1) inverse Substitution. Das bisher Bewiesene wollen wir schliesslich noch in einen allgemeinen Satz zusammenfassen. Ein System von m linearen Functionen i/^, y^ • • • ym der n-Veränderlichen x^, X2 . . . Xn, das durch die Ausdrücke: (11) yi = af Xi ^ a'^^^ x^ ->r a(;i^ Xn, i = 1, 2 . . , w bestimmt ist, heisst linear unabhängig, wenn eine Gleichung 108 Zweiter Abschnitt. §. 30. (12) ^1 ?/l + ^2 ^2 -f • • • + ^m Vm = 0 mit Constanten Coefficienten A^, l^ • • • ^m identisch (d. h. für alle a^i . . . Xn) nur dann bestehen kann, wenn die A alle verschwinden. Im entgegengesetzten Fall heisst das System yi linear ab- hängig. Dann gilt der Satz: V. Wenn die Functionen t/j, 1)2 . - . Vm linear unab- hängig sind, so lassen sich die ir^ , x.^ . . . x^ immer so bestimmen, dass die y^^ ^2 • • • Vm beliebig gegebene Werthe erhalten. Die Richtigkeit dieses Satzes ergiebt sich aus der Erwägung, dass nach §. 27, I und III die yi nur dann, und immer dann linear unabhängig sind, wenn w < n ist, und wenn aus der Matrix der Coefficienten a[*) wenigstens eine nicht verschwindende »n-reihige Determinante gebildet werden kann. §. 30. Multiplication von Determinanten. Der Satz, den wir jetzt noch beweisen wollen, lehrt, wie man das Product zweier Determinanten von gleich viel Reihen durch eine einzige Determinante von ebenso viel Reihen dar. stellen kann. Man wird am einfachsten darauf geführt, wenn man die Auflösung von zwei Systemen linearer Gleichungen betrachtet. Es seien jetzt die Coefficienten af\ h^l'\ wenn ?', Jt die Reihe der Zahlen 1, 2 . . . w durchlaufen, beliebige veränderliche Grössen, ebenso die Grössen a;», i/,-, ^i, die nur an die Relationen gebunden sind: (1) i af^Xi = i/fc, (2) 2J h^^ yu = 2h. Wenn nun die Aufgabe gestellt wird, die "Variablen x durch die Variablen z zu bestimmen, so kann diese Aufgabe auf dop- pelte Art gelöst werden. Man kann nach §. 29, (4) die Gleichungen (1) in Bezug auf x, die Gleichungen (2) in Bezug auf y auflösen, und die letzteren Ausdrücke in die ersteren ein- setzen. Bezeichnen wir mit J., B die Determinanten der beiden Gleichungssysteme, also: §. 30. Multiplication von Determinanten. 109 A = <'), a(^) . 1 z , S- n . . 6(2) n 6("), 5(n) . . . 6(«) n und mit J.^^'^ ^i''-' die ersten Unterdeterminanten, so erhält man (3) Ax, = EÄi^tji, (4) Bij, = IJA'jPzh, und durch Substitution von (4) in (3): (5) ÄBxu = i^ni^AfB^. Man kann aber auch so verfahren, dass man aus (1) die Ausdrücke für y in (2) einsetzt, wodurch man, wenn gesetzt wird, erhält: 0) Wenn man nun „e») (8) C = c^\ cf > . . . c(.i) C(2), c^2) . . . c(„2) c-(»>, c(") . . . c("> 1 ' 2 n I i setzt, und mit C,-''^ die Unterdeterminanten von C bezeichnet, so ergiebt die Auflösung von (1): (9) Cxu=2zhC[^\ und die Vergleichung von (5) mit (9) ergiebt (10) AB = C, und für die Unterdeterminanten (11) C^'^EA'^b!^. In dieser Schlussweise ist aber noch eine Lücke, bedingt durch den Zweifel ob sich (5) von (9) nicht durch einen beiden Seiten gemeinschaftlichen Factor unterscheiden könnte. Diesen Zweifel kann man durch eine sehr einfache Ueberlegung begegnen, die sich auf die Unzerlegbarkeit der Determinante (§. 25, X) und auf die Betrachtungen des §. 20 stützt. Es ergiebt sich nämlich 110 Zweiter Abschnitt. §. 30. zunächst durch die Vergleichung von (5) und (9), wenn alle ^h^-> ^h^-> ^h ^^^ unabhängige Variable betrachtet werden: Ch Zu i A^^ B'^ = AB2: Zu Cf\ und daraus CZA'^^'B'i^ =: ABC^^\ Nach §. 20 muss der unzerlegbare Factor A in einem der Factoren der linken Seite aufgehen, und da die A^^ von nie- drigerem Grade sind als A. so kann dies nur C sein. Aus dem gleichen Grunde muss ^ in C aufgehen und die Vergleichung der Grade und des ersten Gliedes giebt C = AB. Man kann aber auch auf einem mehr rechnenden Wege zum Ziele gelangen. Wir wollen das Hauptglied der Determinante C nach (6) bilden, indem wir mit s^, S2 . . . s„ von einander unabhängige Summationsbucbstaben bezeichnen, die von 1 bis n laufen: ^ a['^> a['^\ . . a';:"hi'^^ I/^^ . . . hl'"^' (1 2) 6{^^ ff . . . c^' = 2: a['^' 6^^ i «r^ bi'^ ... 2: ai'"^ bl'"^ Die Permutation der unteren Indices der c entspricht der Permutation der unteren Indices der a, und wenn man also mit Piücksicht auf die Vorzeichenregel die Determinante C bildet, so erhält man (13) Z ± 0^1)4-) . . . c^^) = 2 " b['^' J^> . . . &!;"^ ^ ± a^^ ai'^' . . . a^^- Nun ist 2; ± a{«.) af**) . . . a[^*«) nach §. 24, VI. immer dann gleich Null, wenn unter den Sj, s^.-.Sn zweimal dieselbe Ziffer vorkommt; es behalten also nur die Glieder in QS) einen von Null verschiedenen Werth, in denen Sj , §2 . . . Sn eine Anordnung der Indices 1, 2 . . . w ist, und zwar ist dieser Werth -\- A oder — A^ je nachdem diese Anord- nung zur ersten oder zur zweiten Art gehört (§. 24, IVj. Demnach wird die rechte Seite von (13): §. 30. Multiplication von Determinanten. m die Summe erstreckt über alle Permutationen s-^, s^ . . . .§„. Diese Summe ist aber gerade die Determinante B und daher die Formel C = AB bewiesen. Das in der Formel (6) enthaltene Bildungsgesetz der Ele- mente cf^^ können wir in Worten so ausdrücken: Um die Elemente der Determinante C, die das Product der beiden Determinanten Ä, B ist, zu erhalten, multiplicirt man die Elemente je einer Colonne vonJ. mit den entsprechenden Elementen einer Colonne von B und addirt die Producte. Nach den Sätzen über die Determinanten kann man die Form von C in mannigfacher Weise abändern. Wir wollen darüber Folgendes bemerken. Wenn man zwei Colonnen in Ä oder in B vertauscht, so ändern sich die Elemente c^!'^ nicht, sondern vertauschen sich nur unter einander. Wenn man aber zwei Zeilen in Ä oder in B vertauscht, so ändern sich die c^.'*\ indem die Factoren in den einzelnen Pro- ducten der Summe anders zusammengefasst werden; wenn man aber entsprechende Vertauschungen in den Zeilen von A und von B gleichzeitig vornimmt, so bleiben die cf'> ungeändert, weil dadurch nur die einzelnen Glieder der Summe vertauscht werden. Indem man in A oder in B oder in beiden zugleich die Zeilen zu Colonnen macht, erhält man noch drei verschiedene Arten für die Bildung des Products zweier Determinanten in Determinantenform. Letzteres kann man auch so ausdrücken: Um das Product zweier Determinanten zu bilden, kann man die Elemente der einzelnen Zeilen oder Colonnen des einen Factors mit den ent- sprechenden Elementen der Zeilen oder der Co- lonnen des anderen Factors multipliciren und die Producte addiren, und diese Productsummen als Elemente einer neuen Determinante auffassen. Auf ein Product zweier Determinanten mit verschiedener Elementenzahl lässt sich die Multiplicationsregel dadurch an- 112 Zweiter Abschnitt. §. 30. wenden, dass man die Determinante mit geringerer Reihenzahl durch den Satz §. 25, IX. in eine andere mit mehr Reihen ver- wandelt. Das Multiplicationstheorem gestattet noch eine Verall- gemeinerung, die sich mit denselben Mitteln ableiten lässt. Wir erweitern die Formel (G) dahin, dass wir setzen (14) cf^ = h a"^' h':\ l,m worin wir aber jetzt die Anzahl m der Summanden auf der rechten Seite grösser als n annehmen wollen, während i und h nach wie vor von 1 bis n laufen sollen. Wir bilden nun das Product wie in (12), und bilden die Determinante (13) ganz wie oben, nur mit dem Unterschiede, dass die Summationsbuchstaben s^, S2 • . ■ s„ jetzt von 1 bis m laufen. W^ählen wir unter den Ziffern 1, 2 . . . m irgend eine Com- bination von n verschiedenen Zifiern a^, a^ . . . a^ aus, so enthält die jetzt erweiterte Summe (13) alle Producte von der Form Z ± a^"'^ f4"^ . . . a^y , E ± hp^ If^ . . . ly, aber keine anderen Glieder, und die Determinante der cf'^ ist also gleich der Summe aller dieser Producte. Wir haben also den folgenden Satz: W^enn die Elemente der Determinante O ^ + Cj 6*2 ... Cfi die Form (14) haben, worin m >>« ist, so wähle man unter den Ziffern 1,2 . . . m auf alle möglichen Arten n verschiedene aus, die in einer beliebigen, aber festen Reihenfolge mit «1,(7.2 . . «« bezeichnet werden. Ist dann (15) « _ 1 2 n so ist (16) C^EAaBa. wenn sich die Summe auf alle möglichen Combinationen der « erstreckt. Die Anzahl der Glieder dieser Summe ist gleich der Anzahl §• 31. Determinanten der Uuterdeterminanten. 113 der Combinationen ohne Wiederholung von m Elementen zur ri>^^ Classe, also (§. 7): m {m — 1) (m — 2) . . . (m — w -j- 1) 1.2.3...« §. 31. Determinanten der Unterdeterminanten. Wir machen hier gleich eine Anwendung von dem Multi- plicationsgesetz der Determinanten. Es sei wie bisher: a fi) (1) und (2) a (2) A'^\ aV Äf\ ÄP a i(u f«) (2) f(n) 4"\ A^'' . . das System der Unterdeterminanten. Bilden wir aus (2) die Determinante, die wir mit ^ bezeichnen wollen, so können wir auf das Product A^ die Multiplicationsregel anwenden. Dies giebt aber nach §. 2.5, (3) und (7j: A^ = A, 0 . . 0, A . . . 0 . 0 0, 0 . . . A A\ und daraus durch Division mit A: in— 1 (3) z/ = Ä' Es ist also z/ die (w — l)te Potenz von A. Bei dieser Ableitung ist allerdings zunächst vorausgesetzt, dass A von Null verschieden sei. Da aber (3) in Bezug auf die Elemente a[.''^ eine Identität ist, d. h. auch dann gilt, wenn diese Grössen unabhängige Variable sind, so folgt, dass auch noch in diesem Ausnahmefall die Formel (3) gilt, d. h. dass, wenn A ver- schwindet, auch ^ verschwindet. Weber Algebra. L g 114 Zweiter Abschnitt. §.31. Dies Ergebniss ist ein specieller Fall eines allgemeineren Satzes, nach dem jede beliebige Determinante der Matrix (2) gebildet werden kann. Betrachten wir die v-reihige Unterdeter- minante (4) /iy = AT, A 0 A^? jr\ A^P . . • A':^ aus der man durch Permutation der oberen und unteren Indices alle anderen v- reihigen Unterdeterminanten ableiten kann, so kann man die Multiplicationsregel anwenden, indem man ^/, nach der Bemerkung des letzten Paragraphen in eine n-reihige Determinante verwandelt: (5) ^. = A['\ A^l' . Ad) AiV) Ai , A2 . 0, 0 . .. 0, -o-v + l 1 A(r) . . . M-n . . . 0 0, 0 . .. 0, 0 . . . 1 wobei n — v Zeilen und Colonnen beigefügt sind, von denen die ersteren ausser in den Diagonalgliedern lauter Nullen haben. Bildet man jetzt das Product AzJy^ so folgt (6) AJy = (1) A,0... 0, aV+i a^J^ 0, 0 0, 0 A n^'^ 0, al"^ 0, 0 . . . V, U-,^-1 und dies ist nach dem Satz IX., §. 25 = Ä' «v + 1 «r^^ An) a':' Dividirt man hier durch A und wendet die Bezeichnung des §.26 an, so folgt (7j A = A*"'^l;l::::. §• 32. Determinantensatz von Sylvester. 115 Für V = 2 ergiebt sich das specielle Resultat (8) ÄPÄ'i'-Äf^Är = AAl:l Die Formel (8) werden wir später öfter benutzen. In der Bezeichnung durch die Differentialquotienten lässt sie sich so darstellen Besonders wichtig ist sie in dem Falle, wo A eine sym- metrische Determinante ist, wo also af^ = a^ ist; dann ist auch dA _ dA worin bei der Differentiation nicht Rücksicht genommen ist auf die Abhängigkeit af^ = aj^'^; dann wird die Formel (9) (^0\ A ^'^ — ^^ ^^ fdAy Determinante nsatz von Sylvester. Die zuletzt erhaltenen Resultate lassen sich noch in einer anderen Weise verallgemeinern nach einem Satze von Sylvester, den wir hier noch nach dem Vorgange von Frobenius beweisen wollen. Es sei (1) A = 2:±a['\(^r ...a':^ eine Determinante, r irgend eine Zahl < n und (2) Ar = U ± a^^^ afK . . a";'^ von Null verschieden. Mit Ah^ bezeichnen wir jetzt die Unter- determinanten von Ar (nicht von A), und bilden das Product der beiden Determinanten (3; a'l' . . . ar a^r'^ . . . ai"> ai^^ . . . a^'> a^'• + ^^ . . al"^ a%r. ..a^;i. Clr + i . . . Clr + 1 all' . . . cC' (r + 1) 116 Zweiter Abschnitt. §. 32. dessen "Werth, was aucli die Y sein mögen, nach §. 31 (3) und §. 25, IX. den Werth (4) Ä A\ hat. Bestimmen wir die Y und eine w^eitere Reihe von Grössen J5«^^ aus den Gleichungen i;!-' a\ (1) Yf-^.-.^(^^'Yf^afAr = ^ (5) a<^> Yf-\-.---\- aV Yf + af A^ = 0 ai^> yc^) _f . . . + aL'-^ Yf + af ^. = Bf u =^ r -\- \, . . .. n . . .. n. /5 =r+ 1, so folgt durch Elimination von Y'P . . . Y^ nach §. 29, IL und §. 36, (13J (6) ^f = a^i) . r 1 ' 1 r ' r a ' u und die Multiplication der beiden Determinanten (3) ergiebt ■^n ., 0, 0, ., 0 yx.,, , • • -1 -^r + li -'-^n 1 • • •■) -Ojj worin die X gewisse r- reihige Determinanten sind, auf deren Kenntniss es nicht ankommt. Der Werth dieser Determinante ist aber nach §. 25, IX. Ai2:±B^:^^^ ...Bi:^ und hieraus und aus (4) ergiebt sich die Relation von Syl- vester: (7) wo die Bf die Bedeutung f6) haben, und die für r = w — 2 in die Relation §.31, (9) übergeht i). 1) Sylvester, PhilosopMcal Magazine 1851. Frobenius, Crelle's Journal, Bd. 86, S. 53. Sitzungsberichte d. Berliner Akademie l&9i, XII, XXIII, Dritter Abschnitt. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. §. 33. Begriff der Wurzeln. Mehrfache Wurzeln. Nachdem in den beiden ersten Abschnitten die algebraischen Grössen mehr von der formalen Seite betrachtet waren, wobei es sich um identische Umformungen von Buchstabenausdriicken handelte, in denen die Buchstaben durchweg als Symbole für variable Grössen aufgefasst werden konnten, treten nun die Zahlen grossen mehr in den Vordergrund. Wir verstehen hier unter Zahlen, gemäss dem in der Ein- leitung Festgesetzten , reelle oder imaginäre Grössen von der Form a -\- bi, und stellen die reellen Grössen zur Veranschau- lichung durch die Punkte einer geraden Linie, die imaginären durch die Punkte einer Ebene dar. Unter dem absoluten Werth einer imaginären Grösse a -\- bi verstehen wir ]/a--|-&'2 und bezeichnen ihn nach Weierstrass mit \ a -{- bi \. Es sei nun eine ganze Function von x, worin die Coefficienten irgend welche reelle oder imaginäre Zahlen sind, und der erste, ao, von Null verschieden vorausgesetzt wird. Wenn a eine Zahl ist, die für x gesetzt die Function f{x) zu Null macht, die also der Bedingung /(«) =: 0 genügt, so heisst a eine Wurzel der Gleichung f(x) = 0. 118 Dritter Abschnitt. §. 33. Wir sagen auch kurz, a ist eine Wurzel von f{x). Nach §. 4 lässt sich dann f(x) durch x — a ohne Rest theilen, so dass man (2) f{x) = {x- a:)f, {X) setzen kann, worin /^ {x) nur vom (n — l)ten Grade ist, und den- selben ersten Coefficienten a^ hat, wie f{x\ also /i (x) = tto rc"-i -f- a; a;»'-^ -[- . . . Die Coefficienten von fi (x) sind in §. 4 (6) angegeben. Jede Wurzel von fi{x) ist also zugleich Wurzel Yon f(x) und umgekehrt ist jede Wurzel von f(x) entweder = « oder eine Wurzel von /^ (x). Wenn eine Wurzel a von f(x) bekannt ist, so ist die Aufgabe, die übrigen zu finden, auf die Lösung einer Gleichung (n — l)ten Grades zurückgeführt. Das Ziel der Betrachtungen dieses Abschnittes besteht in dem Nachweis, dass jede Function f{x) vom wten Grade wenigstens eine Wurzel hat. Dieser Satz heisst der Fundamental satz der Algebra. Zunächst ziehen wir aus (2) die wichtige Folgerung: I. Eine Gleichung wten Grades kann nicht mehr als n Wurzeln haben. Denn hätte f (x) mehr als n Wurzeln, so hätte fy (x)^ was nur vom (n — l)ten Grade ist, mehr als n — 1 Wurzeln. Eine Gleichung ersten Grades hat aber nicht mehr als eine Wurzel, woraus die Pdchtigkeit unseres Satzes durch vollständige Induction folgt. Man giebt ihm bisweilen auch den Ausdruck n. Wenn eine Function nten Grades f {x) mehr als n Wurzeln hat, so müssen alle ihre Coefficienten Null sein. Ist ß eine Wurzel von /^ (ic), so lässt sich ebenso setzen f, (x) = {x-ß) f, {x), f(x) = {x — «) (X - ß)f, (x), worin /^{x) = «o ^""^ + ' • • nur vom (w — 2)ten Grade ist. Nimmt man also an, dass jede der Functionen, die man durch diese Division erhält, fi(x), fiix) . . . wenigstens eine Wurzel habe, so erhält man schliesslich (3) f{x) = «0 (x — «) {x — ß) . . . (x — 1/), und wir können also den Satz, den wir vorhin als das Ziel unserer Betrachtungen bezeichnet haben, auch so aussprechen: Es soll bewiesen werden: §. 34. Stetigkeit. 119 Eine Function wten Grades lässt sich in n lineare Factoren zerlegen. Die Grössen «, ß . . . v sind dann alle Wurzeln von f{x) und ihre Zahl ist also n. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass unter den a, /3 . . . v dieselbe Zahl mehrmals vorkommt. Dann würde / (x) weniger als n Wurzeln haben , während doch der Satz bestehen bleibt, dass f(x) in n lineare Factoren zerlegbar ist. Um die Uebereinstimmung herzustellen, ist man überein- gekommen, wenn x — a mehrmals in / (x) aufgeht, a unter den Wurzeln mehrfach zu zählen und also von einfachen, zweifachen, dreifachen etc. Wurzeln zu sprechen. Führen wir die derivirten Functionen ein, indem wir in §. 13, (2) a und x — «an Stelle von x und y setzen, so folgt: (4) fix) =/(„) + {x- «) /'(«) + (^j=^^ /" («) + ^^ /"(„) + ... Wird also nun wieder angenommen, dass /(«) verschwindet, so ergiebt sich also /i («)=/'(«)• Es ist also a eine Doppelwurzel von /(x), wenn mit /(a) gleichzeitig /' (a) verschwindet. Auch die Formel (4) zeigt, dass nur unter dieser Voraussetzung f (x) durch (x — a)^ theilbar ist. Diese Schlussweise lässt sich weiter ausdehnen und führt zu dem Satze: III. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass a eine w-fache Wurzel von f{x) ist, ist die, dass /(«), /'(«), /"(«), . . . /("—'H«) ver- schwinden,/("•)(«) nicht verschwindet. §• 34. Stetigkeit ganzer Functionen. Wenn, wie bisher (1) f(x) = ao ic» + ai a;«-^ H h «n eine ganze Function von x ist, so beweisen wir zunächst fol- genden Satz: 120 Dritter Abschnitt. §. 34. IV. fipc) wird zugleich mit x unendlicli gross. Das will sagen, wenn C eine beliebig gegebene positive Zahl ist, so kann man die positive Zahl H so wählen, dass \f{^)\>C wird, sobald der absolute Werth von x grösser als R wird; oder geometrisch ausgedrückt: man kann in der a;-Ebene einen Kreis um den Nullpunkt so beschreiben, dass ausserhalb dieses Kreises der absolute Werth von f {x) nicht mehr unter C herabsinkt, wie gross auch C angenommen ist. Der Satz ist einleuchtend für den Fall einer einfachen Potenz a;"; denn ist r der absolute Werth von x^ so ist r" der absolute Werth von ic", und r" ist, sobald r grösser als 1 geworden ist, grösser als r und wächst also mit r ins Unendliche. Um den Satz allgemein zu beweisen, bezeichnen wir die absoluten Werthe von x^ Uq, ai, a2 . . . an mit r, Cq, c^, c^ . . . Cn. Dann ist ^C*1 , ein , dyi : h • • • (2) /(^) und, weil nach den in der Einleitung bewiesenen Sätzen der absolute Werth einer Summe nicht kleiner als die Differenz und nicht grösser als die Summe der absoluten Werthe der Sum- manden sein kann, a a^ a. «0 + — + ^ + 4- X^' ^ Co — X ~ ^-' ~ «2_ x'^ an x"* /yn Da die Cq, Ci . . . c„ fest gegebene Constanten sind, so kann man H so gross wählen, dass, sobald r > R ist. Ci 3- + 5 + beliebig klein, z. B. kleiner als V2 ^o wird; dann ist an 1 ^ I ^ 1 . . . _L X' > V2 Co, und also nach (2) also, wenn man annimmt, f{x)\>^!,c,B\ 2 C §. 34. Stetigkeit. 121 (3) I f{x) I > a Hieran schliesst sich der Satz V. fix) ist eine stetige Function von x. Damit soll Folgendes gesagt sein: Ist der absolute Werth von X kleiner als eine beliebige endliche Grösse iv, so kann man, wie klein auch die positive Grösse a angenommen wird, eine positive Grösse s derart finden, dass (4) |/(;r + /0-/(:r)| (|) > 0 3. V gerade /O (|) > 0 4. V gerade /o (|) < 0. Wir sagen, dass im ersten Falle f (x) abnehmend, im zweiten wachsend durch Null geht. Im Falle 3. ist /(|) = 0 ein Minimum, im Falle 4. ein Maximum. Wenn insbesondere /'(^) von Null verschieden, | also eine einfache Wurzel ist, so ist das positive oder negative Vorzeichen von /'(l) das Kennzeichen für das Wachsen oder Abnehmen der Function /(a;) beim Durchgang von x durch ^. Wir beweisen mit diesen Hülfsmitteln noch zwei weitere wichtige Sätze. IX. Die Gleichung x" — a = U hat, wenn a eine positive Zahl ist, eine und nur eine positive Wurzel. §. 35. Wurzeln reiner Gleichungen. 125 Denn setzen wir (1) fix) = x- -a, so ist f{x) nach §.34, VII. für ein hinlänglich grosses positives x positiv, und für a; = 0 negativ; also giebt es einen positiven Werth von x, den man mit ]/a bezeichnet, für den f{x) ver- schwindet. Dass es aber nur einen solchen Werth geben kann, folgt daraus, dass a;", so lange x positiv bleibt, mit x fortwährend wächst. Ist n ungerade, so existirt auch für negative a eine und nur eine negative Wurzel von (1), was ebenso bewiesen wird. X. Eine Gleichung ungeraden Grades mit reellen Coefficienten hat immer wenigstens eine reelle Wurzel. Denn nach §. 34, Satz VII. kann f{x\ wenn der Grad un- gerade ist, sowohl positiv als negativ werden und f{x) = 0 hat also nach VIII. eine Wurzel. Wir beweisen endlich noch XL Eine reine Gleichung hat immer eine Wurzeh Unter einer reinen Gleichung verstehen wir eine Gleichung von der Form (2) a;" — a = 0, wo a eine beliebige reelle oder complexe Grösse ist, Dass diese Gleichung für ein reelles positives a immer eine Wurzel hat, ist oben schon bewiesen, und für a = Q wird sie offenbar durch aj = 0 befriedigt. Der allgemeine Beweis kann in zwei Theile zerlegt werden; es genügt nämlich, wenn wir zunächst n = 2, dann n ungerade voraussetzen. Denn existirt die Grösse p^a undy« oder Va für jedes tt, so ist auch die Existenz von 2"_ -12/ — ZI *"_ iV^"— also von p^a für jedes beliebige w_ sichergestellt. Es würde sogar genügen, die Existenz von |/a für den Fall zu beweisen, dass n eine Primzahl ist. Daraus ist aber zunächst kein beson- derer Vortheil zu ziehen. Wir bezeichnen die complexe Grösse a mit h -\- ci und setzen, da x im Allgemeinen auch complex sein wird, X z= 'ij -\- i z. 126 Dritter Abschnitt. §.35. Dann haben wir zunächst zu zeigen, dass (3) (y _^,.)2 = j^^c, welche reellen Werthe auch h^ c haben mögen, durch reelle ^, z befriedigt werden kann. Die Gleichung (3) ist aber erfüllt, wenn (4) y^ — z^z=h, 2yz = c, also und folglicli (5) y2 ^ s^ = yb- 4- C2. Nach IX. existirt immer eine positive Quadratwurzel Vb^ -[- c^. Aus (4j und (5) folgt nun b 4- yb-2 4- c2 , — & 4- Vb-^ 4- c2 und die beiden Grössen + & -L- V&2 _j- ^2 sind offenbar positiv, da &2 _|- c2 > J2^ also auch Vb'^ -f- c2 > VP! Wir erhalten daraus 2 -6-1-V&2 + C2 ^ = ± V^ 2 ' worin aber das eine Vorzeichen durch das andere bestimmt ist durch die Bedingung 2y0 = c eines der beiden Vorzeichen aber bleibt willkürlich, so dass wir nicht nur eine, sondern zwei (entgegengesetzte) Lösungen von (3) erhalten. Es sei ferner w ungerade; wir nehmen die zu lösende Gleichung in der Form an (6) (y -\- i ^y ^= b -\- c i. Ist c = 0, also a reell, so können wir ^ = 0 setzen und erhalten nach IX. einen reellen Werth von x. Nehmen wir aber c von Null verschieden an, so folgt aus (6j (Einleitung, S. 21) (7) (y - izY = b - ci. Multipliciren wir die beiden Gleichungen (6), (7) mit ein- ander, so folgt {y'2 -f zry. = b^J^ C\ und daraus (nach IX.) §. 36. Eeine Gleichungen. 127 (8) 2,2 ^ ^2 = ]/62 + c2, wodurch der absolute Werth von x bestimmt ist. Es ergiebt sich ferner aus (6) und (7) (9) ^ ^y^ ^) ^ 0/ — ^'^)"(^ + ^'c) — (!/ + izY{h-ic) ^ ^ Nun ist (p(y,2) eine ganze homogene Function wten Grades der beiden Veränderlichen y, z, und zwar mit reellen Coeffi- cienten (da die Vertauschung von i mit — i in (p (y, s) nichts ändert), und wenn wir nach absteigenden Potenzen von y ordnen, so ist das erste Glied c?/", also nach Voraussetzung von Null verschieden. Setzen wir nun y = ^^, so erhalten wir aus (9) (10) g)(A, 1) = 0, also eine Gleichung wten Grades für A, die nach X. gewiss eine "Wurzel hat. Ist A bestimmt, so folgt aus (8) Hierdurch sind die Gleichungen (8), (9) thatsächlich befrie- digt; aus (9) aber folgt iy + i^Y _ {y — i^Y b -\- ic h — « c ' und aus (8), dass der gemeinsame Werth dieser beiden Brüche + 1 ist. Wir haben daher {y 4- i zY = ± (6 -f- ci\ (y — isY = ± (& — ci), und es kann also das Vorzeichen der Quadratwurzel in (11) so bestimmt werden, dass die Gleichungen (6) und (7) erfüllt sind §. 3G. Lösung reiner Gleichungen durch trigonometrische Functionen. Weit vollständiger und einfacher kann die Auflösbarkeit einer reinen Gleichung dargethan werden, wenn man die trigono- metrischen Functionen und ihre einfachsten Eigenschaften als bekannt voraussetzt. Freilich sind diese Functionen der eigent- 128 Dritter Abschnitt. §. 36. liehen Algebra fremd imcl darum ist es befriedigender die principiellen Fragen, so wie es im Vorhergebenden geschehen ist, und auch noch später geschehen soll, ohne ihre Hülfe zu beantworten. Für die Anwendung und eine bequemere An- schauung wollen wir aber dieses Hülfsmittel doch nicht ent- behren. Setzen wir, wenn h, c reelle Zahlen sind, (1) Ij = r cos 9, c = r sin g?, so ist, wenn wir r positiv annehmen, der Winkel cp hierdurch bis auf ein Vielfaches von 2 tc bestimmt. Er wird völlig be- stimmt sein , wenn wir ein Intervall von der Grösse 2 7t fest- setzen, in dem er liegen soll, z. B.: — jr )" = ß»«v. Wenn wir demnach (6) a = r{co'S,cp -\- i^mcp), setzen und unter pV den nach §. So, IX. existirenden und völlig bestimmten positiven Werth verstehen, dessen nte Potenz = r ist, so ist §. 36. Reine Gleichungen. 129 (7) Vr{ cos ^- + « sm n n / eine Grösse, deren nie Potenz = a ist, also eine Wurzel der Gleichung (8) X» = a, wenn unter n eine beliebige positive ganze Zahl verstanden wird. Derselben Forderung genügt aber auch jeder der Werthe (9) Xk = ]/V cos ( cp -\- 2'k7t\ ... ZOP * -|- « sm ' ^ n n wenn Je eine beliebige ganze Zahl ist. In (9) sind aber n und nicht mehr verschiedene Werthe enthalten, die man erhält, wenn man (lOj Je = 0, l, 2, ... 11 — 1- setzt; denn vermehrt man h um ein Vielfaches von n, so ändert (9) seinen Werth nicht, während die n Werthe (10) lauter ver- schiedene W^erthe von x ergeben, weil sie verschiedene Phasen haben. Die Gleichung (8) hat demnach nicht nur eine, sondern n verschiedene Wurzeln. Fig. 1. Die geometrischen Bilder der W^erthe x^ liegen alle auf einem Kreise mit dem Radius ]/r, und zwar um den Winkel 2 7C : n von einander entfernt, ^lan erhält den ersten dieser Punkte dadurch , dass man den gegebenen Winkel (p in n gleiche Theile theilt. Der Radius ^r ist grösser oder kleiner als r, je nachdem r kleiner oder grösser als 1 ist. Die beistehende Fig. 1 zeigt diese Verhältnisse für n = 3 unter der Voraussetzung, dass r > 1 ist. Man kann die verschiedenen Werthe von x^ dadurch erhalten, dass man den ersten von ihnen ^ fP Xo = V r { cos— -\- i sin ^ \ n ^ n mit den verschiedenen Werthen von Weber, Algebra. I. 130 Dritter Abschnitt. §. 37. ,,,, Ihn . . . 2h7l (11) Bj; = COS h i sm multiplicirt. Die Grössen f^ sind Wurzeln der Gleichung (12) x'' = 1, und heissen die nten Einheitswurzeln. Es sind n und nur n verschiedene Werthe. von denen bei ungeradem n nur einer (für k = 0), bei geradem n zwei (für Je = 0 und /j = — j reell sind. Die geometrischen Bilder der nten Einheitswurzeln sind die Eckpunkte eines dem Kreise mit dem Radius 1 einbeschriebenen regelmässigen 7t-Ecks. Ihre algebraische Bestimmung ist Gegen- stand der Kreistheilungslehre. Bezeichnen wir den Wertli von £fe für Ic =± l mit £, setzen also 27t , . . 27C s = cos — + i sm — , n n so ist nach dem Mo i vre' scheu Satze Sic = £^ so dass alle nten Einheitswurzeln als Potenzen von einer unter ihnen dargestellt sind. §. 37. Befreiung einer Gleichung vom zweiten Gliede. Die Gewissheit der Existenz der Wurzeln reiner Gleichungen setzt uns in den Stand, die Wurzelexistenz bei den Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades oder, wie man auch sagt, bei den (juadratischen, cubischen und biquadratischen Gleichungen nachzuweisen, indem wir die Bestimmung ihrer Wurzeln auf die Lösung reiner Gleichungen zurückführen. Wir werden auf diese Frage später von verschiedenen allgemeineren Standpunkten zurückkommen, besprechen aber hier in der Kürze die älteren Methoden der Auflösung, die, wenn sie auch wenig Einblick in den allgemeinen Zusammenhang dieser Fragen gewähren, doch in der Anwendung sehr einfach sind. Sie erwecken den Schein, als ob es sich um eine der Verallgemeinerung auf höhere Gleichungen fähige Methode handle, was aber nicht der Fall ist. Zunächst folgende allgemeine Bemerkung. Nehmen wir der Ein- fachheit halber in der Function §. 37. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 131 (1) /(^) = '^" + «1 ^"~' + «2 -^"-^ H h «n den Coefficienten von x" gleich 1 an, was man im Allgemeinen durch Division mit dem Coefficienten von a;" erreicht, so können wir durch eine einfache Substitution (2) ^ = !'-T' f{x) in eine andere Function wten Grades (p{y) transformiren, in der das zweite Glied i/"~^ nicht vorkommt; denn es ist nach dem binomischen Lehrsatz ^H = yn _ a, yn-1 J^ !i^_ af 2/"-' H ^7, 1 ^n-l _ yu-l ai^»-2 -{-■•■ also ^„-2 _ yn-2 _ . . ., Wenn wir die Transformation für die Fälle w = 2 , 3 , 4 wirklich ausführen, so erhalten wir n--= 2 (p(y) = y- + « (8) n = 3 uv ^ ü) (tt ^ ?;) -^ 6 = 0. Wir bestimmen eine der beiden Grössen m, v durch die andere nach der Gleichung (4) 3 w w = — a, und erhalten aus (3) Aus (4j und (5j aber lassen sich %"•> und v^ durch eine Quadratwurzel bestimmen. Man erhält nämlich (6) (W3 _ r^Zyi — (h3 _i- -y3)2 _ 4^3y3 Setzen wir zur Abkürzung so findet sich u^ — V'' = 1 yn. §. 38. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 133 Wir geben der VR eines der beiden Zeichen und erhalten nach (5) u^^ = -^JrVR. ^-^ = - i - VI, (9) und also Die Multiplication der beiden Ausdrücke (8) ergiebt W3 ^3 = _ _- und zeigt , dass , wenn für u ein bestimmter unter den drei Werthen der Cubikwurzel genommen wird, (10) V = Su ay^ + VR -13/377 3 jedenfalls einer der drei Werthe von w 1- Vi2 ist. Aus (4) folgt aber, dass, nur wenn wir diesen Werth für v nehmen, die Gleichung (1) durch y =z u -\- v befriedigt ist. Wir erhalten so, den drei Werthen von ti entsprechend, drei Wurzeln der Gleichung (1). Aus der Existenz einer Wurzel der cubischen Gleichung ergiebt sich aber auch dadurch schon die Existenz von dreien, dass bereits nachgewiesen ist, dass die quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat. Um aus der einen Wurzel (9) die beiden anderen abzuleiten, setzen wir a = u -\- V, und dividiren y'' -\- a y -\- h durch y — a. Der Quotient, dessen Wurzeln die beiden anderen Wurzeln /3, y der cubischen Gleichung (1) sind, ist iß -\- ay ^ a^ -^ a = 0, woraus man nach (4) des vorigen Paragraphen _ —a±V— Sc/ß — 4:C, J 2 findet. Setzt man hierin u = u -{- v^ und nach (4) a = — ^u v, so folgt: 134 Dritter Abschnitt. §. 39. _ — (n + f) ± V — 3 (i^ -f vy -^ I2uv _ ^ (u-\^v) ±V— S(u — V) Setzen wir also woraus f3 = 1 £2 + £ + 1 = 0 2 folgt, so erhält man die drei Wurzeln der cubischen Gleichung (6) a = u -\- V (13) ß = 8U ^ e^v y = s'^U-\- SV. Darin ist £ eine von 1 verschiedene dritte Einheitswurzel, die hier ohne die trigonometrischen Functionen algebraisch aus- gedrückt ist. Setzt man eu oder a'^u für w, also s^^, sv für v, so vertauschen sich die drei Grössen a, /3, y unter einander. Der Ausdruck (9) für die Wurzel einer cubischen Gleichung wird die Cardanische Formel genannt. §• 39. Der Cayley"sche Ausdruck der Cardanischen Formel. Jede Cubikwurzel hat, wie wir gesehen haben, drei ver- schiedene Werthe, die man aus einem von ihnen erhält durch Multiplication mit 1 , £ , f^ go hat also auch jede der beiden Grössen w, v, wie sie durch (8), §. 38 definirt sind, drei Werthe und die Summe u-\-v hat also, wenn man nur die Bedingungen (8) berücksichtigt, neun verschiedene Werthe; von diesen geben aber nur drei Lösungen der cubischen Gleichung, und erst durch Zuziehung der Relation (4), §. 38 (1) ^uv = — a werden unter den neun Werthen die brauchbaren ausgesondert. §. 40. Biquadratische Gleichungen. 135 Dies ist ein Mangel der Cardanischen Formel, die hiernach für sich noch nicht genügt, um die Wurzeln der cubischen Gleichung eindeutig zu geben. Diesem Mangel hat Cayley durch die folgende Darstellung abgeholfen. Man definire zwei neue Grössen |, rj durch die Gleichungen (2) u = ^'-t], v = ^7j2, woraus sich durch Multiplication mit Benutzung von (1) (3) i n =17^ ergiebt; folglich ist, wenn dieser Werth in (2) eingesetzt und für t(, V ibre Ausdrücke §. 38, (8) substituirt werden, ^^) ^= V'2^ + V4^ + ^' ^ = ^27^-i^T^+3' und wenn man also jetzt die Wurzel y der cubischen Gleichung in die Form (5) y = iri{^-\-n) setzt, so erhält man einen Ausdruck, der, wenn man, von ein- ander unabhängig, | durch |, £|, £2|^ und if] durch r], «r;, a'^ri ersetzt, nicht neun, sondern nur die drei Werthe (6) £|2^ + £2|^2 annimmt. Giebt man ausserdem der in (4) vorkommenden Quadratwurzel das entgegengesetze Zeichen, so werden |, iq mit einander vertauscht, und die drei Wurzeln (6) nur unter einander permutirt i). §. 40. Die biquadratische Gleichung. Ein äbnlicher Weg, wie bei der Lösung der cubischen Glei- chung durch die Cardaniscbe Formel, lässt sich zur Lösung der Gleichung vierten Grades (1) y^-^aif-^hy -^ c = i) einschlagen. ') Cayley, Phil. Mag., vol. XXI, 1861. Collected mathematical papers, vol. V, Nr. 310. 136 Dritter Abschnitt. §. 40. Wir setzen 2y = u -\- V -\- IV, und erhalten, wenn wdr zur Abkürzung (2) s = «2 _j_ v2 -|- iv% t = v^ iv^ + w^u^ -\- u^v^ setzen, Ay^ = s -\- 2(vw -\- wti -\- uv) IQ yi ^= S^ -\- 4: S (v IV -\- w u -{- u v) -\- 4 t -\- 8 ti V lü (u -\~ V -{- iv). Wenn man dies in (1) einsetzt, so findet sich s2 -f 4 ^ + 4 a s + 16 c + 8 (M V ^ü + &) (w + V -f tu) -|- 4 (s -^ 2 a) (y iv -^ tvu ^ u v) = 0. Diese Gleichung wird aber durch die Annahme befriedigt s -f 2 a = 0, uviü ^ b = 0, s^ + 4 ^ -|- 4 a s + 16 c = 0. Mit Hülfe der ersten dieser drei Gleichungen wird die dritte ^ = a2 — 4 c, und, wenn man für s, t die W^erthe (2) zurücksetzt, u^ -\- v^ -{- w^ = — 2a (3) v^ iv^ -\- ic^ u^ -^ u-^ v2 = a^ — 4: c UV 10 ^ — b. Nacli §. 7 sind diese Gleichungen dann und nur dann befriedigt, wenn u^, v^, lo- die Wurzeln der cubischen Gleichung (4) ^3 -^ 2 a ^2 ^ ((^2 _ 4 c^ ^ _ ^2 _ 0 sind, und wenn die Vorzeichen von u, v, iv so bestimmt werden, dass die letzte der Gleichungen (3) befriedigt ist. Diese letztere Bedingung lässt noch vier verschiedene Vorzeichenbestimmungen zu, so dass man die vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung in folgender \Veise erhält: 2 « = u -\- V -{- IV 2 /3 = u — V — IV (5) 2>' — U -\- V — w 2Ö = — u — V -\- IV. Die Lösung der biijuadratischen Gleichung ist damit auf die der cubischen Gleichung (4) zurückgeführt. Diese Gleichung heisst eine cubische Resolvente der biquadratischen Gleichung. I §. 41. Fundamentalsatz. ^37 §. 41. Beweis des Fundamentalsatzes. Wir gehen nun an den Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, dass jede Gleichung f{x) = 0 wenigstens eine Wurzel hat. Wir schicken einige allgemeine Sätze voraus: 1. Wenn S ein beliebiges System reeller Zahlen be- deutet, die alle grösser sind als eine bestimmte positive oder negative Zahl C (d. h. ein System, das keine unendlichen negativen Zahlen enthält), so existirt eine untere Grenze für die Zahlen S. Unter einer unteren Grenze g ist eine solche Zahl zu verstehen, die von keiner Zahl des Systems S unterschritten wird, aber so beschaffen, dass, wenn d eine beliebig gegebene positive Grösse ist, zwischen g und g ^ 8 (mit Einschluss der Grenzen) immer noch wenigstens eine Zahl des Systems S liegt, wie klein auch 8 sein mag. Der Beweis ergiebt sich unmittelbar aus der Möglichkeit eines Schnittes (5(, ^ß), den man so construirt, dass man eine Zahl a nach 51 wirft, wenn sie von keiner Zahl des Systems S unterschritten wird, und eine Zahl ß nach 33, wenn sie wenigstens von einer Zahl in S unterschritten wird. Die durch diesen Schnitt bestimmte Zahl g wird von keiner Zahl in S unterschritten, denn sonst gäbe es auch Zahlen, die kleiner als g sind, und also zu 51 gehören, und die doch von Zahlen in S unterschritten werden, während andererseits jede noch so wenig über g liegende Zahl /3 zu ^ gehört und also von einer Zahl in S unterschritten wird. Das sind aber die charakteristischen Merkmale der unteren Grenze. 2. Ist S' ein Theil von 5', so haben auch die Zahlen S' eine untere Grenze g\ und diese ist entweder gleich g oder grösser als g. Denn kleiner als g kann sie nicht sein, da sonst Zahlen in S' und folglich auch in S vorkämen, die unter g liegen. Es sei xiMXi f{x) eine reelle Function von x, die in dem Intervall (1) a"^ x^h 138 Dritter Abschnitt. §. 41. nur endliche TVerthe hat, und die ausserdem in diesem Intervall stetig ist; das will, in Uebereinstimmung mit §. 34, V und VI, besagen, dass (2) f{x±h)-f{x) dem absoluten Werthe nach in dem ganzen Intervall unter einer beliebig gegebenen Zahl 7] liegt, wenn das positive h kleiner als eine gewisse Zahl a ist. (Für x = a nehmen wir in (2) nur das obere , für x = h nur das untere Zeichen , um mit x -j^li nicht aus dem Intervall herauszukommen.) Für die Werthe einer solchen Function in dem Intervall giebt es nach 1. eine untere Grenze g, und wir beweisen nun den Satz : 3. dass die Function f{o:) den Werth g für irgend einen Werth | des Intervalles annimmt, wonach die untere Grenze zu einem Minimum der Func- tion /(x) in dem Intervall wird. Der Beweis ist folgender. Die untere Grenze der Functions- werthe in einem Theil des Intervalles fl) ist nach 2. entweder gleich oder grösser als g. Wenn nun /(a) = ^ ist, so ist das zu Beweisende richtig; ist aber f{a)'>g^ so kann man wegen der Stetigkeit von f(x) ein Intervall a -^ x -^ a -[- h angeben, in dem f{x) > g bleibt und also die untere Grenze von fix) grösser als g ist. Wir construiren nun in dem Intervall (Ij einen Schnitt (31, 33) der Art, dass wir einen Werth « des Intervalles (1) zu 5( rechnen, wenn die untere Grenze von fix) in dem Intervall a ^ X ^ « grösser als g ist, und einen Werth ß zu S, wenn die untere Grenze im Intervall a ^ :/■ ^ ß gleich g ist. 33 kann möglicherweise aus dem einzigen Werthe h bestehen; dann aber muss fih) =g sein, und unsere Behauptung ist für X ^ h erfüllt; denn wäre fih)>g, so könnte man eine Grösse g' zwischen f{h) und g und wegen der Stetigkeit ein Intervall h — h ^ X ^b so annehmen, dass in diesem Intervall alle Functionswerthe fix) grösser als g, so definirt der Schnitt (51, 23) eine Zahl | im Inneren des Intervalles (1), von der wir nun zeigen können, dass (3) fm = g sein muss. Ist /(l) > g und /(£) > g' > g, so können wir wegen der Stetigkeit von f{pc) ein Intervall I — /i ^ ,^ ^ ^ -f- /i bestimmen, in dem alle Functionswerthe f{x) grösser als g' und also ihre untere Grenze grösser als g ist. Da aber ^ — /^ zu ^ gehört, so ist auch in dem ganzen Intervall g C ist, sobald (5) I ^ I ^ -R wird. Zur Veranschaulichung stellen wir das durch die Un- gleichung I .r I < P. begrenzte Gebiet (jR) für die Variable x durch eine Kreisfläche vom Radius JR in der Ebene der Variablen x ■=^ %j A^ iz dar. Wenn wir C grösser annehmen, als irgend einen Werth von \f{po) I im Inneren des Gebietes {R)-> zum Beispiel grösser als 1/(0)1, so wird \f{x)\ gewiss im Inneren des Gebietes (i?) kleiner werden als an der Begrenzung. Da nun im ganzen Inneren von {Ti) die Function | f{x) \ , die wir zur Abkürzung jetzt mit X bezeichnen wollen, nicht negativ wird, so giebt es für die Werthe von X eine untere Grenze g und wir haben den Satz zu beweisen; 4. Es existirt ein Werth ^ von x im Inneren des Gebietes (i2), so dass (6) \f{l)\=9 140 Dritter Abschnitt. §• 41. wird, dass also die untere Grenze auch hier ein Minimum ist. Die untere Grenze von X in irgend einem Theile des Be- reiches ist entweder gleich g oder grösser als g. Ein Grössengebiet, das durch die Ungleichheitsbedingungen (7) \x\^B, — R^y ^K bestimmt ist, wird in unserer Fig. 2 durch das Segment (P Qu Q'), das wir das Segment (P, c.) nennen wollen, dargestellt. Wir bestimmen nun zunächst FiR. 2. . ,,7- ., einen vVerth r] von y durch einen Schnitt (5t, 33) folgen dermaassen : Eine Zahl a zwischen — Fi, und -\- R wird in 5t aufgenommen, w^enn die untere Grenze von X in dem Segment (P, a) grösser als g ist, und ein Werth ß wird in 33 aufgenommen, wenn die untere Grenze von X in dem Segment (P, ß) gleich g ist. Dieser Schnitt (% 33j delinirt eine Zahl Y] von der Eigenschaft, dass die untere Grenze von X in dem Bereich (P. ?/), wenn y <. rj ist, grösser als (/, und wenn y > rj ist, gleich g ist. Nun ist nach §. 34, VI eine stetige Function von f(r] + i^) I 2 in dem Intervall (8) — VR^ — 1^2 ^s ^ VR^ — 1^2, was in der Fig. 2 durch Jf, M' bezeichnet ist. Diese Function erhält also nach 3. für irgend einen Werth ^ von 0 in diesem Intervall einen Minimumwerth y, so dass, wenn gesetzt wird, (9) \m)\ = r wird. §. 41. Fundamentalsatz. \^i Es ist nun ferner leicht einzusehen , dass y = g sein muss, denn da g die untere Grenze aller Werthe von X innerhalb {R) ist, so kann y zunächst nicht kleiner als g sein. Es kann aber y auch nicht grösser als g sein; denn alle Werthe, die X auf der Strecke 31 M' annimmt, sind ^ y; ist aber y > g., so kann man eine Grösse g' so annehmen, dass y > g' > g ist, und wegen der in §. 34, VI bewiesenen Stetigkeit Ton X lassen sich die Zahlen a, ß so bestimmen, dass a<:v <ß und dass in dem ganzen Bereich (P, ß) — (P, a) = («, /3) {QNN' Q' in der Fig. 2) X grösser als g' bleibt. Folglich ist die untere Grenze von X in («, ß) grösser als g. Da nun die untere Grenze von X in (P, a) grösser als g ist, so ist sie auch in (P, /3), was aus (P, «) und (a, /3) zusammengesetzt ist, grösser als g\ ß gehört aber zu 33, woraus ein Widerspruch mit der Definition von 23 folgen würde. Es bleibt also nur übrig, dass y = g ist, und der Satz 4. ist damit nachgewiesen, nämlich, dass es einen Werth | im In- neren von (R) giebt, für den 1/(1)1=^ ist, dass also \f(x) | einen Minimumwerth erjeicht. Wir be- weisen nun: 5. Wenn « irgend ein Werth von x ist, für den /(«) von Null verschieden ist, so lässt sich h so annehmen, dass (10) l/(« + ^OI(«) , die gleich II(n)ao ist, ist aber 142 Dritter Abschnitt. §. 41. von Null verscliieden ; es mögen also /' (a) , /" (a) . . . /(»"-D («) verschwinden, /('">(«) nicht verschwinden. Wir haben dann nach §.13 lfm 7i)n + l (12) /(« + h) =m + nj^) /<■"' («) + üi^^) /'""" («)+••■ Wir wählen, was nach §. 34, V stets möglich ist, eine posi- tive Zahl s so, dass (13) h /('"+i)(a) + 7^2 y(m+2) (o«) m+ 1 /»">(«) ' ()» + 1) (in -{- 2) /("»)(«) ist, sobald (14) \h\< s, und einen postitiven echten Bruch ö so, dass £'" /('") (a) < 1 (15) ö !/(«)!< 77 (m) was, wenn /(«) nicht verschwindet, gleichfalls möglich ist. Dann bestimmen wir (auf Grund von §. 35) h aus der Gleichung 7i'» /('«) (a) (16) woraus nach (l-Ö) n{m) -ö/(«), 7i I < £ folgt. Aus (12) ergiebt sich jetzt, wenn man für h'" den Werth aus (16) setzt, /(« + 70 = (1 -ö)/(«) - ¥(«) (- also /i /('"+!)(«) /i2 /('»+2)(«) »i -f 1 ß'") («) (^» -f 1) {m -|- 2) /('") (w) (17) /f« + /^ < /(«) (1-^) + d /(«) („j J|_ !)/('")(«) (m -1- 1) (m — 2) /(™>(a) ) und wegen (13) (18) I /(« + /O I < I /(«) I w. z. b. w. Damit ist also der Beweis des Fundamentalsatzes beendigt. §. 42. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 143 §. 42. Algorithmus zur Berechnung der ^Yurzeln. Der im vorigen Paragraphen gegebene Beweis für die Exi- stenz einer Wurzel einer algebraischen Gleichung lässt zwar an Bündigkeit nichts zu wünschen übrig, er hat aber noch den Mangel, dass er nicht die Schritte erkennen lässt, wie man eine Wurzel durch ein convergentes Rechnungsverfahren berechnen kann. Wir fügen also noch die folgenden Betrachtungen hinzu, die diesem Mangel, wenn auch nur theoretisch, abzuhelfen be- stimmt sind. Sie geben noch einen zweiten Beweis des Funda- mentalsatzes, der in der Hauptsache von Lipschitz stammt (Lehrbuch der Analysis, Bd. I, §.61 ff.; Vereinfachungen sind dem Verfasser von Dedekind und Frobenius mitgetheilt). Wenn die beiden ganzen rationalen Functionen f{x) und f {x) einen gemeinsamen Theiler haben, so kann dieser nach ^. 6 durch rationale Operationen gefunden und beseitigt werden. Wir dürfen also voraussetzen, dass/(a:) und /'(*') keinen gemein- samen Theiler haben, dass sie also für keinen Werth von x beide zugleich verschwinden. Wir setzen nun voraus, dass die W'urzelberechnung für eine Function (n — 1/®° Grades schon gelungen sei, und nehmen demnach /' (x) in lineare Factoren zerlegt an. Demnach sei, wenn (1) f{x) = a;" 4- a^a;"-! + «2^""^ + • • •' ist, (2) f'{x) = nx"-' + (u — l)ai^"-2 • • • = n (x — /3i) (x — ß.2) . . . {x — ßn-i), worin die /Sj, ß^ . . . ßn-i f^ls bekannte Zahlen angesehen werden, die auch theilweise identisch sein können. Nach unserer Voraus- setzung werden die absoluten Werthe (3) 1/(^1) I, |/(/3.)|, ...|/(/3„-i)|, die wir mit (4) &i, &2 • • • ^«-1 bezeichnen, alle von Null verschieden sein; wir wollen die Be- zeichnung so gewählt annehmen, dass bi der kleinste unter ihnen 144 Dritter Abschnitt. §. 42. sei, oder wenigstens keinen der anderen an Grösse übertrifft. Nach dem Satz 5, §. 41 lässt sich dann ein Wertli a von x so bestimmen, dass der absolute Werth « von /(«) kleiner als \ wird, also: (5) a < &i ^ &2 ^ &3 • • • ^ ^n-l- Wir begrenzen nun ein Gebiet G für die Variable x derart, dass ausserhalb dieses Gebietes der absolute Werth von f{x) immer grösser als « ist, so dass 6r alle Punkte x enthält, in denen | f{x) | < a ist (aber auch noch andere Punkte). Dies ist nach §. 34, IV dadurch möglich, dass wir vom Nullpunkte als Mittelpunkt einen die Punkte a, /S^, i^=) . . . ßn-i einschliessenden Kreis (R) von hinlänglich grossem Ptadius B legen und die Punkte /3i, ßi • • • ßn--ii in denen |/(a;) | ja grösser als a ist, durch kreisförmige Hüllen von so kleinen, aber nicht verschwindenden Radien p^ , Q2 • ■ ■ Qn—\ von diesem Kreise ausscheiden, dass im Inneren aller dieser Kreise (pi), (p,) ••• (P«— ij der absolute Werth \f{x) I grösser als a bleibt (§. 34, V). Dann umschliesst keiner jp- 3 dieser Kreise den Punkt «, in dem | f{x) \ = a ist. Das von den Kreisen {R), (pO . . . (p„_i) be- grenzte zusammenhän- gende Flächenstück ist das Gebiet G. Wir bestimmen nun eine Zahlenreihe a, a a!\ «'" derart, dass die absoluten Wertlie von /(«), /(«')? /(«") die wir mit a, a , a , a bezeichnen, immer ab- nehmen. Die so bestimmten Punkte «, w', «" bleiben alle im Inneren des Gebietes G^ weil ja in ihnen \f{x) \ < a ist. Wir bedienen uns dazu eines Verfahrens, ganz ähnlich dem zum Beweis des Satzes 5, §. 41 angewandten, nur dadurch verein- faclit, dass /'(«) schon von Null verschieden ist. Wir setzen, indem wir unter ö einen noch näher zu bestimmenden, positiven, echten Bruch verstehen, in der Entwickelung §. 42. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 145 (6) f(a + h)=f(a) + kf (a) + ^ /"(„) + .. . und erhalten (8) /(« + /0 = (1 -ö)/(«) + 2-^("U rw "3- /'(«j3 +---J Nun ist nach (2) /'(«) = ^^(« - /30 (« _ ^,) . . . (« _ ^„_,), also, wenn wir die absoluten Wertlie von (a — /JJ, (« — ^.^ . . . (« — ßn-i) durch Ti, f-i . . . r„_i bezeichnen, I /' («) I = n Vi ra . . . Tn-i. Da nun « ausserhalb des um ß^ beschriebenen Kreises q^ liegt, so ist )\ > pi, und ebenso n > ^2 • • -i und folglich I f (a) \ > n Qi Q2 . . . Qn-i , also I /' (a) I grösser als eine von der Lage von cc innerhalb G unabhängige positive Zabl l\ Daraus ergiebt sich, dass man eine hinlänglich grosse positive Zahl Q^ die gleichfalls von der Lage von « und von dem echten Bruch d unabhängig ist, so wählen kann, dass /(«)/"(«) ö f{ayf"'(u) (9) H 1 ist. Man kann Q erhalten, wenn man auf der linken Seite von (9) in den Nennern /'(«) durch /.-, 8 durch 1, sonst alle Glieder durch ihre absoluten Werthe, endlich den absoluten Werth von u durch den grössten Werth R ersetzt, und die so gewonnene Zahl, wenn nöthig, noch bis über 1 und sonst noch beliebig vergrössert. Dann ergiebt sich aber aus (8), wenn (10) a -|- 7i = «1, \f{a)\ = a, \f{a{)\ = a^ gesetzt wird, «1 < « (1 - ö + I q). Setzt man hierin und in (7), was gestattet ist, b = l : Q^ so folgt Weber, Algebra. I. JQ 146 Dritter Abschnitt. §. 42. (12) tti < a ( 1 — 7^7^), a — «1 > 2QJ' '''- 2Q Wir leiten nun durch dasselbe Verfahren aus a^ , a^ ein zweites Grössensystem «2, «2 ab, dann aus «2, a.2 ein drittes, «3, «3, u. s. f. und erhalten so für die Reihe abnehmender posi- tiver Zahlen a, a^, a2, «g . . . die Umgleichungen (13) «1 < a 0, ttg < «1 0 . . . «v < «,— 1 &, worin 0 = 1 — ein positiver echter Bruch ist. Aus (13) folgt aber durch Multi- plication a, < « 0' und daraus (14) Lim a, = 0. Nun ergiebt sich aus (llj und (12j , , a 2(a — a-i) woraus für jeden Index v (15) i«.,_«,^j 0, so könnten, da die «(') dem Wertlie ^ beliebig nahe kommen, die absoluten Werthe «(*'> von /(«(»)) nicht unter jeden positiven Werth herunter- sinken, was wir doch von ihnen nachgewiesen haben. §. 43. Zahlenwerthe ganzer Functionen. Aus dem Fundamentalsatz von der Wurzelexistenz ergeben sich einige Sätze über die numerischen Werthe ganzer Functionen, die, so einfach sie sind, doch besonders hervorgehoben werden müssen : 1. Sind 01 (x, y, z . . .), O^ (x, ij, z . . .), ^3 {x, y, z ...),. . ganze Functionen der Veränderlichen x, y, z . . . mit numerischen Coefficienten, die in keiner der Functionen alle zugleich verschwinden, so kann man für die Veränderlichen auf unendlich viele Arten solche Zahlenwerthe setzen, dass keine der Functionen (Dj, 0,^ ^3 • • • verschwindet. Der Satz ist zunächst evident, wenn die Functionen 0^, 02, 03 . . . nur von einer Variablen abhängen; denn dann giebt es überhaupt nur eine endliche Anzahl von Zahlwerthen für diese Veränderliche, die eine dieser Functionen zum Verschwinden bringen. Dann aber können wir die Richtigkeit des Satzes für Functionen von n -j- 1 Veränderlichen leicht einsehen, falls wir ihn für Functionen von n Veränderlichen als erwiesen betrachten. Denn ordnen wir die Functionen nach der (n -\- 1)*'=" Veränder- lichen ^, so können wir für die übrigen «Veränderlichen nach Voraussetzung solche Werthe setzen, dass in keiner der Func- tionen die Coefticienten aller Potenzen von t verschwinden; dann haben wir Functionen der einen Veränderlichen t und können für diese einen solchen Werth setzen, dass keine der Functionen verschwindet. Damit ist der Satz bewiesen, und man sieht, dass er auch noch richtig bleibt, wenn für die absoluten Werthe der Zahlen, die für die Variablen zu setzen sind, beliebige obere Grenzen festgesetzt sind, oder wenn gefordert wird, dass nur rationale Zahlen für die Varial)len zu setzen seien. 10* 148 Dritter Abschnitt. §. 44. 2. Haben keine zwei der Functionen ^i, ^2, ^3 • • • einen gemeinschaftlichen Factor (§. 20), so kann man für die Variablen solche Werthe setzen, dass eine dieser Functionen, die nicht eine Constante ist, verschwindet, während die übrigen von Null verschiedene Werthe erhalten. Um diesen Satz zu beweisen, nehme man an, es sei t eine der Variablen, die in 0^ wirklich vorkommt. Dann kann man für jede Function 0» aus der Reihe ^2; ^3 • • • nach dem Algo- rithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers die ganzen Functionen 0,, qi, Xj, deren keine identisch Null ist, so be- stimmen, dass (1) fi ^i + (li ^1 = X, wird [§. 20, (4)], dass Xi von t unabhcängig und nur von den übrigen Variablen x, y . . . abhängig ist. Nun setze man für die letzteren Variablen x, y . . . solche Werthe (nach dem Satze 1.), dass alle Functionen Xi von Null verschieden sind, und dass 0^ nicht von t frei wird, sondern in eine Function f(t) übergeht. Endlich setze man für t eine Wurzel der Gleichung f{t) = 0. Dann verschwindet ^1 , während nach (1) keine der Functionen Qi verschwinden kann. Dies aber fordert der Satz 2. §• 44. Stetigkeit der Wurzeln. Wir beschliessen diesen Abschnitt mit dem Beweis des Satzes : Die Wurzeln einer algebraischen Gleichung sind stetige Functionen der Coefficienten. Wir haben zunächst die Bedeutung dieses Satzes zu erklären. Es sei (1) fix) = a;" + «^1 ^"~^ + «2 «""^ + • • • eine ganze rationale Function von x vom n'^^'^ Grade. Nach dem, was in den vorangegangenen Paragraphen bewiesen ist, lässt sich f{x) in n lineare Factoren zerlegen, die zum Theil einander gleich sein können. Wir setzen, indem wir gleiche Factoren zu- sammenfassen und die Wurzeln mit «, /3, 7 . . . bezeichnen, (2) fix) = ix — af ix — ßf' ix — ry . • ., worin a, &, c . . . ganze positive Zahlen sind, deren Summe gleich n ist. §. 44. Stetigkeit der Wurzeln. 149 Die Wurzeln a, /3, y . . . werden sich mit den Coefficienten ai, «21 «3 • . . ändern, auch der Grad ihrer Vielfachheit kann ein anderer werden. Wir bezeichnen die Aenderungen von a-i, «g • • • rnit «i, s-2 - • ■ und setzen (3) cp (x) = £i a;»-i + f., A"-2 + • . . (4) /(^) + 9'(^)=/i(^). Wir umgeben die Punkte a, ß, y . . . mit Gebieten von beliebiger Kleinheit, jedoch so, dass diese Gebiete sich gegen- seitig ausschliessen, etwa dadurch, dass wir die Punkte a, /3, y ... durch Kreisperipherien mit den Radien p, q\ q" . . . einschliessen, und bezeichnen diese Gebiete durch (9), (^'), {q") . . . Wenn die absoluten Werthe von t^, fg • • • unter hinläng- lich kleinen Werthen liegen, so können wir von der Function /i (x) zunächst beweisen, dass sie keine Wurzeln ausserhalb der Gebiete (p), (q'\ {q") . . . hat, und zweitens, dass die Anzahl der Wurzeln von fi{x) inner- halb (q) genau «, innerhalb (q') genau 6, inner- halb (q") genau c u. s. f. beträgt. Bei dem letzten Theil des Satzes ist aber zu beachten, dass, wenn fi{x) mehrfache Wurzeln hat, diese nach ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen. Fg. 4. Wir construiren nach §. 34, IV in der Ebene x einen Kreis mit dem Radius R und dem Null- punkt als Mittelpunkt, der die Gebiete (q), (q'), (q") . . . ein- schliesst, so dass ausserhalb dieses Kreises keine Wurzeln von /j (x) mehr liegen, und bezeichnen das innerhalb dieses Kreises, aber ausserhalb (()), (p'j, (q") . . . liegende Gebiet mit G. Es ist dazu noch zu bemerken, dass R von den s-^, £., . . . unabhängig angenommen werden kann, so lange für die absoluten Werthe dieser Grössen eine bestimmte obere Grenze festgesetzt wird. 150 Dritter Abschnitt. §..44. Ist mm X ein Punkt des Gebietes (r, so ist der absolute Werth von x — o: grösser als (), der von x — /3 grösser als q\ u. s, f., und mithin nach (2) (5) I fix.) I > r q" q'" ■ ■ ■ Ist nun «1 eine Wurzel von f\ (x), so folgt aus (4) (6) f(ay) = —

i, b-i . . ., ^1, y.2 . . ., Cj, C2 . . . sollen dieselbe Bedeutung für die Gebiete ((>'), (q") . . . haben; es ist dann (11) w = «^ -^ a2 -f . • • + ?*i + &.2 + • • • + Ci + Ca + • • •, da die Gesammtzahl aller Wurzeln gleich n sein muss. Die Function /i (x) lässt sich dann so darstellen : (12) /i (x) = ti (.r) (x — «i)"! (x — aoY^ . . ., §• 44. Stetigkeit der Wurzeln. 151 worin (13) 1^1 (x) = (x — ßj'^ (X - ß,)h ... (x — f.y^ {x — y^y^ . . . Nun können wir eine von q, q' , q" unabhängige positive Zahl B bestimmen, so dass, so lange x innerhalb oder an der Grenze von (q) bleibt (14) \ri^,(x)\ L" annehmen. Nun folgt aus (4) (15) l/(^)l"-\ und daraus nach §.15 (9), so lange [i < n ist, a,—\fAa) _ o «"/v-i(«) f'ia) -'^ /'(«) • Dies führt aber mit Hülfe von (12) zu dem Satze = 1 ^ -]- V r= n — 1, der für jedes v gültig ist, so lange }i < n ist. Diese Formeln bleil)en auch dann noch richtig, wenn der Coefficient der höchsten Potenz von x in f(x) nicht gleich 1 ist, wenn also IQQ Vierter Abschnitt. §. 47. f(x) = «0 a:" + fti x"-^ + ••• + «„ und (14) fr (X) = «0 X" + ^1 ^"~' H h «- gesetzt ist. §. 47. Beweis des Hauptsatzes für zwei Variable. Wir gehen nunmehr zum Beweis des Fundamentalsatzes der Theorie der symmetrischen Functionen über, dass sie alle rational durch die symmetrischen Grundfunctionen ausdrückbar sind. Da wir die vollständige Induction als Beweismittel anwenden, so leiten wir den Satz zunächst unter der Voraussetzung ab, dass nur zwei unabhängige Veränderliche «, ß gegeben seien, aber auf einem Wege, der zugleich für den allgemeinen Beweis den leiten- den Gedanken hervortreten lassen wird. Wir bezeichnen die symmetrischen Grundfunctionen mit (1) « = -(« + /3), h = aß und setzen demgemäss (2) f(x) = (x — u) {x — ß) = x^ -{- ax -j-h. Es sei nun S{a, ß) irgend eine ganze rationale und sym- metrische P'unction von « und ß. Wir können für ß aus (1) den Werth — (« -^ ci) einsetzen und erhalten, wenn wir nach Po- tenzen von « ordnen, (3) S{u, ß) = S(a, — a — a) = A, «'" + A^ «'»-^ -\- • • • -\-- A-in^x « -j- Arai worin die Coefficienten Aq, A^^ . . . Am nur von a und von den in S etwa noch vorkommenden Coefficienten abhängen. Wir bemerken aber ausdrücklich, dass, wenn in S{a, ß) keine ge- brochenen Zahlencoefficienten vorkommen, auch in den Coeffi- cienten J-o, Ai . . . Am keine Brüche auftreten. Wir setzen nun (4) 0 (x) = A^ ic'» + A^ a;'"-i + • • • + ^m-l x-{- Am, dividiren ^(x) durch /fa;) (nach §. 3) und erhalten einen Quo- tienten Q und einen Rest, der in Bezug auf x höclistens vom ersten Grade ist, also: (5) 0{x)= Qf{x)^A-\-Bx; §. 48. Allgemeiner Beweis des Hauptsatzes. IGl hierin sind nun A und B ganze Functionen von a und &, und auch sie enthalten keinerlei gebrochene Zahlencoefficienten, wenn in S keine solche vorkommen. Wenn wir nun x = k setzen, so ergiebt sich aus (5) und (3), da /(«) verschwindet, (6) S(cc, ß) = A^ JBu. Da aber Ä(a, ß) und ebenso A, B symmetrisch sind, so folgt durch Vertauschung von a und ß (7) S{a,ß) = A-^Bß. Hieraus schliesst man, da a und ß von einander unab- hängige Variable sind, dass B = 0 und folglich (8) S{u,ß) = A sein muss, womit der Fundamentalsatz für diesen Fall bewiesen ist. §. 48. Allgemeiner Beweis des Hauptsatzes. Wir setzen nun voraus, der Fundamentalsatz sei bewiesen für symmetrische Functionen von n — 1 Veränderlichen und leiten ihn durch ein Verfahren, was dem in §. 47 angewandten ganz analog ist, für n Variable her. Es sei wieder (1) S = ^'(«1, «2 . . . «„) eine ganze symmetrische Function der n Veränderlichen w^, «2 . . . «„. Wenn wir sie nach Potenzen von a^ ordnen und demgemäss setzen (2) 5f = iSo< 4- Äi^r' H h -S^u-i«! + Su, so sind die Coefficienten Äq, Äi . . . /S|u ganze symmetrische Functionen der n — 1 Veränderlichen «gi • • • '^-n- Bezeichnen wir die symmetrischen Grundfunctionen dieser letzteren Variablen mit ai, a'2 . . . a'n-i, so können wir die Coeffi- cienten S01 Si . . . Sfj. nach unserer Voraussetzung rational durch diese ausdrücken. Es ist aber nach §, 46, (2) und (3) «1 =/i(«i) = «1 + (h «2 =/2 («1) = < + «1 «1 -[- «2 «3 = fi («1) = ci'i + «i «2 -|- tta «1 -\- «3 1 Weber, Algebra. I. ii 162 ' Vierter Abschnitt. §• 48. d. h. die Coefficienten 5o , >Si . . . 5^ können ganz und rational durch «1 , tti , 02 . . . «n ausgedriickt werden. Wenn wir also, nachdem diese Ausdrücke eingeführt sind, in {2) aufs Neue nach Potenzen von «i ordnen, so erhalten wir (3) S = A^ a^ -f Ji U^-^ H h ^m-l «1 + Am, worin im Allgemeinen m ein von ft verschiedener Exponent sein wird, und die Coefficienten A^, A-i_ . . . A^ ganz und rational von ai, a, . . . «n abhängen. Wir setzen wieder (4j 0 rx) = ^0 ^"* + ^1 ^'"~^ H • + ^"»-i * + ^« und dividiren ^(x) durch f{x) = a;" + «1 a;"-^ -f Oj ic"-^ -f- • • • -f a„ = (ä; — «ij Tä; — a^) . . . {x — a„). Es ergieht sich ein Quotient und ein Rest, der in Bezug auf X höchstens vom Grade w — 1 ist. Wir setzen also (5) 0 {x) = Qf{x) 4- t (x) (6j XP (X) = Co X^-' + C, X^-^ H H C'n-2 ^ + Cn-l, und hierin sind C'o, Ci . . . C'„_i ganze rationale Functionen von «1, «2 • • • öni in denen, wenn S in seiner ursprünglichen Form keine gebrochenen Coefficienten enthält, auch keine Brüche vor- kommen. Nun ist aber, da /(«i) verschwindet, und S=0(ai) ist, nach (b) (7) S=ip{a,) und hierin kann, da S symmetrisch ist, «i durch «g, «3 . . , «„ ersetzt werden. Hieraus ergeben sich die folgenden n Glei- chungen : C'o«r' + <^i «r' H h C'«-2«i + (C'n-i - >S') = 0 Co «r' + Gl Urr' H h Cn-2 «2 + (<^'n-l - Sj = 0 (8j Betrachten wir dies System als ein System homogener linearer Gleichungen mit den n Unbekannten Cq, Gl . . . Cn_2j C„_i — o, so ist seine Determir^ante §- 49. Zweiter Beweis des Hauptsatzes. 163 ß n — l 1 ■ n — l « «r% «. n— 2 1 n— 2 . . «i, 1 . . «2, 1 n—l «-2 ««, 1 die nach §. 25, Formel (12) gleich dem Product aller Differenzen c«i — «2i c^i — «3 • • . ist, von Null verschieden, und folglich ist nach dem Satz II. in §. 27: Co = 0, Ci = 0 . . . C„_2 = 0 und (9) S= Cn-r, worin der zu beweisende Fundamentalsatz enthalten ist. Zu demselben Resultat gelangt man auch durch den Satz II, §. 33; denn da die Function (n — 1)*^" Grades von x für X = «1, «2 . . . «„, also für mehr als n — 1 Werthe ver- schwindet, so müssen ihre Coefficienten alle Null sein. Der Beweis, den wir hier für das Fundamentaltheorem im Anschluss an Cauchyi) gegeben haben, bietet zugleich ein Mittel, in besonderen Fällen den Ausdruck einer symmetrischen Function durch die Grundfunctionen wirklich zu berechnen. Dieselbe Möglichkeit bieten auch die anderen Beweise, die für das Theorem bekannt sind. Wir wollen noch einen zweiten Beweis hier mittheilen, der zu einer oft einfacheren Berechuungs- art führt 2). I §. 49. • Zweiter Beweis des Satzes von den symmetrischen Functionen. Es sei S eine ganze symmetrische Function der Variablen «1 , «2 . • • «w Die einzelnen Glieder dieser Function sind alle von der Form ') Cauchy, Exercices de mathematiques, 4^nie annee. *) Waring, Meditationes algebraicae. Gauss, Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Werke, Bd. III, S. 36. 11* 164 Vierter Abschnitt. §. 49. Jf a}i al^ . . . rl oder v^ = v'i, v.j > r'2 oder v^ = v\^ v^ = v'2, V3 > v's etc. Da wir alle Glieder, in denen sämmtliche Exponenten Vi, V2 , . . Vn übereinstimmen, in ein Glied vereinigt voraussetzen, so ist hiernach von je zwei Gliedern entschieden, welches das höhere ist, und wenn A höher als A' , A! höher als A!' ist, so ist auch A höher als A!'. Ist nun nach dieser Anordnung A = Ma\^ al^ ...«"" 12 n das höchste Glied unserer Function S, so folgt, dass V, 2 sein muss; denn wäre Vi < Vo, so würde das Glied das wegen der Symmetrie gleichfalls in S vorkommen muss, in der Ordnung höher stehen als J., gegen die Voraussetzung. Ebenso folgt, dass V2 ^ V3 sein muss, denn wäre v^ < V3, so würde höher stehen als A u. s. f. Wir schliessen also, dass die Expo- nenten in A Vi, v^, v-i . . . Vn eine abnehmende oder wenigstens niemals wachsende Zahlenreihe bilden, oder dass die Differenzen alle positiv oder wenigstens nicht negativ sind. Wir schliessen zweitens, dass in keinem Gliede der Function S ein höherer Exponent als Vi vorkommen kann; denn sonst I §. 49. Zweiter Beweis des Hauptsatzes. 165 würde auch ein Glied vorkommen, in dem «^ diesen höheren Exponenten hätte, und dies wäre gegen die Voraussetzung von höherer Ordnung als A. Es sind also die Glieder, die in einer symmetrischen Function überhaupt vorkommen können, von den Coefficienten abgesehen , durch das höchste Glied vollkommen bestimmt, und die Anzahl der möglichen Glieder ist bei gegebenem höchsten Gliede nur eine endliche. Wir ordnen die symmetrischen Functionen nach der Expo- nentenreihe ihres höchsten Gliedes in der Weise an, dass von zwei solchen Functionen S, S' mit den Exponentenreihen (vi, v^ . . . v„) und {v'i, v'2 . . . v'n) S als die höhere gilt, wenn die erste nicht verschwindende unter den Differenzen v^ — 1^1,^2 — V2 . . . Vn — v'n positiv ist. Die niedrigste Ordnung ist hiernach die, in der alle diese Exponenten = 0 sind, und die symmetrische Function also eine Constante wird. Die nächst niedrige Ordnung ist (1, 0, 0 . . . 0), der die einzige symmetrische Function M(cCi -}- ci2 -\- ' ' ' -\- a„) = — Müi entspricht. Die nächstfolgende Ordnung ist (1, 1, 0 . . . 0), der die symmetrische Function Mtti + M' tta entspricht, und so erhalten wir in den n ersten Ordnungen die Grundfunctionen selbst und ihre linearen Verbindungen, und keine anderen. Die nächstfolgende Ordnung ist charakterisirt durch (2, 0, 0 . . . 0) und enthält die linearen Verbindungen der Grundfunctionen mit der Summe der Quadrate. In allen diesen Fällen ist die Darstellbarkeit der symmetri- schen Functionen bereits bewiesen, und wir werden also jetzt den allgemeinen Beweis dadurch führen, dass wir die Darstellung der Function S von der Ordnung (i^i, ^2 • • • '^n) fhirch die Grundfunctionen unter der Voraussetzung ableiten, dass sie für die Functionen niedrigerer Ordnung schon bekannt sei, also durch das Schlussverfahren der vollständigen Induction, 166 Vierter Abschnitt. §. 49. Wir bemerken hierzu, dass durch die Multiplication zweier symmetrischer Functionen S und S\ deren höchste Glieder A = Ma\^ a'2 . . . e//«. A' = il/'«l'i a]'-^ . . . a> sind, eine symmetrische Function entsteht, deren höchstes Glied das Product AA' = 3II4'al^ + ''^a'/ + ''^ . . . c/>^''" ist. Denn nehmen wir an, es gebe in SS' ein höheres Glied als AA\ das aus der Multiplication der beiden Glieder B = Na'^ia'^^ . . . c/>, B' = iV'«;''i<''2 . . . (/> entsteht, also BB' = NN' definirt ist, die Discriminante der Function /(a;). Setzen wir «0 = 1, so erhalten wir die unhomogene Form der Discriminante!). Das Verschwinden der Discriminante ist die noth- wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass z w e i d e r W e r t h e «1 , Kj . . • «„ einander g 1 e i c h w e r d e n. Wir können für die Discriminante noch einen zweiten Aus- druck aufstellen. Es ist nach §. 14, (12) n(n — 1) ^) Die Discriminante ist, vom Factor ( — 1) 2 Oo""^ abgegeben, dasselbe, was Gauss die Determinante der Function nennt (1. c, art. 6). §. 50. Discriminanten. 169 (4) /'(«i) = «0 («1 — «2) («1 — «3) • . • («1 — «h) /' («n) = «0 («" — «1) («n «2) . . . («„ — «„_i), folglich, da hier jeder Factor («/j — «/,) zweimal mit entgegen- gesetzten Zeichen vorkommt, (5) Um die Discriminante wirklich darzustellen, haben wir zu- nächst ein allgemeines Mittel. Es war nach S. 25 n(n — 1) (6) (-1) 2 p^ 1, «1, Kf . . . a 1, «-2, «1 . . . «"-1 n— 1 1 n- ■2 n— 1 1z , Kji, OC^ . . . Cc,, und wenn wir nach §, 30 das Quadrat dieser Determinante durch Multiplication nach Verticalreihen als eine neue Determinante darstellen und Sm = K + «r H — «" setzen ^Oi "I1 "2? • • • ''n — 1 J) _— (t2n— 2 j Si, S.2, S3, ... Sn n 0) Sn— 1, Sn, S„-(.i, . . . S2n— 2 Die Grössen Sm sind aber die Potenzsummen, die wir schon im §. 46 durch die Coefticienten ausgedrückt haben; nur sind an Stelle der ai, a2 . . . a„ die Quotienten (2) zu setzen. So finden wir z. B. für n = 2 (8) D = a-{S() 8-2 — sf) = a^ — 4ao ag und f ür « = 3 (9) D = < (So S2 «4 — So S3- -f 2 Si S2 S3 — S1-S4 — s.f). Hierin ist nach §. 46 zu setzen Sq = 0, fto Si = — üi a^ S2 = ttf — 2 «0 «2 Oyä S3 = — ai^ -f- 2 ^0 «1 «2 — 3 aj a^ a*Si = af — A Uo a^a^ -f- 4 a^-a^ a^ + 2 aü2a2^ wodurch man erhält (lOj J) == a/ tta^ -|- 18 tto a^ a^a^ — 4r a^ a^ — 4 af «3 - 27 a^^aal 170 Vierter Abschnitt. §• 51. Die Discriminante D ist eine unzerlegbare Function der Variablen ag, % . . . «„ (§. 20). Denn angenommen, D habe einen rationalen Theiler D^, so muss Bi homogen sein, und lässt sich daher, von einer Potenz von ÜQ als Factor abgesehen, rational durch die Variablen «1, «2 . . . Kn ausdrücken. Da nun J) durch keine Potenz von a^ theilbar ist, so muss Z)i, wenn es nicht constant ist, die Variablen «1, «2 • • • «rt enthalten und muss daher wegen (3) durch eine der Differenzen «i — «^ theilbar sein. Da aber andererseits Dj in Bezug auf die «i, «2 • • • ^« symmetrisch ist, so ist es auch durch das Quadrat von ojj- — a^ und durch das ganze Product P^ theilbar, also, von einem constanten Factor abgesehen, mit D identisch. §. 51. Kennzeichen für die Anzahl der verschiedenen Wurzeln. Das Verschwinden der Discriminante D ist, wie wir gesehen haben, die Bedingung dafür, dass zwei unter den Wurzeln «1, «2, . . . «„ der Gleichung f{x) = 0 einander gleich werden. Man kann aber diesen Satz noch verschärfen und so ein genaues Kennzeichen für die Anzahl der verschiedenen Wurzeln von f{x) = 0 herleiten. Wenn, wie bisher, Sq, s^, S2, . . . die Potenzsummen der a bezeichnen, so setzen wir nun für ein beliebiges v "^ n (1) D. = ^0' s,, •S,-i 1, 8,, . . . Sc 2 r SO dass, wenn «0 = 1 angenommen wird, D„ mit der Discrimi- nante D von f{x) übereinstimmt. Um diese Functionen Dv durch die Wurzeln a,- auszudrücken, beweisen wir folgenden Satz: 1. Man wähle beliebig v unter den Grössen «»• aus, etwa «i, «2...av, und bezeichne das Differenzenproduct [§. 50, (1)] dieser v Grössen mit §. 51. KennzeiclieD f. d. Anzahl d. verschiedenen Wurzeln. 171 (2) (3) P.= 1, «1, . . . «[-1 1, «2, . 1, «,, . a 1—1 a' Dann ist worin sich die Summe S auf alle möglichen Arten, die v Grössen «i, a^, . . ., «,. auszuwählen, bezieht. Man kann diesen Satz auch so ausdrücken, dass Dv die Summe der Discriminanten aller der Gleichungen ist, die irgend V von den Grössen a» zu Wurzeln haben. Um ihn zu beweisen, sei v irgend eine unter n gelegene Zahl. Schreiben wir dann die Determinante Dv in der folgenden Form : V 0 0 V.Ol A = V V- 1 0 ^ a. a. V a. «. 2^u. a. 2 a. a. v- 1 — 1 0 V 1—1 1 V V — 1 t— 1 a. «. so können wir den Schlusssatz des §. 30 anwenden, wenn wir dort a (s) lis) = U'^ = a h s h—1 setzen, und dann geht die Formel (16), §. 30 unmittelbar in die Formel (3) über. Daraus erkennen wir zunächst nach §. 49, dass al"-^ D, eine ganze Function der ao, «x, . . . a„ ist, die den Factor ao nicht mehr hat. Es ergiebt sich aber auch daraus die folgende Be- deutung der Dv für die Erkennung der Wurzelgleichheit: 2. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass unter den «j, «2, . . ., ci,i nicht mehr und nicht weniger als q verschiedene vor- kommen, ist Z),,+i = 0, D^+2 = 0, . . . D„ = 0, Dq von Null verschieden^). Denn ist v grösser als 9, so kommen in jedem der DifFe- renzenproducte Pv der Formel (3) zwei gleiche a vor, und sie verschwinden also alle. Ist aber v = p, so enthält die Summe 1) Dieser schöne Satz ist von L. Baur gefanden und dem Verfasser mitgetheilt (Mathematische Annalen, Bd. 50). 172 Vierter Abschnitt. §. 52. (3) ein nicht verschwindendes Glied, nämlich das Differenzen- product der q verschiedenen Grössen «i, «2, . . ., oc^, während alle anderen Glieder der Summe verschwinden. §• 52. Discriminanten der P'ormen dritter und vierter Ordnung. Bei den Functionen dritter und vierter Ordnung haben wir zur Berechnung der Discriminanten in den Auflösungen der Gleichungen dieser beiden Grade (§. 38, §. 40) ein einfaches Mittel. Was zunächst die Gleichung dritter Ordnung betrifift, so waren die drei Wurzeln von (1) a;3 + aic -j- 6 = 0 in der Form dargestellt: u = « -)- V (2) ß = au -\- e^v y z= t^U~\- £V, worin (3) . = :^M_V^3_ .,^-i-V-3 die complexen dritten Einheitswurzeln sind und tt, v durch §. 38, (8) bestimmt sind. Aus (3) folgt (4) £— f2^V— 3", l — £=zf^-V—?j, l_£2 = __£y. und aus (2) 3 a — ß = V— 3 (e^u — ev) u — y = — V— 3 {£11 — a^v) ß — y = V— 3 (u — v). Hieraus durch Multiplication (5) (« — ß) {a — y){ß — y)=3 ]/— 3 {u^ — ^3). Erhebt man ins Quadrat, so erhält man für die Discri- minante der cubischen Gleichung (1) nach §. 38, (6) (6j I) = — {21h-' -f 4a?'j. §. 52. Discriminanten. 173 Hieraus erhält man die Discriminante der allgemeinen Function (7) «0 ^^ -\- «1 x"^ -\- a^x -\- «3, wenn man für a und h die Ausdrücke §. 37, (4) einsetzt, in denen man «i, «ji o.z durch «1 «2 ^3 «0 öfo «0 ersetzt, und mit a^ multiplicirt [§. 50, (3)]. Man erhält so 3 ao «2 — «1^ a 3 ö,f ' 2 a^^ — 9 ao a^ a^ -j- 27 a,2as 27 < und folglich (8) D = - 27^ {(2 al - 9 «, «i «2 + 27 «,2«3)2 -|- 4 (3 ao «2 — «1"/ f • Wenn man das Quadrat und den Cubus ausrechnet, so kommt man zu der Formel (10) §. 50 zurück; es ist aber be- merkenswerth, dass die Formel (8) scheinbar den Nenner 21 a^ enthält, der sich beim Ausrechnen forthebt. Ebenso können wir bei den biquadratischen Gleichungen verfahren. Wir erhalten, wenn a, /3, y, Ö die Wurzeln der bi- quadratischen Gleichung (9) x^ -\- ax^ ^bx -^ c = 0 sind, nach §. 40, (5) « — ß = V -{- w, y — ö = 'y — xo^ (10) a — y ^ IV -\- u, d — ß =1 lü — M, a — d = u -{- V, ß — y = u — V. Danach wird die Discriminante der Gleichung (9) D = («2 _ |(,2)2 (^2 _ ^2)2 (^2 _ ^2)2^ d. h. es ist D gleich der Discriminante der cubischen Resolvente §. 40, (4) (11) ;s3 _^ 2a^2 _|_(fl^2 _ 4c) 0 _ 62 = 0, deren Wurzeln u^, v^, tv^ sind. Wenn man diese Discriminante aber nach der Formel (10), §. 50 bildet, indem man ciq = 1, ai = 2 a, a^ = a^ — 4 c, «3 = — b^ 174 Vierter Abschnitt. §. 52. setzt, so folgt (12) D = — 4«32,2 _|_ i44ctc62 -f- 16a4c — 128a2c2 -}- 256 c» — 27 K Wenn man dagegen zur Bildung der Discriminante der cubischen Gleichung (11) die Formel (8) anwendet, so erhält man (13) 27 D = 4 (a2 -f 12 c)3 _ (2 a3 — 72 a c + 27 &2)2. Man leitet hieraus die Discriminante der allgemeinen Func- tion vierten Grades (14) f{x) = tto x^ -f- «1 a;2 -\- üiX^ -\- a^x -\- a^ ab, indem man nach §. 37, (4) a, 6, c durch — ^a^- 8 4- aa 256 ' 16 4 ausdrückt, dann ai, «25 %i ^4 durch ttj «2 *3 0^4 ttn Cfo ftn <^n (-0 is in isobarische Functionen mit dem Gewichte s übergehen. Wenn das Gewicht einen negativen Werth erhält, so ist die Function gleich Null. Beispielsweise ist, wenn n > m ist, und wenn n = m ist. ^l,s = «0 ^s — ^0 ^'s- Wir wollen aber die Formel {!) nur so lange anwenden, als s > »i — m ist, so dass darin nur positive Werthe von 5,i — n -\- s vorkommen, also für s = ^i — m -\- 1, n — m -|- 2, . . ., n. Ist s ^ n — wi, so wollen wir setzen (9) ffx'-^ = A.^"-' + A«^""' + • • • + A« s = 1, . . ., n — m. Diese Ar^s sind dann lineare Functionen der h allein. Sie sind nämlich, soweit sie nicht Null sind, geradezu den h gleich, so dass (10) Ar^s = ^'m-n+s+r-l, ^ — ^ -fl^r + S^?l-|-l und =: 0, wenn m — w -|- s -f- r — 1 negativ oder grösser als m ist. Dann ist auch hier das Gewicht von J.^, s gleich m — 7i -|- s ^ r — 1, falls Ar^s nicht gleich Null ist. Um die Formeln (8j, (9) zu vereinigen, wollen wir noch ein Zeichen i^s einführen, so dass (llj jOs = ^*~^ für .s = 1, . . ., w — m = /s_i „ s = n — m -\- l, n — m -|- 2, . . ., w, §. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren. 181 und 2)s eine Function (s — 1)*^"^ Grades von x ist. Dann lassen sich die Gleichungen (8), (9) in die eine zusammenfassen: (12) cpps = Äi^sX"*-' + Ä2,sX»-^ H \- An,s-{'qsf, worin qs = g3,„_„+s_i oder (für negative m — n -\- s — 1) = 0 ist. Wenn nun für irgend einen Werth von x die Functionen f{x) und (p (x) zugleich verschwinden, so muss die Determinante des Systems verschwinden, das aus (12) hervorgeht, wenn wir / und (p = 0 setzen (§. 27, II). Die Bedingung hierfür ist also, wenn wir -4i, 1, A2. 1 . • . A„,i -^1, 2i -^2, 2 • • • ^i* (13) R = L«, 2 -^1, 7it -^2, n • • • -"l n, n setzen, JB = 0, und R ist daher die Resultante für / und cp. Man sieht auch hieraus sofort, nach den oben gegebenen Grad- und Gewichtsbestimmungen der Är,si dass R in Bezug auf die a vom Grade m, in Bezug auf die h vom Grade n und vom Gewichte wn ist, wie es sein muss. Wir wollen über die Determinante R und ihre Unter- determinanten eine Reihe wichtiger Sätze ableiten. I. Wenn die beiden Functionen / und cp einen gemeinschaftlichen Theiler vom Grade n — r haben, so verschwinden alle Unterdetermi- nanten von R mit r-f- 1 Reihen. Um ihn zu beweisen, greifen wir aus der Reihe der Indices 1, 2, . . ., n irgend r -\- l heraus, «i, a.,, • • •, ^r+u und biklen nach (12) die Gleichungen 9i>«. —/'/«. =^:,«, X"-^^Ä2,a, a;"-2H [-Än,a, (I4j ^PPu, fq^i — ^i,«2 X n—\ + A«. ^"-' + ' ■^n,U2 Wenn nun Cj, Cg, . . ., Cr+i irgend welche Constanten sind und P = CiPu, + CiPu, 4- . . . -^ c,.+ii;«,.^, (15) Q = Ci qa, + C^qu, -^ • ■ • -f fr+l 2«^+i gesetzt wird, so folgt aus (14) 182 Vierter Abschnitt. §. 54. (16) (pP —fQ= C\ a;"-i -f Ca ä;"-2 ^ ^ C„ = C{x). Nun kann man (§. 27, III) unter allen Umständen die Con- stanten Ci, Ca, . . ., c,.a_i so bestimmen, dass (17) C, = 0, C, = 0, . . ., C, = 0 ist, und dann ist die Function C(x) auf der linken Seite von (16) höchstens vom Grade n — r — 1 in Bezug auf x. Wenn aber / und q) einen gemeinsamen Theiler (n — r)*^'^ Grades haben, so muss dieser nach (16) auch in C{x) enthalten sein, und dies ist nur möglich, wenn zugleich mit (17) auch die Gleichungen (18) Cr+i = 0, Cr + 2 = 0? • • V Cn = 0 befriedigt sind. Dann aber müssen nach §. 27, I. alle (r -\- 1)- reihigen Unterdeterminanten der Matrix verschwinden, w. z. b. w. Es gilt auch der umgekehrte Satz: II. Wenn sämmtliche Unterdeterminanten von It mit r-f- 1 Reihen verschwinden, so haben die Functionen / und cp einen gemeinschaftlichen Theiler vom Grade n — r. Nehmen wir nämlich an, dass alle Unterdeterminanten von (r -\- 1) Reihen der Matrix (19) verschwinden, so kann man die Constanten c^, . . ., c,.+i so bestimmen, dass die Gleichungen (17), (18) befriedigt sind und folglich C(x) verschwindet, ohne dass alle Ci verschwinden. Nehmen wir (20) «1, a.2, . . ., oir+i = 1, 2, . . ., r + 1 an, so ist nach (15) P höchstens vom Grade r, und aus (16) folgt, dass q) P durch / theilbar ist. Demnach muss go einen Theiler mit / gemein haben, dessen Grad mindestens = n. — r ist. Wenn wir die Determinanten (21) Br=l ±Är,rÄ2,2- --Är,r die Hauptunter determinanten von R nennen, so dass speciell i?„ = B, ist, so können wir dem zuletzt bewiesenen Satze die folgende weitergehende Fassung geben: §. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren. I33 III. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass / und qp einen grössten gemein- schaftlichen T heil er vom Grade n — r, aber nicht von höherem Grade, haben, ist die, dass -tlni -tin — li • • •■> -^r + 1 verschwinden, während Br von Null ver- schieden ist. Nehmen wir nämlich an, / und

•: ^. l,ni?r (25) Pr = setzen (26j Ir = FrCp- q,.f, worin ^^ aus P^ hervorgeht, wenn man die jj, durch die g; ersetzt. Haben also, wie vorausgesetzt, / und tp einen gemeinschaft- lichen Theiler {n — rjten Grades, so muss dieser auch in Tr aufgehen, und also, da die Grade übereinstimmen, mit Tr iden- tisch sein. Die Function Tr ist in Bezug auf die Coefficienten h von ^) homogen und vom Grade r, in Bezug auf die Coefficienten a von / ist der Grad aber nur r — ■>«'-'- wi, da die ersten n — m Zeilen der Determinante (23) die a nicht enthalten. Bezeichnen wir den Grad von Tr in Bezug auf x mit s, setzen also n — r = s, so ist der Grad von T,. in den a gleich tn — s in den b gleich n — s. Um das Gewicht von Tr zu erhalten, geben wir der Variablen X wieder das Gewicht 1. Dann ist die Determinante (23) eine Summe von Producten, deren Gewicht man nach (8) erhält, wenn man in m — n -\- h -\- Je — 1 die Zahlen h und h beide in irgend einer Reihenfolge von 1 bis r gehen lässt und die Summe aller dieser Ausdrücke nimmt. Da hiernach die Summe aller h -\- A' gleich r (r -f- 1) ist, so ergiebt sich das Gewicht gleich r (m — n -f- r), oder, wenn wieder n — r = s gesetzt wird, gleich (n — s) {m — s). Es folgt also: §. 55. Elimination. 2g5 V. Die Function Tn-s ist vom Grade s in x, m — s in den Coefficienten von f,n — s in den Coeffi- cienten von ^, und isobarisch und vom Gewicht (m -^ — s) {n — s). Wenn R, aber nicht die Unterdeterminante -R„_i, gleich Null ist, also nur eine gemeinschaftliche Wurzel von / und cp vorhanden ist, so kann man die verschiedenen Potenzen der Unbekannten aus den Gleichungen (12) bestimmen, die dafür ergeben: A«^"~' + A«^"~' H h ^n,s = 0, s = 0, 2, . . ., n — 1, und man erhält also, wenn man. die Unterdeterrainanten von R mit Bi^Tc bezeichnet: -tin — l,n ^2 -^n -2,n ^n— 1 -^1, n ''n.n \^l ) Jy p , J. p ,..., X -p- Darin ist i?„,„ = -R„_i, und wenn wir ii„_i „ = 5„_i setzen, so ergiebt sich (28) X = o„. Rn-l (1) §. 55. Elimination. Theorem von Bezout. Wenn in den beiden Functionen f(x) = ttoic" -\- ttj j-"-i + • • • 4- a„ cp (x) = &o ^"* + &i a:'»-i + • • • + &m die Coefficienten a, b selbst wieder ganze Functionen einer Grösse y sind, so wird auch die Resultante eine ganze Function von y werden, die wir mit F(y) bezeichnen wollen. Die Bildung dieser Gleichung ist die Elimination von x aus den beiden Gleichungen (1). Die Gleichung (2) F{y) = 0 hat alle die Werthe von y zu Wurzeln, wofür die beiden Gleichungen (3) /(^) = 0, (p(x) = 0 eine gemeinsame Wurzel haben. Ist die Bedingung (2) befriedigt, 80 findet man die Werthe von x, die den zwei Gleichungen (3) genügen, indem man den grössten gemeinschaftlichen Theiler von f(x) und q){x) aufsucht. Dieser gemeinschaftliche Theiler 186 Vierter Abschuitt. §. 55. ist vom ersten Grade und bestimmt also x rational, wenn nur eine solche gemeinschaftliche Wurzel vorhanden ist. Sind mehrere gemeinschaftliche Wurzeln vorhanden, so erfordert die Bestimmung von x noch die Lösung einer Gleichung höheren G)"ades. Gehört zu jeder Wurzel der Resultante nur eine gemein- schaftliche Wurzel ,r, so ist die Zahl der Werthepaare x, y, die den Gleichungen (3) genügen, gleich dem Grade der Resultante in Bezug auf y. Sind also die Coefficienten a vom Grade v, h vom Grade ^ in Bezug auf ^, so ist nach der Gradbestimmung des §, 53 der Grad der Resultante (4) nv -{- wft; so gross ist also die Anzahl der gemeinsamen Wurzelpaare. Diese Zahl kann aber noch dadurch modificirt werden, dass möglicherweise die Coefficienten so beschaffen sein können , dass die höchste Potenz von y aus der Endgleichung wegfällt. Man würde dann die üebereinstimmung der Zahl mit (4) nur durch die Hinzufügung unendlicher Wurzeln retten können. Auch mehrfache Wurzeln geben zu Bedenken Anlass. Man begegnet diesen üebelständen theilweise dadurch, dass man die homogene Form der Gleichungen zu Grunde legt , eine Form , in der sich das Eliminationsproblem besonders in der Geometrie einstellt. Wenn nämlich die Function / (x) aus einer homogenen Function wter Ordnung der drei Variablen j\ y, s (einer ternären Form) durch Ordnen nach Potenzen von x hervorgegangen ist, so sind die Coefficienten a^, %, «2 • • • ^.n homogene Formen der beiden Variablen ^, z von dem Grade, den der Index nngiebt, also «0 Gioe Constante, «^ eine lineare, a.^ eine quadratische Form u, s. f., und Entsprechendes gilt von den Coefficienten &o, Z^i . . . 6„j der Function g? {x). Bedeuten a;, i/, z Dreieckscoordinaten in der Ebene, so sind f{x) = 0, ^){x) = 0 die Gleichungen einer Curve nter und einer Curve mter Ordnung, und die gemeinsamen Wurzeln dieser beiden Gleichungen (die Verhältnisse ;/■ :y:z) bedeuten die Schnittpunkte der beiden Curven. Die Endgleichung, die man durch Elimi- nation von X erhält, ist eine homogene Gleichung, deren Grad sich aus (15), §. 53 gleich nm ergiebt. Eine Verminderung des Grades kann hier nicht stattfinden; immer ist die Endgleichung eine homogene Gleichung des nmten §.55. Elimination. J37 Grades für die beiden Unbekannten 1/, s. Die einzige Ausnahme, auf die hier zu achten ist, ist die, dass die Resultante identisch (für alle ^, s) verschwindet, dass also unendlich viele gemein- same Wurzeln vorhanden sind. Dieser Fall tritt dann, aber auch nur dann ein, wenn / und (p als Functionen der Variablen x^ ?/, s betrachtet, einen gemeinsamen Theiler haben (§. 20j. Hierher ist auch der Fall zu rechnen, dass/ und (p einen nur von ^, z abhängigen gemeinsamen Theiler haben, der dann auch als Factor der Resultanten auftritt. Hier giebt es zwar nur eine endliche Zahl von Werthepaaren y.z^ zu diesen aber unendlich viele Werthe von x. In der Geometrie haben diese Fälle die Bedeutung, dass die beiden Curven einen Curventheil und nicht bloss einzelne Punkte gemein haben. Was sich von einem strengen algebraischen Standpunkte über diese Frage sagen lässt, ergiebt sich aus §. 54. Wir wollen die Coefficienten «j-, hi in (1) als ganze Functionen iten Grades einer Variablen y ansehen, so dass das Gewicht mit dem Grade in Bezug auf y übereinstimmt. Wenn / und (p als Functionen von x und y einen gemein- schaftlichen Theiler haben, so giebt es unendlich viele gemein- same Lösungen von / = 0 und «jp = 0. Im anderen Falle bilden wir durch Elimination von x die Resultante 7i*, die eine ganze Function »iwten Grades von y ist. Der Grad kann sich dadurch erniedrigen, dass die Coefficienten einiger der höchsten Potenzen verschwinden. Es giebt also jedenfalls nicht mehr als mn Werthe von t/, für die li verschwindet. Ist ß einer dieser Werthe, so ist R durch y — ß theilbar. Wenn nun aber für y = ß die beiden Functionen / und cp einen grössten gemein- schaftlichen Theiler vom Grade .s oder n — r haben, so sind nach §. 54, I, HI die sämmtlichen Unterdeterminanten von M von r -\- 1 Reihen durch (y — ß) theilbar, während Rr nicht durch y — ß theilbar ist. Daraus ergiebt sich aber, am ein- fachsten aus dem Sylvester 'sehen Theorem [§. 32, (7)], dass li selbst durch (y — ßy theilbar ist. Es kann aljer li auch noch durch eine höhere Potenz von y — ß theilbar sein. Jeder Theiler sten Grades von / und cp absorbirt also mindestens s Wurzeln von It = 0, und wir erhalten hieraus das nach Bezout benannte Theorem in folgender, in geometrisches Gewand ge- kleideter Gestalt. 188 Viertel" Abschnitt. §. 55. I. Zwei Curven nter und mter Ordnung, die keinen Curventheil gemein haben, schneiden sich höch- stens in tim Punkten. Dass die Maximalzahl mn für jeden Werth der Zahlen n und m unter Umständen erreicht werden kann, ersieht man aus dem Falle, dass / und cp in lauter in Bezug auf x und y lineare Factoren zerfallen. Will man, wie es in der Geometrie gebräuchlich ist, in dem Satze den Zusatz „höchstens" weglassen, so muss man unend- liche Wurzeln mitrechnen, was man durch Einführung homogener Variablen umgehen kann. Man muss aber au6h noch Fest- setzungen treffen, wonach in gewissen Fällen einige der Schnitt- punkte mehrfach zu zählen sind. Nur wenn wir uns der oben erwähnten ho'mogenen Form be- dienen, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn wir unendliche Werthe der Unbekannten zulassen, können wir den Satz aus- sprechen, dass zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten immer wenigstens eine Lösung haben. Die Theorie der Elimination setzt uns nun in den Stand, folgende Aufgabe zu lösen. IL P]s sei ein System S von Gleichungen /i = 0, ^2 = 0, /s =^ 0, ... zwischen den Unbekannten X, ^, 2, . . . gegeben. Die Anzahlen der Gleichun- gen und der Unbekannten sollen beliebig sein und brauchen nicht mit einander überein- zustimmen. Es sollen alle Werthe der Unbe- kannten ermittelt werden, die diesen Glei- chungen zugleich genügen, wenn solche vor- handen sind, und im entgegengesetzten Falle nachgewiesen werden, dass keine vorhanden sind. In dem Falle, wo nur eine Unbekannte vorhanden ist, hat man zur Lösung dieser Aufgabe zu untersuchen, ob die Func- tionen/i. /,, /g, . . . einen gemeinschaftlichen Theiler haben, und wenn ein solcher gefunden ist, giebt uns sein Verschwinden die Werthe der Unbekannten durch Auflösung einer algebraischen Gleichung mit einer Unbekannten. Wir nehmen also die Auf- gabe für eine geringere Anzahl von Unbekannten, als die gegebene, als gelöst an, und wenden die vollständige Induction an. I §. 55. Elimination. jgg Wenn von den gegebenen Gleichungen nur eine, etwa /j = 0, die Unbekannte x enthält, so setze man in diese eines der Werthsysteme der y, s^ . . . ein, die den übrigen Grieichungen genügen, die, nach der Voraussetzung, als schon gefunden be- trachtet werden. Dann sind drei Fälle möglich: Entweder /j verschwindet identisch, dann gehören zu diesem Werthsystem der y. z^ . . . unendlich viele Werthe von x, oder es geht x aus /, heraus, ohne dass /^ verschwindet, dann giel)t es keinen Werth von .T, oder endlich es ergiebt sich eine algebraische Gleichung für X, die eine endliche Anzahl von Wurzeln hat. Hierauf können wir nun das allgemeine Problem in folgen- der Weise zurückführen. Wir nehmen aus dem System zwei Gleichungen heraus, die die Variable x enthalten: / = «0 a:" + «1 ä;"-i -f • • • ^ a„ 9? =r 6„ x^^ + hy a;'»-i -\ f- i„. , deren Coefficienten ganze Functionen der ^, s^ . . . sind. Diese müssen in Bezug auf x einen gemeinschaftlichen Theiler vom ersten, zweiten, dritten, . . . Grade haben. Die Bedingungen dafür lassen sich nach §. 54 als rationale Gleichungen zwischen den 2/, ^, . . . darstellen, und ebenso ergiebt sich dann der grösste gemeinschaftliche Theiler von / und g) als rationale Function von X, y^ z^ . . . Dadurch ist dann das System H auf ein anderes System S^ zurückgeführt, das zwar mehr Gleichungen enthalten kann als S, in dem die Unbekannte x aber in einer Gleichung weniger vorkommt als in S. Durch Wiederholung dieses Ver- fahrens ist dann die Aufgabe gelöst. Es ist hierbei aber noch zu bemerken, dass man die verschiedenen Systeme S^ be- trachten muss, die sich aus der Annahme verschiedener Grade des gemeinschaftlichen Theilers von / und (f ergeben ; auch muss man darauf Rücksicht nehmen, dass möglicherweise 0,^ , h^ ver- schwinden können, wenn man es nicht vorzieht, diese Möglichkeit dadurch auszuschliessen, dass man durch eine lineare Substitution in allen Gleichungen von *S' den Coefficienten der höchsten Potenz von x constant macht. Man erreicht dies etwa dadurch, dass man y = X + «2/1. ^ = .-» + /3^i, . . . setzt, worin «, /3, . . . beliebige, nicht verschwindende Constanten sind. Wenn sich im Verlaufe der Rechnung Gleichungen einstellen, 190 Vierter Abschnitt. §. 56. die einen rationalen gemeinschaftlichen Theiler haben, so kann man diesen abspalten, und die Aufgabe in mehrere einfachere der gleichen Art zerlegen. Es kann auch vorkommen , dass in den auf einander folgenden Systemen von Gleichungen eines auf- tritt, dessen Gleichungen alle einen gemeinsamen Theiler haben. Enthält dieser mehrere der Unbekannten, so entspringt aus ihm ein System von unendlich vielen Lösungen, bei denen allen in diesem Factor vorkommenden Unbekannten, ausser einer, be- liebige Werthe ertheilt werden können. III. Das Problem II wird also nach dem geschil- derten Verfahren immer gelöst durch Auf- lösung einer Kette von algebraischen Glei- chungen mit nur einer Unbekannten und durch Einsetzen willkürlicher Werthe für gewisse der Unbekannte n. §. 56; Elimination aus drei Gleichungen. Die Principien der Elimination, die wir im Vorhergehenden auf zwei Gleichungen angewandt haben, lassen sich auf mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten ausdehnen. Wir wollen auf den Fall von drei Gleichungen mit zwei Unbekannten etwas näher eingehen. Es seien (1) f(x,y) = 0, cp(x,y) = 0, ^(x,y) = 0 die drei gegebenen Gleichungen von den Graden «, m, l und wir setzen (2) f{x, 2/) = «0 ^" + % ^" ~ ^ + • • • + ^^«' darin aber sei (3) «fe = afe,o2/^" + «fc,!^'-' + • • • + «Äpfe- ln ganz entsprechender Weise bezeichnen wir die Functionen (p und ^, deren Coefficienten h und c sein mögen, so dass . ^ = C(,Xi -h C^X^~^ -\- • ' ■ -\- Ci ^ ' Ck = Ck,oy^ -f Ck,i y^-"- + • • • + Cfe,fc wird. Wir bilden nun zunächst aus den beiden Functionen / und fp nach §. 54 die Resultante ii„. Wir setzen dann unter der §.56. Die Resultante. \Q\ Voraussetzung, class Bn—i von Null verschieden ist [nach §. 54, (28)]: . (o) X = j, in il^ (x, y) ein, und erhalten (6) Ei^,ip(x,y) = CoÄL_i + c,SizlEn-r + • • • + ciBi^,. Die rechte Seite dieses Ausdrucks ist eine ganze Function von y, deren Grad ^ wir hier nicht naher zu bestimmen brauchen. Er lässt sich übrigens mit Hülfe der Gleichungen (27), §. 54 noch erniedrigen, worauf es hier nicht ankommt. Wir ordnen (6) nach Potenzen von y und setzen (7j Ri^,xl^(x. y) = W{y) = Cr + C^i^"^ H h C-«- Worauf es hier allein ankommt, ist, dass die C'o, Ci, . . ., (7u ganze ^Functionen der a, h und lineare Functionen der c sind. Wir denken uns ferner die Resultante B^ nach Potenzen von y geordnet und erhalten (8) j?„ = Jor" + A2/'""~' -^ h ^m«, worin die Coefficienten Ai ganze Functionen der a, h allein sind. Nun bilden wir die Resultante [5*", i?„] der beiden Func- tionen (7j, (8J. Diese ist eine ganze Function der «, h^ c, homogen in Bezug auf jede der drei Variablen-Reihen a, 6, c, deren Grad in Bezug auf a, h einstweilen nicht näher bekannt ist, deren Grad in Bezug auf die C und folglich auch in Bezug auf die c (nach §. 53) gleich mn ist. Wir sondern nun von der Function \W, i?„] einen von den a, h allein abhängigen Factor B möglichst hohen Grades ab, und setzen (9) [^, Bn] = B ^, so dass £1 keinen von den c unabhängigen Factor mehr enthält. I. Die auf diese Weise, bis auf einen numerischen Factor vollständig bestimmte rationale Function der rt, &, c, die in Bezug auf c vom Grade mn ist, nennen wir die Resultante der drei Functionen /, 9i ^• Hier ist nun zunächst zu bemerken, dass der Factor B nicht verschwinden kann, wenn die Resultante der beiden Func- tionen ii'„ und Bn-i die wir mit z/ bezeichnen wollen, nicht verschwindet; denn wenn [W, jR„] verschwindet, so haben 'jP" = 0 und jB„ = 0 eine gemeinsame Lösung y. Wenn zJ nicht ver- 192 Vierter Abschnitt. §. 56, schwindet, so kann Rn nicht identisch verschwinden, und ii„_i kann für dieses y nicht Null sein; also giebt es eine gemeinsame Lösung X von der Form (5) von / = 0 und gj =: 0, die dann auch il) zu Null macht. Wenn aber das von den c unabhängige B gleich Xull ist, so bleibt [^, !{„] Null, welche Werthe auch die c haben mögen , und man kann die c so annehmen , dass 1^ = 0 keine Lösung mit / = 0 und q) = 0 gemein hat. Wenn also J5 = 0 ist, so muss ^ verschwinden. Damit ist Folgendes bewiesen: IL Wenn für die a, &, c solche Werthe gesetzt sind, dass £1 z= 0 und zJ nicht = 0 wird, so haben die drei Gleichungen f = 0, q) = 0, ip =^ 0 eine ge- meinsame Lösung und umgekehrt: IIL Haben f = 0, <5p = 0, t^ = 0 eine gemeinsame Lösung, und ist z/ von Null verschieden, so ver- schwindet Sl. Es ist nicht leicht, sich auf rein algebraischem Wege von der unnöthigen Voraussetzung frei zu machen, dass z/ von Null verschieden sei. Einfacher aber gelangt man dazu durch Be- nutzung der Stetigkeit. Angenommen, die drei Gleichungen (1) haben eine gemeinsame Lösung X, y. während z/ = 0, aber ^ von Null verschieden ist. Dann kann man die a, h beliebig wenig, aber so ändern, dass z/ einen von Null verschiedenen Werth erhält. Betrachtet man X, y als Lösung von / = 0 und 9) = 0, so werden diese Grössen durch algebraische Gleichungen bestimmt, deren Coefiicienten rational von a, h abhängen, und die sich also bei hinlänglich kleinen Veränderungen von a. b um beliebig wenig ändern (§. 44). Sie mögen in x', y' übergehen. Dann kann man die Coefiicienten c noch so ändern, dass 1/; (x\ y') wieder verschwindet, und diese Aenderungen der c sind ebenfalls beliebig klein. Man kann also schliesslich diese Aenderungen alle so klein annehmen, dass Sl nicht Null wird, und dann erhält man einen Wider- spruch gegen IIL In ähnlicher Weise lässt sich zeigen, dass auch wenn ü und z/ zugleich verschwinden, die drei Gleichungen (1) eine gemeinsame Lösung haben. Wenn zunächst / und cp einen ge- meinsamen Theiler haben , so wird dieser und folglich auch / und 9> mit ijj eine gemeinsame Wurzel haben. §. 57. Theorem von Bezout. ]^9 o Wenn dies nicht der Fall ist, so giebt es nur eine endliche Anzahl von Wurzeln x^ y von / und (p. Wir wollen annehmen, dass für keine von diesen i/; (a?, y) verschwindet. Wir variiren nun a, &, c so wenig, dass alle diese t^ {x^ y) von Null ver- schieden bleiben, jedoch so, dass z/ von Null verschieden wird, während ü Null bleibt. Dann haben wir einen Widerspruch gegen (II). Damit ist also bewiesen: IV. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichungen / = 0, 9) = 0, ^j = d eine gemeinsame Lösung haben, ist ,ß = 0. Es ist hierbei jedoch noch zu bemerken, was wir bei der Beweisführung der Kürze wegen nicht ausdrücklich hervorgehoben haben, dass der Satz II, und demgemäss auch III und IV nur dann allgemein gültig sind, wenn man auch unendliche Werthe von X, y zulässt, oder besser, wenn man die gegebenen Gleichimgen in der homogenen Form f{x, «/, z)=0, cp {x, y, ^) = 0, t^ (ä-, y. z) = 0 annimmt, wobei dann auch ^ = 0 unter den Lösungen auftreten kann. §• 5''- Grad und Gewicht der Resultante. Das Theorem von Bezout. Näheren Aufschluss über die Natur der Resultante ii von drei Gleichungen erhalten wir, wenn wir einen speciellen Fall betrachten, den nämlich, dass die drei Functionen f, (p^ ip in lineare Factoren zerfallen. Es sei 1, « (1) «3P = n(ß[i>x + ß'^^y + /3^^) i' =n (yO'^x 4- rf 2/ + rfO' worin die a, /3, y nun als unabhängige Variable gelten. Dieser Fall geht aus den allgemeinen dadurch hervor, dass man für die a, 6, c gewisse homogene Functionen a', h\ c' der Variablen Weber, Algebra. I. 13 194 Vierter Abschnitt. §. 57. «, /3, y setzt, und zwar sind die a vom w*^° Grade in den oc, die h vom m*^° Grade in den /3, die c vom V^'^ Grade in den y. Das Ersetzen der a, ö, c durch diese Functionen a', 5', c' wollen wir der Kürze wegen die Substitution {x) i>{x) wird, so dass, sobald für x eine Wurzel der Gleichung (4) f(x) = 0 gesetzt wird, wird. Da wir nun die Werthe von y nur für solche Werthe von X, die Wurzeln von (4) sind, betrachten werden, so verlieren wir nichts an Allgemeinheit, wenn wir von vornherein y = '2 • • • + (n-1) v„_, 2jn(y,)n{v,) . . . n{vn-i) « ^ «-i worin die Summe sich auf alle nicht negativen ganzzahligen Werthe von Vq, v^, . . ., v„^i erstreckt, die der Bedingung (13) Vo + Vi -|- • . • + r„_i = m genügen. Setzen wir dann in (12) x^^ X2, . . ., Xn für x und bilden die Summe der so erhaltenen Werthe von 2/*", 2/T, • • •, y'"; so folgt (14) 6,n = y TT(ni) Vrr^ ^^T^ ^ n< ^ ^»'i + 2^. + • • • + ("-D^n-i <" <' • • • ""l'^'- 2^n{Vf^)n(v^) . . . /7(a/„_i) " 1 Hierdurch ist ö^n als ganze homogene Function m*^' Ordnung der «Q, «1, . . ., a„_i dargestellt. Eine etwas vereinfachte Schreib- weise erhält man nach der zweiten Darstellung von Formen (§. 17). Lassen wir fti , jti,» • • -i ^m unabhängig von einander die Reihe der Zahlen 0, 1, . . ., w — 1 durchlaufen, so wird, wenn in einer Combination v^ mal der Index 0, v^ mal der Index 1, Vg mal der Index 2, . . . r„_imal der Index n — 1 vorkommt, und 202 Vierter Abschnitt. §. 59. i"i + f*2 -^ • • • -^ i"»' = Vi 4- 2^2 4- • • • 4- (n — l)v„_i, und danach kann der Ausdruck für 0„, so dargestellt werden: u (15) Ö»t :^ Z" Suj + uj + • • • + .«,„ '^«i "^,"2 • • • W"^. Beispielsweise wird Öj = «0 So + «1 Si -}- • • • -f- «„_i S„_i /. 7,- (16) öo = ^Si^k^-i^'k 7i, i, fc Öo = Z' S/t 4- i + fc «7, «, «?,.. worin Ä, «, 7j die Reihe der Zahlen 0. 1, 2, . . ., w — 1 durchlaufen. §. 59. Anwendung auf die cuhischen und biquadratischen Gleichungen. Das Ziel, das schon Tschirn hausen bei dieser Trans- formation im Auge gehabt hat, bestand darin, durch Bestimmung der Substitutionscoefficienten «a. «j, . . ., a„_i in der umgeformten Gleichung 0. {y) = 0 so viele Glieder zum Verschwinden zu bringen, dass die Gleichung lösbar wird. Es gelingt dies leicht bei den Gleichungen dritten und vierten Grades, wenn es auch nicht einfach ist, und nicht ohne weitläufige Rechnungen mög- lich scheint, die sonst bekannten Formeln auf diesem Wege abzuleiten. Nehmen wir zunächst die cubische Gleichung (1) a:» + a :r2 + 6 a: -[- c = 0, die wir durch die Substitution (2) y = K -i- ßx -\- yx^ umformen. Um die Gleichung für y (3) 2/3 -^ Alf -i- By -^ C = 0 auf eine reine cubische Gleichung zurückzuführen, haben wir die Verhältnisse a:ß:y aus den beiden Gleichungen (4) A = 0. B = () zu bestimmen, von denen die erste linear, die zweite quadratisch ist. Die Gleichungen (4j sind gleichbedeutend mit (5) ö, = 0, 02 = 0 §. 59. Gleichungen dritten und vierten Grades. 203 und ergeben also nach (16) des vorigen Paragraphen a So + ^ Si 4- 7 S2 = 0, «2 So + 2aßs, + 2ays2 -f ß'-s, + 2ßySs + y^s^ = 0, worin Sq = 3 ist. Multiplicirt man die letztere Gleichung mit Sy und zieht das Quadrat der ersten davon ab, so folgt (6) ß^ (So s, _ sf) + 2 /3 r (So S3 — Si s,) + r^ (So s, — s^) = 0. Die Discriminante dieser quadratischen Gleichung (So S3 — Si s^y — (So S2 — s/j (So s, — sl) giebt entwickelt — So (Sq Sa S4 So S3' — Si S4 — s, -f- 2 Si S2 S3), ist also, wenn u die Discriminante der cubischen Gleichung (1) bedeutet [§. 50, (9)] gleich — 3D, und die Auflösung von (6) giebt also (7) ^_ — (S0S3-S, S2)"+'V-3Z) ^ r So So — s'i Damit ist die Gleichung (3) auf eine reine Gleichung zurück- geführt, die zu ihrer Lösung nur noch das Ziehen einer Cubik- wurzel erfordert. Welches Vorzeichen wir der in (7) vorkommen- den Quadratwurzel geben wollen, steht in unserem Belieben. Um die Tschirnhausen-Transformation für die biquadratische Gleichung zu benutzen, kann man etwa so verfahren, dass man in der umgeformten Gleichung (8) y* + hr + hy' + hy-{ h, = o die cco, «1, «2, «3 so bestimmt, dass (9) h, = 0, b, = 0 wird, wodurch (8) in eine quadratische Gleichung für y^ über- geht, aus deren Wurzeln noch die Quadratwurzeln gezogen werden müssen, so dass, nachdem die Gleichungen (9) gelöst sind, noch zweimal eine Quadratwurzel gezogen werden muss. Wenn man mittelst der ersten Gleichung (9) aus der zweiten «0 eliminirt, so entsteht eine homogene cubische Gleichung zwischen «i, «2, «3. Man kann daher eines von den beiden Ver- hältnissen «1 : «2 : «3 beliebig annehmen, z. B. «3 = 0 setzen, und erhält zur Bestimmung des anderen eine cubische Gleichung. Dadurch ist dann die Lösung der biquadratischen Gleichung auf die einer cubischen und auf Quadratwurzeln zurückgeführt. 204 Vierter Abschnitt. ' ' §.'60. §• 60- Die Tschirnhausen-Transformation der Gleichung fünften Grades. Will man auf die Gleichung fünften Grades (1) x'' Ar eil X* -\- a.2X- ^ Ö3 ^'^ -\- ciiX -\- «.-, = 0 die Tschirnhausen-Transformation anwenden, so hat man (2) y z= Uq -^ «1 X -\- a.2 X'^ -\- a^x^^ -\- ci^x^ zu setzen, und erhält die Transformirte (3) y + b,iß^ Kiß + hiß + l,y + h- = 0. Der nächstliegende Gedanke wäre nun, die Yerhältnisse der fünf Unbekannten « so zu bestimmen, dass (4) Ji =0, h, = 0, Z^3 = 0, &, = 0 würde , wodurch f3) auf eine reine Gleichung zurückkäme , und dies war auch das Ziel , das Tschirnhausen im Auge hatte. Aber von den vier Gleichungen (4) ist die erste linear, die zweite quadratisch, die dritte vom dritten und die vierte vom vierten Grade. Die Endgleichung, die man daraus ableiten kann, wird daher (nach §. 57, III.) vom Grade 2 . 3 . 4 = 24, und daher kann daraus für die Lösung der Gleichung fünften Grades kein Nutzen gezogen werden. Man sucht daher zunächst nur den beiden Gleichungen zu genügen: (5) &j = 0. ^2 = 0. wodurch die Gleichung (3j in eine Form übergeht, die nach F. Klein (Vorlesungen über das Ikosaeder) eine Haupt- gleichung fünften Grades genannt wird. Zur Befriedigung der beiden Gleichungen (5j haben wir die Verfügung über die vier Verhältnisse u^ : u.^ : «0 : «3 : «4, und wir können diese Grössen noch auf mannigfaltige Art zur Verein- fachung der Gleichung fünften Grades benutzen. Wir kommen in einem späteren Abschnitt ausführlicher auf diesen Gegenstand zurück und beschränken uns hier darauf, die Ziele im Allgemeinen zu bezeichnen. Der Anschaulichkeit wegen bedienen wir uns einer geometrischen Einkleidung, die übrigens zum Verständniss der algebraischen Theorie, wie sie später gegeben werden soll, durchaus nicht wesentlich ist. §. 60. Hauptgleichung fünften Grades. 205 Wenn wir mit Hülfe der linearen Gleichung hi = 0 von den fünf Grössen a die eine, etwa «oi durch die übrigen aus- drücken, so können wir die vier übrigen a^, «o, «3, «4 als homo- gene Coordinaten eines Raumpunktes betrachten. Die Gleichung ^2 = 0 stellt dann eine Fläche zweiter Ordnung dar, feg = 0 eine Fläche dritter Ordnung, 1)^ = 0 eine Fläche vierter Ord- nung, 65 = 0 eine Fläche fünfter Ordnung. Wollte man also bo, 63, h^ zugleich zu Null machen und dadurch die gegebene Gleichung auf eine reine reduciren, so müsste man einen der 24 Schnittpunkte von drei Flächen zweiter, dritter, vierter Ordnung bestimmen, der von einer Gleichung 24teii Grades abhängt. Statt nun so zu verfahren, sucht man auf der Fläche ^2 = 0 eine gerade Linie zu bestimmen. Solcher gerader Linien giebt es auf jeder Fläche zweiter Ordnung eine oder zwei Schaaren (reell oder imaginär), und man kann eine dieser Geraden durch Quadratwurzeln bestimmen, wie weiter unten aus- geführt werden soll. Die Ermittelung eines Schnittpunktes einer dieser geraden Linien mit der Fläche 1^ = 0 führt dann auf eine Gleichung dritten Grades, und wenn man noch durch Be- stimmung eines gemeinsamen Factors der a den Coefficienten ^4 = 1 macht, so erhält die Gleichung für y die Gestalt (6) y:.^yj^l = 0, wodurch y als algebraische Function einer Variabein h bestimmt ist. Diese Gleichungsform wird gewöhnlich nach dem englischen Mathematiker Jerrard genannt, der sie im Jahre 1834 bekannt machte. Sie ist aber schon viel früher (178G) von E. J. Bring in Lund publicirt worden 1). Wir nennen sie daher die Bring- Jerrard'sche Form. Ebenso gut könnte man durch eine Gleichung vierten Grades ^4 = 0 machen, und würde eine zweite Normalform der Gleichung fünften Grades erhalten: (7) iß -f ^2 ^ j = 0, die die gleiche Berechtigung hat, wie die Bring- Jerrard 'sehe Form. Für die Lösung der Gleichung fünften Grades freilich wird durch diese Betrachtungen nichts gewonnen. Ihr Nutzen besteht ^) Vgl. F. Klein, Yorlesnngeu über das Ikosaeder, S. 143. 206 Vierter Abschnitt. §. 60. darin, dass die Gleichung fünften Grades auf eine Normal- form zurückgeführt wird, die nur von einem veränderlichen Coefficienten abhängt. Dies kann auf unendlich viele verschiedene Arten erreicht werden und gelingt am einfachsten, nämlich ohne Lösung einer Gleichung dritten oder vierten Grades, wenn man die Gleichung fünften Grades ög := 0 selbst als eine Umformung der gegebenen Gleichung fünften Grades betrachtet. Hat man nämlich die Gleichung 65 = 0 gelöst, so wird einer der fünf Werthe von y gleich 0, und die gegebene Gleichung fünften Grades ist damit zugleich gelöst. Fünfter Abschnitt. Lineare Transformation. $. 61. Einführung der linearen Transformation. Wenn wir in irgend welchen Functionen, die von den m Veränderlichen aji, x^, . . ., x,n abhängen, für diese Veränderlichen lineare Ausdrücke einsetzen, die von m neuen Veränderlichen x'i, x'21 . . ., x',n abhängen so nennen wir dies eine lineare Substitution, und das Er- gebniss eine lineare Transformation. Die Grösse (2) r = tu I ill ' 'Ml heisst die Substitutionsdeterminante. Sie muss immer von Null verschieden sein, da sonst durch (1) eine Abhängigkeit zwischen den Variablen x-^^ x.>^ . . ., x^ ausgedrückt wäre, durch eine lineare Substitution geht jede homogene Func- tion der Variablen x in eine homogene Function desselben Grades der Variablen x' über. 208 Fünfter Abschnitt. §. 62. So geht beispielsweise jede lineare Function i y = ^aiXi in eine ebensolche Function i y = IjüiXi über, worin (3) a;, = ia.«w Betrachten wir m solcher linearer Functionen i y,, == Zlüi^vXi V = 1, 2, , . ., m, so erhalten wir m transformirte Functionen i y'y = Ua'i^vX'i r = 1, 2,. . ., w. Die Determinanten der Systeme ;?/,, y'v Z/ = 2^ + «1,1 «2,2 • • • «»i,»n Z/ = 27 + «1,1 «2,2 • • • tt'm,m stehen nach dem Multiplicationsgesetz der Determinanten in der Abhängigkeit (4) ^' = rzl, so dass die eine nicht ohne die andere verschwindet. §. 62. Quadratische Formen. Von besonderer Wichtigkeit ist die Transformation der homogenen Functionen zweiten Grades oder der quadratischen Formen. Wir bezeichnen sie, wie schon im ersten Abschnitt, so: (IJ 9^ (3^11 Sfg, . . .^ X,)i) ^^^ -^ O'ij'k ^i ^ki <^t, fc — -^ «fe, f" Durch die Substitution §. 61, (1) geht (p über in i. k (2j 0ix\, X'^, . . ., X',n) = ^a'i^kOC'iX'u. Setzen wir a: --- | für x und ebenso x' -|- |' für x' , so dass die I' mit den | in derselben Abhängigkeit stehen, wie die x' mit den x^ so erhalten wir, wenn wir zur Abkürzung \ (p' {x^) — Ui, \ 0' (x'i) = ll^i setzen, durch Vergleichung der Glieder der ersten Dimension [§. 18, (12), (13)]: §. 62. Quadratische Formen. 209 (3) 2:|vWv = 2;|;< also, wie in §. 61, (3) (4) Wfc = i:«WM,. Nun ist i i (5) ujc = 2Jau,iXi, u'k^ Sa'-k^iXi, und demnach giebt uns (4) die Transformation von m linearen Functionen. Die Coefficienten des transformirten Systems sind au,h und des ursprünglichen, die man durch Einsetzen des ersten Systems (5) in (4) erhält, (6) &,,„=ri:af)a,,,. Die Determinante des ersteren Systems XI = 27 + ai,i «2, 2 • • • Clm,m ist nach §. 61, (4) = r Z7 + Oj^l 62,2 • • • ^m, mi und nach (6) ist die Determinante der 6^ j, = r 2j ^ ttiji 0^2.2 • • • ^m, ?«• Wenn wir also (7) £r= 2; + «1,1 a2,2 ... am,m setzen, so haben wir den wichtigen Satz (8) H' = r'K Die Determinante H wird die Determinante der Form q) (.7;) genannt. Sie ändert sich also bei der linearen Transformation der Function cp nur um den Factor r^, und sie kann bei der trans- formirten Form nicht verschwinden, wenn sie es bei der ursprüng- lichen nicht thut. Das Verschwinden der Determinante H hat die Be- deutung, dass die Function (p(x) sich auffassen lässt als eine Function von weniger als m Veränderlichen, die lineare Functionen der x sind. Denn wenn erstens durch eine lineare Transformation (p (x) in die Function 0(x') übergeht, die von einer der Veränderlichen, etwa von x\, unabhängig ist, so verschwindet H', da die Elemente in einer der Zeilen (und Colonnen) alle verschwinden, und also ist wegen (8) auch //= 0. Zweitens aber ist // die Determinante des Systems linearer Gleichungen Weber, Algebra. I. 14 210 Fünfter Abschnitt. §. 63. (9) (p'(Xi) = 0, « = 1, 2 . . . m, und wenn diese Determinante verschwindet, so giebt es (§. 27, IV.) ein Grössensystem (lOj x(^\ a:(o) . . . ä;W, dessen Elemente nicht alle verschwinden, und die, für die x ein- gesetzt, den Gleichungen (9) genügen. Nun hat man aber, wenn a:,-, x'i irgend zwei Grössensysteme sind, und A ebenfalls eine willkürliche Grösse bedeutet, die iden- tischen Gleichungen (11) (p{x -h ^x') = (p(x) + k2:xi(p'{Xi) -|- V-(p{x') (fix') = l;2JXi(p'(Xi), [§. 18, (12) bis (15j], so dass, wenn für x'i die Werthe xf^ gesetzt werden a2j (p(xi-^ Xxf^) = cp{x), ganz unabhängig von A wird. Wenn wir nun annehmen, es sei xf^ von Null verschieden und wir setzen ;. = a;W' ferner: ri3) IJi = x^ xf — x^ x^^'^ 2/3 = x-^ icW — Xi x^^'^ ym= XmX^^'^ — XyX^^^ so folgt: (14) icWS ^{X) = if (0, ^2- 2/3 •• • !/,n), wodurch 9) (a;) durch die m — 1 Veränderlichen 3/2, 2/3 •• • 2/»» ^^S" gedrückt ist. ^. 63. Transformation der quadratischen Formen in eine Summe von Quadraten. Wir machen von dem zuletzt ])e-vNäesenen Satze sogleich eine wichtige Anwendung auf die Discriminante der Function (11) (als Function zweiten Grades von A betrachtet), wobei nicht mehr vorausgesetzt wird, dass die Determinante der Function g? verschwindet. Diese Discriminante ist (1 j i^{x) = \X Xi (p' (x'ij] -' — 4 ^ (x) cp (x'). §. 63. Quadratische Formeu. 211 Setzen wir in ihr Xi -\- l x'i an Stelle von rCj, so ergiebt sich, wenn man für fp{x -\- Ix') den Ausdruck §. 62, (11) substituirt und Z x'i (p' (x'i) ^= 2(p(x') setzt, woraus hervorgeht, dass ti^) nur von m — 1 linearen Verbin- dungen der tn Veränderlichen abhängt. Setzt man für ic'^, x'^... x'm, beliebige specielle Werthe, für die (p (x') nicht verschwindet, und nimmt x'^ von Null verschieden an, so wird also eine Function der m — 1 Veränderlichen 1)2 ^2 -^l "^l •^2i • • • ym Xm Xx Xy Xni' Man kann dies auch dadurch bestätigen, dass für Xi, x^ . . . x„i = x'^, x'2 • . ■ x'ni alle zugleich verschwinden, dass also die Determinante der Function t^' verschwinden muss. Die Formel (1) enthält nun ein sehr wichtiges Resultat, das sich am besten übersehen lässt, wenn wir dieser Formel folgende Gestalt geben. Wir setzen .0^ ^{x) = — 4 (jp {x') i (//2, . . . ?/,„) ^^^ Zxicp'(x'i) = 2Vcp{x')Y,, und erhalten (3) cp(x) = Y{ -\- X (^2, Vz ' • • !/m), wodurch (p (x) dargestellt ist als Summe aus einem Quadrat einer linearen Function y^ und einer Function % '^on m — 1 Variablen. Dabei ist Yi nicht linear ausdrückbar durch 1/2, Vs • > • ym] denn für Xi , Xo, . . . x,n = x\, a;',, . . . x'^ werden 2/2, 2/3 •• • ym gleich Null, während Yi ^ ]/ q){x')^ also von Null verschieden wird. Daraus folgt der wichtige Satz Eine quadratische Form von m Veränderlichen lässt sich immer darstellen als eine Summe von Quadraten von m oder weniger von einander unab- hängigen linearen Functionen. Dieser Satz ist ofienbar richtig für eine Function von einer Variablen, die ja selbst ein Quadrat ist. Aus (3) folgt aber die Richtigkeit des Satzes für eine Function von m Veränderlichen, wenn seine Richtigkeit für eine Function von m — 1 Veränder- lichen vorausgesetzt wird. 14* 212 Fünfter Abschnitt §. 64. Die Darstellung ist, wie (2) zeigt, auf unendlich viele ver- schiedene Arten möglich, da die willkürlichen Grössen x' noch in dieser Formel vorkommen. Eine Darstellung durch weniger als m Quadrate ist nur dann möglich, wenn die Determinante der Function 9) verschwindet. Da in dem Ausdruck (2) für Y^ eine Quadratwurzel vor- kommt, so kann Yj reell oder imaginär sein, seihst wenn die Coefficienten von 95 und die x und x' reell vorausgesetzt werden. Setzen wir aher in dem Falle, wo Y^ imaginär ist, i Zj an Stelle von 1\, so können wir unseren Satz auch so aussprechen: Eine reelle quadratische Form von m Veränder- lichen lässt sich als Summe von höchstens m positiven oder negativen Quadraten reeller linearer Functionen der X darstellen!). Zur Yeranschaulichung dieser Betrachtungen mag noch be- merkt werden, dass im Sinne der analytischen Geometrie das Verschwinden der Determinante der Function 9 bei drei Variablen die Bedingung ist, dass der Kegelschnitt 9? = 0 in ein Linien- paar zerfällt, und bei vier Variablen, dass die Fläche 95 = 0 in einen Kegel übergeht. Die in (1) eingeführte Function t^ stellt, gleich Null gesetzt, für vier Variable, den Tangentenkegel der Fläche 95 = 0 dar, der seine Spitze im Punkte x' hat. §. 64. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. Für die Zerlegung einer quadratischen Form in Quadrate gilt nun der folgende Satz, der von Sylvester den Namen des Gesetzes der Trägheit der quadratischen Formen erhalten bat (Philos. Mag. 1852). ^) Für die allgemeine Theorie der linearen Transformation der Forn.en zweiten Grades sind ausser den Untersuchungen von Jacobi und Hesse (Hesse, „Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes", dritte Auflage, besorgt und mit Zusätzen versehen von Gundelfinger, Leipzig 1876) besonders die Arbeiten von Weierstrass und Kronecker (Monats- berichte der Berliner Akademie 1868, 1874) von Bedeutung. Eingehende historische Darlegung der Entvrickelung der Frage in dem „Bericht über den gegenwärtigen Stand der Invariantentheorie" von Franz Meyer (erster Jahresbericht der deutscheu Mathematiker- Vereinigung, Berlin 1892). §. 64. Trägheitsgesetz. 213 Wie man aucli eine reelle quadratische Form g) (x) in die Summe von positiven und negativen Quadraten linearer Functionen zerlegen mag, die Anzahl der posi- tiven und negativen dieser Quadrate, und also auch ihre Gesammtzahl, ist immer dieselbe, vorausgesetzt, dass zwischen diesen linearen Functionen keine lineare Ab- hängigkeit besteht. Der Beweis dieses wichtigen Satzes ist sehr einfach. Es seien (1) cp(x) = Ff + n + . . • Y? - r;2 _ r:? r;? = ZI + Z| H Z'^ - Z[^ - Z'i Z3 zwei Zerlegungen von g? (x) in Quadrate. Es seien also Yi, Y.2 . . . Yy, Y\, Y^ . . . Y'y' homogene lineare Functionen von ic, zwischen denen keine lineare Rel-ition mit constanten Coeffi- cienten besteht und also v -\- v' ^ m; dieselben Voraussetzungen werden über die Functionen Z^, Z2 . . . Zu, Z[, Z'2 . . . Z'^t gemacht, so dass auch ^ -\- ^' "^ m ist. Angenommen, es sei dann können wir die Variablen x den linearen Gleichungen ,^. Ti = 0, r^ = 0 . . . r. = 0 ^"^ z\ = o, z; = 0 . . . Z'u. = 0 unterwerfen, deren Anzahl v -\- ^' kleiner als m ist. ' Wenn nun die sämmtlichen Functionen Z^, Z2 . . . Z^ linear abhängig wären von den Functionen Y^, Y2... Yy, Z'^, Z'^...Z'u>, 80 könnte man aus diesen ^ Gleichungen durch Elimination der V Variablen Yj, Y2 . . ■ Yy eine lineare Gleichung zwischen den Zj, Z-i . . . ZfjL, Z'i . . . Z'a> herleiten, die nach Voraussetzung nicht bestehen soll. Es ist also das Verschwinden sämmtlicher Zj, Z, . . . Zu nicht eine notliwendige Folge der Gleichungen (2), und wir können zu den Gleichungen (2) noch eine nicht homo- gene hinzufügen, etwa Z, = 1; dann haben wir für die m Unbekannten x ein System von m oder weniger Gleichungen, die von einander unabhängig sind, sich also nicht widersprechen. (§. 29, V). Dann ergiebt aber die zweite Darstellung (1) für (p{x) einen positiven Werth, während die erste einen negativen oder ver- 214 Fünfter Abschnitt. §. 65. schwiiidendeu Werth giebt, worin ein Widerspruch liegt. Es folgt also V ^ ,u, und da man ebenso schliesst ^^ V. so bleibt nur v = /u, übrig. In gleicher Weise kann man be- weisen, dass v' = fi' ist, wodurch unser Satz vollständig be- wiesen ist. §. 65. Transformation von Formen «ten Grades. Wenn eine Form wten Grades von m Veränderlichen, F(x), durch eine lineare Substitution [§. 61, (1)] transforrairt wird in 0(x'), so wird gleichzeitig die lineare Function der Veränder- lichen li, I2 • • • I»» (1) iliF(xi) durch dieselbe auf 1, angewandte Substitution in (2) ii:-^(^;) transformirt, weil beide Ausdrücke den Coefficienten der ersten Potenz von t in der Entwickelung von nach Potenzen von t darstellen (§. 18). Desgleichen wird die quadratische Function (3) Z^i^.F'ix^x,) in (4) Z^-^',0"(Xi,x'u) transformirt. Wenden wir das erste Resultat auf ein System von m Func- tionen F^ (x), F2 (x) . . . F,n (x) von beliebigen Graden an und bezeichnen mit z/ die Determinante F[ {x^l F[ {X2) . . . Fl (x,n) Fo{x,l F^ix,) . . . Fi{Xm) während vdr mit z/' die entsprechende, aus den Functionen 01. 0, . . . 0yn gebildete Determinante bezeichnen, so erhalten §. 65. Fuuctional-Determinante. 215 wir nach §. 61, (4), wenn wir wieder mit r die Substitutions- determinante bezeichnen, (5) z/' = rz/. Die Function z/ heisst die Functional-Determinante der m Functionen i^i, F2 . . . Fm- Desgleichen erhalten wir aus der Transformation (3), (4), wenn wir mit H die Determinante T {X^i ^ij, -T (^"25 X^) ... X* [X^i Xffi) " \Xmt Xi)^ J: \Xtn^ X^) . . . Jj (Xmi ^mj und mit H' die entsprechende Determinante für die transformirte Function O bezeichnen, nach §. 62, (8) (6) H = r2 H. i? heisst die Hesse'sche Determinante 1) der Function F. In beiden Formeln (5j und (6) bedeutet r die Substitutions- determinante. Aus den Formeln (2), (3) (6) ergiebt sich ferner, dass die Function 5^ 0 Xi durch die auf die | und die x gleichzeitig angewandte Substi- tution in (8) 2; i;- IL O" (A 4) + A r2 2; 1; 1^' übergeht, wenn A ein unbestimmter Coefficient ist. Betrachten wir also das System von w -j- 1 Variablen |i, I21 • • • Im, A, so geht dies durch eine lineare Substitution, die aus §. 61, (1) durch Hinzufügung der Gleichung l' z= r^l hervorgeht, und deren Determinante 1 ' 2 ' m 1 ' 2 ' m 0, 0, 0, r2 = r3 1) Genannt nach Hesse, der in geometrischen Untersuchungen, namentlich in der Theorie der Curven dritter Ordnung und in Eliminations- problemen diese Determinante vielfach anwandte und ihre Bedeutung erkannte. 216 Fünfter Abschnitt. §. 66. ist in das System 1'^, Ig, . . . |;„, l' über und die quadratische Form (7j wird dadurch in die quadratische Form (8j transformirt. Wenden wir also auf diese Form den Satz §. 62 (8j au, und bezeichnen die Hesse' sehe Determinante der Form (7), also wenn H' (xi), H' {x^^ . . . H' (x,n) die Ableitungen von H sind, die Determinante (9) F"(xi, x{), F'(x,, X2), . . . F"{xi, Xm), H'(xj) M {X^i Xi). H (^25 '''2/1 • • • -t [X^-! X,n), -ti \X2) -^ \P^m^ '^IJ^ J- \p^m-> ^2/1 . • • -t! \Xm-i Xmji -ä (^Xf^) H'(x,), H'ix^y, H'{x„,\ 0 mit C, so besteht die Pielation (10) 6" = r^C wenn C dieselbe Bedeutung für die transformirte Fiinction ^ hat, wie C für F. Eine ähnliche Beziehung ergiebt sich auch, wenn man in (9) die H' (xi) durch die Ableitungen F (xi) ersetzt. Dann aber geht die Determinante (9) in das Product HF über, und wir erhalten also kein neues Resultat. §• 66. Invarianten und Co Varianten. Bei der linearen Transformation der homogenen Functionen treten immer gewisse Functionen der Coefficienten auf, die, wenn man die Coefficienten der gegebenen Form durch die Coefficienten der transformirten Form ersetzt, sich nicht anders ändern, als dass sie einen Factor annehmen, der eine Potenz der Substitutions- determinante ist. Auch bei gleichzeitiger (simultaner) Trans- formation eines Systems von mehreren Formen kommen solche Functionen vor, die von den Coefficienten aller Formen des Systems abhängen. Solche Functionen sind z. B. bei einem System von n linearen Formen die Determinante des Systems, und bei einer quadratischen Form die Deter- minante dieser Form. Man nennt diese Functionen Invarianten der Form, oder wenn sie von mehreren Formen abhängen, simultane Inva- rianten des Systems, §. H6. Invarianten und Covariauteu. 217 Wenn also I{d) eine Function der Coefücienten a einer Form F{x) ist, und wenn a' die Coefficienten der transformirten Form 0{x') sind, so heisst I{ci) eine Invariante, wenn die iden- tische Relation (1) I{a') = y- I(a) besteht. Der Exponent A heisst das Gewicht der Invariante. Ist dieser Exponent Null, so heisst /eine absolute Invariante. Man betrachtet meist nur ganze rationale Invarianten, d. h. solche Functionen J, die von den Coefticienten a rational abhängen und überdies ganze homogene Functionen von ihnen sind. Die simultanen Invarianten sollen in Bezug auf die Coefticienten einer jeden der Formen, von denen sie abhängen, homogen sein. Ausser den Invarianten giebt es auch Functionen, die neben den Coefficienten die Variablen selbst noch enthalten, im Uebrigen aber dieselben Eigenschaften wie die Invarianten (1), „die In- varianteneigenschaft" haben; also, wenn C(x, a) eine solche Function ist: (2) C(x\a') = r^C(x, a). Solche Functionen heissen Covarianten der Form F(x). Die Functionaldeterminante ist eine simultane Covariante eines Systems von m Functionen und die Hesse'sche Determinante einer Function von höherem als dem zweiten Grade, ist eine Covariante einer einzelnen Form. Ebenso ist die im vorigen Paragraphen betrachtete Function C eine Covariante von F. Auch unter den Covarianten betrachtet man vorzugsweise ganze rationale und homogene Functionen von x und von a. Ist m die Anzahl der Variablen x, n der Grad der Function F{x)^ V und fi die Grade von C(x, a) in Bezug auf die x und a, so besteht zwischen den Zahlen A, ft, v, m, n die Relation (3) w^tt = wA -f- V, die man dadurch beweist, dass man den Grad der rechten und linken Seite von (2) in Bezug auf die Substitutionscoefficienten vergleicht. Die a' sind nämlich in den Substitutionscoefficienten vom wten Grade, r vom w^ten Grade, x vom ersten Grade, woraus sich (3) ergiebt. Die entsprechende Formel fiir die Invarianten erhält man, wenn man v = 0 setzt, wie denn überhaupt die Invarianten als specieller Fall der Covarianten betrachtet werden können. 218 Fünfter Abschuitt. §. 67, Ein allgemeines Gesetz zur Bildung von Invarianten und Covarianten, das wir in den besonderen Fällen des §. 65 schon gebraucht haben, wollen wir kurz besprechen. Wenn wir nach §. 18, (4) die Function F(xi 4- f|j, rr-j -}- f|2 • • • ^m -f- Hm) nach Potenzen von t ordnen, so erhalten wir für den Coefficienten von P «1 H- «2 4- • • • + «m =^ V. Wenn wir auf die Variablen | und x gleichzeitig die lineare Transformation (1), §. 61 anwenden, so geht Fr{x,^) in 0y (x\^') über, was man aus Fy erhält, wenn man gleichzeitig alle Buch- staben X, I, a durch x', ^'. a' und F durch 0 ersetzt. Daraus folgt: I. Betrachtet man Fy{x^ |) als Form rten Grades von I und bildet eine Invariante dieser Form, deren Coefficienten also noch von den x ab- hängen, so erhält man eine Covariante der Form F. Und da die Variablen x und | derselben Transformation unterliegen, so ergiebt sich ebenso: II. Bildet man eine Covariante der Function Fy{x^ ^) als Function von ^ betrachtet, und er- setzt darin die | durch die ^, so erhält man eine Covariante der ursprünglichen Function F{x). Die gleichen Sätze gelten auch für simultane Invarianten und Covarianten. Von den Functionen Fy{x^ |) gilt der Satz (5) F.(^, |) = f;_v(|, a;), der sich durch die Vergleichung entsprechender Potenzen von t auf beiden Seiten der Identität F{X, + ^^1 . . . X,n + t^r.) = t-Fit-'X, -f ^: . • • t-'^m + U) ergiebt. Die Functionen §. 67. Binäre Formen. 219 werden die Polaren der Function F(x) genannt, und zwar heisst Pvix, ^) die vte Polare. Auch von ihnen gilt der Satz Der constante Factor n(v) n{n — r) : J7(w) ist zugesetzt, damit, wenn die Form F{x) mit den Polynomialcoefficienten geschrieben ist, die Functionen Py möglichst einfache Coefficienten erhalten. Für die binäre Form f{x, y), auf die wir im Folgenden diese Definitionen hauptsächlich anwenden werden, ergeben sich für die Polaren folgende Ausdrücke: ^ ^ n(n — 1) und allgemein n(n — 1) dx ^^f"{x,x) 4- 2^rjf'{x,y) + r}'f"{y,y) , (n-t;+l)P,(a:, 1) = ^^-h^^r-^^ .- d'f + ••• + '? V »V ox'-'^dy ' ' ' 8«/" Wenn man zu einem System von Covarianten einer Form F wieder Covarianten bildet, so erhält man, wie unmittelbar einzusehen ist, Covarianten der ursprüng- lichen Form. So erhält man z. B. im Falle dreier Variablen, wenn man aus den drei in §. 65 betrachteten Formen F, H, C die Func- tionaldeterminante bildet, die neue Covariante von F: F'{x,\ H'(x,l C'(x,) <6) K= F'{x,\n'{x,\ C{x,) F'{x,\H'{x,l C'{x,) die nach (3) das Gewicht 9 hat, also der Bedingung (7) K = r^K genügt. §. 67. Lineare Transformation binärer Formen. Eine ganze rationale Function wten Grades von x (1) f(x) = ttoX^ -\- ttiX**-'^ -|- «2^""^ ■"!"••• + an-iX -\- ttn 220 Fünfter Absclinitt. §. 67. wird in eine binäre Form verwandelt, wenn man x durch x : y ersetzt und mit y^ niultiplicirt: (2j f{x, y) = öox" 4- a^x^-^y -^ a^x^'-^y'^ _]_... _^ a«?/"- Wenn man die Wurzeln von /(a:) kennt, so kann man /(a;) in n lineare Factoren zerlegen: (3) f{x) = ao(x — «i) {x — Ka) . . . (a; — «„), und daraus ergiebt sich (4j f{x, y) = tto {x — «1 y) {x — a^y) . . . {x — a„ y). Ersetzt man aber auch «i, «2 • • • ^'n durch Verhältnisse «1 : /3i, «2 • /32? • • • «» = /^n, so erhält man (5j /(a;, 7j) = ^(a;/3i — y a^) (x ß^ — y a^) . . . (x ßn — y c^n), wenn ao = Äß^ß2 . . . ßn gesetzt wird. Für die Factoren von f{x^ y), die uns jetzt öfter begegnen, führen wir als Abkürzung das Zeichen ein (6) xß^ — ya, = (xß^). Ebenso werden wir setzen (7 j x^ y.2 — x^yi = {x^ y^), worin a^i, y-y und x^^ y-i zwei beliebige Variablenpaare sind. Wenn wir die inhomogene Darstellung anwenden, so setzen wir noch kürzer X — ay = (0, 1). X — a^ = (0, 2), . . . a; — «„ = (0, n) ^ ^ Uy — u^ = (1, 2), . . . Ui — Kfe = (?, h). Machen wir in der Form (2) eine lineare Substitution X = ax' -^ ßy' (^) y = yx'-{-dy' mit der von Null verschiedenen Determinante (10) r = ad — ßy, so geht die Form f(x, y) in eine Form wten Grades F{x', y') über, und es ist (11) F{x\ y') = a'ox''^ + a[x'"-^ij' + a'^x'^-^y'^ -\ a^i/'*». Die Coefficienten aj,, a\ . . . a'n der transformirten Form er- hält man als lineare und homogene Ausdrücke in den Coeffi- cienten tto, üi . . . ttn und als homogene Ausdrücke wten Grades in den Substitutionscoefficienten a, /3, y, 8. Man erhält so, wenn man a;' = 1, t/' = 0 oder ic' = 0, ?/' = 1 setzt, (12) c/ö=/(«, r), a'n=f{ß,8). §. 67. Binäre Formen. 221 Die übrigen Coefficienten a! kann man durch die Derivirten der Function f {x, y) ausdrücken, z. B. ai = /3/'fa)4-ö/'(7), was wir nicht weiter ausfüliren. Wenn wir auf die beiden Variablenpaare x, y und a^, ßj^ gleichzeitig die Transformation (9) anwenden, so erhalten wir die linearen Factoren von f(x, y) transformirt, nämlich (13) {x'ß-^) = r{xß,), wie man aus der Multiplicationsregel der Determinanten oder auch durch directes Ausrechnen findet. Diese Factoren {x ßu) sind also auch Covarianten von /(ic, i/), freilich aber irratio- nale, da sie nicht rational von den Coefficienten von f{x) ab- hängen. Ebenso ergiebt sich (14) {uHßu) = r{aj,ß^), ■wonach die Determinanten (uhßu) als irrationale Invarianten zu betrachten sind. Wir wollen nun darlegen, wie man daraus rationale Invarianten und Covarianten bilden kann. Wir betrachten zu diesem Zweck am besten die lineare Transformation in der nicht homogenen Gestalt n-\ — ^^' -\- ß i -l 0 ) X — ,1 s. i ^ -^ y a; -{- 0 und wenden diese auf die Function f{x) in (1) an. Es folgt dann, wenn F{x') = a'ox'" -f aia;'"-i + aaa;'"-^ H h «'« gesetzt wird <16) F(x') = {yx'-^8rf{x). Diese Gleichung schreiben wir auch so: F{x') =(ux'Jr ßr («0 ^ «1 ^ + «2 Ji • • •), woraus, wenn man x' = — ö : y, also x = '-o setzt, a,r^ = {—yYF(^ y oder, wenn «i, «2, . . . «n ebenso von k^, «g? • . . «„ abliängen, wie x' von x^ also F{x') = a,{x' — «;) ix' — «;) . . .{x' — a'n) gesetzt wird, (17) r-tto = «ö(y«; + d) (yu, + ö) . . . (y«„ + 8) folgt. 222 Fünfter Abschnitt. §. 67. Nun ist nach der Transformation (15) r{x' — «i) X — C6i = (18) (y^' + ^)(r< + ^) Wir bilden nun ein Product P aus irgend welchen der Factoren (0, 1), (0, 2) . . . (0, n) (1, 2), (1, 3) ... (w — 1, w), jedoch so, dass darin jede der Ziffern 1, 2 ... w im Ganzen gleich oft, etwa jumal vorkommt. Der Index 0, d. h. die Variable rr, möge vma\ vorkommen, und die Gesammtanzahl der Factoren soll q betragen. Es ist dann, da jeder Factor zwei Indices enthält, (19) v^n^ = 2q. Dann ergiebt sich aus (17) und (18), wenn P' aus P durch Vertauschung von x^ cci mit x', a'i hervorgeht (20) cq^ F = «;' r'»."-9 {y x' + d)^ P. Wir bilden nun (21) C{x,y,a) = o.l,fZp(^^y die Summe genommen über alle Werthe, die man aus P erhält, wenn man die Indices 1 , 2 , 3 . . . w auf alle mögliche Arten mit einander vertauscht. Diese Summe ist dann eine sym- metrische Function der Wurzeln von (1) und lässt sich also als ganze rationale Function der Verhältnisse a-^ -.ao, a2:aQ...an'ao ausdrücken, so dass kein Glied die |u.te Ordnung übersteigt (§.49). Die Function C{x, D= ^A,A,- AI, und dann stimmt D mit der Discriminante der cubischen Form [§. 50, (10)] überein: (5) D = a^a^ -\- 18ao«i«2"3 — 4ao«2^ — 4:a'^a^ — 21 a^a.^. Eine weitere cubische Covariante erhalten wir, wenn wir die Functionaldeterminaute von f(x, y) und H(x, y) bilden: 224 Fünfter Abschnitt. §. 68. (7) Q = (6) Q (X, y) = f (X) ir (y) - f {y) H' {x) oder Stto^^ + '^ci'xxy -f- «2^^ 2AqX -\- A-^y ttiX^ -\- ^a^xy -\- Sa^y^, A^x-^-IA^y in der sich kein numerischer Factor wegheben lässt. Wir setzen die ausgerechneten Coefficienten von xß^ x^y, xy"^, y^, deren Bil- dung keine Schwierigkeit macht, der Reihe nach hierher: 27 «ff »3 — 9 tto «1 «2 4~ 2 af, 27 a^aia^ — 18 «0^2' ~\~ 3aj-a27 — 27ao<^2^3 -h 18 «f «3 — 3aia.|, — 27 «0 «3' , -|- 9 «i «2 <^3 — 2 a|. Das Verhalten von fi^ Z), ^ bei linearer Transformation ergiebt sich aus §. 66, (2), (3); sind IF, Z>', Q' die entsprechenden Bildungen für eine transformirte Form, so hat man (8) H' = r'H, D'=r^D, Q' = r^ Q. Die Covarianten können wir benutzen, um die cubische Form auf eine Normalform zu transformiren, die zugleich die Lösung der cubischen Gleichung giebt. Wir wählen die Normalform (9) fix, y) = F(|, v) = ^'-h V\ worin |, rj lineare Functionen von x, y sind; eine Porm, die, wie sich gleich ergeben wird, immer hergestellt werden kann, wenn D nicht verschwindet, also die Gleichung f = 0 nicht zwei gleiche Wurzeln hat. Die Lösungen von / = 0 ergeben sich dann aus den linearen Gleichungen 14-^=0, I + £7? = 0, I + f2^ = 0, worin £ eine imaginäre dritte Einheitswurzel ist. Um für die Normalform (9) die Formen H\ D\ Q' zu bilden, haben wir a'o = «3 = 1, «1 = «2 = 0 zu setzen und erhalten H' = 9^ru U = - 27, Q' = 27 (^^ _ ^3). Wenn die Normalform (9) durch lineare Transformation aus der allgemeinen Form f(x, y) abgeleitet ist, so ergiebt sich nach (8) (10) -^'- '-^^ 27(|3_,j3) = ^3(^ 1^ + ^^=/ §. 68. Binäre cubische Formen. 225 Daraus folgt also, wean für r^ aus der ersten Gleichung der Werth 9 : V — 3 B gesetzt wird, woraus | und r] durch zwei Cubikwurzeln bestimmt sind, von denen nach der ersten Gleichung (10) die eine durch die andere ausgedrückt werden kann. Darin liegt auch der Beweis, dass, wenn D von Null ver- schieden ist, die Normalform durch lineare Transformation her- gestellt werden kann. Denn unter dieser Voraussetzung zerfällt H in zwei von einander verschiedene lineare Factoren, und wenn man diese, von constanten Factoren abgesehen, für die neuen Variablen |, r] einer linearen Transformation wählt, so wird .40=0, ^2 = 0; es folgt aber aus den identischen Relationen 3 as J.0 + «1 A^ = «., J., , «2 ^0 + 3 ao A, = a^ J.i, wenn nicht zugleich Ä^ = 0, was durch das nicht verschwindende D ausgeschlossen ist; a'i =; 0, a'^ = 0, d. h. die transformirte Form von / enthält nur die Guben von | und t]. Eliminirt man |, ?/, r aus den Gleichungen (10), so erhält man zwischen den Covarianten folgende identische Relation (12) 4//:' -f- g2 _|_ 27 i>/2 = 0. Um die Transformation in die Normalform auszuführen, d. b. die Functionen |, y] wirklich zu finden, zerlegt man die Function H in ihre linearen Factoren 4 A E=(2A,x-\-A,y^y- 3 Dy) i^2A,x-^ A, y — ]/- SDy). Dann unterscheiden sich |, rj von diesen beiden Factoren von H nur um je einen constanten Factor. Wir setzen also, wenn wir zwei constante Factoren mit 7i, k bezeichnen, . 2| = k(2A,x-^A,y — V-3Dy) 2r]= ]c(2A,x-{^A,y-^y-3Dyl woraus sich durch Multiplication mit Rücksicht auf die beiden ersten Gleichungen (10) ergiebt: (14) ShkAof^^ =1, Weber, Algebra. I. 15 3 226 Fünfter Abschnitt. §. 69. und die Gleichungen (11) geben durch Vergleichung der Coeffi- cienten von x/^ wo qt, der Coefficient von xJ in Q. also (16) qo = 27 «•- as — 9 öo «1 tta + 2 af ist. Dass die Vorzeichen von V— S JD mit Rücksicht auf die Vorzeichen in (11) so zu nehmen sind, wie es in den Formeln (13; geschehen ist. ergiebt sich am einfachsten, wenn man die Rechnung für den besonderen Fall «o = 0, a-^ = 0 durchführt, in dem die Vergleichung von (11) mit (13j die Identität {a^x — aa.ij)'^ = afx^ — Saa^a^x^y -f Ss^a^a^-xy^ — a^y ergiebt. wenn a eine imaginäre dritte Einheitswurzel ist. §• 69. Das volle Formensystem der binären cubischen Form. Wir wollen noch nachweisen, dass die Invarianten und Covarianten der cubischen Form durch die Functionen D,/, Ä Q erschöpft sind, d. h. dass sich alle Invarianten und Covarianten einer cubischen Form rational durch diese vier Formen aus- drücken lassen. Sei also C = C(x, y, a) eine Covariante vom Grade v in den Variablen und vom Grade fi in den Coefficienten, von der wir voraussetzen wollen, dass sie nur ganzzahlige numerische Coefficienten hat. Es ist dann für irgend eine transformirte Form [§. 66. (2), (3)] (Ij 6"= C{lyi,a') =r'C(x,y, a), m 3 u — V 2 Wir verstehen jetzt unter |, ?; die Variablen unserer oben betrachteten Normalform. Bezeichnet dann a eine dritte Einheits- wurzel, so ist ^ = a^\ 7] = a^r}' eine lineare Substitution mit der Determinante 1, durch die die !Normalform S. 68, (9) in sich selbst übergeht. Es folgt also, §. 69. Das volle Formensystem der cubischen Form. 227 dass sich C nicht ändern kann, wenn ^, ri durch a |, e^t] ersetzt werden; es kann also C nur von 1?^, ^^, t}^ rational abhängen. Die Vertauschung von | mit rj entspricht einer Substitution mit der Determinante — 1 ; dadurch bleibt also C ungeändert oder ändert sein Zeichen, je nachdem X gerade oder ungerade ist. Es besteht daher C aus einer Summe von Gliedern der Form worin 31 ein ganzzahliger Factor ist (da wir die numerischen Coefficienten in C und also auch in C als ganze Zahlen voraus- gesetzt haben), und das obere oder untere Zeichen gilt, je nach- dem A gerade oder ungerade ist. Im letzteren Falle ist dieser Ausdruck durch ^^ — j^s theilbar und der Quotient ist durch |3 _j_ -^3 und ^Tj rational und ganzzahlig ausdrückbar (weil eine symmetrische Function von zwei Grössen so durch die Summe und das Product dargestellt werden kann). Setzen wir also r = 0 oder = 1, je nachdem A gerade oder ungerade ist, so ergiebt sich für C" ein Ausdruck von der Form C" (I, ri) = (|3 _ rj^y 2:31a nY a' + v'Y. worin die 31 ganzzahlige Coefficienten sind und a, ß eine Reihe positiver ganzer Zahlen durchlaufen, die der Bedingung (3) 3r-\-3ß^2tt = v genügen. Aus (1) ergiebt sich also, wenn wir mit einer hinläng- lich hohen Potenz von 3 multipliciren und |jj, |''' -j- ?2^ 1^ — 'rj^ nach §. 68, (10) durch H, /, Q, und /• durch i)~ü ausdrücken, (4) 3"C = Q'IJMD'^H^f, worin (5) 6 y = A — 3 r — 2 «, und worin die M gleichfalls ganzzahlige Factoren sind. Zu jedem Werth von y gehört nach (5) ein bestimmter Werth von a, und nach (3) ein bestimmter Werth von ß; ebenso sind durch einen Werth von cc oder von ß jedesmal die beiden übrigen Zahlen bestimmt, so dass in (4) jeder Exponent von D, H oder / nur einmal vorkommt. Dass y eine ganze Zahl ist, folgt leicht aus f2), (3), (5); denn da nach der Definition A — 3 t eine gerade Zahl ist , so ist zunächst 3 y eine ganze Zahl, und da ferner nach (2) und (3) A-2«=| (u -0. + 2/3 + 2r), 15* 228 Fünfter Abschnitt, §, C9. SO ist 6y und mithin Sy durch 3 theilbar. Hieraus folgt, dass auch ö eine ganze Zahl ist. Dass aber y auch positiv sein muss, sehen wir so ein: Angenommen, auf der rechten Seite von (4) kommen auch negative Potenzen vonD vor, so multipliciren wir diese Gleichung beiderseits mit einer so hohen Potenz von Z), dass rechts keine negativen Potenzen von D mehr auftreten, dass aber auch die rechte Seite nicht den Factor D erhält. Setzen wir in der so gewonnenen Gleichung (6) üo = 0, «1 = 1, «2 = 0, «3 = 0, so wird (7j D = 0, H=—x'-, f=xßy, Q = 2x\ Es würde also die linke Seite verschwinden, während die rechte Seite nicht verschwindet, worin ein Widerspruch liegt. ^Yir können aber endlich auch noch beweisen, dass auf der linken Seite von (4) keine Potenz von 3 auftreten kann, die nicht in allen Factoren M enthalten ist, und sich also fort- heben lässt. Wir haben im §. 2 den Satz bewiesen, dass das Product zweier primitiver ganzer rationaler Functionen von beliebigen Variablen wieder eine primitive Function ist. Dabei ist unter einer primitiven Function eine solche verstanden , deren Coeffi- cienten ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind. Es handelt sich nun hier darum, nachzuweisen, dass eine Summe der Form worin die M ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, nicht imprimitiv werden, und speciell den Factor 3 erhalten kann, wenn für Q^ D^ H^ f ihre Ausdrücke in den a, ic, y gesetzt werden. Nach dem erwähnten Satze genügt es, da Q eine primi- tive Function ist, dies nachzuweisen für die Form Hierin können wir überdies alle Glieder weglassen, deren M den Factor 3 schon hat, und endlich können wir wieder nach dem erwähnten Satze annehmen, dass der Ausdruck nicht durch D theilbar sei, dass er also ein Glied mit y = 0 enthält. Nehmen wir also an, es habe unter diesen Voraussetzungen der entwickelte Ausdruck (8j den Theiler 3, und substituiren nun die besonderen Werthe (6), (7), d. h. setzen wir D = 0, H z= — a:^, §. 70. Biquadratische Formen. 229 f = x^y^ so reducirt sich der Ausdruck auf das einzige Glied, iu dem y = 0, 2« = A ist, und es würde also folgen, dass dies JSI den Theiler 3 haben müsste, was gegen die Voraussetzung ist. Damit ist also be- wiesen: Jede ganzzahlige Covariante der cubischen Form kann ganz und rational und mit ganzzahligen Coeffi- cienten M dargestellt werden durch einen der beiden Ausdrücke Z MÜ^ H"f\ Q2J3ID'^H" f. Die Invarianten sind als Specialfall unter den Covarianten enthalten und sind sämmtlich Potenzen von D. §. 70. Biquadratische Formen. Wir gehen nun zur Betrachtung der biquadratischen Form (X) f(^^ y) = «0 X* + «1 x^ y 4- «2 x^ %f 4- «3 X Iß 4- «4 %ß über. Wir haben zunächst die Hesse' sehe Determinante als Cova- riante vierter Ordnung, die wir, um sie von einem Zahlenfactor zu befreien, durch 3 theilen: .„ jT 1 \\2aQX'^-\-%aixy-\-1a.iy^, ^aiX--\-A:a^xy-\- ^a^y^\ 3 j 3aia;2-|-4a2^y + 3a3?/2, 2a y) = «0 {x — ay) {x — ßy){x — yy){x — d y). Wir setzen xYa — ß = ß^ — at], ^ ^ ^ also (3) X — c/.y = — y « — ß ^ X — ßy = — \'a — ßy] (x — y y)Vu — ß = {ß — y) ^ — {u — y)r] (x - dy)ya - ß = (ß - d) ^ - {a - d) rj, und dadurch geht f(x, y) über in (4) F(|, rj) = a[ r^ V-{-ci'J^-n' + «'3 ^ V'. und die Invarianten für diese Form sind A' = Ä = a'^ — 3 a\ a'3, (5) B' = B =^2 aj — 9 a\ a[, a'3, B' = B = a'l a'l a'i — 4 a'f a'i. Die Coefficienten a\ , «3, a'^ sind nach (3) leicht durch die «, ß, y, ö auszudrücken : 232 Fünfter Abschnitt. §. 71. a\ = a, (ß - y) (ß - ö) (6) a'g = «0 (« — y) (« — d) «; = - «o[(« -y)iß - ö) -f- (« _ ö) (/3 - y)] Durch Vertauschung der Wurzeln können wir die Normal- form (4) auf sechs verschiedene Arten herstellen, die aber nur drei verschiedene Werthe von a[, liefern. Diese drei Werthe sind, wenn wie oben U=(a - ß) (7- ö), (7) V = (a- y) (ö - ß), W= (« - ö) iß - y), gesetzt wird, < ^cioiV - W), (8) < ^ao(W-U), al'=ao(ü - V). Kennt man die a'g, a^, a'^", so kann man auch die C/, V, W bestimmen durch 'dtto U = al' — al (9) 3 ao F = a; — a'^ 3 «0 W= a'l — «2, woraus hervorgeht, dass, wenn von den drei Grössen a'g, a'g, a'J' zwei einander gleich sind, eine der Grössen Z7, F, W ver- schwindet, also zwei der Wurzeln der biquadratischen Gleichung einander gleich sind, und folglich ihre Discriminante verschwindet. Setzen wir noch «/3 -|- yd = u, (10) ay^8ß = v, ad ^ ßy = tv, so ist ao(u -\- V -\- tv) = «2, [die Summe der Producte der Wurzeln yonf(x,y) zu je zweien], ü = V IV, F = if — w, W= u — V, also 3 «0 w = «2 — ^''2 1 (11) 3ao^" = «2 — ^'21 3 «0 ^«^ = »2 — ^''2* §. 72. Covarianteu. ^ 233 Es sind also mit den Grössen a'g, a'^, a"^ zugleich die u,v,w bekannt. Wenn man aber die Grössen m, v, tv kennt, so ist die Lösung der biquadratischen Gleichung auf Quadratwurzeln zurückgeführt. Denn es ist a ß -^ yd ^= u, aoK ß .y d = «4 und daraus 2aß =z u -\- W — -, 2yd=u— W — -• Y Clfi ¥ CIq Da man nun ebenso die Producte «7, «ö, ßy, ßd bestimmen kann, so kann daraus «2 etwa aus aß . ay berechnet werden. Die Grössen a'g, a'J, a'^' sind aber, wie wir schon im vorigen Paragraphen gesehen haben, die Wurzeln der cubischen Gleichung (12) 2^ — SÄ2 -^ B = 0. Dies ist wohl die einfachste Form, die man der cubischen Resolvente der biquadratischen Gleichung geben kann. §. 72. Die Covarianten. Wenn w^r die Covariante H, nach §. 70, (2) für die trans- formirte Form (1) /(^, y) = F(|, rj) = a\ ^^'f} + a', t'V' + < ^V bilden, so erhalten wir (2) —H= 3a;2|4_|. 4a\aJ-^r] - (Ga'.a', — 4a'|)|2^2 + 4a>'3|7^•^ + 3a'|7;^ und daraus folgt (3) ^ + 4 a,/ = - 3 « |2 _ «; ^2)2. Es ist also diese Verbindung, von dem Factor — 3 ab- gesehen, das Quadrat einer quadratischen Form, und dasselbe gilt, wenn wir a'^ durch a'g, a^' ersetzen. Wir setzen also zur Abkürzung 234 ■ Fünfter Abschnitt. §. 72. (4) H^ 4.alf = — Zi^l Von den drei Functionen i^, t^gi ^'s können keine zwei einen gemeinschaftlichen Theiler haben, wenn die Discriminante B von Null verschieden vorausgesetzt wird. Denn dann sind auch die drei Grössen a\, a'ö, a'.^ von einander ver- schieden, "Wenn also t/^i und i>2 verschwinden, so müssen H und / verschwinden, d. h. ein gemeinsamer Theiler von tpi und ipj müsste gemeinsamer Theiler von H und / sein. Nun war aber | ein beliebiger Lineartheiler von /. Dieser kann nach (2) nur dann Theiler von H sein, wenn a'g =0 ist, also wieder, wenn die Discriminante D verschwindet [§. 71, (5)]. Nun ist die Functionaldeterminante T von / und H identisch mit der Functionaldeterminante von / und H -j- A/, was auch X sein mag, und daraus ergiebt sich, wenn A = Aa'^ gesetzt wird : T=-ltdF' m ^\ in) - F' {ri) i,\ (I)]. Es ist also T theilbar durch ^j, und aus gleichen Gründen durch i/.'2 und 1/^3, und folglich ist T bis auf einen von |, ?j un- abhängigen Factor identisch mit dem Product \p^ tp-j ip-^. Bilden wir demnach das Product der drei Gleichungen (4), so folgt mit Rücksicht auf die cubische Gleichung §. 71, (12), der die Grössen a'2, a'^, a"^ genügen: H^ — ASÄHf — UBf = cT\ wo c eine noch zu bestimmende Constante ist. Nach §. 70, (16) bleibt c bei einer linearen Transformation ungeändert, und man findet also seinen Werth, wenn man aus der Normalform (1), (2) die Glieder mit der höchsten Potenz von ^ beiderseits einander gleich setzt, c = — 27. Wir haben also zwischen den Invarianten und Covarianten die folgende identische Relation (5) ^' — 48 ^ Hf — 64 Bf = — 27 T\ Die Functionen ijj^, ip2, 1/^3 sind gleichfalls Covarianten, frei- lich mit Coefficienten, die in den Coefficienten von / nicht ratio- nal sind. Wir können sie leicht durch die Wurzeln a, /3, y, d von f ■= 0 ausdrücken. Setzt man zur Vereinfachung ^ = 1, so folgt nach §. 71, (3j und (6) §. 72. Covarianten. 235 ^1 = «1 1"^ — a'sV' _ ^, (^ _ y) (/3 _ g) (^ _ ay. -(a-y) {g - 8) {x - ß)^ - "° ^T^^ Darin aber lässt sich a — ß im Zähler und Nenner weg- heben, und man kann tlf-^ in zwei Formen darstellen; um ip^ ^^^ 1/^3 zu erhalten, braucht man dann nur /3, 7, d cyklisch zu ver- tauschen. Man findet so: ^' = (y — ß) (x — k) (x — 8) — (K — 8) (X — ß) (X — y) = (8 - ß)(x - a) (x — y) — (« - y) (x - ß) (x - 8) «0 (6) ^ = (8 - y) (X - «) (x-ß)- (« - ß)(x- y) {x - 8) = iß — 7) {x — «) (^ — ^) — (« — ö) {x — y) {x — ß) ^ = {ß-8){x-a)(x-y)-(a- y) (x - 8) (x - ß) ' ^(y -8)(x- a) (x — ß) — (a- ß) {x - 8) {x - y). Die Grössen ^j-, i/;.|, t^| kann man auflassen als die Wurzeln einer cubischen Gleichung, deren Coefficienten Covarianten sind. Man erhält diese Gleichung leicht aus (4) in der Form Diese Gleichung ergiebt nach §.71, (12) und mit Benutzung des Ausdruckes (5) für T^ (7) z"^ -Y B.z'^ ^ \{R^ — \^i Af) z — T- = 0. Es ist noch von Interesse, die Discriminante dieser Gleichung zu bilden. Man erhält sie am einfachsten aus dem Ausdruck wenn man die Ausdrücke (4) einsetzt und dann für (a, — a'^)^ («; — a'gV (a'g — a'^)^ die Discrimhiante der Gleichung §. 71, (12) 27 (4 A' — B^) = S'D setzt, wo dann D die Discriminante von / ist. Man erhält so (8) z/= 2^^Df. 236 Fünfter Abschnitt. §. 73. §. 73. Das volle Invariantensystem der binären biquadratischen Form. Wir wollen noch beweisen, dass mit den Bildungen Ä^ B das System der unabhängigen Invarianten der binären, biquadra- tiscben Form erschöpft ist. Während man sich aber gewöhnlich mit dem Nachweis begnügt, dass jede Invariante eine ganze ratio- nale Function von A^ JB ist, wollen wir, wie wir es schon in §. 69 für die Covarianten der cubischen Form gethan haben, auch die Frage nach den numerischen Coefficienten berühren, und hier zeigt sich eine neue Erscheinung. Die Invariante D z. B. ist zwar nach §. 70, (15) rational durch J., B ausgedrückt. Aber die Zahlencoefficienten sind nicht ganze Zahlen, sondern haben den Nenner 27, obwohl die Coeffi- cienten in der entwickelten Function B alle ganze Zahlen sind. Wir betrachten also jetzt als ganze Invarianten ganze rationale homogene Functionen ;iiten Grades der fünf Veränder- lichen «ü, «1, «2? ^35 ^4 (1) /(«O, «1, «2r «31 «4) = I{tt)^ deren Coefficienten ganze Zahlen sind, und denen die Inva- rianteneigenschaft (2) /' = r2."I zukommt, wenn T oder I(a') dieselbe Function der Coefficienten einer transformirten Function ist. Solche Invarianten sind J., 5, Z), zwischen denen die Rela- tion besteht: (3) 27 D= 4.4' — B\ und unser Ziel ist, zu beweisen, dass alle ganzen Invarianten ganze und ganzzahlige rationale Functionen von diesen dreien sind. Wenn wir die Function I' in der Xormalforra (4) des §.71 bilden, so erhalten wir zunächst aus (2), da r = 1 ist, I(a) = I (0, a'j, «2, «3, 0), und diese Function I kann nur von «^ und dem Product a[ a'g abhängen; denn die Substitution §. 73. Das volle In variantensystem. 237 deren Determinante = 1 ist, lässt die Normalform §.71, (4) und in ihr a', ungeändert, während a'^, a'^ in A^a'^, a'^: A- übergehen, und darin ist A eine willkürliche Grösse. Wenn wir also setzen, so ist (4) 1=9? (a'i a'g, ^r), wenn ^p eine ganze, rationale, ganzzahlige Function der beiden Argumente a\ a'^ und 2 ist. Nun ist aber nach §.71, (5) 3 a[ a'3 = £^- — Ä, und wenn wir also (4) mit einer geeigneten Potenz von 3, etwa 3'', multipliciren, so erhalten wir (5) S'I=i<(Ä,2), worin i) wieder eine ganzzahlige Function von Ä und s ist. Nach §. 71, (12) ist aber und hiernach können wir alle höheren Potenzen von 2 durch die erste und zweite ausdrücken, erhalten also (6) ri=x(AB^,), worin x in Bezug auf s höchstens vom zweiten Grade ist. Die linke Seite von (6) l)leibt aber ungeändert, wenn £ durch «2, ög, a'g', also durch drei verschiedene Werthe, ersetzt wird, und folglich kann die Function % cüß Variable z überhaupt nicht mehr enthalten (§. 33, II). Es ist daher worin % eine ganzzahlige, ganze, rationale Function ist. Wenn wir in (7) nach (3) B- = Aä' — 21D setzen, so folgt, dass (7j eine der beiden folgenden Formen hat (8) 3^ 7 = ^ (Ä, D\ B 0 {A, D), je nachdem der Grad von / gerade oder ungerade ist. 238 Fünfter Abschnitt. §. 73. Ist / eine ursprüngliche Function der a, d. h. eine solche, deren Zahlencoefficienten keinen gemeinsamen Theiler haben, so können die Coefficienten der Functionen 0 jedenfalls keinen anderen gemeinschaftlichen Theiler haben, als eine Potenz von 3. Was uns zu beweisen oljliegt, ist, dass sie alle durch 3' theilbar sind, oder was dasselbe ist, dass, wenn wir 0(Ä, I)) als ursprüngliche Function voraussetzen, v = 0 sein muss. Es ist also die Frage: Können aus der ursprünglichen Function Q (Ä, D) oder B O {A^ I)) Functionen mit dem Theiler 3 entstehen, wenn man die A. B. D durch ihre Ausdrücke in den a ersetzt? Da B ursprünglich ist, so kann nach §. 2 die in den a ausgedrückte Function £ 0 ( J. , D) nur dann den Theiler 3 haben, wenn ihn ^(J., B) hat. Also ist die Frage darauf zurückgeführt: Kann die ur- sprüngliche Function ^(A.D), den Theiler 3 erhalten, wenn A, B durch ihre Ausdrücke ersetzt werden? Dass diese Frage verneint werden muss, können wir leicht so einsehen. ^Yir denken uns zunächst in O (A, B) alle die Glieder beseitigt, deren Coefficienten durch 3 theilbar sind; denn offenbar müssen auch die übrigen Glieder noch dieselbe Eigenschaft behalten, durch Substitution der Ausdrücke für A, B den Theiler 3 zu erhalten. Wir können zweitens annehmen, dass '^{A, B) nicht den Factor B hat. denn durch Weglassen dieses Factors würde nach dem schon erwähnten Satze (§. 2) die fragliche Eigenschaft nicht aufgehoben. Dann aber müsste aus 0 {A, B) eine durch 3 theilbare Zahl entstehen, wenn alle a. mit Ausnahme von «21 gleich Null, a.2 = l gesetzt werden. Dadurch wird B ^= Q . A = 1 , und es müsste also C»ri. Oj eine durch 3 theilbare Zahl sein; dies ist aber der Coefhcient der höchsten Potenz von A in 0 (A^ B), der nach Voraussetzung nicht durch 3 theilbar ist. Damit haben wir also bewiesen: Jede ganzzahlige Invariante der biquadratischen Form lässt sich rational und ganzzahlig durch A, J5, B darstellen, und zwar in einer der beiden Formen 0 (A, D), B O (A, B). §. 73. Das volle Invariantensystem.- 239 Dass auch umgekehrt jeder solche Ausdruck, wenn er in den Coefficienten a homogen ist, eine ganzzahlige Invariante darstellt, ist von selbst klar^). ^) Die Theorie der Invarianten findet man ausführlicli dargestellt in den Werken: Clebscli, „Theorie der binären algebraischen Formen". Leipzig 1872. Faä di Bruno, „Einleitung in die Theorie der binären Formen". Deutsch von Walter. Leipzig 1881. P. Gordan, „Vorlesungen über Invariantentheorie", herausgegeben von Kerschensteiner , Leipzig 1885. Vergl. auch Franz Meyer, „Bericht über den gegenwärtigen Stand der Invariantentheorie" im Jahresbericht der deutschen Mathematiker- Vereinigung 1890/91 (Berlin 1892). In Bezug auf die zuletzt behandelte Frage s. H. Weber, „Zur Invariantentheorie". Göttinger Nachrichten 1893. Sechster Abschnitt. Tschirnhausen-Transformation. §. 7.4. Die Hermite'sche Form der Tschirnhausen- Transformation. Wir haben im vierten Abschnitt den Grundgedanken der Tschirnhausen-Transformation schon kennen gelernt. Die Aufgabe war die, eine algebraische Gleichung wten Grades (1) f{x) = «0 a;" -f- «1 ic"— 1 + • • • + cin-i a; -j- a*» = 0 durch eine Substitution {n — Ijten Grades (2) y = «,j -\- Kl X -{- a.2 x^ -\- • ' • -\- a„_ia;"— ^ umzuformen, um in den willkürlichen Coefficienten a Mittel zu gewinnen, die Gleichung zu vereinfachen. Hermite hat dadurch, dass er der Substitution (2) eine besondere Form gab, diese Aufgabe sehr vereinfacht und mit der Invariantentheorie in Verbindung gebracht i). Hermite benutzt dabei die Functionen /o, /i, /^ . . ./n— i, die uns schon früher beim Eliminationsproblem gute Dienste geleistet haben, durch die sich die Potenzen von x bis zur (n — l)ten rational ausdrücken lassen. Wir bezeichnen hier mit x eine Wurzel der Gleichung (1), ■während unter t eine unbestimmte Veränderliche verstanden sein soll. Dann ist (wie im §. 4 und §. 46) 1) Hermite, Sur quelques theoremes d'algöbre et la resolution de l'equation du quatrieme degre, aus den Comptes rendus der Pariser Aka- demie besonders erschienen. Paris 1859. §. 74. Hermite'sche Form d. Tschirnhausen-Transformation. 241 (3) r^ = ^"~ Vo (^) + ^"" Vi (^) + • • • + tfn_,{x) 4- /„_, (o;), und /o(a:) = «0 (4) /ä (iC) = flo ^^ "h «1 ^ + ^2 fn-i(x) = ttoX"--" + aia;"-2 + «a^^-s -^ ^ a^-i Wir nehmen nun die Substitution (2) in der Form an (5) y = tn-ifo (X) + tn-oji (X) -\ [- ti /„_2 (x) -j- f^/n-l (x), worin die ^„_i, 4i_2 • . . ^i, ^o die ^^ Stelle der a getretenen unbestimmten Grössen, und nicht mit den Potenzen von t zu verwechseln sind. Es geht aber y aus dem Ausdruck (3) hervor, wenn f' durchs ersetzt wird. Bezeichnen wir durch das vor eine Function gesetzte Zeichen S, dass die Summe über sämmtliche Wurzeln x der Gleichung (1) zu nehmen ist, so haben wir, wie im §. 46 : 'S^[/i(^)] ={n- l)«i (6) S[f,(x)] =(n-2)a. S[fn-i{x)] = a„_i, also: (7) S{y) = naot;,_i -|-(w— l)ai f„_2 H h 2an_2fi-|-a„_i^o, ein Ausdruck, der sich aus /' (t) ergiebt, wenn V" durch t^ ersetzt wird [§. 46, (4)]. Eliminiren wir mit Hülfe von (7j die Variable tn—i aus (5), so folgt (8) ^ - -i S(y) = tn-2F,{x) + tn-sF.ix) ^ h ^oi^n-2(^), tv wenn TP j. n — 1 , «1 Fo =/i —a^=a,x^-, (9) ^^ =/2 — ^^-;^ «2 = «0 a:' + «1 ^ + -^, l 1^ 1 Fn-2 =/n-i an-i = cioX"-'^ -\- a^x**-^ -\ 1 a„_i, so dass Weber, Algebra. I. 16' t 242 Sechster Abschnitt. §. 75. (10) S\F, (x)] = 0, S[F, {x)] = 0, . . . S[F„.2ix)-] = 0. Setzen wir nach (3) (U) F(t,x) = ß^--f(t) = f-'F,(x) H- f-'F,{x) H V-tFr^^.ix) + J„-2(:r), so geht die rechte Seite von (8) aus F{t^ x) hervor durch die Ersetzung von i^- durch f?... Nehmen wir von vornherein y in der Form (12) y = f„_2Fo (^) — t„-sF,(x) H h toFn-2(x) an. so ist die Gleichung (13) S(y) = 0 identisch befriedigt. Welchen Nutzen diese Form der Substitution gewährt, werden die nächsten Betrachtungen zeigen. Invarianten-Eigenschaft der Tschirnliausen- T r a n s f 0 r m a t i o n. Es ist jetzt der Einfluss zu untersuchen, den eine lineare Transformation, der wir die Function /(^) unterwerfen, auf die Tschirnhausen-Transformation hat. Wir machen in f(x) die lineare Substitution (1) ^ = 7|>^' «d-/5-/ = r, wodurch wir erhalten (2) 9'«) = (7l + V/(^f^) SO dass (p(^) eine ganze rationale Function wten Grades und q)(^) = 0 die durch (1) transformirte Gleichung f(x) = 0 ist. Wir leiten nun eine Function 0 (r, |) ganz in derselben Weise aus g? (|) ab, wie wir im vorigen Paragraphen F(t^ x) aus f{x) abgeleitet haben, nämlich (.3;#(r,|)=-^-i9'(r) = T"-20,/|j^r''-30,(|j- Lr0„_3(^) + ^„_2(^), worin r ebenso wie t eine Variable ist und die Functionen « ^,j (I), 01 (I) . . . CP„_2(|), ebenso aus | und den Coefficienten §. 75. Invarianten-Eigenschaft. 243 von (jp (I) gebildet sind, wie die entsprechenden Functionen Fq {x\ Fl {x) . . . Fn-2 (oo) aus x und den Coefficienten von f{x). Wenn wir nun andererseits in F{t, x) gleichzeitig mit der Substitution (1) die Substitution (4) * = ^^^ yt -\~ 0 ausführen, so erhalten wir (5) (yr + 0)7(0 = «5P(r), (6) (rl + ö) (y^ + ö) (^ - ^) = r(t - I), und, indem wir von (5) die Ableitung, am einfachsten durch Differentiation mittelst der Formel dt^ _ r bilden, (7) r (7 r + ö)""^ 1/' (t) = (y r + ö) i 9,' (r) - r * — 2) in den Coefficienten a ist. 0 ist eine sogenannte zerlegbare Form Y2 ** (*^ — l)ten Grades in den Variablen t\ denn sie lässt sich nach (7) in lauter 248 Sechster Abschnitt. §. 77. lineare Factoren zerlegen, die freilich nicht rational in den a sind. Wir haben schon im §. 58 darauf hingewiesen, dass hei der Tschirnhausen-Transformation auch x rational durch y ausdrückbar ist; und dasselbe gilt also auch für jede rationale Function von x. Betrachten wir irgend eine solche Function q) (x), die auch noch die Coefficienten a und t enthalten kann, aber immer für beide Arten von Variablen ganz und homogen vorausgesetzt sei, so können wir setzen (9) «0 = 1, «1 = 0, dann wird y = x, also Andererseits ergiebt sich aber nach den im §. 68 gegebenen Formeln (2), (3), (7) für diese besondere Annahme E{\, 0) = 3 «2, ^(1,0) = 27 «3, woraus man allgemein schliesst so dass wir für ij die cubische Gleichung erhalten (6) iß + l H{t,, U) y + ^Q(t,,to)=0. Die Discriminante z/ dieser cubischen Gleichung ist also mit Anwendung der Relation §. 68, (12) (7) 4.H'-r Q' + 2lDf = 0 (8) ^ = DfiU, t,)\ wenn D die Discriminante der gegebenen cubischen Gleichung ist, in Uebereinstimmung mit den allgemeinen Resultaten des vorigen Paragraphen. Wollen wir hierauf die Auflösung der cubischen Gleichung gründen, so müssen wir zunächst nach den Vorschriften des vorigen Paragraphen x rational durch ij darstellen. Wir setzen (9) «o/(fi, h) x= Qo-^ Q^y -{- 9-2 y'. Die Berechnung der Coefficienten Q ist leicht auszuführen, wenn man diese Gleichung für Xi, x,, x-^, und entsprechend 2/i, i/-2, ^3 aufstellt. §. 77. Cubische Gleichung. 251 Wir wollen über den Gang der Rechnung, die nur die Dar- stellung symmetrischer Functionen der Wurzeln einer cubischen Gleichung durch die Coefficienten nach den Vorschriften des vierten Abschnittes (§. 48, 49) erfordert, einige Andeutungen machen. Nimmt man zunächst die Summe der drei Gleichungen (9), so erhält man nach (6) 3 ^0 = I H{t,, U) Q, — aj{t,, to\ so dass also nur noch Q^ und Q^ berechnet zu werden brauchen; diese findet man, wenn man die für x = x^^ gebildete Gleichung (9) mit Vi — Vi = «0 (^2 — ^3) (^1 — ^0 ^1) und mit 2/2" — yl = — «0 (^2 — Xo) y^ {ti — to X,) multiplicirt , und die drei durch cyklische Vertauschung der In- dices 1, 2, 3 gebildeten analogen Gleichungen addirt. Man hat dann nur Gebrauch zu machen von den Formeln a'^2^xl{xf-) = i [S(ij)]^ + B. Nach der Formel (8), §. 74 ist ?/ - 1 S(y) = tn-2Fo + tn-sF, H h toFn.2 ^ — — 'S'(^) = r„-2Fo -f T„„3Fi -f . . . -f- r, F„_2, und wenn wir beides multipliciren, y^-l [yS(,) -i-zS(y)] 4- ^ ^(y) ä(^) = -^ 'i:hhFn-h — 2Fn-k-2- 0,n — 2 Sumrairen wir diese Formel über alle Wurzeln x^ d. h. nelunen wir die mit S bezeichnete Summe, so folgt S(yz) - 1 S(y) S{z) = 2:%,f, 5 (F„_,_2F„_,._o), und die Vergleichung mit (9) lehrt: (llj Bh,k = Ä(F„_,_2F„_fc_2). Wir bezeichnen mit zJ die Determinante der Function B, setzen also ^ ■== 2J JZ Bo^o Bii . . . Bn—2,n — 2- Nach dem Multiplicationssatze der Determinanten und mit Rücksicht auf die Formeln [§. 74, (10)]: SF, = 0, SF, = 0, . . . SFn-o = 0 Weber, Algebra. I. 17 258 Sechster Abschnitt. §. 79. ist aber, wenn wir O = 1, -Fo(^l), Fi(X,) . . . Fn-2{Xi) 1, Fo(x,), Fiix-i) . . . F„-2{oc2) 1, F,i(Xn\ Fi{Xn) . . . Fn-2(X„) setzen, nach (11) (12) CD2 = wz/. Beachtet man nun die Ausdrücke (9) in §. 74 für die Func- tionen Fq^ Fl . . . F„-2, so ergieht sich leicht nach dem Satze, dass man in einer Determinante eine mit einem beliebigen Factor multiplicirte Colonne zu einer anderen Colonne addiren kann (§. 25, VII), für O der Ausdruck a n— 1 1, ^1, x^ . 1, 3/2, X.2 • /r>n — 1 ^n—1 Xr, 1/y» /y»*^ dessen Quadrat nach §. 50 die Discriminante von f{x) ist. Hier- nach haben wir also nach (12) den wichtigen Satz: Die Determinante der Bezoutiante von f {x) ist der n^*^ Theil der Discriminante von /(a;). Die Berechnung der Bezoutiante hat nach unseren Formeln gar keine Schwierigkeit mehr und gestaltet sich ziemlich einfach. Für n = 3 erhält man das schon aus derP'ormel (6) des §.77 zu schliessende Resultat (13j 5 = — ^ H (ti, t,,). Für die Berechnung der Bezoutiante der biquadratischen Form wollen wir zur Veranschaulichung des Vorhergehenden das Formelsystem vollständig aufführen , indem wir die Durch- führung der wenig längeren Rechnung für die Form fünften Grades dem Leser überlassen. Es ist für die Form vierten Grades nach (7) und §. 78, (10) f(x) = (((, x^ -\- (i-i x'^ -j- «2 ^^ -\~ '-h^ -\- 'U -E'0,1 = — «2^2 — «3^1 — «4^0 4^0 1^2 Fi,i = a^ti BttiTa -£"2,1 = «0 ^2 + fh ii 2 «2 ^ Fz,l = «0^1 -|- «1^0 «3^2 S. 79. Die Bezoutiante. 259 -^0,2 «3 t.2 «4 #1 4 «0 Tl ^1,2 - «3 ti alaia? — 1600«o«-3a|«5 + 108a|a5 — 21 a^a-). Da nun hier J^s^s = 0 ist, so haben wir ein Werthsystera der f, wofür die Bezoutiante verschwindet, nämlich t, = 0, i^ = 0, t^ = 0. Wir nehmen nun unsere Tschirnhausen - Substitution in fol- gender Form [§. 74, (12)] und wollen über die «o, «j, «j so verfügen, dass die Gleichung fünften Grades für y unabhängig von ^3, t^ zu einer Haupt- gleichung wird, dass also /S' (//-) identisch für alle ^21 h ver- schwindet. Da S{F'^) = jBs.s hier verschwindet, so geschielit dieser Forderung nach §. 79, (11) Genüge, wenn wir «g, a^, «o so bestimmen, dass (5) <5o,o + «/^M + «IA2 -\- 2 «0 «1 -Bo,l + 2 «0 «2 -Bo,2 + 2 «1 «2 ^1,2 = 0, (6) «0 i'0,3 + «1 -Bl,3 + «2 -^2,3 = 0. Diese Gleichungen führen durch Elimination von einer der drei Grössen a auf eine quadratische Gleichung für das Ver- hältniss der beiden anderen. An sich ist es nicht nothwendig, irgend einen besonderen Fall auszuschliessen, auch nicht den, dass ^0,3, -Bi,3, ^2,3 alle drei verschwinden; man hätte dann nur für die « irgend eine Lösung der Gleichung (5) zu nehmen. Um aber nicht weitläufig zu sein, wollen wir annehmen, dass 5n,3 von Null verschieden sei, weil die hierdurch aus- geschlossenen Fälle, in denen eine Wurzel der gegebenen Glei- chung Null oder unendlich wird, hier eigentlich kein Interesse bieten, weil sie auf eine Gleichung niedrigeren Grades zurück- kommen. Die Behandlung bleibt übrigens ganz dieselbe, wenn 262 Sechster Abschnitt. §.80. wir annehmen, dass eine andere von den drei Grössen 5o,3i^i.3?^2,s von Null verschieden ist. Um nun die Gleichungen (p), (6) in symmetrischer \Yeise zu behandeln und namentlich zu erkennen, welche Quadratwurzel zu ihrer Lösung erfordert wird, verfahren wir so. AVir setzen zur Abkürzung •Bf) = C'-o-BojO -\- «i-Bu,i -|- «2 -£"0,2 (7) 2^1 = s^i,o + «1^1,1 + «2-Bi,2 Dann können wir die Gleichungen (5) und (ß) so darstellen: «0-Bo,3 + «1-Bl,3 + «2-^2,3 = 0- Wir multipliciren die zweite mit einem unbestimmten Factor a, und addiren sie zur ersten, wodurch wir erhalten (9 J «0 {Bo J- «3 5o, 3) + «1 (-Bi -f «3 ^1,3) + «2 (-B2 + «3 B,, 3) = 0. eine Gleichung, die erfüllt ist, wenn wir setzen JBo + a, jB,,3 = 0 (10) -Bi + ^'3 -Bi,3 = ö a, B2 -|- «3^^2,3 ^ Ö^'l- Aus diesen drei Gleichungen, in Verbindung mit der Gleichung (6). haben wir die Unbekannten «0, «i, «9. «3. ö zu bestimmen. Wir setzen die Gleichungen zunächst ausführlich hierher : (8) ai) «o-Bn.o -'- «i-Sai -{- M9.Bo,2 -l-«3Bo,3 = 0 «r, Si,o ^ «1 ^1.1 J- Ko (.Bi,o — ö) 4- «3 ^1^3 = 0 «0 -^2,0 -^ «1 (^2,1 + ÖJ -[- «o B2.2 + «.j i?2,3 = 0 «0 Bs/j -^ «1 -B3.1 -h «,-63^2 = 0, und wenn wir hieraus «o, «i, «21 ^-j eliminiren, so ergiebt sich eine quadratische Gleichung für ö, nach deren Lösung man die Verhältnisse «o : Uy : «2 : «3 aus linearen Gleichungen bestimmen kann. Die quadratische Gleichung für 6 aber lautet in Deter- minantenform -Bo,Oi -Bo,!, -Bo,2i -Bo,3 ^1,0, ^1,15 -B1.2 <5, 5l,3 ^2,0- Bva -\r ^1 ^2,2i ^£^2,3 ^3,0, Bz.y, i>3,2, <' = 0. §. 81. Xormalform der Gleichung fünften Grades. 263 Da sich die linke Seite durch Vertaiischung von ö mit — ö nicht ändert, so ist es eine reine quadratische Gleichung und sie giebt mit Piücksicht auf §. 79, (12) wenn D die Discriminante der gegebenen Gleichung ist. Wir bekommen also nach (2) (12) ba,a,6=VlB, worin das \'orzeichen beliebig ist. §. 81. Normal form der Gleichung fünften Grades. Wie schon früher bemerkt, ist das hauptsächlichste Ziel dieser Betrachtungen, eine Normalform der Gleichung fünften Grades herzustellen, die nur von einem unbestimmten Coeffi- cienten, einem Parameter, abhängt. Eine solche Normalform ist die Bring- Jerrard'sche Form. Um diese zu erhalten, haben wir nach (4) des vorigen Paragraphen (1) y = t,Fo-}-t, {a,F, -f «iK -f UoFs) zu setzen, so dass identisch wird, und dann ist das Yerhältniss t^ : fg aus der cubischen Gleichung zu bilden. Diese cubische Gleichung lässt sich wirklich bilden, wenn auch ihr Ausdruck lang wird. Die hierzu nöthigen Formeln sind von Cayley berechnet i). Es ist das Ergebniss einer merkwürdigen Untersuchung von Gordan, dass man eine andere, die Brioschi'sche Normalform ohne neue Irrationalität erhalten kann, und wir wollen zum Beschluss dieser Betrachtungen über die Tschirnhausen -Trans- formation dies Ptesultat noch ableiten 2). Wir halten an den Voraussetzungen des vorigen Paragraphen fest und setzen für den Augenblick zur Abkürzung ^) Cayley, on Tschirnhausen's Transformation, Phil. Trans. 1861, Mathematical Papers, Tom. IV, Nr. 275. *) Gordan, Mathematische Annalen, Bd. 28, 1886. 264 Sechster Abschnitt. §. 81. (2) u = Fo, V =r «g-P^i + «1^2 + «o-F's, worin «o, «j, «2 die im vorigen Paragraphen bestimmten Wertlie haben sollen. Nach der Formel §. 79 , (4) lassen sich die drei Functionen U-, UV, V- linear und homogen durch /o,/i,/2,/3,/4 darstellen, und weil (3) S{u-') = 0, S{uv) = 0, S(v^) = 0 ist, so werden diese Ausdrücke auch in Fq, Fi, F^, Io^ linear und homogen (§. 74). Die Rechnung ist nach den Formeln der §§. 78, 79 leicht auszuführen, soll aber hier nicht weiter verfolgt werden, da es uns nur auf die Darlegung des Grundgedankens ankommt. Wir wollen nur bemerken, dass die Coefficienten in den Ausdrücken für u^, UV, t;2 linear in den Coefficienten der ursprünglichen Gleichung fünften Grades und quadratisch in den a^, «i, «g sind. Wenn wir nun aus diesen Ausdrücken mit Hülfe von (2) die Functionen F^, J\, F^^ F^ eliminiren, so erhalten wir eine Relation von der Form (4) jpu"^ -\- 2quv -\- rv"^ = au -\- hv, worin die p, q, r, a, h von den Coefficienten ai und ai rational abhängen und jedenfalls nicht alle zugleich verschwinden. Setzen wir für den Augenblick pu"^ -{- 2quv -{- 7- v'^ = (p (u, v\ so ist nach §. 63 4 qp (u\ v')

0 reelle W^urzeln, < 0 imaginäre Wurzeln. Für die cubische Gleichung ÜQ x^ -\- eil a;2 -[- «2 ^ -{- «3 = 0 ist D = a{ a; -\- 18 «o «i «2 «s — ^ «o c-i — 4 af a^ — 27 al al, D > 0 drei reelle Wurzeln, D < 0 eine reelle, zwei imaginäre Wurzeln. Auch der Fall D = 0 giebt hier zu keinen weiteren Unter- scheidungen Anlass; denn in diesem Falle sind die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung einander gleich und reell, von den drei Wurzeln der cubischen Gleichung zwei einander gleich und alle drei reell; denn eine imaginäre Wurzel kann hier Weber, Algebra. I. 18 274 Siebenter Abschnitt. §, 83. nicht doppelt vorkommen, weil sonst auch die conjugirte doppelt vorkommen würde, und ebenso wenig kann die einzelne Wurzel imaginär sein, weil sonst eine zweite vorhanden sein müsste. Es kann sich bei der eubischen Gleichung nur noch darum handeln, die Bedingung dafür aufzusuchen, dass alle drei Wurzeln einander gleich sind. In diesem Falle muss die linke Seite der eubischen Gleichung ein vollständiger Cubus sein, also «0 x^' -\- a^x- -{- üiX -\- a, = a(i{x — a)^. Die Vergleichung beider Seiten dieser in Bezug auf x identischen Gleichung ergiebt woraus man durch Elimination von « erhält , a^ — 3 a(, «2 = 0, «1 «2 — 9 f'o öta = 0. Daraus ergiebt sich als Folge (indem man die erste dieser Glei- chungen mit «2, die zweite mit «j multiplicirt und subtrahirt) a^ — 3 tti «3 = 0 ; und wenn diese Bedingungen erfüllt sind , so folgt daraus um- gekehrt /(^) = „.(:.+ ^y, d. h. die Gleichheit aller drei Wurzeln. Bei der eubischen Gleichung x^ -{- eil X- -\- a^x -\- a^ ^:= 0 können wir ausser über die Realität auch noch über die Vor- zeichen der Wurzeln vollständig entscheiden. Bezeichnen wir nämlich mit «, ß, y die drei Wurzeln, so ist (2) «1 = — (a + /3-f 7), a2 = ciß-^Ky^ßy, a^ = — aßy, Ist nun J) < 0, also nur eine Wurzel, etwa a, reell, so ist ßy positiv und a wird negativ oder positiv sein, je nachdem % positiv oder negativ ist. Ist aber D positiv, also alle drei Wurzeln reell, so ist, wenn «, /3, y positiv sind, nach (2) (3) a^ < 0. «2 > 0. «3 < 0; diese Bedingungen sind nothwendig dafür, dass alle drei Wurzeln positiv sind. Sie sind aber auch hinreichend; denn wenn eine i^. 83. Wurzeln der cubischen Gleichung. 275 oder drei Wurzeln negativ sind, so ist «3 > 0. Sind aber zwei Wurzeln, etwa ß, y, negativ, so ist entweder «1^0 oder « > — (ß -\- y). In letzterem Falle aber folgt a,<ßy-(ßJr yy =- ß^ - ßy - y\ also «2 negativ. Ist endlich eine Wurzel gleich 0, so muss nothwendig «3 verschwinden. Indem man x durch — x ersetzt, schliesst man, dass für drei negative Wurzeln die nothwendige und hinreichende Bedingung die ist (4) tti > 0, % > 0, as > 0. Wir erhalten daher unter Voraussetzung einer ^lositiven Discriminante folgende Tabelle : «1 «9 «3 h - + -f - + - - + + + 0 — — - + + 2 + - + wo in der letzten Columne die Zahl der positiven Wurzeln angegeben ist. Wir können das Resultat dieser Betrachtung so aussprechen : Bei positiver Discriminante ist die Anzahl der posi- tiven Wurzeln der cubischen Gleichung gleich der An- zahl der Zeichenwechsel in der Reihe 1, «x, «2? ^3} wenn wir unter einem Zeichenwechsel die Aufeinanderfolge einer positiven und einer negativen oder einer negativen und einer positiven Grösse verstehen. Wenn eine der beiden Grössen a^, «3 verschwindet, so haben wir, da dann nicht alle Wurzeln von gleichem Zeichen sein können, eine oder zwei positive Wurzeln. 18* 276 Siebenter Abschnitt. §. 84. Wenn «. = 0 ist, so reducirt sich die Discriminante auf a.2 {a'l — 4 «2)) und wenn diese positiv ist, so hat die cubische Gleichung eine verschwindende und noch zwei andere reelle Wurzeln. Diese sind positiv, wenn «1 < 0, a2 > 0, negativ, wenn a^ > 0, a, > 0, und es ist eine von ihnen positiv und eine negativ, wenn ist. «1 = 0, a, < 0 §. 84. Discussion der biquadratischen Gleichung. Bei den Gleichungen vierten und fünften Grades existiren entweder keine oder zwei oder vier imaginäre Wurzeln. Ist die Discriminante negativ, so hat man zwei imaginäre Wurzeln. Bei positiver Discriminante können entweder vier oder keine ima- ginären Wurzeln vorhanden sein. Diese beiden Fälle zu unter- scheiden, wird weiterhin unsere Aufgabe sein. Wir wenden uns aber zunächst zu einer elementaren Betrachtung der biquadra- tischen Gleichung, die wir der Einfachheit halber in der ver- kürzten Form (1) x^ -j- axy^ -^hx ^ c = 0 annehmen wollen, von der wir leicht zur allgemeinen Form zurückkehren können. Bezeichnen wir die Wurzeln mit a. /3, y, b und setzen, wie in §. .52 u — ß = V -^ u\ y — b z= V — «•, (2) « — y = K' -}- «, d — /3 = «• — «, « — ö = n -{- f, ß — y ^= \{ — r, so sind v."-^ v-^ tv^ die Wurzeln der cubischen Resolvente (3j iß + 2 a^/- -^ (a- — 4:C)y — h'^ = 0, und die Discriminante D dieser cubischen Gleichung, die durch (4) 27 D = 4 (a2 -i- 12 c)3 — (2 a^ _ 72 « c -f- 27 h'^y bestimmt ist. ist zugleich die Discriminante der biquadratischen §. 84. Wurzeln der biquadratischen Gleichung. 277 Gleichung (1), und die Vorzeichen der Grössen ii, y, w sind durch die Bedingung (5) uvti) = — b beschränkt [§. 40, (3)]. Wenn die Discriminante negativ ist, so hat die Gleichung (3) ebenso wie (1) zwei conjugirt imaginäre Wurzeln. Ist D positiv und alle vier Wurzeln «, /3, y, d reell , so werden auch m, v, w reell und also ihre Quadrate, d, h. die Wurzeln von (3), positiv. Sind alle vier Wurzeln imaginär, etwa « mit ß und y mit d conjugirt, so folgt aus (2), dass v und tv rein imaginär, u reell ist; also hat in diesem Falle die Gleichung (3) eine positive und zwei negative Wurzeln. In beiden Fällen kann aber auch, wenn h verschwindet, eine der Grössen «, v, iv gleich Null sein. Mit Rücksicht auf die Ergebnisse des letzten Paragraphen über die cubische Gleichung kommen wir also zu folgendem Resultat : Die noth wendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von vier verschiedenen reellen Wurzeln ist (6) Z) > 0, a < 0, «2 _ 4 c > 0. In allen anderen Fällen, wo D positiv ist, hat die Gleichung vier imaginäre Wurzeln. Wir können auch für D = 0, also im Falle der Gleichheit zweier Wurzeln, die Discussion vollständig durchführen. Nehmen wir y = d an, so folgt aus (2), da wir die An- nahme a-\-ß~\-y-\-8=:0 gemacht haben, 2v = 2iü = K — ß 2u = a -{- ß — 2y = 2(a-{- ß) und daraus nach (3) ^ -4«=2(« + /3)2 + («-/3)2 IG (a-^ - 4 c) = (« - ßy [8 (« + ßy + (« - ßyi Um zunächst den Fall zu erledigen, dass auch u = ß ist, so erhalten wir aus (7) dafür die Bedingung a^ — 4 c = 0, und die erste Gleichung (7) zeigt, dass a negativ ist, wenn « und y reell, dagegen positiv, wenn a und y conjugirt (und dann wegen cc -\- y = 0 rein imaginär) sind. Daraus folgt: 278 Siebenter Abschnitt. §. 84. Die biquadratische Gleichung hat zwei Paare gleicher, reeller Wurzeln, wenn (8) D = 0, a < 0, a2 — 4 c = 0 und zwei Paare gleicher imaginärer Wurzeln, wenn (9) D = 0, a > 0, «2 _ 4 c = 0. Ist aber a von /3 verschieden, so muss y reell sein und (7j zeigt, dass, wenn a und /3 reell sind, a negativ und a- — 4c l^ositiv ist, dass dagegen, wenn a und /3 conjugirt imaginär sind, entweder a positiv oder a^ — 4c negativ sein muss, da in die- sem Falle (« — /3)2 negativ ist, und wenn 2(a -|- ^y^ -\-{a — /3)- positiv ist, jedenfalls auch 8 (a -}- ^)2 -[- (« — ^y- positiv sein muss. Wir können also (6) dahin ergänzen, dass wir sagen: Die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von vier reellen Wurzeln, von denen auch zwei (aber nicht mehr) einander gleich sein können, ist (10) i> ^ 0, a < 0, a2_4c>o. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für drei gleiche Wurzeln, die nothwendig alle reell sind, ist nach (2) «2 = ^-2 ;= ^(,2^ es muss also die cubische Piesolvente (3) drei gleiche Wurzeln haben, und dafür sind nach §. 83 (1) die nothwendigen und hin- reichenden Bedingungen , . «2 _4_ 12c = 0 ^ ^ 2 «•■ — 8 a c -f 9 ^2 = 0. Nach §. 52 (1.5), (16) sind die beiden Invarianten A und H der biquadratischen Gleichung J. = a2 -f 12 c, J5 = 2 «•> — 72 a c -f 27 62. Also können wir die Gleichungen (11) auch so schreiben: ^ = 0, 5 + 4a^ = 0. so dass (11) gleichbedeutend ist mit ^ = 0, 5=0. Durch Elimination von c kann man aus (llj auch noch die Gleichung ableiten: (12) 8«3 -^ 27?;2 = 0. Endlich ist noch die Bedingung für die Gleichheit aller vier Wurzeln « = 0, Z* == 0, c = 0. §•84. Discriminanten fläche. 279 Man kann diese Verhältnisse sehr anschaulich machen durch eine geometrische Deutung, und wenn auch geometrische Be- trachtungen nicht eigentlich in unserem Plane liegen, so wollen wir doch nicht unterlassen, den Leser darauf gelegentlich hin- zuweisen. Deutet man a, 6, c als rechtwinklige Coordinaten im Räume, so ist jeder Raumpunkt als Träger einer gewissen biquadratischen Gleichung von der Form (1), f {x) = 0, zu betrachten; alle Gleichungen, die eine bestimmte Zahl x zur Wurzel haben, werden durch Punkte einer Ebene [f{x) = 0] repräsentirt. Die Gleichung B = 0 ist die Gleichung einer krummen Oberfläche (fünften Grades), der Discriminantenfläche, die von den Schnittlinien der Ebenen f(x) = 0, f'{x) = 0 erzeugt wird, und also eine abwickelbare Fläche ist. Sie ist die Einhüllende aller Ebenen f(x) = 0. Die Fläche hat eine aus zwei Zweigen bestehende Rückkehr- kante, die durch die Gleichungen (11), (12) dargestellt ist, und eine Doppellinie, die durch die Gleichungen 6=0, a^ — 4c = 0 bestimmt ist und also die Gestalt einer Parabel hat. Auf der Seite der negativen a durchsetzt sich in dieser Parabel die Fig. 5. Fläche selbst. Auf der Seite der positiven a setzt sich die Parabel als isolirte Linie fort. Die Discriminanten- fläche theilt den gan- zen Raum in drei Fächer, von denen zwei nur längs der Doppel- parabel zusammen- hängen , und diese Fächer enthalten die Punkte, denen keine, zwei und vier reelle Wurzeln entsprechen. Nennen wir für den Augenblick diese drei Fächer [0], [2], [4], so grenzt [0] an [4] nur längs der Doppelparabel, während [0] sowohl als [4] längs der Flächentheile an [2] grenzen. Wir wollen mit [0, 2] und [2, 4] die Grenzflächen von [0], [2] und von [2], [4] bezeichnen. 280 Siebenter Abschnitt. §. 84. Der isolirte Theil der Parabel setzt sich in das Innere von [0] fort. Die Rückkehrkanten liegen auf dem Theil der Fläche, der [4] von [2] scheidet. Im Coordinatenanfang stossen die drei Raumtheile und ihre Grenzflächen und Grenzlinien zusammen. Die Punkte der Flächentheile [0, 2] stellen Gleichungen mit zwei gleichen und zwei imaginären Wurzeln dar, die Punkte von [2, 4] Gleichungen mit zwei gleichen und zwei davon verschiedenen reellen AYurzeln. Auf der Doppelparabel finden zweimal zwei gleiche Wurzeln statt, und zwar auf dem Theil, in dem [0] an [4] grenzt, reelle, in dem isolirten Theil imaginäre. Die Punkte der Piückkehrkanten repräsentiren Gleichungen mit drei gleichen W^urzeln und der Coordinanten - Anfangspunkt die Gleichung mit vier gleichen W^urzeln. Auf die Discriminantenfläche und ihre Bedeutung für die Discussion der biquadratischen Gleichung hat zuerst Kronecker hingewiesen. Ein Modell der Fläche ist von Kerschensteiner construirt i). Der analytische Ausdruck für die Bedingungen der Piealität der Wurzeln lässt sich in eine Gestalt bringen , in der nur die Covarianten der biquadratischen Form Vorkommens). Den Ausgangspunkt dazu bilden die Ausdrücke für die Functionen t^j, ip^-: ^s? di^ §• '^^■) {^) gegeben sind. Wenn wir in jenen Ausdrücken os mit ß vertauschen, so gehen ip^^ tp^-, t'i ^^ ^15 — ^35 — ^'2 über, und wenn wir gleichzeitig u mit ß und y mit d vertauschen, i'-^, ip^-, i>-i in ^'1, — ^21 — ^s- Daraus ergiebt sich Folgendes: Setzt man für die Variable x einen beliebigen reellen Werth und sind die Wurzeln «, /3, 7, ö der biquadratischen Form alle reell, so sind auch t^'i. t^'2, t^'3 reell. Sind tt. ß conjugirt imaginär, 7, ö reell, so ist die Ver- 1) Kronecker, Monatsbericht der Berliner Akademie vom 14. Februar 1878. Eine Beschreibung des Modells findet sich in dem von Dyck heraus- gegebenen Katalog mathematischer Modelle, München 1892, dem die Fig. 5 auf voriger Seite entnommen ist. -) Clebsch, „Theorie der binären Formen", §. 47. Faä di Bruno, , Theorie der binären Formen", deutsch von Walter (Leipzig 1881), §. 20, woselbst sich ein wesentlicher Zusatz von Nöther findet. §. 85. Bezoutiante und AVurzelrealität. 281 tauschung von a und ß gleichbedeutend mit der Vertauschung von i mit — i. Es sind also in diesem Falle ip^ reell, t^.,, — iZ-'s conjugirt imaginär. Sind endlich a, ß und y, Ö zwei Paare conjugirt imaginärer Wurzeln, so werden a mit ß und y mit d vertauscht, wenn i in — i übergeht; also sind in diesem Falle fi reell, ^21 ^3 rein imaginär. Sind vier Wurzeln reell, so werden t^'f, i'^, li^^ reell und positiv. Sind zwei Wurzeln reell, so ist ip{ reell und positiv, 1^./, ijj^ sind conjugirt imaginär. Sind vier Wurzeln imaginär, so ist xfj^ positiv, i^'o", ^3- sind reell und negativ. Nun haben wir im §. 72, (7) die cubische Gleichung auf- gestellt, deren Wurzeln t/^f, i'li i't sind, und haben auch ihre Discriminante gebildet. Im vorigen Paragraphen haben wir ein Kennzeichen für die Anzahl der positiven Wurzeln einer cubischen Gleichung kennen gelernt, woraus sich folgendes Ptesultat ergiebt: Ist D < 0, so hat die biquadratische Gleichung zwei reelle und zwei imaginäre Wurzeln. Ist D > 0, so müssen, wenn vier reelle Wurzeln vorhanden sein sollen, in der Pieihe 1, H, H' - IGAf, — T^ drei Zeichenwechsel vorkommen, d. h. es muss II < 0, H^ — lGÄf> 0 sein. Bei den drei anderen noch möglichen Zeichencombinationen sind alle vier Wurzeln imaginär. Hierbei aber kann für x ein beliebiger reeller Werth gesetzt werden. §. 85. Die Bezoutiante und ihre Bedeutung für die W u r z e 1 r e a 1 i t ä t. Für die Untersuchung der Realität der Wurzeln einer be- liebigen reellen Gleichung in allgemeineren Fällen kann die Function mit Nutzen angewandt werden, die wir im §.79 als Bezoutiante der Gleichung bezeichnet haben. 282 Siebenter Abschnitt. §. 85. Ist (1) f{x) = a?" -|- «1 a;"-i -f- Og r'-2 _}_ . . . _|_ ^^ _ 0 irgend eine reelle Gleichung n'''" Grades, so war die Bezoutiante folgenderraaassen definirt : Man setze (2) y = tn-lfo (X) + tn-2fi (X) ^ [-tofn-i (x\ worin die to, f^, . . ., t„_i unbestimmte Variable bedeuten und /o (x) = 1, /i (x) = X -^ üi, /2 {x) = a;2 4- «1 a: + «2, . . . Es ist dann [§. 79, (10)] wo B eine quadratische Form der n — 1 Variablen %, ^i,..., tn-2 ist mit Coefficienten, die rational aus den Coefficienten a^ zu- sammengesetzt sind. Diese Function B haben wir als Bezoutiante definirt und für die Fälle w = 4 und n = ö wirklich gebildet. Nun sind in der Summe auf der linken Seite von (3) (4) y! -hyi + y!-i h yl '^i — (^1 "^i) y^i ^i) ' • • \^i •1 •*2 V — 1 1) Xy^ Xy^ •5 -^v V— 1 {x.2 a^s) . . . {X2 — Xy) yXy — 1 Xy)^ und kann also nicht verschwinden, wenn, wie vorausgesetzt war, die Xi, x-i, . . ., Xy verschieden sind. Wenn wir daher in der Summe (4) alle unter einander gleichen Glieder zusammenfassen, so bleiben so viele Qua- drate linear unabhängiger Functionen übrig, als die Gleichung (1) verschiedene Wurzeln hat. Wenn nun x^ eine reelle Wurzel von (1) ist, so ist yf ein positives Quadrat in der Summe (4). Sind aber Xi und X2 con- jugirt imaginär, so zerfallen auch y^ und 3/2 in zwei conjugirt imaginäre Bestandtheile y^ r= ti -\- vi, y^ = u — vi, wo u und V lineare reelle Functionen von den t sind. Demnach wird 2/2 4- y 2 _ 2 ^<2 _ 2 vK Es ist also durch (4) die durch (5) definirte Function ^(f) in eine Summe von Quadraten zerlegt, deren Anzahl gleich der 284 Siebenter Abschnitt. §-86. Zahl der verschiedenen Wurzeln \onf(x) = 0 ist, und unter denen so viele negative sind, als unter diesen von einander ver- schiedenen Wurzeln Paare imaginärer Wurzeln vorkommen. Diese Anzahlen bleiben aber nach dem Trägheitsgesetz der quadratischen Formen (§. 64) bei jeder anderen linearen reellen Transformation der quadratischen Form in eine Summe von Quadraten dieselben. Nun ist S{y) eine reelle lineare Function der t, und B enthält die Variable tn—i nicht mehr; hiernach ergiebt sich aus der Formel (6) der Satz: I. Wenn die Bezoutiante B durch reelle lineare Transformation in eine Summe von jr positiven und V negativen Quadraten, die nicht auf eine kleinere Zahl reducirt werden können, zerlegt ist, so ist 7t -\~ V -\- 1 die Zahl der verschiedenen Wurzeln von f(x) = 0; und v ist die Anzahl der darunter enthaltenen Paare conjugirt imaginärer Wurzeln, tc — v -[- 1 die der reellen. Ist die Determinante von B\ also aach die Discriminante von f{x) (§. 79) von Null verschieden, so ist 7t -\- v = n — 1 und V ist kleiner oder höchstens gleich ^oi. Die Bezoutiante ist also eine quadratische Form von einer besonderen Natur, die sich eben darin ausspricht, dass unter den Quadraten, in die sie sich zerlegen lässt, höchstens |m nega- tive vorkommen können. §. 86. Die Trägheit der Formen zweiten Grades. Durch den Satz des vorigen Paragraphen sind wir auf die Untersuchung der homogenen Functionen zweiten Grades mit reellen Coefficienten hingewiesen. Ueber diese Functionen haben wir in §. 64 unter dem Namen des Trägheitsgesetzes einen Satz kennen gelernt, der für das Folgende die Grundlage bildet. Der Satz besteht darin, dass, wie man auch eine quadratische Form von m Veränderlichen in eine Summe von positiven und negativen (^)uadraten von linear unabhängigen linearen Functionen transformiren mag, was auf unendlich viele verschiedene Arten möglich ist, die Anzahl der positiven und ebenso die der negativen Quadrate immer dieselbe ist. §. 86. Trägheit der Formen zweiten Grades. 285 Bezeichnen wir mit tc die Anzahl der positiven und mit v die Anzahl der negativen Quadrate, so ist % -j- v höchstens gleich m. Wenn wir den Unterschied m — 71 — v mit q bezeichnen, so kann, wenn wir die allgemeine quadratische Form von m Variablen als Summe von m Quadraten darstellen, q als die An- zahl der Quadrate mit verschwindenden Coefficienten bezeichnet werden. Die drei Zahlen :r, v, 9, von denen keine negativ sein kann und deren Summe gleich der Anzahl der Variablen ist, (1) n -\- V -]^ Q = m, sind also für eine bestimmte quadratische Form unveränderlich. Wir werden sie die charakteristischen Zahlen der quadra- tischen Form nennen 1). Wir haben nach Mitteln zu suchen, um aus den Coefficienten der quadratischen Form die Zahlen n^ v, q zu ermitteln. Wenden wir diese Mittel auf die Bezoutiante an, so erhalten wir Kenn- zeichen, um aus den Coefficienten einer Gleichung auf die Anzahl ihrer reellen Wurzeln zu schliessen. Es sei also jetzt, wie in §. 62 1, m eine quadratische Form von m Veränderungen mit reellen Coefficienten a,_fc. Die Determinante (3) XI = 2^ i «1, 1, a2, 2i • • -5 ÖSm,m zeigt durch ihr Verschwinden an, dass (p durch lineare Trans- formation in eine Function von weniger als m Variablen trans- formirt werden kann, dass also q grösser als Null ist. Die Determinante jR ist eine symmetrische Determinante. Unter ihren Unterdeterminanten verschiedener Ordnung kommen gewisse vor, die wieder symmetrische Determinanten sind, nämlich die, die man aus B. erhält, wenn man Zeilen und Colonnen, die sich in Diagonalgliedern schneiden, ausstreicht, die also, wenn ^) Nach Frobenius heisst n -\- p der Rang, n — r die Signatur der quadratischen Form („l eher das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen" : Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1894). 286 Siebenter Abschnitt. §. 86. «. ß. y . . . irgend welche unter den Indices 1, 2, . . ., ))i bedeuten, durch zu bezeichnen sind. Diese wollen wir die Haupt-Unterdeter- minanten von R nennen. Wir wollen die Anzahl der Haupt- Unterdeterminanten l)e- stimmen. Die Anzahl der u- reihigen Haupt -Unterdeterminanten ist gleich der Anzahl der Arten, wie man aus der Reihe der Indices 1, 2, 3, . . ., m Gruppen von^u- verschiedenen auswählen kann, also gleich der Anzahl der Combinationen von m Elementen zu je jli, und diese Zahl ist gleich dem Binomialcoefficienten £J[^"\ Die Anzahl aller Haupt -Unterdeterminanten ist also, wenn wir die Determinante R selbst und ausserdem noch die Einheit als eine nullreihige Determinante mitzählen, 1 + m + m(ni — Ij TT"2 + • • . -f ;>« -f 1 = 2'' Es ist aber meist nur ein kleiner Theil von diesen wirklich zu berücksichtigen. Die Indices 1, 2, 3, . . ., m lassen sich auf n(m) = 1 . 2 . 3 . . . w* verschiedene Arten anordnen; wenn wir mit irgend einer dieser Anordnungen die Determinante bilden «1,1 :5 «2,1? «1,2 , «1,3; «2,2 :, «2,3 ' «3,1, «3,2, «3,3; •, «1, m 5 . • ., ^3,»» •5 «2,»n «m,li «Hl, 2? «m,3i • • •: «ni,> so lässt sich eine Reihe von Haupt -Unterdeterminanteu daraus ableiten, wie es durch die Striche angedeutet ist, d. h. so, dass man jede vorhergehende aus der nachfolgenden erhält, indem man die letzte Zeile und Colonne weglässt; es ist also Rf) =1: Xl] = a],i, R2 = «],1«2,2 «l'25 «l,li «1,2: «1,3 Ro = «2,li «2,25 «2,3 ! «3,1, «3,2i «3,3 Ein solches System soll . wenn es in absteigender Reihe •5 -tiin -"• •"mi -"//i - -15 • • •■) Rl^ -^0 §. 87. Verschwindende Determinante. Og7 geordnet ist, eine Kette von Haupt-Unterdeterminanten heissen. Solcher Ketten lassen sich 11 (m) verschiedene bilden, in denen allen das erste Glied it, das letzte Glied 1 ist. §• 87. Quadratische Formen mit verschwindender Determinante. Wenn die in (3), §. 86 definirte Determinante R der quadra- tischen Form q) {x^, X2, . . ., x^) verschwindet, so lässt sich, wie wir schon im §. 62 gesehen haben, cp durch weniger als »t von ein- ander unabhängige lineare Functionen von x ausdrücken. Wenn wir mit m — q die kleinste Zahl von Variablen bezeichnen, durch die sich cp ausdrücken lässt, so hat q dieselbe Bedeutung, wie im vorigen Paragraphen. Wenn sich nun unter den Haupt-Unterdeterminanten von R eine /.;-reihige findet, die von Null verschieden ist, etwa -Rfc = ^ dz «1,1 «2,2, • • ., «fc,fc, so ist, wenn wir Xk+i = 0, . X,, + 2 = 0, . . ., X,n = 0 setzen, (p(Xi,X2, . . ., Xk, 0, 0, . . ., 0) eine ([uadratische Form von k Variablen Xi^ X2, . . ., aJ/c, deren Determinante Rk von Null verschieden ist, die sich sonach nicht durch weniger als Je Variable ausdrücken lässt. Um so weniger kann also bei unbeschränkt veränderlichen x^^ x^^ . . ., x^ die Function (p von weniger als h Variablen abhängen und es folgt (1) Q "^ m — li. Wir nehmen nun an, die Form qp {x^^ X-i-, . . ., iUm) lasse sich durch li von einander unabhängige lineare Formen von x aus- drücken, die wir mit ,, = fi' X, -^ß'i^X^^ h ßk^ ^n + ßUl ^fe+. H h ßn.^ ^m Z._ = ßf> X, + ß'i^ *-2 H h ßk^ Xu + ß?ll ^fe+l H h ß^ ^- (2) Zu = ß'^'Xr-^ß'2'x2^ \-ß'i^'xu + ßUiXk+i^ htf^« bezeichnen wollen. 288 Siebenter Abschnitt. §. 87. Da 5'i,^2----5'2'fc von einander linear unabhängig sein sollen, so muss unter den aus der Matrix ß^, ß'l\ ...ß ß?\ ß'i\ . . ., ß\ '(1) m (k) a(k) fi(k} tn ßT\ ßr. .-.ß zu bildenden A'-reihigen Determinanten wenigstens eine von Null verschieden sein. Denn wären sie alle gleich Null, so Hessen sich die Unbekannten \, /ig, . . ., \, die nicht alle verschwinden sollen, aus den Gleichungen li, ßf -4- ^hßf H h ^^^ßf = 0, s = 1, 2, 3 m bestimmen, und die s^, z^, . • ., ^t würden einer Gleichung K ^1 + ^2 ■ä'2 4- • • • + h Zu = 0 genügen, also nicht unabhängig sein (§. 27). Wir können aber, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, annehmen, dass die Determinante ^ ± ß'^' ß'i' . . . ß^ von Null verschieden sei, und dann können wir die Gleichungen (2) in Bezug auf die Variablen x-^^^ x^^ . . .. Xu auflösen. Diesen Auflösungen geben wir die Form -^1 = Vi + «fc^i-i^fc + i + • ' • + «'»^^' ^2=2/2 + «J.^+1 a^fc + l + • • • ^ «m ^: (3j Xu = Vk + «fc'+l^fc+l + • • • + «m ^m, worin die xjs lineare homogene Verbindungen der Zs sind, die aus den Gleichungen /3'/^ 2/1 + ^2^V2 + • • • + M'V^- = ^1, ßTy. + ßfih^----^ß'i'yk = z-2. ßfy.-^ßTy,^--'^ßfyk = zu bestimmt werden, während die a neue Coefticienten sind, die in «iner leicht zu übersehenden Weise aus den ß abgeleitet werden, auf deren Bildung es uns hier nicht weiter ankommt. Nun lässt sich nach der Voraussetzung die Function Zk, also auch durch 2/1,^2, •.., y^ §. 87. Verschwindende Determinante. 289 allein ausdrücken. Bezeichnen wir diesen Ausdruck mit ^iy^Vi-»" -.yi), so haben wir [durch Vermittelung von (3)] die Identität (4) 9P(a-i, a^a, . . ., Xj,. x^ + i . . . x,,,) = 0{ij^^ 2/2, • • •, ^fc)' und wenn wir darin Xt + i, ä'j: + 2, . . •, x^ = 0 setzen, (5) 0(xi, Xi, . . ., Xu) = 95 (a^i, Xo, . . ., Xk, 0, 0, . . ., 0), wodurch, da es auf die Bezeichnung der Variablen nicht an- kommt, 0 vollständig bestimmt ist; wir können daher setzen (6) ^(!/i, ^2, . . •, !/fc) = (P {iju 2/2, . • ., ?A-, 0, 0, . . ., 0) — ^ \Xi^ Xo^ ' • .5 ^»1/ 5 (x) eine zweite beliebige quadratische Form der Variablen x, mit der wir die Form (6) cp' = (p -\- sxjj bilden, worin £ ein noch unbestimmter Coefticient ist. Wir werden nun sogleich zeigen, dass wir e so wählen können, dass (p' und (p dieselbe Zahl von positiven und negativen Quadraten haben, dass aber in der Kette der Haupt- Unterdeterminanten R'i der Form (p' keine verschwindenden Glieder vorkommen, und dass endlich einem nicht verschwindenden Rj^, ein jR^ von dem- selben Vorzeichen entspricht. Dann können die Zahlen ;r, v für cp und für cp' sowohl aus der Reihe (4), als auch aus der Reihe (5) ermittelt werden, und die Anzahl der Zeichen- 294 Siebenter Abschnitt. §. 89. Wechsel, die in beiden gleich ist, giebt die Anzahl v der nega- tiven Quadrate. Um nun den Nachweis zu führen, dass der Coefficient £ in der angegebenen Weise bestimmt werden kann, nehmen wir an, es sei (p irgendwie in eine Summe von Quadraten verwandelt . (7) (f = Ai y^ + -^2 2/2^ + • • • + ^mVi, und xl>, in den Variablen ^/i? 2/2? • • m Vm dargestellt, habe den Ausdruck (8) ,p = Z ßi^j^yiyu. Die Zahlen n^ v für die Function cp' werden dann aus der Kette der Haupt-Unterdeterrainanten von £P2,li ^2 -\~ ^ ß2,2 • • • f P2,m (9) '*■»! ~| ^ Pm,i nach dem Satze V. bestimmt. Nun kann man aber e so klein annehmen, dass diese Haupt- Unterdeterminanten dem Zeichen nach übereinstimmen mit Al /L2 A3 . . . /.„j, Aj Ag A3 . . . A„j_i, . . ., /l^, Ajl ^15 1) und dann ist die Anzahl der positiven und negativen Quadrate von (p' gleich der Anzahl der positiven und negativen unter den Coefficienten A, von denen keiner verschwindet, d. h. die Zahlen 7t und V sind für q) und q)' dieselben. Sind nun die Coefficienten von t/.-, in den ursprünglichen ^^ariablen ausgedrückt, öj.t, also so ist eine der Haupt-Unterdeterminanten von cp' «1,1 + £^1,1 . . • «i,A- + £^i,fc Ph «-fc und ist also eine ganze rationale Function A;*^° Grades von £, E^ = R, + bM, + 6^M, H h £'^4, worin die M^, J/9, . . ., -Mt rational von den «1,^, 6/,^ abhängen. Insbesondere ist 3f, = 2:+ 5j,i62.2 . . . h,lc, und man kann die bj^j, immer so annehmen, dass 3Ik von Null verschieden ist. Nach §. 34 kann man also s so annehmen, dass, §. 89. Zeichenfolgen und Zeichenwechsel, 295 wenn Rh von Null verschieden ist, B'jc dasselbe Zeichen hat, wie Bk, und wenn Bk verschwindet, B'^ nicht verschwindet. Wir können das hierdurch Bewiesene mit den Ergebnissen des §. 87 in eine allgemeine Regel zur Bestimmung der Anzahl der negativen Quadrate, auch für den Fall verschwindender Determinante, zusammenfassen. VI. Um die charakteristischen Zahlen jr, v, q der Function (p{x) zu bestimmen, ordne man die Variablen x^, x^, . . ., x,n so an, dass in der Kette der Haupt-Ünterdeterminanten (10) Bmi B,n—i, . . ., Xli, Bq eine möglichst kleine Anzahl von Anfangs- gliedern verschwindet, und dass von den folgen- den Gliedern nicht zwei neben einander stehende verschwinden; q ist dann die Anzahl der ver- schwindenden Anfangsglieder, v die Anzahl der Zeichenwechsel und tc = m — v — q ^). Zu bemerken ist noch, dass man die Anzahl der Zeichen- wechsel in der Reihe (lOj auch von rechts nach links abzählen kann, d. h. dass man dieselbe Anzahl von Zeichenwechseln findet, wenn man die Reihe in umgekehrter Ordnung schreibt. Bezeichnen wir mit 7t, v, q die charakteristischen Zahlen der Form g) und bilden die Form SO können wir il^ so bestimmen, dass die Determinante von ^m — 1 ^^ 0, . . ., A,,)i — 0 + 1 = 0, Xm-o, A„,_o_i, . . ., /i von Null verschieden. ') Hierüber ist zu vergleichen Gundelfinger's Zusatz zur dritten Auflage von Hesse's analytischer Geometrie des Raumes. Frobenius, „Ueber das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen". Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1894. Frobenius giebt ein Verfahren an, um die Signatur, also die Differenz n — v, in gewissen Fällen auch dann aus der Kette (7) zu bestimmen , wenn darin beliebige Glieder verschwinden , so dass ein vorheriges Ordnen der Indices entweder ganz vermieden oder wenigstens eingeschränkt wird. 296 Siebenter Abschnitt. §. 90. In der Kette der Haupt-Unterdeterminanten von (9) stimmen dann bei hinlänglich kleinem s die m — q Endglieder im Vor- zeichen überein mit und die Anzahl der in dieser Kette vorkommenden Zeichenfolgen ist daher mindestens gleich der Anzahl der positiven A und die Anzahl der Zeichenwechsel mindestens gleich der Anzahl der negativen A. Es ergiebt sich hieraus (12) ■X' ^71^ t^' ^ ^• Nennen wir eine Form y, deren charakteristische Zahlen jr == ?w, V = 0, Q = 0 sind, die also als Summe von n positiven Quadraten von einander unabhängiger linearer Functionen dar- stellbar ist, eine positive Form, so gilt der Satz, dass für eine positive Form keine der Haupt-Unterdeterminanten verschwinden kann. Denn eine positive Form kann für kein reelles Werth- system der Variablen Xi^ x^-, . • ., Xm verschwinden, ausser wenn diese Variablen alle gleich Null sind. Wenn aber nun die Haupt -Unterdeterminante i?^ = 0 ist, so ist die Function von Ti Variablen ^ \Xi^ Xji ' ■ ., Ä^fti U, . . ., ()), deren Determinante eben R], ist, durch weniger als n lineare Functionen der x^, X2, . . ., Xk^ etwa ?/i, 2/2, • • •, Vk—i, darstellbar, und die Function cp verschwindet daher, wenn l/i =0, . . ., llk—i = 0, a?i_(-i = 0, . . ., Xm = 0, ist. Dies ist ein System linearer Gleichungen, das durch nicht verschwindende x befriedigt werden kann. Daraus ergiebt sich VH. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für eine positive Form ist die, dass die Glieder der Kette (7) alle positiv sind. Den entsprechenden Satz für eine negative Form erhält man, wenn man VII. auf die Form — (p anwendet. Positive und nega- tive Formen werden auch unter dem Namen der definiten Formen zusammengefasst. §. 90. Anwendung auf die Bezoutiante. Die genaue Discussion der Trägheit der quadratischen Formen hatte für uns den Zweck, die Anzahl der reellen und §. 90. Anwendung auf die Bezoutiante. 297 imaginären Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch Ab- zahlung der positiven und negativen Quadrate der Bezoutiante zu bestimmen. Ist n der Grad der Gleichung, so ist ihre Bezoutiante eine quadratische Form von n — 1 Veränderlichen, und im §. 79 haben wir sie für n = 3, 4, 5 vollständig gebildet, und die Wege kennen gelernt, wie man auch in anderen Fällen zu ihrer Berechnung gelangen kann. Wir haben schon früher bemerkt, dass die Bezoutiante nicht eine allgemeine quadratische Form ist, sondern dass sie die be- sondere Eigenthümlichkeit hat, dass die Anzahl v ihrer negativen Quadrate niemals grösser als \n werden kann. Diese Eigen- thümlichkeit muss in gewissen Ungleichheitsbedingungen zwischen den Coefficienten ihren Ausdruck finden, die aber zur Zeit noch nicht bekannt sind. Nur in dem Falle n = 3 können wir den algebraischen Charakter dieser Beschränkung vollständig angeben. Für die cubische Gleichung f(x) = «0 ^^ -\- a^x^ -\- a.2 X -\- a^ = 0 ist die Bezoutiante nach §. 79, (13) nichts Anderes, als die Hesse'sche Covariante (§. 68) - IH(t,, U) = - liAoq + ÄJJo + At!)- Es besteht aber, wenn D die Discriminante, also 3D = 4:ÄqÄ2 — Ä{ ist, die Relation 4Hi-{- ^2 -f 27 Dß = 0, mithin, wenn wir darin tn = 0 setzen, (1) 4^-' + g,^ + 27D< = 0, wenn r/o = 27 «Q- tts — 9 «0 «1 «2 + 2 af ist. Diese Relation zeigt, dass Aq und D nicht zugleich positiv sein können, und dass also die Form — // nicht in zwei negative Quadrate zerlegbar ist. Wir wollen den allgemeinen Satz des vorigen Paragraphen noch auf die biquadratische Gleichung anwenden, die wir der Einfachheit halber in der Form (2) x^ -}- ax^ -\- bx -\- c = 0 annehmen. Um die Coefficienten der Bezoutiante zu bilden, haben Avir in den Formeln §. 79, (14J Üq, ttl, ttgl %5 ^4 durch 298 Siebenter Abschnitt. §. 90. 1, 0, a, &, c zu ersetzen. Wir erhalten so B2,2 = — 2 a, jBi,i == «2 _ 4 c, 5o,o = — 1(8 a c — 3 i^), -Bo,i = f«^ ^2,0 = — 4c, i?i,2 = — 3&. Wir ordnen die Determinante so an: — 2 a, — 3 6, — 4c — 3 &, «2 _ 4 c, i a ö — 4c, ia&, — i(8«c — 362) und erhalten die Kette der Haupt-Unterdeterminanten (3) D, — 2a:^ + 8ac — 9 62, _2a, 1, wenn D die Discriminante bedeutet, die nach §. 53, (13) bestimmt ist durch (4) 27 Z) = 4 (a2 + 12 c)3 — (2 a^ _ 72 « c -f 27 62j2. Das Kennzeichen dafür, dass alle vier Wurzeln reell sind, ist hiernach (5) D > 0, — 2 a:^ + 8 a c — 9 62 > 0, — 2 a > 0. Dies Kennzeichen ist scheinbar verschieden und jedenfalls weniger einfach, als das in §. 84 aufgestellte (6) D > 0, a < 0, a2 — 4 c > 0. Wir wollen aber nun noch nachweisen, dass beides genau dasselbe besagt. Zunächst ist sofort zu übersehen, dass (6) erfüllt sein muss, wenn (.5) erfüllt ist, denn — 2 «(«2 _ 4 c) — 9 62 kann nicht positiv sein, wenn a und a- — 4c negativ sind; um aber umgekehrt einzusehen, dass aus (6) die Bedingungen (5) folgen, müssen wir den Werth von D in Betracht ziehen. Wir setzen zur Abkürzung (7) a = — 2 a, /3 = — 6 a^'-f- 24ac — 27 62, y = 3a2 — 12c, so dass die Bedingungen (5) a > 0, /3 > 0. Z) > 0, die Bedingungen (6) w > 0, y > 0, 2) > 0 lauten; dann ist nachzuweisen, dass, wenn k, y und D positiv sind, auch ß positiv sein muss. Hierzu drücken wir D in (4) nach (7) durch a, /3, y aus und erhalten 27i) =r 4(a2 — j;):i _ [2 «(«2 — y) — j3]2. §.90. Biquadratisclie Gleichung. 299 Wenn D positiv ist, so muss hiernach gewiss «2 — y positiv sein. Setzen wir also «2 — y = 02, so ist «2 > ö-, also, wenn d positiv genommen wird, CO d und 27D = 4ö'^ — (2aö2 — ßy. Hiernach kann D bei negativem ß nicht positiv sein; denn ist ß negativ, so ist 2aö2 — /3 > 2aÖ2 > 2d\ also 4 0« — (2 a ^2 — /3)2 negativ. Es ist hiermit direct nachgewiesen, dass die Kriterien (5) und (6) genau dasselbe besagen. Nach der im §. 84 gegebenen geometrischen Interpretation bedeutet ß = 0 eine Fläche dritter Ordnung, die durch die Parabel b = 0, 7 = 0 hindurchgeht, und die, soweit negative Werthe von a in Betracht kommen, ganz in dem Raumtheil ver- läuft, in dem D negativ ist. Um für die Gleichung fünften Grades ein Beispiel vor Augen zu haben, betrachten wir die Gleichung X'' -\- x^ -\- a = 0. Wir haben also in unseren allgemeinen Ausdrücken ij. 79 oder auch §. 80, (2), (3) zu setzen tto, tti, «2, «31 «41 «.-> = 1, 0, 0, 1, 0, a, und wir erhalten für die Determinante der Bezoutiante — 2 a, 0, 0, —5a 0, f, —5 a, 0 0,-5 a, 0,-3 — 5 a, 0,-3, 0 und für die Discriminante 7>= 108 a + 3125 a*. Eine Kette von Haupt-Unterdeterminanten ist (8) iD, 60 a\ ^^^^, —2 a, 1. Die Discriminante ist negativ, wenn (9) 0 < — a < |/ 108 3125' 300 Siebenter Abschnitt. 90. sonst positiv, besonders also für alle positiven a positiv. Man sieht, dass bei positiver Discriminante in (8) immer zwei Zeichenwechsel, bei negativer Discriminante, wo auch a negativ ist, ein Zeichenwechsel stattfindet. Unsere Gleichung hat also, so lange a in dem Intervall (9) liegt, zwei imaginäre Wurzeln, wenn es ausserhalb dieses Inter- valles liegt, vier imaginäre Wurzeln, niemals vier reelle Wurzeln. Ein rein numerisches Beispiel bietet die der complexen Multiplication der elliptischen Functionen entnommene Gleichung ^5 _ a;3 _ 2 a;2 — 2 ic — 1=0. Für die Determinante der Bezoutiante erhalten wir aus §.79: — 4 —3 4 . 8 6 2 und die Kette der Haupt-Unterdeterminanten 472 94 , — 4 5 ' 5 ' ¥' 3 4 33 5 ' 5' 5' 4 33 46 5' 5' 5^ 5, 8, 6, ^, -1, 1, so dass die Discriminante unserer Gleichung 47^ ist. Die Gleichung hat also zwei Paar imaginäre und eine reelle Wurzel. Das zweite Glied dieser Kette 94 : 5 braucht man, wenn man die Discriminante kennt, nicht zu berechnen, ja- es genügt schon die Kenntniss des negativen Vorzeichens im vorletzten Gliede, um die vorstehende Entscheidung über die Realität der Wurzeln zu treffen. Achter Abschnitt. Der Sturm'sche Lehrsatz. ^. 91. Das Sturm'sche Problein. Die im vorigen Abschnitt behandelte Frage nach der Anzahl der reellen Wurzeln einer Gleichung ist ein specieller Fall eines allgemeineren Problems, das den Gegenstand dieses Abschnittes ausmachen soll, und das die Grundlage ist für alle Methoden der genäherten numerischen Berechnung von Gleichungswurzeln. Es handelt sich um die Frage: wie viele reelle Wurzeln einer reellen numerischen Gleichung liegen zwischen zwei gegebenen reellen Zahlwerthen a und &? Ist dies entschieden, so handelt es sich weiter darum, die Grenzen a, b so weit einzuengen, dass nur nocli eine Wurzel der gegebenen Gleichung zwischen ihnen liegt, und sie endlich einander so weit zu nähern, dass jede von ihnen als ein ge- näherter Werth dieser Wurzel betrachtet werden kann. Nehmen wir a = — oo, b = -\- o), oder doch a negativ, h positiv so gross an, dass jenseits dieser Grenzen keine Wurzeln mehr liegen können, so fällt diese Aufgabe mit der im vorigen Abschnitt behandelten, die Anzahl aller reellen Wurzeln zu be- stimmen, zusammen. Wir wollen zunächst zeigen, wie sich das allgemeine Problem auf das specielle zurückführen lässt, wie also unsere jetzt auf- geworfene Frage, im Princip wenigstens, durch die Betrachtungen des vorigen Abschnittes beantwortet ist. Es möge sich zunächst 302 Achter Abschnitt. §. 92. darum handeln, die Anzahl der i)Ositiven Wurzeln einer Gleichung f{x) = 0 zu ermitteln. Setzen wir x = iß^ so wird jedem reellen Werth von y ein positiver Werth von x ent- sprechen, und umgekehrt entsprechen jedem positiven Werth von X zwei reelle, entgegengesetzte Werthe von y. Die Anzahl der positiven Wurzeln von f {x) = 0 ist also halb so gross, als die Anzahl der reellen Wurzeln von f {y^) r= 0. Setzen wir ferner X — a y — b — x' so wird, während x von a bis h geht, y durch positive Werthe von Null bis Unendlich gehen, und wenn wir durch diese Sub- stitution/fa;) in F(y) transformiren , so wird f(x) = 0 ebenso viele Wurzeln zwischen a und h haben, als F(y) = 0 positive Wurzeln hat, mithin halb so viel als F{z'-) = 0 reelle Wurzeln hat. Unsere Aufgabe ist also dadurch in der That auf die Ermittelung der Anzahl der reellen Wurzeln einer gewissen anderen Gleichung zurückgeführt, deren Grad doppelt so gross ist, als der Grad der gegebenen Gleichung. Diese Zurück- führung des Problems giebt aber seine Lösung nicht in der einfachsten Form, und wir müssen nach einer einfacheren Be- antwortung der Frage suchen. §. 92. Die Sturm'schen Ketten. Zu einer Lösung des Problems, das wir uns im vorigen Paragraphen gestellt haben, führt uns folgende Betrachtung. Es seien a und ß irgend zwei reelle Zahlen und a < ß. Es sei ferner f{x) eine gegebene ganze rationale Function von x. von der ermittelt werden soll, wie viele ihrer Wurzeln in dem Intervall ^ Ci < X < ß liegen. Wir nehmen an, dass «, ß nicht selbst zu den Wurzeln \on f{x) = 0 gehören, dass also /(k) und f(ß) von Null ver- schieden sind. Ausserdem wollen wir noch fürs erste annehmen, dass/(a;), wenigstens in dem Intervall z/, keine mehrfache Wurzel habe, dass also für keinen Werth des Intervalls /(^j und f (x) zugleich verschwinden sollen. §. 92. Die Sturm'scheu Ketten. 3Q3 Wir nehmen an, dass wir auf irgend eine Weise eine Reihe von m ~\- 1 stetigen Functionen herstellen können (1) /(^),/l(^),/2(^), .•.,/«. (X), W denen folgende Eigenschaften zukommen: 1. Von den Functionen /» sollen im Intervall z/ nicht zwei auf einander folgende zugleich verschwinden. 2. Die letzte von ihnen, /„^(a;), soll im Intervall z/ überhaupt nicht verschwinden, also ein unver- änderliches Zeichen behalten. 3. Wenn ein mittleres Glied, etwa/y(a;), für irgend ein X im Intervall z/ verschwindet, so sollen für dieses X die beiden angrenzenden Functionen/,._i(ii:;) und fv + i(x) entgegengesetztes Vorzeichen haben. 4. W^enn/(a^) im Intervall z^ verschwindet, so soll fi(x) für diesen Werth von x dasselbe Vorzeichen haben wie f'{x). Eine solche Functionenreihe (^)" wollen wir eine Sturm'sche Kette nennen. Wie man sie bilden kann, werden wir später sehen; zunächst sollen aus der Definition Folgerungen gezogen werden. Für jeden Werth von x, für den keine der Functionen von (ü) verschwindet, hat jede dieser Functionen ein bestimmtes Vorzeichen. Wir zählen einen Zeichenwechsel, so oft beim Durchlaufen der Kette von links nach rechts auf ein positives Glied ein negatives oder auf ein negatives Glied ein positives folgt. Die Anzahl der so gezählten Zeichenwechsel (Variationen) für einen bestimmten W^erth von x wollen wir mit V{x) be- zeichnen. Wenn ein mittleres Glied/,. (it) verschwindet, so haben wir nach 3. beim Uebergang \ou fv—i{x) zufvj^i(x) einen Zeichen- wechsel zu zählen. Sind a, ß zwei Werthe, für die keine der Functionen fv ver- schwindet, und lassen wir nun x stetig wachsen von a bis /3, so wird eine Aenderung in der Zahl der Zeichenwechsel nur dann eintreten können, wenn eine der Functionen von (ü) ihr Zeichen wechselt, also durch den Werth Null hindurchgeht (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit). Ist dies aber eine mittlere Function, so ändert sich die Zahl der Zeichenwechsel nicht (nach 3). Denn in /v-ll />'5 />+l 304 Achter Abschnitt, §. 93. findet vor und nach dem Durchgange von /v durch Null immer ein Zeichen Wechsel statt, weil /»^.i und /,._i entgegengesetzte Zeichen haben. Wenn aber/(a;) durch Null geht, so geht beim Durchgange wegen 4. ein Zeichenwechsel verloren. Denn geht/(^) von nega- tiven zu positiven Werthen, so ist (vergl. §. 35)/'(x) und mithin /i (^) positiv und die Vorzeichen ändern sich so : f{x\ /i {x) - + und wenn f{x) von positiven zu negativen Werthen übergeht, so ist/'(a;) und /i (a;) negativ, also die Zeichen so: + - mithin ist in beiden Fällen ein Zeichenwechsel verloren gegangen. Da \\\n\ fm{x) nach 2. sein Zeichen nicht wechselt, so folgt, dass V {a) — y{ß) gleich der Anzahl der zwischen « und ß gelegenen Wurzeln von f{x) = 0 ist, oder: Die Anzahl der Wurzeln von f(x) = 0 zwischen a und ß ist gleich dem Ueberschuss der Anzahl der Zeichenwechsel der Kette für a; = « über die Anzahl der Zeichenwechsel für x ^^ ß. Wenn für x = a oder x = ß eine oder einige der mittleren Functionen von (Si) verschwinden sollten, so ist es wegen 3. gleich- gültig, ob wir diesen verschwindenden Werth durch einen posi- tiven oder einen negativen ersetzen. §, 93. Erstes Beispiel: Kugel functionen. Ehe wir nun zu den allgemeinen Methoden übergehen, nach denen Sturm' sehe Ketten zu bilden sind, wollen wir einige Beispiele betrachten, in denen sich durch besondere Umstände solche Ketten darbieten. Wir betrachten zunächst die sogenannten Kugelfunc- tionen, die in der mathematischen Physik und Mechanik viel- fach gebraucht werden. §. 93. Kugelfunctionen, 305 unter Kugelfunctionen verstellt man ein System ganzer rationaler Functionen von steigendem Grade, das folgendermaassen definirt ist: V^{x) = \{X^^' - \ X) 1.3.. . (2h- 1) / „ n{n - \) ^_^_ J^n[x)— 1 2...n V 2(27?, — !)^ n{n -\){n- 2) (n - 3j _ \ •" 2 . 4 (2 w — 1) (2 w — 3) • • •/ so dass Pn{x) eine ganze rationale Function n'^" Grades ist, und, je nachdem n gerade oder ungerade ist, nur die geraden oder nur die ungeraden Potenzen enthält. Durch Anwendung des Zeichens 11 (n) kann man den allgemeinen Ausdruck für die Kugelfunctionen auch so darstellen: ^^ " ^^ ~ ^ 2» n (ii) n(n — 2(i) n{n — iiy worin die Summe in Bezug auf ^ von ju^ = 0 an so weit zu er- strecken ist, als n — 2 a nicht negativ wird. Zwischen diesen Functionen bestehen die folgenden Rela- tionen , die sich nach Einsetzen des Ausdruckes (1) durch ein- fache Vergleichung der Coefficienten gleicher Potenzen von x verificiren lassen, (2) nPn(x) — {2n — 1)X Pn-l(x) + (m — 1) Pn-of^) = 0 Fiix) — xP,(x) = 0 (3) (1 — x'-) P;(a;) + nxPJx) - nP„-i(x) = 0. Aus der letzten Gleichung folgt für a; = i 1 ± Pn{± l) = Pn-l(± n also (4) Pn(l)=l, Pn(- 1) = (- 1)". Aus (2) und (3) folgt nun, dass die Functionen P„, von einem beliebigen m an abwärts geordnet. \0) Pmi -tm—li J^m — 2 • • • -t^o in dem Intervall von — 1 bis -f- 1 ^^^ Eigenschaften einer Sturm'schen Kette haben. Denn wenn P„ und P„_i für irgend Weber, Algebra. I. 20 06 Achter Abschnitt. §. 9 o. ein X zugleich verschwänden, so müsste nach (2) auch P„_2, folglich P„_3 etc. bis Pq verschwinden, was unmöglich ist, da Po = 1 ist. Hiernach ist §. 92, 1. erfüllt, und weil Pq = 1 ist, so ist auch die Bedingung §. 92, 2. für jedes beliebige Intervall befriedigt. Ist P„_i = 0, so ist nach (2) P„ und Pn-o von entgegen- gesetztem Vorzeichen, wie die Bedingung §. 92, 3. fordert. Aus (3) folgt, dass niemals Pn{x) und Pn{x) zugleich ver- schwinden, da sonst auch Pn-i{x) verschwinden müsste, und endlich ergiebt sich aus (3), dass, wenn Pn(x) verschwindet und — 1 < a; < 1 ist, P'n(x) und Pn-i(x) dasselbe Vorzeichen haben. Setzen wir nun in (5) für x die Werthe — 1, -|- 1 ein, so folgt aus (4), dass für x ^= — 1 in (5) lauter Zeichenwechsel stattfinden, für x = -\- l gar kein Zeichenwechsel; und daraus folgt: Die Gleichung Pmioc) = 0 ha^t m reelle Wurzeln zwischen x= — 1 und x ='-\- l, und da P„i vom m^^^ Grade ist, so sind dies alle Wurzeln. Wir können aber einen noch etwas weiter gehenden Schluss ziehen. Nehmen wir ein Intervall z/ = f«, /3), in dem zwei und nicht mehr Wurzeln |, rj von P,„ = 0 enthalten sind, so gehen beim üebergang von a zu ß in der Kette (5) zwei Zeichenwechsel verloren. Wir nehmen « so nahe an |, ß so nahe an tj, dass P„,_i(a) mit P,n_i(^) und P,„_i (ß) mit P„j_i(r?) von gleichem Vorzeichen ist. Wenn P,n beim Durchgang durch ^ vom Nega- tiven zum Positiven geht, so geht es beim Durchgang durch ?; vom Positiven zum Negativen; es ist also P'm(t) und folglich P,„_i(|) und P,„_i(«j positiv, Pln{v) und folglich P^_i(??) und P,n — i{ß) negativ, und das Umgekehrte findet statt, wennP„i beim Durchgang durch ^ vom Positiven zum Negativen geht. Man sieht also daraus, dass beim Üebergang von « zu ß in ein Zeichenwechsel verloren geht, also niuss bei dem gleichen üebergang, und folglich auch bei dem üebergang von | zu ?? in der Kette ■Lm — li -t^m — 2 • • • -^0 gleichfalls ein Zeichenwechsel verloren gehen; daraus schliessen wir auf den Satz: 94. Die Säcularffleichungf. 307 Zwischen zwei auf einander folgenden Wurzeln von P,„ = 0 liegt eine und nur eine Wurzel von P,n-1 = 0. §. 94. Zweites Beispiel. Als zweites Beispiel betrachten wir eine Gleichung, die wir der Kürze wegen die Säcular-Gleichung nennen wollen, weil die Untersuchung der säcularen Störungen der Planeten zuerst auf sie geführt hat i). Sie ist auch sonst wohl unter diesem Namen bekannt, kommt aber auch in vielen anderen Unter- suchungen vor, z. B. bei der Bestimmung der Hauptaxen einer Fläche zweiten Grades, in der Theorie der kleinen Schwingungen; ihre allgemeine analytische Bedeutung liegt darin, dass sie eine besondere, die sogenannte orthogonale Transformation einer qua- dratischen Form in eine Summe von Quadraten liefert. Wir wollen hier die Gleichung nehmen, wie sie vorliegt, ohne Be- ziehung auf irgend eine Anwendung, und wollen sie nach unseren allgemeinen Sätzen discutiren. Es sei «t^fe, wenn i und h die Reihe der Indices 1, 2, 3 . . . n durchlaufen, irgend ein System reeller Grössen und (1) cii,k = ak,i vorausgesetzt. Wir betrachten die symmetrische Determinante (2) Ln (X) = ai,i — x^ ai,2 • • • tti,n «2, h Ct2,2 X . . . a2^n a„ ■X die eine ganze rationale Function n^"^^ Grades von x ist, in der X" den Coefticienten (— 1)** hat. Die Gleichung Ln{x) = 0 soll der Gegenstand unserer Betrachtung sein. Wir bilden die mit abwechselnden Zeichen genommene Kette der Haupt-Unterdeterminanten (3) U{x\ -L^_,{x\ L„_2(^) . . ., (- 1)""' A(^), (- 1)", ^) Laplace, Histoire de l'Academie des Sciences 1772. Von neueren Werken kann man darüber vergleichen Dziobek, Theorie der Planeten- bewegung, Leipzig 1888. 20* 308 Achter Abschnitt. §. 94. und Avollen nun nachweisen , dass , wenn wir die Voraussetzung hinzufügen , dass von den Grössen (3) keine zwei auf einander folgende zugleich verschwinden, wir eine Sturm'sche Kette vor uns haben. Es ist dies eine einfache Folgerung aus der Formel, die wir schon im §. 88 zu einem ähnlichen Zwecke benutzt haben, und die wir so darstellen können: (4) Lk Sii — T]^ = Lfc _ 1 Xfc + 1 , worin Su und jT^ ganze rationale Functionen von x sind. Wir haben nur zu zeigen, dass die Forderungen §.92, 1. bis 4. befriedigt sind. Davon ist aber 1. in die Voraussetzung auf- genommen, 2. ist erfüllt, da das letzte Element gleich + 1 ist. Aus der Formel (4) folgt, dass, wenn Ltc = 0 ist, Lk-i und L^u-i entgegengesetzte Zeichen haben, dass also die Bedingung 3. erfüllt ist. Es bleibt nur noch die Bedingung 4, übrig. Wenden wir aber die Formel (4) auf Ic = n — 1 an, so lautet sie CLn _ / dLn Y__ i — l,n — l \0(ln,n—l/ und daraus folgt, dass, wenn i„ = 0 ist, d Ln d Ln Ln Ln - 2» n- dan,n OOSn — 1, n— 1 gleiche Zeichen haben; und ebenso kann man schliessen, dass alle Haupt- Unterdeterminanten von Ln 0 Ln d «i, i dasselbe Zeichen haben. Nun ist aber die Derivirte von i„ (vergl. §. 25) ' dLn L'n (X) 1, n G di^ i und hat also für einen Werth x^ für den Ln(x) verschwindet, das entgegengesetzte Zeichen, wie X„_i, was eben die Forde- rung 4. verlangt. Daraus folgt der Satz : I. Sind a, ß zwei reelle Werthe, w < /3, so ist die Anzahl der zwischen a und ß gelegenen Wurzeln von L„{x) gleich dem Ueberschuss der Anzahl der Zeichenwechsel der Kette (3) für ic = a über die Anzahl der Zeichenwechsel für x :=: ß. §. 94. Die Säculargleichung, 3Q9 Die höchste Potenz von x, die in Lk{x) vorkommt, ist, wie schon oben bemerkt, (— lfx\ und wenn der absolute Werth von x hinlänglich gross ist, so wird das Vorzeichen dieses Gliedes über das Vorzeichen von Z/fc (x) entscheiden. Nehmen wir also für « einen genügend grossen negativen, für ß einen genügend grossen positiven Werth, so finden in (3) für x ^ a lauter Zeichenwechsel, für x = ß lauter Zeichenfolgen statt. Es werden also n Wurzeln zwischen « und ß liegen, und daraus folgt der Satz: IL Die Gleichung Ln{x) = 0 hat lauter reelle Wurzeln. Diese beiden Sätze sind aber nur von beschränkter Anwend- barkeit, so lange wir uns nicht von der Voraussetzung frei machen können, dass in der Kette der L^ nicht zwei auf ein- ander folgende Glieder zugleich verschwinden sollen. Von dieser Beschränkung können wir den Satz aber durch folgende einfache Ueberlegung befreien. Nehmen wir an, für irgend einen Werth von x verschwinde Lfc, aber nicht Z/fc_i; wir können dann die Grössen ot + i, j, die in Lk nicht vorkommen, so bestimmen, dass Lfe + i für diesen Werth von X nicht verschwindet; denn es kann L^ + i nicht identisch für alle afc+i, i verschwinden, weil es das Glied 0'ki-l,k-L'lc — l enthält [§. 26, (12)]. Hiernach können wir, wenn in der Kette (5) Lni Ln — ii Ln — 2 ' * • ib -t*!, -|- 1 einige auf einander folgende Glieder für irgend einen Werth von X verschwinden, durch Abänderung der «,-,fc eine andere Reihe (6) L'„, — L'„-i, L'n—2 • • • ib L'i, ^ 1 ableiten, in der keine zwei auf einander folgenden Glieder für irgend einen Werth x (des Intervalles a . . . ß) verschwinden. Zugleicli können die ai,?;, von denen die L' abhängen, so angenommen werden, dass sie sich von den aj,fc um weniger als eine beliebig gegebene Grösse co unterscheiden. Wenn nun die Zahlen a, ß so angenommen sind, dass in der Reihe (5) kein Glied für a: ^= « oder x = ß verschwindet, so können wir co so klein annehmen, dass für x = a und x = ß 310 Achter Abschnitt. §. 94. entsprechende Glieder von (ö) und (6j dasselbe Vorzeichen haben. Durch unseren Satz ist aber die Anzahl der Wurzeln von L'n = 0 zwischen a und ß durch die Zeichen der Reihe (6) bestimmt. Nun lässt sich andererseits wieder co so klein annehmen. dass die Wurzeln von L^ = 0 von denen von i„ = 0 beliebig wenig unterschieden sind (§. 44j. Es kann zwar eine Doppelwurzel von Ln = 0 in zwei ein- fache Wurzeln von L'n = 0 übergehen; aber da L^ = 0 keine imaginären Wurzeln hat, so sind diese reell; und dasselbe findet statt, wenn Ln = 0 mehrfache Wurzeln hat. Hiernach behalten die Sätze I. II. ihre Gültigkeit, wenn die Voraussetzung aufgegeben wird, dass in der Kette der i^ keine auf einander folgenden Glieder ver- schwinden; nur müssen die mehrfachen Wurzeln dabei nach ihrer Vielfachheit gezählt werden. Hieraus können wir eine merkwürdige Beziehung der Säcular- gleichung zu dem Trägheitsgesetz der quadratischen Formen herleiten, die in der Geometrie, bei der Bestimmung der Haupt- axen einer Fläche zweiten Grades wohl bekannt ist. Wir betrachten neben der Function Z„ (x) die quadratische Form dann ist Ln («) für ein beliebiges s die Determinante der Form (8) z= 0. Dann aber ergiebt die erste Darstellung (12) mit Hülfe von (11) einen negativen, die zweite einen positiven (oder verschwin- denden) Werth von g>', so dass die Annahme jr -(- v' < w un- statthaft ist. Es ist also tc -\- v' ^ n = n' -{- v\ also nach (10) Andererseits folgt aber aus §. 86 (12) was nur mit einander verträglich ist, wenn (13) 71 = F ist. Ebenso können wir nun auch beweisen, indem wir statt eines positiven ein negatives s zu Hülfe nehmen, dass v = N und folglich q = R sein muss. Wir sprechen dies noch als einen Satz aus: HI. Die charakteristischen Zahlen ;r, v, q der quadra- tischen Form q) sind gleich den Anzahlen der positiven, negativen und verschwindenden Wur- zeln der zugehörigen Säculargleichung. §. 95. Die Sturm'schen Functionen. Nach diesen besonderen Beispielen wenden wir uns zur Be- trachtung des Verfahrens, durch das man in allen Fällen eine 312 Achter Abschnitt. §. 95. Sturm'sche Kette erhält i). Die Bildungsweise dieser Functionen ist principiell ausserordentlich einfach, wenn auch in der prak- tischen Ausführung meist nicht durchführbar. "Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung von Glei- chungen ohne mehrfache Wurzeln, oder wir nehmen an, dass vor der Anwendung des darzulegenden Verfahrens /(^) von jedem gemeinschaftlichen Factor mit seiner Derivirten /' (x) befreit sei. Wenn wir dann (1) f,(x)=f'(x) annehmen, so ist sicher die Bedingung §. 92, 4. befriedigt. Nun verfahren wir so, als ob es sich um die Aufsuchung des grössten gemeinschaftlichen Theilers von f(x) und fi(x) handle, indem wir dabei jedesmal das Vorzeichen des Bestes umkehren; wir bilden also durch Division die Gleichungen / = lifi —fi (2) /l =^ i-if'i /3 Jm — 2 ^—^ (Im — lfm — 2 Jmt worin die q^^ go? • • •? Im-i und ebenso die /i, /g, . . ., /„i ganze rationale Functionen von x sind; die Grade der Functionen f\fiif2i ■ ' •lfm nehmen ab und man kann daher die Operation so weit fortsetzen, dass /,„ constant ist , oder wenigstens in dem betrachteten Intervall nicht mehr verschwindet. Dass fm nicht Xull werden kann, ist eine Folge der Voraussetzung, dass / und fi ohne gemeinsamen Theiler sind. Dass man dann in der Beihe (3) /i / 11 72? • • -5 Jm wirklich eine Sturm'sche Kette hat, ergiebt sich unmittelbar, wenn man die Kriterien §.92, 1. bis 4. durchgeht. Denn wenn zwei auf einander folgende der Functionen (3) zugleich ver- schwinden, so verschwinden nach (2) auch alle nachfolgenden; dies ist aber unmöglich, weil /,„ von Null verschieden ist. Ist aber /, (x) == 0, so folgt aus (2) fy + i(x) = — /v_i(:r), womit alle die Forderungen des §. 92 befriedigt sind. 1) Sturm, Mem. sur la resolution des equations numeriques. Mem. de l'academie de Paris. Sav. etrang. VI, 1835. Auszug in Bull, de Ferussac XI, 1829. §. 96. Hermite's Lösung des Sturm'scheu Problems. 313 Es ist, "Wie sich von selbst versteht, gestattet, die Functionen der Reihe (3) mit positiven, z. B. constanten Factoren zu multi- pliciren, ohne dass sie aufhören, eine Sturm'sche Kette zu bilden. Für w = 2 können wir demnach als die Sturm' sehen Functionen folgende nehmen: f{x) = x^ -\~ a X -\- h fi(x) =2x -^ a f^{x) = a^ — 4.b. §. 96. Hermite's Lösung des Sturm'schen Problems. Ein anderer "Weg zur Lösung des Sturm'schen Problems, der zu einfacheren Resultaten führt, .venigstens was die Durch- führung der Rechnung im Einzelnen betrifft, ist von Her mite eingeschlagen, der an das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen und die Tschirnhausen-Transformation anknüpft i). Es sei (1) f{x) = «0^" + a-^x"-'^ _j_ . . . _j_ a„_ia; -|- a„ = 0 die vorgelegte Gleichung und (Ji) Xi^ X^j . . v Xn ihre Wurzeln, die wir von einander verschieden annehmen. "Wir benutzen wie in §. 74 die Functionen (3) /o (^), /l (X), fo, (X) , . . ., /n-l (X), und setzen wie dort, indem wir unter t^„ t-^, . . ., tn-i unabhängige Variable verstehen, (4) y = tn-i /o (X) + tn-2 fl{x) -\ h ^1 /n-2 (^) + U fn-1 {x). Es mögen t/i, ?/2, . . ., Vn die "Werthe sein, die y für x = Xi, X2, . . ., Xn annimmt. Ist nun K ein beliebiger reeller "Werth, so setzen wir (.5) Hu = (xi — «) ijl + (^2 — «) 2/1 + • • • + (Xn — a) yl Dies ist eine quadratische Form der n Variablen i, und wir wollen zunächst die Zahl ihrer negativen und positiven Glieder bestimmen. Ist Xy eine reelle "Wurzel, also auch y^ reell, so ist 1) Her mite, Remarques sur le theoreme de M. Sturm. Comptes rendus der Pariser Akademie, T. 36 (1853). 314 Achter Abschnitt. §. 97. das Glied (xi — a)y'^ positiv oder negativ, je nachdem x^ grösser oder kleiner als « ist. Bilden aber x\, x^ ein imaginäres Paar, so sind auch ^i, y.2 conjugirt imaginär, und {xi — «) yl + {x^ — ci) 2/1 zerlegt sich in ein positives und negatives Quadrat. Dies ergiebt sich wie im §. 85, wenn man yi\/xi — « = h -j- iv, y-2 ]/^2 — ^■' = « — iv setzt. Daraus folgt, dass die Anzahl Nu der negativen Quadrate in Hu gleich ist der Anzahl der imaginären Paare, vermehrt um die Anzahl der reellen Wurzeln, die kleiner als « sind. Nehmen wir also eine zweite reelle Zahl ß > «, bilden die Function H^ und bezeichnen mit N^ die Anzahl ihrer negativen Quadrate, so ist die Differenz N^ — Nu gleich der Anzahl der reellen Wurzeln zwischen « und ß. Man erhält also ein Mittel zur Bestimmung dieser Zahl, d. h. zur Lösung des Sturm' sehen Problems, wenn man die Coefficienten der Function Hu als Functionen der Coefficienten von f{x) und von « darstellt, und dann die Zahl Na untersucht. §. 97. Bestimmung der Hermite'schen Form H Zur Bestimmung der Hermite'schen Form H können wir die Mittel anwenden, die wir im sechsten Abschnitt kennen gelernt haben. Wir haben im §. 79 die Formel abgeleitet: (1) yfs = Eo,sfo + J^m/i H + ^n-l,s/n-l. Mit Benutzung der Relationen [§. 78, (6j] Xjo =/i «1, XJi =/2 ö!2? • • "1 Xjn — 1 = ttiii folgt hieraus Wir bestimmen also noch eine Functionenreihe E^i^s durch die Gleichung und erhalten dann aus (1) und (2) §. 97. Bestimmung der Hermite'sclien Form H. 315 (^ — t^)yfs = (E-i,s — ciEo,s)fo + (Eo,s — «£'i,.)/i H Die Function -E'_i^g lässt sich aber durch die Rehitiou [§• 78, (7)] tto^n + s "T~ ^1 f »i + s — 1 r ■ ■ ■ \ ^'^'» ^s =^= 0 ganz in der gleichen Weise ausdrücken, wie die übrigen £", so dass wir folgendes System von Formeln erhalten [§. 78, (10)]: = tts + ltn — l • • ' Clnts -C-O, » = <^o^n + s—l ~\- öi^n + s — 2 i • * ' "T ^stn — l = as + itn — 2 ' • • — ünts — i -C/i, s = «O^n + s — 2 ~r '^'l^n-rs — 3 ~\~ * ' " -j" ö^s^n — 2 = — ^s + 1 frt — 3 • • • — ünts — 2 (5) • • -J^ = Cls+ itn — s — 1 • • • ttn to Es,s = ttohi — l -p f'lfn — 2 -[-'•• -\- ttstn — s — l -C/S + l,s = «0 ^n — 2 -p ^1 ^n — 3 -\- • ' ' ~\- Üstn —s — 2 En — 1, s = «0 ^s -p ^1 ^s — 1 -p • • • -p ^Ä ^0« Führen wir ein zweites System von Variablen t ein und setzen SO ergiebt sich aus (4) mit Benutzung der Formeln [§. 74, (6)] s (6) Ä[(a; — a)?/,?] = «ao 2: (^_i,s — a JS'o,«) tr„_s-i 0, n — 1 s -|- (n— 1)«! 2; (£"0,3 — «£'i,s)Tn_s_l 0,n — 1 s -(- a„_i -S (En-2,s — 0!,En--i,s)X„ — s-l- 0, )i — 1 und dies geht geradezu in die Function H über, wenn wir r = t setzen. Nehmen wir als Beispiel den Fall w = 3, so ergiebt sich -^—1, 0 = f'i ti ^2 ^1 ^3 ^01 -^0, 0 = ^0 ^21 -^—1,1 = tti^i "a^li -C«o, 1 = <^2 ^1 ^3^0» -£»-1, 2 ^= Cl'i ^21 -^0, 2 = Cts ^11 316 Achter Abschnitt. §. 98. -E^l, 0 = «0 ^1- -^2, 0 fffj ^05 ■£"1, 1 = «0 ^2 + «1 ^1, -E;2, 1 = «0 ^1 + «1 ^0, und hieraus kann man die Coefficienten der Form H nach (6) leicht berechnen: -Efa, 2 = — «ü («1 + 3 «0 «) J/i^ 1 = — 3 «0 % — <^h «2 — 2 {a'l — «0 ftä) « Ho,o = — «2 «3 + (2 «1 % — «D « Hi^ 0 = — '- «1 «3 + (3 ao «3 — «1 «2) « Ho^i^ = — 2 tto («2 + «1 «) H0.2 = — «0 (3 «3 + «2 «)• §. 98. Die Determinante der Hermite'schen Form. Für die Frage nach der Anzahl der negativen Quadrate der Form H ist die Kenntniss ihrer Determinante von Wichtigkeit. Diese Determinante lässt sich allgemein auf folgende Art be- rechnen. Setzen wir 0,11—1 so sind die Coefficienten i/,;^. deren Determinante gebildet werden soll, durch die Formel §. 97, (6) gegeben. Es ist i/,- ^ der Coeffi- cient von fjTfc in jener Formel, also ffi,k = S(X — U) fn — i — i fn — Tc—1- Die Determinante aus diesen n- Grössen lässt sich aber nach dem Multiplicationssatz in die Form setzen: {x^ — a) f, (a;i), (^1 — «) /i (a^i), • • -^ (^1 — «) A-i (^1) z/ = (Xn — «) /o {Xnh i^n — «) /l (^n), - • •, (Xn — «) fn-1 (^n) /o (^l)i /l (•^1)1 • • •; Jn — l (Xi) X oder auch, da a,j (ä:i — «) (^2 — «)... (JC„ — rx) = (— 1)" /(«) ist, in die Form §. 98. Die Determinante der Hermite'schen Form, /o (^l), /l (^l), • • •, /n-i {X^) 317 (-!)"/(«) «0 Die hier noch vorkommende Determinante der /^ (;:c,) ist das Product der beiden folgenden: «05 0, «l5 «0' ., 0 , 0 ün—it (ln—2t • • •? ^^0 -'■9 '*'«) «^n? •^ •X'' n — 1 Das Quadrat dieses Productes ist aber, wenn D die Discri- minante der Function f(x) bedeutet (§. 50), gleich a^ Z>, so dass sich für z/ ergiebt (1) ^ = (- l)"ao/(«)Z>. Da nach der Voraussetzung D nicht verschwinden soll, so wird J also nur dann verschwinden, wenn für « eine der Wur- zeln von f(x) = 0 gesetzt Avird, und dies soll auch aus- geschlossen sein. Bezeichnen wir eine Kette von Haupt -Unterdeterminanten von ^, mit der niedrigsten angefangen, mit ^1 («), A («)• • • •, ^n («) = ^, so ist nach §. 89, V. die Anzahl der Zeichenwechsel in (2) 1, ^i(«), z/g («),..., ^n («) gleich der Anzahl Na der negativen Quadrate in H, und wenn wir also die entsprechende Zahl Nß in 1, ^, iß), ^, (ß), . . ., z/„ (ß) abzählen, so ist Ni — iV„ die Anzahl der zwischen « und ß gelegenen Wurzeln \onf{x). Für die cubische Gleichung ergeben sich die Ausdrücke aus dem Schluss des vorigen Paragraphen, Wir bilden die Kette «0, Un die offenbar dieselbe Anzahl von Zeichenwechseln hat wie (2), und erhalten so die Functionen 2 «2 «0 (a^ — 3 «0 «2) -f- « (2 af -]- 9 a^ a.j — 7 «o «1 «2) -[- 3 ao «1 tts -[- af a^ — 4 «o «2^, — /(«) D. q 18 Achter Abschnitt. §. 99. Nehmen wir zur Probe « = — oo, /3 = -|-co, so erhalten wir, wenn noch «0 = 1 gesetzt wird, die Zeichenbestimmung 1, + 1, (af — 3 «2), D, 1, — 1, («f — Sag), — I>- Man muss bei der Abzahlung beachten, dass, wennD positiv ist, al — 3 «2 nicht negativ sein kann [§. 52, (8)]. §. 99. Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz. Anlässlich einer besonderen Frage, auf die wir weiter noch zurückkommen, hat Hurwitz eine Darstellung des Sturm'schen Problems gegeben, die zu besonders einfachen Resultaten führte). Es sei (1) f{^) = «0 ^" + «1 ^"-' H h «» eine ganze Function n*^° Grades der Variablen s. Es sei ferner ^(^) eine zweite ganze Function von beliebigem Grade. Wir suchen nach §. 16 die Entwickelung des Bruches 0(s):f{s) nach fallenden Potenzen, und bezeichnen den Theil dieser Entwicke- lung, der negative Potenzen von 2 enthält, mit (2) Co^-i + Ci^-2 H = i Ck2-^^-K 0, . . . Es sei nun weiter (3) 0(^) = fo + ^1 ^ H h t^n-l^'"-' eine ganze Function von einstweilen noch beliebigem Grade (m — 1), deren Coefficienten Iq, t^, . . ., f,„_i unabhängige Va- riablen sind. Wir bilden die Entwickelung nach fallenden Po- tenzen von 2 für den Bruch wofür wir nach (2) mit Benutzung der Regeln des §.16 erhalten 2J k 2J Ch2-^ + ' + ^-Hitu, oder, nach absteigenden Potenzen von ^ geordnet, (4) 2J 3-'—'^ Z ci + i + kUti. ^) Mathematische Annalen, Bd. 40. §. 99. Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz. 319 Bezeichnen wir den Rest der Division von 0 (£■) durch /(,i) mit 01 (z) und setzen 0, {Z) = f„ + f, ^ H h 4-: S—\ SO sind die /J,, f^, . . ., 4-i lineare homogene Functionen der Variablen f,,, f^, . . ., f,H-i- Es geben aber nach §. 16 die beiden Brüche ^{£)0{zf ^ {£) 0, {zY ^^^ /(^) ~~'W) bei der Entwickelung nach fallenden Potenzen von z dieselben Glieder mit negativen Exponenten, und daraus folgt, dass die in der Entwickelung (4) auftretenden quadratischen Formen der m Variablen ti ,-,fe T). ^= 2^ Cf.^i^Tctitjc auch als quadratische Formen der n Variablen /;• ausgedrückt werden können. Sind also ;r/., v;., (>;. die charakteristischen Zah- len von T;., so ist Q/. mindestens = m — n. Von nun an wollen wir m = n setzen, also unter 0 (z) eine Function (n — 1)^«° Grades verstehen. Wir betrachten hauptsächlich die Function Tq, die wir auch kurz mit T bezeichnen, also die quadratische Form i,k (6) T = H a+kUtk,' l,n — 1 und bezeichnen ihre charakteristischen Zahlen mit jr, v, q. Dann ergiebt sich aus dem soeben Bewiesenen zunächst: 1. Wenn/(^) und 0(^) nicht relativ prim sind, so ist 9 > 0, also T keine definite Form. Denn wenn wir den grössten gemeinschaftlichen Theiler von / und 0 herausheben, so entstehen aus (5) Brüche von derselben Gestalt, in denen 0 dasselbe geblieben ist, während sich der Grad des Nenners erniedrigt hat. Ist n' dieser erniedrigte Grad, so ist m — n' und folglich auch q positiv. Wir können ferner noch beweisen: 2. Wenn f{z) und f'{z) einen gemeinschaftlichen Theiler haben, so ist T keine definite Form. Denn wenn f(z) und f'{z) einen gemeinsamen Theiler haben, so lässt sich eine reelle Function Q (z) (vom ersten oder zweiten Grad) so bestimmen, dass ist. Dann ist Qfi(z) von niedrigerem als w*^™ Grade, und wir können die Coefficienten to, ii, • • • 4— i so bestimmen, dass 0 = Qf, (z) 320 Achter Abschnitt. 99. wird. Dann ist aber 0 (2)- durch /(^) theilbar, und 0(£) 0(zy- -./{z) ist eine ganze Function. Es kommen dann also in der Ent- wickelung nach fallenden Potenzen keine negativen Potenzen mehr vor. und es wird nicht nur T, sondern alle Functionen Ti gleich Null. Es giebt also von Null verschiedene Werthe der Variablen ^,-, für die T verschwindet, was bei definiten Formen nicht mög- lich ist. Wenn ^^•ir annehmen, dass die Function f{z) keine mehr- fachen Factoren hat, so können wir, wenn die Wurzeln von f{z) bekannt sind, die Functionen T,. leicht in eine Summe von Qua- draten zerlegen. Es ist nämlich dann, wenn das Summenzeichen S sich auf die Wurzeln von f{z) erstreckt, und G{z) eine ganze Function bedeutet, nach §. 15 ' ^{z)@(z)^ _ 0{z)®{zr ^^^ f{z) - ^ (T^ ^) f {X) + ^ ^'^' und wenn wir hierin \ : {z — x) nach §.16 nach fallenden Po- tenzen von z entwickeln, so ergiebt sich (8) T, _ S jj^^- Die Functionen (9) 0 (a?2 j = ^0 + ^1 ^2 + X^l X'' 0 {xn) = fo + ^1 ^n + • • • + an- deren Determinante gleich dem Differenzenproduct der Xi und folglich von Null verschieden ist, sind von einander linear unab- hängige, lineare Functionen der it und durch (8) ist also Ty. in eine Summe von n Quadraten zerlegt. Setzen wir (10) .<=V?g«(^<). so ergiebt sich (für A = OJ (11) T=yl^y^^, [-yl Unter der Voraussetzung reeller Coefficienten von / und ^ lassen sich nun die für die Trägheit der Function T charakteri- stischen Zahlen 7t^ v. q bestimmen. §. 99. Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz. 321 Zunächst ist ersichtlich, dass yi' aus der Summe (11) dann, und nur dann, wegfällt, wenn ^{Xi) = 0 ist, also wenn Xi eine gemeinschaftliche Wurzel von / und O ist. Es ist also q gleich dem Grade des grössten gemeinschaftlichen Theilers von / und O, und gleich Null, wenn / und O relativ prim sind. Ist a^i, X2 ein imaginäres Paar, und 0{xi) von Null ver- schieden, so ist yi = F-^Qi y, = P-Qi und folglich y! -{-yi = ^ (P' - Q')- Dieses Paar giebt also einen Beitrag von einer Einheit zu tc sowohl als zu v. Für ein reelles x ist aber y^ positiv oder negativ, je nach- dem 0 (x) und /' (x) gleiche oder verschiedene Zeichen haben. Hieraus ergiebt sich folgende Bestimmung für die charak- teristischen Zahlen tc, r, q der Form T. Q ist gleich der Anzahl der verschwindenden 0(x). 71 ist gleich der Anzahl der imaginären Paare mit nicht verschwindenden 0(ä:), vermehrt um die Anzahl der (12) reellen Wurzeln mit positivem 0(x)f'(x). V ist gleich der Anzahl der imaginären Paare mit nicht verschwindenden $ (x) , vermehrt um die Anzahl der reellen Wurzeln mit negativem O (x) f (x). Wir machen hiervon einige besondere Anwendungen. Der Fall, dass T eine definite Form ist, dass also q und V ^ 0 oder q und ;r = 0 sind, kann nur dann eintreten, wenn 0 und / relativ i)rim sind, wenn f{x) nur von einander ver- schiedene reelle Wurzeln hat, und wenn ausserdem 0{x)f'{x) für alle Wurzeln von f{x) dasselbe Zeichen hat. Sind a und ß zwei der Grösse nach auf einander folgende von diesen Wurzeln, so haben /' (a) und f (ß) entgegengesetzte Vorzeichen. Es müssen daher auch ^(a) und 0(ß) entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es muss also zwischen « und ß eine ungerade Zahl von Wurzeln von O(a-) = 0 liegen. Unter diesen Voraussetzungen ist auch umgekehrt T eine detinite Form, die im Zeichen mit 0(x)f'(x) übereinstimmt. 0 kann also, wenn T eine definite Form sein soll, nicht von niedrigerem Grade sein als n — 1. Ist 0 auch nicht von höherem Grade, so muss zwischen je zwei Wurzeln von f{x) eine und nur eine Wurzel von 0{x) liegen, oder wie wir Weber, Algebra. I. 21 322 Achter Abschnitt. §. 99. uns auch ausdrücken können, die Wurzeln von f{x) sind durch die Wurzeln von 0{x) von einander getrennt. Die Form T wird speciell eine positive sein, wenn wir ausser- dem noch annehmen, dass Cq positiv ist, und dies wird dann ein- treten, wenn die Coefficienten der höchsten Potenzen von g in f{z) und 0{z) dasselbe Zeichen haben. Da wir nun in §.89 VII. die nothwendige und hinreichende Bedingung für eine positive Form aufgestellt haben, so können wir jetzt folgenden Satz aus- sprechen, wenn wir C|), C\ ^li <-2i Cv + l C,', Cr -I- 1, ^2V = Cr setzen. 3. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung n^^'^- Grades f{x) = 0 nur von einander verschiedene reelle Wurzeln hat, die durch die Wurzeln der Gleichung (« — 1)*^"^ Grades 0{x) = 0 von einander getrennt sind, ist, wenn die Coefficienten der höchsfen Potenzen von / und O von einerlei Zeichen sind, die, dass die Determinanten ^Oi ^U ^21 • • '1 ^n — 1 alle positiv sind. Wenn wir O (z) = f (2) setzen, so ist 0 {z) '• f (z) = 1 , also immer positiv. Zugleich gehen in diesem Falle die Cq, c^, Cg, . . ., (nach §. 16) in die Potenzsummen .Sq, Sj Sg, . . ., über. Setzen wir dann S01 Sj, , Sy Sil S2, , S,. 4-1 = Dr, Sy, Sy ^ ll . • •, 5-2 V so ist (wenn «„ = 1 angenommen wird) Dn—i die Discriminante von / und es folgt der Satz 4. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung n^^"^ Grades f (x) = 0 nur reelle von einander verschiedene Wurzeln hat, besteht darin, dass Uq, 1)^1 JJoi • • •, -L^n — l positiv sind. §. 100. Charakteristikentheorie. 323 Nimmt man 0 {x) = {x — a) f {x) an , worin a eine belie- bige reelle Zahl ist, die nicht zu den Wurzeln von f{x) gehört, so ist, wenn f{x) nur einfache Wurzeln hat, (> = 0, und, mag nun f{x) imaginäre Wurzeln haben oder nicht, es ist :r — v die Anzahl der reellen Wurzeln , die grösser als a sind , vermindert um die Anzahl der unter a liegenden Wurzeln. Die Differenz n — V nimmt also jedesmal um zwei Einheiten ab, wenn a wachsend durch eine Wurzel von f{x) hindurchgeht. Dies ist in Uebereinstimmung mit §. 96. §. 100. Grundzüge der Charakteristikentheorie i). Die Sturm'schen Sätze werden in ausserordentlicher Weise durch die Charakteristikentheorie von Kr o necker verallgemei- nert, die dasselbe Ziel wie der Stürmische Satz für Gleichungs- systeme mit beliebig vielen Veränderlichen verfolgt. Wir be- schränken uns hier auf die Betrachtung des einfachsten Falles, den wir zur Einschliessung der complexen Wurzeln einer Glei- chung anwenden wollen; auch bedienen wir uns hier unein- geschränkt der geometrischen Anschauung und der Bezeichnungs- weise der Differentialrechnung. Wir betrachten zunächst zwei reelle Functionen q) (x, y), ^ (x, y\ und deuten die reellen Variablen x^ y als rechtwinklige Coordinaten in einer Ebene. Die Gleichungen (1 j (p (x, y) — 0, t (x, y) = 0 stellen dann zweiCurven dar, die wdr kurz die Curve (p und die Curve ip nennen. Wir nehmen zunächst an, diese Curven seien geschlossen und erstrecken sich nicht ins Unendliche. Wir nehmen ausserdem an, (p sei im Inneren der Curve q) negativ, im Aeusseren positiv; ebenso t^ im Inneren von t^ negativ, im Aeusseren positiv. Bezeichnen wir, wie die Fig. 6 (a. f. S.) zeigt, den Winkel, den die Normale n in irgend einem Punkte von qp, in der Richtung, in der cp wächst, also nach aussen gezogen, mit der Richtung der positiven x-kxe bildet, mit d; so ist, wenn cp' (x) und q' {y) die partiellen Ableitungen von q) sind, und die Quadratwurzel positiv genommen ist, ^) Kronecker, Monatsberichte der Berliner Akademie, März u. August 1869, Februar 1873, Februar 1878. 21* 324 Achter Absclinitt. 100. COS d- = cp'(x) Vfp'(x)'^cp'{yy^' sin & = 9>'(y) Ziehen wir die Tangente f so, dass sie zu der eben bezeich- neten Normale n so liegt, wie die positive ^-Axe zur positiven x-Axe und bezeichnen den "Winkel, den sie mit der positiven x-Axe bildet, mit |, so ist cos I sin I = Fisf. 6. Bezeichnen wir den Fortschritt auf cp in der Richtung t als den positiven und sind dx^ äy die Projectionen dieses Fort- schrittes, so sind dx und dy proportional und im Zeichen über- einstimmend mit — ^' (y\ ff' (x): und wenn Q eine beliebige andere Function ist, so ist dO z= ^' (x) dx -\- ^' (y) d y im Vorzeichen übereinstimmend mit der Functionaldeter- minante (2) [cp., ^] = 0 „ E{(p.t) „ [95, i>] < 0. (3) §. 101. Charakteristik eines Systems von drei Functionen. 325 Die Anzahl der J.(g), i/^) ist ebenso gross, wie die der E{(p,il^); und wenn wir qp mit ij; vertauschen, so gehen die J.(<5p,i^), E{(p,i>) in E(i'^ (p) und Ä(i\ cp) über. Die zwei Functionen 9, i/» bestimmen in eindeutiger Weise einen Flächenraum, der dadurch charakterisirt ist, dass in ihm das Product (p 4^ negativ ist. Wir wollen ihn den Binnenraum (g>, t/?) oder (7^, cp) nennen. In unserer Fig. 7 ist es die schraf- firte Fläche. §• 101. Charakteristik eines Systems von drei Functionen, Wir nehmen nun zu den beiden Functionen qp, ^' eine dritte f(x, y) hinzu. Die durch die Gleichung f = 0 dargestellte Curve, oder die Curve / soll gleichfalls im Endlichen geschlossen sein, und wir wollen ausserdem noch annehmen, dass sie durch keinen der Schnittpunkte von (p und ^ hindurchgeht. Wir geben diesen drei Functionen eine bestimmte cyklische Reihenfolge /, 9^5 ^)? so ist also auch e — a eine gerade Zahl und i(e — a) = li ■ eine ganze Zahl, die nach Kronecker die Charakteristik des Functionensystems /, 9), ^ heisst. (Im Falle der Fig. 8 ist sie gleich — 1.) Wenn wir die Functionen /, qp, ip cyklisch vertauschen, so erhalten wir drei Bestimmungen für die Charakteristik, und wenn wir die Eeihenfolge umkehren und dabei nach der getroffenen Vereinbarung auch die positiven Pachtungen durch die negativen ersetzen, drei weitere. Diese Bestimmungen sind, wenn wir jetzt die Symbole A (/; 9), 1/.'), E{f\ (p, ip) zugleich als Bezeichnung für die Anzahlen der betreffenden Punkte brauchen, 2. \[E{cp-^J)-A{rp-^J)l 3. \[E(^-f,^)-A(i.^;f,q>)\ 4. \\E{f-i>,-f,^) - A{cp-f,i^)l und es gilt nun der fundamentale Satz, dass diese sechs Bestimmungen dieselbe Zahl ergeben. Um ihn zu beweisen, durchlaufen wir die Curve / in posi- tivem Sinne, und achten auf die sämmtlichen Schnittpunkte mit fp und ^. Der Weg längs der Curve / ward dabei ebenso oft in den Binnenraum {(p.ip) eintreten müssen, wie er aus ihm heraus- tritt , weil er wieder in seinen Ausgangspunkt zurückkehren muss. Die Curve / tritt aber ein in den Punkten E (/; ^, ij) und A(f; ijj, (p) und tritt aus in den Punkten A(f] qp, ip) und E(J\ ip, (p). Also ist E{f; cp, t^) + A(f- ^, cp) = A(f; qp, t) -f E(f- ^, qp), wodurch die Uebereinstimmung von 1. und 4. nachgewiesen ist. Wenn wir nun zweitens die Curve (p in negativem Sinne durchlaufen, und auf ihre Schnittpunkte mit / achten, so ergiebt sich, dass jeder Punkt Eif\ qp, 4') zugleich ein Punkt E{(p:frip), und jeder Punkt A(f; 9), i<) ein Punkt A{(p\ f^ ip) ist. Denn in der Fig. 9, worin der Punkt a irgend einen der Schnitt- §. 102. Charakteristik-Beziehung zu den Schnittpunkten. 327 + i — punkte von / und g) darstellt, ist dieser Punkt ein E{f\ (p, ijj) und zugleich ein E{(p;f, ip), wenn i) in a positiv ist, und ein ^(/; 9^5 •«/') und zugleich ein Ä(cp;f, xjj), wenn t/; in a negativ ist. Fig. 9. Daraus folgt die Uebereinstimmung von 1. mit 6. Es folgt ferner durch nochmalige Anwendung des ersten Schlusses die Uebereinstimmung von 6. mit 2. und dann durch Anwendung des zweiten Schlusses die von 2. mit ö. f und endlich des ersten die von 5, mit 3., also die Uebereinstim- mung aller sechs Ausdrücke. Man ist daher berechtigt, die so bestimmte Zahl schlechtweg als die Charakteristik des Functionensystems (/, g), t^) zu bezeichnen. (p §. 102. Beziehung der Charakteristik zu den Schnittpunkten. Man hat nun zu beachten, dass die Bezeichnung der Schnitt- punkte zweier Curveu als Ein- und Austrittsstellen in §. 100 wesentlich verschieden ist von der in §. 101. Dort kam nur die Beziehung der Punkte zu den beiden sich schneidenden Curven in Betracht, während in §. 101 noch die Beziehung zu einer Fig. 10. dritten Curve in Frage kam; dies ist in den gewählten Bezeichnungen B (9), i^), A ((p, i^) und E{f- 95, t^), Ä(f- cp, i>) voll- ständig ausgedrückt. Nun müssen wir aber genauer untersuchen, wie sich die beiden Bezeichnungsweisen zu einander verhalten. Wir wählen der Deutlichkeit halber eine etwas einfachere Figur als oben, die zugleich alle möglichen Verhältnisse veranschaulicht (Fig. 10). In einem Punkte E{fp^ i)) tritt die 9)- Curve in die Fläche der Curve -4) ein , d. h. es geht t^ von positiven zu negativen Werthen. Ist dann zugleich / positiv, so ist dieser Punkt ein -^(91 i'tf)-! "^'16 der Punkt 1 in unserer Figur, ist aber/ negativ, so ist es ein A{(p] t,f): wie der Punkt 3. So haben wir: 328 Achter Abschnitt. §. 102. Ein Punkt E (g?, ip) ist ein E((p\ ^, /), wenn /> 0, (Punkt 1 der Fig. 10) Ä((p', i),f), wenn / < 0, (Punkt 3 der Fig. 10). Ein Punkt A{cp, ip) ist ein E{(p\ 1^,/), wenn / < 0, (Punkt 2 der Fig. 10) A{(p; ip,f), wenn / > 0, (Punkt 4 der Fig. 10). Nun ist in den Punkten E((p, i^) die Functionaldeterminante [(p, il^] negativ, in Ä{(p, ^) positiv (§. 100), und wir können also das Bewiesene so zusammenfassen : Es ist E(q)\ i>,f) die Anzahl der Schnittpunkte von 9), t\), in denen [9?, i^] / < 0, A{(p] ^, /) die Anzahl der Schnittpunkte von cp, ^, in denen [9, t/;] / > 0 ; also ist die Charakteristik gleich dem halben Ueberschuss der ersten Zahl über die zweite. Diesem Satz können wir folgenden Ausdruck geben, wobei er von Grössenverhältnissen gänzlich unabhängig erscheint und nur von den Lagenverhältnissen der Curven und ihrer Schnitt- punkte abhängt. Unterscheiden wir die Schnittpunkte von cp, t^', je nachdem sie Austrittspunkte Ä(q), i^) oder Eintrittspunkte E((p, i^) sind, durch das Zeichen « und £, ebenso, je nachdem sie äussere oder innere Punkte zu der Curve / sind, durch a und £, geben dann den Punkten a, s und f, a den Charakter -j- 1, den Punkten «, « und £, s den Charakter — 1 1), so ist die Charakte- ristik des Functionensystems (/, 9), rp) gleich der halben Summe der Charaktere der sämmtlichen Schnittpunkte von 9), ip- Die Sätze und Begriffsbestimmungen, die wir hier gegeben haben, bleiben unverändert bestehen, auch wenn die betrachteten Curven aus mehreren in sich geschlossenen Zügen bestehen; auch können Doppelpunkte bei den Curven vorhanden sein; es muss nur von jeder Fortschrittsrichtung auf einer der Curven ^) Kronecker versteht unter Charakter eines Punktes etwas Anderes. Nach seiner Definition (Monatsbericht der Berliner Akademie, 4. März 1869) ist nämlich der Charakter eines Schnittpunktes von ^ und \p die Charak- teristik eines Curvensystems , das man aus /, (f, ip erhält, wenn man / durch eine Curve ersetzt, die nur diesen einen Schnittpunkt von gj, ip um- schliesst. §. 103. Eingrenzung der complexen Wurzeln. 329 völlig bestimmt sein, ob sie als positiv oder als negativ zu be- trachten ist, d. h. es muss jedes Stück einer Curve / oder q) oder il^ Flächentheile von einander trennen, in denen die Func- tionen / oder ^ oder t^ entgegengesetzte Vorzeichen haben. Auszuschliessen sind nur die Fälle, in denen eine der Curven durch einen Doppelpunkt der anderen hindurchgeht, oder in denen die Curven einander berühren , oder in denen die drei Curven/, 9), t durch einen Punkt gehen; denn in diesen Fällen würde die Bestimmung eines Punktes als Eintrittspuukt oder Austrittspunkt zweifelhaft werden. Erstrecken sich die Curven ins Unendliche, so muss man sie, um unsere Sätze anwendbar zu machen, durch willkürlich hinzugefügte Curvenstücke abschliessen , wie wir im nächsten Paragraphen sehen werden. §. 103. Anwendung der Charakteristiken auf die Eingrenzung der complexen Wurzeln einer Gleichung. Es sei jetzt 3 = X -{- yi eine complexe Veränderliche und (1) F{2) = cp {X, y)-[-it (^, ^J) eine ganze rationale Function von s mit reellen oder complexen Coefficienten , und darin q) (x, y), ip (x^ y) reelle Functionen der reellen Veränderlichen x^ y. Wir setzen voraus, dass F{z) und F' {2) nicht zugleich verschwinden. F{z) verschwindet nur in den Schnittpunkten der beiden Curven cp und i^'. Die Ableitung von (1) ergiebt F(2) = q'{x) + irl>'{x) = - ^>'(y) + ^'{y\ also (2) ip'{x)=^\y\ q>' {y) = - i>' {X), und folglich (3) [cp, i'-] = cp' (X) t' (y) — cp' (1/) i^' (X) = cp'{xy + cp'iyf = xij'(xy + t'(yr. Hieraus folgt, dass die Functionaldeterminante [qp, t^J nie- mals negativ wird und nur da verschwindet, wo cp' (x) und cp' {y\ also auch ^' {x) und ^' {y) zugleich verschwinden. 330 Achter Abschnitt. 103. Dies tritt aber nie in einem Schnittpunkte von cp und t^ ein, da sonst hier F (2:) und F' (z) zugleich verschwinden würden. Die positive Fortschrittsrichtung ist in jedem Theil der Curve cp oder ip völlig bestimmt durch das Vorzeichen der Function in den angrenzenden Flächentheilen; auch etwaige Doppelpunkte, in denen 9), q)' (x) und cp' (y) zugleich verschwinden, machen dabei keine Ausnahme. Da die Functionaldeterminante [q). i^] in allen Schnittpunkten der Curven (p, t^ positiv ist, so sind alle diese Punkte Austritts- punkte A (9?, 7p), und daraus folgt, dass die Curven (p und ^ nicht geschlossen sein können, sondern sich ins Unendliche erstrecken müssen, da sonst auf eine Austrittsstelle nothwendig eine Ein- trittsstelle folgen müsste. Im Uebrigen bestimmen auch hier die Curven (p, tp einen Binnenraum, in dem das Product q) ip negativ ist. Wir fügen nun zu den beiden Functionen qp, ip eine dritte Function/ hinzu, die, gleich Null gesetzt, eine geschlossene Curve darstellt, und bestimmen die Charakteristik des Func- tionensystems ganz in der früheren Weise, indem wir längs der Curve / fortschreiten (1) h = l[E(f;cp,7p)]- Aif- cp,t)] = UE(f;i'.), E'(cp,ip) bezeichnen , während Ä ((p, i') die Zahl der ursprünglich vor- handenen Schnittpunkte bedeutet. Immer muss jetzt (2) Ä{cp,ii^)-^Ä' (9P, 1^) = E' (cp, i') sein. Wir theilen die Punkte Ä (^, 'i') in zwei Gruppen Äa (g?, i') Äe (g), tp), von denen die ersten ausserhalb, die anderen innerhalb von / liegen sollen. Dann haben wir folgende Charaktere der Schnittpunkte Äa (% i^) -1, A, (tp, ij) + 1, Ä (9), t^) - 1, E' (qp, i,) — 1. Der doppelte Werth der Charakteristik ist dann, wenn wir der Einfachheit halber die Bezeichnung (g?, ^') weglassen (§. 101) (3) — Aa-\' A, — A -YE' ^ 2^-; dazu die Gleichung (2) addirt, ergiebt (4) li = A,, d. h. die Charakteristik ist gleich der Anzahl der im Inneren von / gelegenen Schnittpunkte von g), i\}. Damit haben wir also ein Mittel gefunden, um die Anzahl der Wurzeln der Gleichung F{b) = 0, deren geometrische Bilder im Inneren einer beliebig gegebenen Curve liegen, aus der Charakteristik zu bestimmen. Die will- kürlich hinzugefügten äusseren Verbindungen spielen hierbei gar keine Rolle mehr und können vollständig unterdrückt werden. ^?3 §. 104. Bestimmung der Charakteristik. Um den im Vorigen bewiesenen Satz anwendbar zu machen, müssen wir noch zeigen, wie wir die Charakteristiken wirklich 332 Achter Abschnitt. §. 104. +001 bestimmen können. Denken wir uns zu diesem Zweck dieCurve/ so in Theilstrecken getheilt, dass in einer von ihnen nur ein Schnittpunkt mit der Curve q) oder ein Schnittpunkt mit der Curve il^ liegt, und bezeichnen wir mit a (Fig. 13) den Anfang, mit b das Ende einer solchen Strecke, mit § den in ihr liegenden Schnittpunkt von / mit g?, so wird der Punkt | ein Punkt E(f; (pi t^) sein, wenn das Product g? ip in a positiv ist, und ein Punkt Ä(f; qp, ^), wenn q) i) in a negativ ist; und damit ist die Möglichkeit gegeben, aus den Vorzeichen der Functionen qp, -^ in den Theilpunkten der Strecken die Cha- rakteristik vollständig zu bestimmen. Wie wir aber die Curve / in solche Theilstrecken eintheilen, das lehrt uns der Sturm' sehe Lehrsatz. Wir denken uns zu diesem Zweck x und y als Functionen einer Variablen t dargestellt, die längs der Curve / alle reellen Werthe von — 00 bis -j- cc (oder auch nur die Werthe eines end- lichen Intervalles) durchläuft. Dadurch gehen (p und t^ auch in Functionen der Variablen t über und man hat die Lage ihrer Wurzeln nach dem Sturm' sehen Lehrsatz zu unter- suchen. Ist z. B. wie in Fig. 14 die Curve / ein Kreis mit der Gleichung {X - «)2 + (y - ßf = Q^ so können wir setzen: 1 —P 1 -\-P' 2t X a y ß = Q 1 +^2' und t durchläuft einfach alle Werthe von — oo bis -f- cc , während der Punkt x, y sich über den ganzen Kreis in positivem Sinne bewegt, qp und t^ gehen, mit einer geeigneten Potenz von \ -\-P multiplicirt, in ganze rationale Functionen von t über, die die Anwendung des Sturm' sehen Satzes gestatten. §. 105. Fundamentalsatz der Algebra. 333 §. 105. Gauss' erster Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Gauss hat für den Hauptsatz der Algebra, dass eine Glei- chung n^'^^ Grades n Wurzeln hat, drei verschiedene Beweise gegeben. Der erste von diesen, der sich in seiner Doctordisser- tation findet, und den er später noch weiter ausgeführt und anders dargestellt hat, beruht, wenn auch in anderer Einkleidung, auf dem Gedanken, der dem Charakteristikenbegriff zu Grunde liegt ij. Danach gestaltet sich dieser Beweis in seinen Grund- zügen folgendermaassen. Es sei s = X -\- yi und (1) F{e) = cp (X, y) i-it (x, y) eine ganze rationale Function von s vom m*^'^ Grade mit reellen oder complexen Coefficienten , in der ;?" den Coefficienten 1 hat, also (2) F(2) = 5"* + «1 ^"-1 -f- «2 ^"-2 -}-... -j- «„. Wir setzen wieder voraus, dass F(s) und F' (s) keinen ge- meinsamen Theiler haben, und der Beweis, dass F(^) für n Werthe von s verschwindet, beruht nun darauf, dass, wenn wir für / einen Kreis von hinlänglich grossem Radius wählen, die Charakteristik des Functionensystems /, «p, il^ direct bestimmt werden kann und sich gleich n findet. Dann folgt nach §. 103, dass in dem so gewählten Kreise n Punkte ^ liegen, in denen F(z) verschwindet. Wir bedienen uns der Polarcoordinaten, und setzen, da ttj, «2? %i • • -i f*n aucli complex sein können, worin 2h- Pi-, • • • Pni Fk, positiv sind und die Winkel gi, q-i^ . . . g,i, %^ in irgend einem Intervall vom Umfang 2 % gewählt werden können. 1) Gauss, Demonstratio nova theorematis omnem functionem alge- braicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799). Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849). Kronecker, Monatsberichte der Berliner Akademie, 21. Februar 1878. 334 Achter Abschnitt. §. 105. (3) Hierdurch wird cp (x, y) = i2" cos w ^ + p^ ii"~ ' cos \{n — 1) ^ + gj -\- •••-{- Pn COS g„ ip{x, y) = Pt^sinw-Ö- +i;iPt"~'sin [(n _ 1)^ -f 5,] + • • • + Pn sin g„, und wir bilden auch noch die nach &■ genommenen Ableitungen ll = — n P" sin n^ — (n — l)p, Pt""' sin [(n — 1) 0- -f q,] /^x Pn-i sin (^ + qn-i) ^ = w P" cos nO- ^ (n - 1) i^^ P""' cos [(n _ 1) ^ + g,)] + . • • +_Pn-lC0S(0- -f g„_i). Wir theilen jetzt die Kreisperipherie mit dem Radius P in 4 n Theile ein von der Winkelgrösse 4 ;^ indem wir bei ^ = — co anfangen. Die Theilpunkte sind also — oj, 03, 3 CO, 5 03, ... (8 n — 3) «, und die Intervalle mögen der Reihe nach mit 1, 2, 3, . . . 4n bezeichnet sein, so dass das mit v bezeichnete Segment die Grenzen (2 v — 3j w und (2v — l)(o hat. Die Fig. 15 zeigt diese Eintheilung für n = 3. In den Intervallen 1, 3, 5 ... (4 w — 1) ist cos n ■9", absolut genom- men, grösser als 1 : V'2, und abwechselnd von positivem und negativem Vorzeichen. In den Intervallen • 2, 4, 6 ... 4 w ist sin n 0" absolut grösser als 1 : V2 und gleichfalls abwechselnd von positivem und nega- tivem Vorzeichen. Mau kann aber P so gross annehmen, dass in den Intervallen 1, 3, 5 ... (4 n — 1) das Vorzeichen von (p und -jä. ™^^ ^^^^ Fig. 15. 5 w 11(0 13u) K-'"^^ ^"'^^\ 9to^ ^ ^ \3w 7 / \ 2 8\ /x2 15 to^ . y ^21w ^^~~^-jf-_ ^^^j^,-^ + w -tu 17a» 10 19,1, §. 106. Der Satz von Hurwitz. 335 von cos n d; und in den Intervallen 2, 4, G ... 4 « das Vorzeichen von t^ und 5-^ mit dem von sin n d- übereinstimmt. a ir Da also q) in den Intervallen 2, 4, 6 ... 4m sein Zeichen ändert, so muss es in jedem dieser Intervalle durch Null gehen, und da die Abgeleitete -7^ ihr Zeichen nicht ändert, so kann es nur einmal in jedem durch Null gehen. Ebenso ist zu schliessen, dass t^ in jedem der Intervalle 1, 3, 5 ... 4 n — 1 einmal und nur einmal durch Null geht. Wir haben also eine Eintheilung der Kreisperipherie, wie sie im vorigen Paragraphen zur Bestimmung der Charakteristik verlangt wurde, und da in den Theilpunkten 0, 5 ta, 9 g» , . . (4 « — 3) o? das Product q) i' positiv ist, so kommen auf der Kreisperipherie keine Punkte Ä(f; 9, 1^) vor und die Anzahl der Punkte £"(/; 9), ih) ist 2w; die Anzahl der Wurzeln von F(0) ist also gleich m, Avas zu beweisen war. Ebenso führt das entgegengesetzte Umkreisen von / niemals auf einen Punkt Ä (/; ^, i') und die Anzahl der Punkte -£■(/; il>, (p) ist ebenfalls 2n. 7t S 7t Die Punkte d- = — und Q^ =: -— der Kreisperipherie liegen in den Intervallen n -\- l und 3w -f- 1, haben also bei geradem n einen ungeraden und bei ungeradem n einen geraden Index. Es liegt also in diesen Intervallen bei geradem n je ein Schnitt- punkt von ip und kein Schnittpunkt von (p und bei ungeradem n je ein Schnittpunkt von cp und kein Schnittpunkt von t/». Es folgt hieraus: Theilt man den Kreis / durch die ij-Axe in zwei Halbkreise, so liegen auf jedem dieser Halbkreise ti Punkte E(f\ qp, ip) bei geradem m, n Punkte E{f; t, cp) bei ungeradem n. Diese Bemerkung giebt uns ein Mittel, um über die Ver- theilung der Wurzeln auf die beiden Halbkreisflächen aus dem Verhalten der Functionen q), t^ auf der y-kxe Schlüsse zu ziehen. §. 106. Der Satz von Hurwitz. In der schon früher (§. 99) erwähnten Abhandlung hat- Hurwitz die Bedingungen dafür aufgestellt, dass eine reelle Gleichung nur Wurzeln mit negativem reellem Theil habe. 336 Achter Abschnitt. §. 106. Behalten wir der Symmetrie wegen den Coefficienten «o bei, den wir gleich 1 annehmen können, und den wir als positiv voraussetzen wollen, so sei die gegebene Gleichung (1) F{S) = «0 -^^ + «1 -^"~' -f • h «n = 0. Die «0, «1, . . ., ein sollen jetzt reelle Zahlen sein. Setzen wir für s; einen rein imaginären Werth y ?', so wird ß in folgender Weise zerlegt. Wir setzen: und dann ist (3) F{yi) = in(F,-iF,). Wir haben also nach der Bezeichnung des vorigen Para- graphen /^x ^ (0: y) '— ± Fl, t^ (0, y) = Z^ F2 bei geradem n (p (0, y) = + F2, ip (0, ij) = J^ Fl bei ungeradem n. Wenn nun alle Wurzeln von F negative reelle Theile haben sollen, so darf zunächst F^ und F.^ für kein reelles y zugleich ver- schwinden, weil sonst F eine reine imaginäre Wurzel hätte. Es müssen ferner alle Wurzelpunkte in dem Halbkreis liegen, der in unserer Fig. 15 durch die Punkte 4, 7, 10 bezeichnet ist. W^enn wir also die Begrenzung dieser Halbkreisfläche als /-Curve betrachten, so müssen auf ihr 2 n Punkte E{f\ qp, 1^) und 2 n Punkte E{f\ i/^, (p) liegen. Folglich müssen nach dem Schlusssatze des letzten Para- graphen auf dem geradlinigen Durchmesser n Punkte E{f\ cp, ifj) bei geradem n n Punkte F(f] i\ ip) bei ungeradem n liegen. Daraus aber ergiebt sich nach (4) für beide Fälle, dass auf dem Durchmesser n Wurzeln von Fi = 0 liegen müssen, und dass in diesen Punkten F\ (y) F.j (y) positiv sein muss, damit es Punkte E(f; qp, i.') oder E(f] i', (p) sind. Da n solche Punkte vorhanden sein müssen und F^ nur vom n^^^ Grade ist, so kann F[(y) hier nicht zugleich mit F^(y) verschwinden. Es treten also hier die Voraussetzungen des Satzes §. 99, 3. in Kraft, wenn wir an Stelle der dort vorkommenden Functionen / und 0 hier Fi und Jg setzen. Um ihn anwenden zu können, ' müssen noch die Determinanten C, und also zunächst die Coef- ficienten Cv der Entwickelung des Bruches F^-.F^ nach fallenden Potenzen von y berechnet werden. §. 106. Der Satz von Hurwitz. 337 Hier hängt aber die Function y F^ : F^ nur von y^ ab, und folglich kann die Entwickelung nach fallenden Potenzen von y auch nur die geraden Potenzen enthalten, d. h. es sind c^, Cj, C5, . . . = 0. Dann aber zerfällt die biquadratische Form T [§. 99, (6)] in die beiden Formen ^ Co i,Ti '2(i + fe) 4i^2fc) ^ Caii + k + iyhi+lhk+h von denen die erste nur die Variablen ^0, ^2, ^4, • • •, die andere nur die Variablen ^j, f^, #5, . . . enthält. Für unseren Fall muss also jede dieser Formen definit, und zwar positiv sein. Wir setzen jetzt für ein gerades n (5-) C C01 ^2, . • ., Cn — 2 C2, C4, . . • ., Cn C2, C4, . . ., C„ Cn — 2iCni • • v C2n—i , C" - C4, Cg, . . . ., Cn-f2 Cni Cn + 2i • . ., C2„_2 ungerades n Cq, C21 . . • .^ Cn — 1 ^2i C^i . . • •? c„_i C2, C4, . . . ., C„ 4. 1 Cn — hCn + l: • • •■> C^n — i , C" - C4, Cj;, . . • "1 Cn-\-i Cn — 15 ^n + I1 • • "1 Cin—Z (5^) C und erhalten nach §. 89, VII. den Satz: 1. Damit die Gleichung F{z) = 0 nur Wurzeln mit negativem, reellem Theil besitze, ist nothwendig und hinreichend, dass die Determinanten C", C" nebst allen ihren Hauptunterdeterminanten po- sitiv seien. Selbstverständlich genügt es (nach §. 89) festzustellen, dass eine Kette von Hauptunterdeterminanten von C", C" positiv ist. Zur Berechnung der Coefficienten Cq, Cg, C4, . . . ergiebt sich aber folgendes einfache Verfahren. Man bilde das Product ^i(Co + C2 2/-2 + Q^-*H ). In diesem Product können keine negativen Potenzen von y vorkommen, und die Coefficienten der positiven Potenzen müssen mit den Coefficienten der entsprechenden Potenzen in y F.j (y) übereinstimmen. Daraus ergeben sich nach (2) die folgenden Gleichungen zur successiven Berechnung von Cq, C2, c^, . . . Web er, Algebra. I. 22 338 Achter Abschnitt. §. 106. (6) «1 «0 Co «3 «0 C-2 «2 Co «5 «0 Ci «2 Cj «4 Co «7 «0 Cß «2 C4 üi 0-2 — Cl^Co Hurwitz hat diesen Bedingungen noch eine andere Gestalt gegeben, die formell einfacher ist, obwohl sie die Berechnung höherer Determinanten erfordert. "Wir wollen hier, um die Uebersicht nicht durch allzu grosse Formeln zu erschweren, die Rechnung nur in einem Beispiel durch- führen, aus dem aber der Gang im Allgemeinen vollkommen zu ersehen ist. Wir setzen die zweite Hauptunterdeterminante Cq c^ — c,- von C in die Form 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, Co? Ca, Ci 0, 0, Co, c-2 1, 0, 0, 0 0, Co, C2, Ci 0, 1, 0, 0 0, 0, Co, c-i und multipliciren sie in der letzten Gestalt mit «0, 0, 0, 0 I «21 «4, ao, 0, 0 «2, «05 0 «4, — a^i ^0 = a, Dadurch ergiebt sich nach (6) «0, — a, 21 0, «1, 0, «0) Ö4, «3, «21 ttg, «5, ff 4, 0 0 «1 «3 »0 «1, «0» 0 «3, «21 «l «5, «4, «3 und die zuletzt angegebene Determinante muss daher positiv sein. Ebenso behandle man die Hauptunterdeterminanten von C", indem man z. B. i 1, 0, 0, 0 Cqi C-2-. C4, Cg 0, 1, 0, 0 I Ol Co, C2, C4 C2 Cfj — C4 — setzt, wofür man den Ausdruck erhält: §. 106. Der Satz von Hurwitz. 339 «1, «0, 0, 0 %i ^21 ^'n ^0 «5, «4, ft3, rt-3 «71 «61 «5. «4 was also ebenfalls positiv sein muss. Hieraus ergiebt sich der Hurwitz'sche Satz: 2, Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung _F = 0 nur Wurzeln mit negativem, reellem Theil habe, besteht darin, dass ausser a^ die n ersten Glieder der Kette der Hauptunterdeterminanten J.i, Ä2, . . ., A^ der Determinante «1, «0, 0, 0, 0, 0 . ttj, ag, «1, tto, 0, 0 . %, a^■, 0^3, ttg, ctj, äq . öty, ctg, «5, «4, «3, ^2 . positiv sein müssen. Dieser Satz ist zunächst nur unter der Voraussetzung abge- leitet, dass F(s:) keine mehrfachen Wurzeln hat, oder dass die Discriminante dieser Function nicht verschwindet. Wir können uns aber von dieser Beschränkung leicht nachträglich frei machen. Wenn zunächst die in 2. vorkommenden Determinanten sämmtlich positiv sind, so ist die quadratische Form T eine positive, und dann können nach (§. 99, 1.) Fi und F2 keine gemeinschaftliche Wurzel haben. Es kann also F keine rein imaginäre Wurzel haben. Es kann aber F dann auch keine Wurzel mit positivem, reellem Theil haben, denn sonst könnte man die Coefficienten von / so wenig ändern, dass die Determinanten 2. positiv bleiben, dass Wurzeln mit positivem, reellem Bestandtheil bleiben, und dass die veränderte P'unction F keine mehrfachen Wurzeln mehr hat. Dann erhält man aber einen Widerspruch mit dem Satze 2. Ebenso kann man umgekehrt schliessen, dass, wenn i^(^) nur Wurzeln mit negativ imaginärem Theil hat, keine der Deter- minanten 2. negativ sein kann. Es bleibt also nur noch nachzuweisen, dass unter dieser Voraussetzung über die Wurzeln von F keine der Determinanten 2. 22* 340 Achter Abschnitt. §. 106. «n «Ol 0, 0 «3, «2, «1, «0 «51 «4, «»1 «2 «7, «6, «ö, «4 verschwinden kann. Nehmen wir, um dies zu bew^eisen, an, es sei etwa Ä,= die erste verschwindende unter diesen Unterdeterminanten. Es hat hierin aj den Coefficienten «0 -^2i der nach Voraussetzung negativ ist. Wenn wir also F in F' = i^ -[- £ 0 verwandeln, so können wir die Coefficienten von {x) eine Constante ist, die wir von Null verschieden und positiv voraussetzen. Sie ist, von einem positiven Zahlen- factor abgesehen, der Coefhcient von x'^ in f{x). ^) Budan, Nouvelle methode pour la resolution des equations nume- riques (1803 der Pariser Akademie vorgelegt). Fourier, Analyse des equations determinees. Paris 1831. Ueber das Geschichtliche dieser Frage vergleiche man Lagrange, Traite de la resolution des equations, Note VIII (Werke, Bd. 8). 342 Neunter Abschnitt. §. 10 Es seien wieder a und /3 > k zwei reelle Zahlen . die das Intervall («, /3j bestimmen, in dem die Anzahl der reellen "Wurzeln von f{x) gezählt werden sollen. Wir wollen zunächst annehmen, dass in dem Intervall (a, /3j nicht zwei Glieder der Reihe (1) zugleich verschwinden, und dass für x ■= a. x = ß kein Glied der Reihe verschwindet. Lassen wir nun x von a bis ß stetig wachsen, so kann in der Vorzeichenfolge der Reihe (1) nur dann eine Aenderung eintreten, wenn eine der Functionen durch Null geht. Wenn f^^^{x) für X = ^ durch Null geht, so geht /C'Ua:) , je nachdem f(^ + i)(x'^ positiv oder negativ ist, von negativen zu positiven oder von positiven zu negativen "Werthen über, und es geht also zwischen /'") und /"C + i) beim Durchgang durch | ein Zeichen- wechsel verloren. Dies gilt auch, wenn /('^ die Function f{x) selbst ist. Wenn aber /^'^ eine der Derivirten ist, so geht ihr eine Function f^^~^^ voran, und da ß^'~'^^ nach Voraussetzung für a; := I nicht Null ist, und f"'> beim Durchgang durch | sein Zeichen wechselt, so findet zwischen f^^'~'^> und ß^'> beim Durch- gang durch I entweder ein Verlust oder ein Gewinn von einem Zeichenwechsel statt. Wenn also ein inneres Glied der Reihe (1) durch Null geht, so bleibt die Anzahl der Zeichenwechsel unge- ändert, oder es gehen zwei Zeichenwechsel verloren. Geht aber/(a;) selbst durch Null, so geht ein Zeichenwechsel verloren. Daraus folgt das Theorem : I. Die Anzahl der zwischen « und ß gelegenen Wurzeln von f(x) ist höchstens so gross, wie die Zahl der zwischen « und ß verlorenen Zeichen- wechsel, und wenn sie kleiner ist, so ist der Unterschied eine gerade Zahl. Mit Benutzung einer Formel können wir auch sagen: Ist V(x) die Anzahl der Zeichenwechsel (Variationen), die die Reihe (1) für irgend einen Werth x darbietet, so ist die Anzahl der zwischen a und ß gelegenen Wurzeln von f(x) (2) F(«)- y{ß) - 2/^ worin Ji eine nicht negative ganze Zahl ist. Der Beweis des Satzes I. bedarf noch einer Ergänzung für den Fall, dass in der Reihe (l) mehrere auf einander folgende Glieder zugleich verschwinden. §. 107. Das Budan-Fourier'sche Theorem. 343 Es mögen also für einen Werth | von x zwischen a und /i in der Reihe alle Glieder, mit Ausnahme des letzten, verschwinden, und das letzte /<*'+/*>(.'») möge etwa einen positiven Werth haben. Wir grenzen um | zwei Intervalle ö^, ^2 ab, so dass alle Werthe von x im Intervall d^ kleiner, im Intervall tfg grösser als ^ sind, und nehmen diese Intervalle so klein, dass die Func- tionen (3) ausser in | darin nicht verschwinden, also auch /(''+.") (a;) positiv bleibt. Da nun, wenn/(' + "^(aj) positiv ist, /(*" + "— i)(a;) mit x zugleich wächst, so ist y(v + .u-i)^^^ in ^1 negativ, in ^2 positiv. Daraus folgt, dass /(*' + "- 2) (^^^ in öi abnimmt, in öo wächst, also in beiden Intervallen positiv ist, und so schliessen wir weiter auf die Vorzeichenfolge in der Reihe (3): (4) /(^•)(^),/' + 'K^)./^'+'K^), • • .,/^ + "-^U^),/^ + '^(^) d„(-l)" -(-1)" (-1)-' ... - + ^2, + + + + + d. h. in der Reihe (3) werden beim Durchgang durch ^ aus lauter Zeichenwechseln Zeichenfolgen, und es gehen in der Reihe (3) /u. Zeichenwechsel verloren. Ist /(" + "^ (I) negativ, so sind alle Zeichen in (4) die ent- gegengesetzten, und der Schluss bleibt sonst derselbe. Wenn nun v = 0 , d. h. /(*'^ {x) die ursprüngliche Function /■(ic) selbst ist, die dann in | eine (/u. -|- 1) fache Wurzel hat, so findet also beim Durchgang durch | auch in der Reihe (1) ein Verlust von ^ Zeichenwechseln statt. Ist aber v > 0 und die dem /("^ {x) vorangehende Function /(''-^^fic) von Null verschieden, so haben wir folgende Zeichen: 1. ft gerade: a) /c-i) {x), p) ix), b) /(^-i) {x), /(") {X) öl, + + - + Ö2, + + - + 344 Neunter Abschnitt. §. 107. 2. iLt ungerade: aj p-'Kx),p\x), h) p-^Hx),pHx) öl, + - - - Es geht also bei geradem fi zwischen /^'"^^ und /w kein Zeichenwechsel verloren, bei ungeradem ^i geht ein Zeichenwechsel verloren oder es wird einer gewonnen. Es ist also der Verlust an Zeichenwechselu beim Durchgang durch ^ in der Reihe (5) p-'\p\r''^'\ .-rß'-'^ bei geradem fi gleich ^ , bei ungeradem ^ gleich ft ± 1 , also immer eine gerade Zahl und nie negativ. Wir können diesen Ergebnissen einen übersichtlichen ana- lytischen Ausdruck geben, der ihre Bedeutung besser erkennen lässt. Wir bezeichnen mit V(x) wrie früher die Anzahl der Zeichen- wechsel in der Reihe (1) für einen bestimmten Werth von x, jedoch mit der näheren Bestimmung, dass, wenn für einen Werth von X einige der Glieder der Reihen verschwinden, diese bei Abzahlung der Zeichenwechsel einfach übergangen werden. Wir können dann V(x) als eine Function von x auffassen, die sich aber nur um ganze Zahlen ändern kann, also unstetig ist für die Werthe von a;, für welche einige Glieder der Reihe (1) ver- schwinden. Wir wollen dann mit V(x — 0) und V{x -\- 0) die Werthe der Function V (x) unmittelbar vor und unmittelbar nach einer solchen Stelle bezeichnen. Dann zeigt die Betrachtung von (5), dass in allen Fällen (Q) F(| + 0) = 7(1) ist, und dass, wenn ^ eine ,a-fache Wurzel von f{x) ist, n) va -0) = F(^) + f. 4- 2 /^ worin h eine nicht negative ganze Zahl ist. Daraus ergiebt sich also, wenn wdr zunächst daran festhalten, dass für x = u und x = ß keine der Functionen (1) ver- schwindet, dass V(u) — F(/3) sich von der Summe aller Zahlen ft, d. h. von der Anzahl der im Intervall («, ß) gelegeneu Wurzeln, jede nach dem Grade ihrer Vielfachheit gerechnet, um eine gerade, nicht negative Zahl unterscheidet, und damit ist also das Theorem I. von seiner Beschränkung befreit. §. lOS. Die Newtou'sche Eegel. 345 Wir können aber auch noch die Voraussetzung aufgeben, dass für « und ß keine der Functionen (1) verschwindet, wenn a und ß nicht unter den Wurzehi von f(x) vorkommen. Denn dann ist unser Theorem anwendbar auf zwei Werthe, von denen der erste etwas grösser als cc, der andere etwas kleiner als ß ist, und die dieselben Wurzeln einschliessen, wie a und /3; d. h. es ist, wenn wir mit 5 die Anzahl dieser Wurzeln bezeichnen F(«-f-0) _ F(/3-0) = 5 + 2Ji, und da V{u 4- 0) = F(«), V{ß - 0) = V{ß) + 2h\ so folgt F(«) - V(ß) = ä -f 2 (/. + 70, was wieder der Ausdruck unseres Theorems ist. Wenn aber « oder ß selbst zu den Wurzeln Yonf(x) gehört, dann ist unser Theorem nur dann richtig, wenn diese Grenz- werthe nicht mit zum Intervall gezählt werden. Das Budan-Fourier'sche Theorem giebt zwar nicht, wie der Sturm' sehe Satz, eine vollständig sichere Entscheidung über die Zahl der Wurzeln in einem Intervall, es kann aber doch in manchen Fällen den Sturm'schen Satz ersetzen; denn hat man das Intervall («, ß) so weit eingeschränkt, dass kein oder nur ein Zeichenwechsel von « bis ß verloren geht, so folgt mit Sicherheit, dass im ersten Falle keine, im zweiten eine und nur eine Wurzel im Intervall liegt. Die Abgrenzung der Wurzeln kann also durch die Budan'sche Reihe nur dann vollständig gegeben werden, wenn nicht beim Durchgang durch einen Werth | gleichzeitig mehrere Zeichen- wechsel verloren gehen. Dies Verhalten kann, wie klein auch das Intervall («, ß) gewählt sein mag, nicht mit Sicherheit erkannt werden, und man wird also, wenn nach einer angemessenen Ein- engung des Intervalles die Abgrenzung nicht gelungen ist, doch zu einem anderen Verfahren, in letzter Instanz zum Sturm'- schen Satze greifen müssen. §. 108. Die Newton'sche Regel. Eine Ergänzung der vorstehenden Regel, die eine weitere Annäherung an die genaue Festsetzung der Grenzen der Wurzeln 346 Neunter Abschnitt. §. 108. gestattet, giebt die jetzt zu besprechende, von Newton her- rührende, aber erst von Sylvester bewiesene Vorschrift i). Es sei wieder (1) fix) = ciq ic" + tti a;"-i + • • • + «„-i x + «,, = 0 die zu untersuchende Gleichung. Wir setzen, indem wir mit n(m) wie immer das Product 1. 2. 3 ... m und mit/(')(a:) die v^^ Derivirte bezeichnen, (3) F, (x) = ß {x) — /, + , (x) /.,-, W, mit dem Zusatz, dass (4) Fo = F=l, Fn=fl also, worauf es wesentlich ankommt, positiv sein sollen. Für die Abgeleiteten der Functionen /»., Fv erhalten wir aus (2) und (3) (5) f[.{x) = (n-v)f,. + u (6) f.F\.{x) = (n -v-1) (K/,. + i + Fv + i/.._,). Da es auf die positiven Zahlenfactoren nicht ankommt, so können wir die Budan"sche Reihe durch die Reihe der Func- tionen /i Jli J21 • • •■> Jn ersetzen. Die Newton'sche Regel macht nun von der Doppelreihe Gebrauch : ^-N /' /i» /a» • • •? Jn ^ ^ F F F. F Wenn wir zwei auf einander folgende Glieder dieser Doppel- reihe, wie für einen Werth von x betrachten, für den keine der vier Func- tionen verschwindet, so sind in Bezug auf die Zeichenfolge die nachstehenden Fälle möglich: 1) Newton, Arithmetica universalis. Sylvester, Transactions of the R. Irish Academy, t. 24 (1871). Phil. Mag., 4. ser., t. 31. Yergl. auch Petersen, Theorie der algebi-. Gleichungen. Kopenhagen 1878, §. 108. Die Kewton'sche Eegel. 347 a) ^ \ ^ ' , , . P P. b) "[" , "^ , • . ^ _T^' T'^^' 1 ? + - 1 • _L + + + ' _| L 1 — — -L- 1 5 1 c) '',''. , , PV. + - -+ +- -^ Dies Verhalten bezeichnen wir mit folgenden Ausdrücken und Symbolen: a) Folge-Folge (Permanenz-Permanenz) P P, b) Wechsel-Wechsel (Variation-Variation) VV, c) Folge-Wechsel (Permanenz-Variation) P F, d) Wechsel-Folge (Variation-Permanenz) V P. Die zwei Sätze, die wir beweisen wollen, lauten : II. Die Anzahl der zwischen u und ß gelegenen Wurzeln von f{x) ist entweder genau so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, als die Zahl der beim Uebergang von a zu ß in der Doiipelreihe (7) verlorenen Wechsel-Folgen. III. Die Anzahl der zwischen u und ß gelegenen Wurzeln von f {x) ist entweder genau so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, als die Zahl der beim Uebergang von u zu ß in der Doppelreihe (7) gewonnenen Folge-Folgen. Von diesen beiden Sätzen, die nicht immer dieselbe obere Grenze für die Zahl der Wurzeln geben, wird man den anwenden, der die niedrigste Grenze giebt. Wir machen beim Beweis dieses Satzes die folgenden Vor- aussetzungen, von denen wir uns zum Theil später wieder befreien werden: 1. f{x) hat keine doppelten oder mehrfachen W^urzeln. 2. Von den Functionen fv(x) verschwinden nicht zwei be- nachbarte für denselben Werth von x. 348 Neunter Abschnitt. §. 108. 3. Auch von den Functionen Fvipc) verschwinden nicht zwei benachbarte für denselben Werth von x. 4. Eine Folge von 2. ist [nach Formel (3)], dass nicht fv{x) und Fr{x) für denselben Werth von x verschwinden. 5. Für X ^= a und x = ß selbst soll keine der Functionen fy. Fv verschwinden. Der Beweis der Sätze II. und III. ist nun folgender: Lassen wir x^ stetig wachsend, von u bis ß gehen, so kann eine Aenderung in der Zeichenfolge nur dann eintreten, wenn eine der Functionen fy oder Fy durch Null hindurchgeht, und es kommt nur darauf an, den Effect zu untersuchen, den ein solcher Durchgang durch Null in den verschiedenen Fällen hervorruft. Nehmen wir zunächst an, es gehe eine der mittleren Functionen /, etwa /,, durch Null, wobei also 0 < v < w. Je nachdem /v + i positiv oder negativ ist, wird fy wachsen oder abnehmen. Es wird also im ersten Falle fy (x — 0) negativ , fy(x -\- 0) positiv sein, und im zweiten Falle umgekehrt; ausserdem folgt aus (3), dass, wenn /, = 0 ist, jPv-i und Fy+i positiv sind, und Fy das entgegengesetzte Vorzeichen von/v_i/,+i hat. Wir stellen die hiernach bleibenden Möglichkeiten tabellarisch zusammen, lassen aber in der Aufzählung solche Fälle weg, die durch gleichzeitige Vorzeichenänderung der drei Functionen /v_i, /,, /, + : aus den aufgeführten entstehen, da diese offenbar keine verschiedenen Resultate ergeben. Es bleiben uns hiernach nur zwei Fälle: v- 1, V, V -\- l V — 1, V, V + 1 : /(^ - 0) /(^ + 0) — -♦ F -f- -f In diesen Fällen ist also X 0 F F. F F PP, VP i • X -\- 0 PV, PV VP, PP \ Es wird also weder ein VP noch ein PP verloren oder gewonnen. Wenn aber /(a;) selbst durch Null geht, so haben wir, wenn wir /i fx) positiv voraussetzen, was mit Rücksicht auf die vorher gemachte Bemerkung genügt. §• 108. Die Newtou'sche Regel. 349 0 1 /(^ - 0) /(^ + 0) + + F + + Es geht also hier ein VP in ein PP über, d. h. es wird ein VP verloren, ein PP gewonnen. Wenn endlich Fv durch Null geht, wo natürlich 0 < v < w sein muss, so ist das Verhalten folgendes: Wenn i\ ^ 0 ist, so müssen nothwendig /v-i und /v + i gleiche Vorzeichen haben, da sonst Fv aus zwei positiven Gliedern bestehen würde, und nicht verschwinden könnte. Es ist ferner F'y{x) nach (6) vom selben Vorzeichen wie das Product/,._i/,.i^,.+ii und also hat Fy{x — 0) das entgegengesetzte, Fr{x -\- 0) das gleiche Vorzeichen, wie das Product. Auch hier können wir in der Aufzählung die Fälle weglassen, die aus den aufgeführten durch gleichzeitige Zeichenänderung in allen drei Functionen /,._i, /,., /,, + ! oder i\_i, K, -F,+i ent- stehen, und es bleiben also folgende Fälle: / v-\, r, V -\- \ + + F{x 0) — — F{x-]-0) / V 1, V, V -[" 1 F{x 0) + + + F{x^Qi) _l_ — _l- - + + + Die Zeichenwechsel sind in diesen vier Fällen X — 0 pr,pv PP.PV VP, VP 1 VV, VP X -[- 0 PP, PP PV,PP VV, VV VP, vv Im ersten Falle werden zwei PP gewonnen, im zweiten und vierten Falle tritt keine Aenderung ein, im dritten Falle gehen zwei VP verloren. 9. 50 Neunter Abschnitt. §. 109. Damit aber sind die Sätze II. III. bewiesen. Die Voraussetzungen 2., 3., dass von den Functionen /,. und Fv nicht zwei benachbarte für dasselbe x verschwinden sollen, können wir aufgeben. Denn wenn wir an der ersten Voraus- setzung festhalten, dass keine mehrfachen Wurzeln vorhanden sind, so können wir den Coefficienten a». so kleine Aenderungen ertheilen, dass erstens die Voraussetzungen 2., 3. befriedigt sind, und zweitens die zwischen a und ß gelegenen Wurzeln sich so wenig ändern, dass keine von ihnen aus dem Intervall heraus- tritt. Da die Wurzeln nur einzeln vorkommen, so können dabei reelle Wurzeln nicht in imaginäre übergehen. Ob der Satz bei richtiger Zählung der mehrfachen Wurzeln auch noch im Falle mehrfacher Wurzeln gültig bleibt, mag dahin gestellt bleiben. §. 109. Der C artesische Lehrsatz. Der Cartesische Lehrsatz, der auch nach Harriot^) benannt wird, giebt eine Regel zur Abschätzung der Zahl der positiven Wurzeln. Wir können ihn einfach als speciellen Fall des Bud an 'sehen Theorems betrachten, indem wir « = 0 und /3 =: 00 oder wenigstens so gross annehmen, dass die Functionen (1) f{x\f{xlf"{x), ..,/W(^) für X > ß alle dasselbe Zeichen haben. Dies Zeichen stimmt überein mit dem Zeichen des Coefficienten der höchsten Potenz von X in f{x) und kann positiv angenommen werden. Ist f(^x) = «0-^" -j- «1 ^"~^ -|- a-iX'^-^ -\- ' • • -\- a„-i_x -f- a„, so erhalten die Functionen (1), von positiven Zahlenfactoren abgesehen, für x =^ 0 die Werthe (2) ein, ön — 15 ^« — 21 • • r ^0? und daraus ergiebt sich also das Theorem: IV. Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 ist gleich oder um eine gerade Zahl ^) Harriot, Artis analj'ticae praxis ad aequationes algebraicas resol- vendas 1631. Gauss' Werke, ßd. III, S. 67. Lagrange, 1. c. §. 109. Der Cartesische Lehrsatz. 35]^ kleiner, als die Anzahl der Zeiclienwechsel in der Reihe der Coefficienten von f{x)^ wobei etwa ver- schwindende Coefficienten einfach zu übergehen sind und die Wurzel a; = 0, wenn sie vorhanden ist, nic.ht mitzählt. Um auch die Anzahl der negativen Wurzeln abzuschätzen, kann man entweder das Budan-Fourier'sche Theorem auf das Intervall ( — co, 0) anwenden, oder man ersetzt x durch — x^ d, h. man ändert die Vorzeichen von «1, «3, a-, , . . . und wendet dann das Theorem IV. an. In ähnlicher Weise wollen wir das Newton'sche Kriterium des §. 108 specialisiren. Wir bemerken dazu, dass und folglich o* F rm - J7(i;J n{v-l) n(n-v) n(n-v-l) ^^■^^) - n(n)n(n) ^ [v{n — v) al-r — (v + 1) (n — v -(- 1) an_._i«„_,. + i] wird, dass ferner die Reihe der/^(a') für x = -\- cc nur Zeichen- folgen, für X = — CO nur Zeichenwechsel darbietet. Wenn wir also (3) Äy = v(n — v)a? — (v -^ l) {n — v -\- l)av-i«v + i, Af) = 1, An = 1 setzen, so dass Ay, von einem positiven Factor abgesehen, mit Fn—v(Ö) übereinstimmt, so folgt, dass für x = 0 die Doppel- reihe (7), §. 108, in umgekelirter Ordnung geschrieben, den Vor- zeichen nach übereinstimmt mit tto, ttii ^25 • • o ^n Aqi Ai^ A21 • . .1 An- Beim Uebergang zu ^; = -|- oo sind in der Reihe f {x)i /i (a:), . . ., fn (x) alle Zeichenwechsel und beim Uebergang zu X =^ — 00 alle Zeichenfolgen verloren gegangen, also in der Doppelreihe der /,., Fy für x ^ -{- co alle VP, für x = — qo alle PP. Danach können wir nach §. 108, II. III. folgende beiden Theoreme aussprechen: 352 Neunter Abschnitt. §. 109. V. Die Zahl der positiven Wurzeln \o\\f{x) ist so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, als die Zahl der "Wechsel-Folgen in der Doppelreihe (4)_ VI. Die Zahl der negativen Wurzeln von f(x) ist so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, als die Zahl der Folge-Folgen in der Doppelreihe (4j. Die Summe der Anzahlen der VF und der FP ist aber gleich der Anzahl der Zeichenfolgen in der einfachen Reihe (5j A(j^ Ai, A„ ganze homogene Functionen n**=" Grades von « und ß und lineare Functionen der Coefficienten von f(x) ') Observatiunculae ad theoriam aequationum algebraicarum perti- nerites. Crelle's Journal, Bd. 13. Gesammelte Werke, Bd. III. Weber, Algebra. I. 23 354 Neunter Abschnitt. §. 111. sind. Wenn nun x von « bis /3 wächst, so geht ?/, gleichfalls wachsend, von 0 bis co. So viele Wurzeln also fix) zwischen a und /3 hat, genau so viele positive Wurzeln hat qp [ij). Es folgt also aus dem Cartesischen Satz: IX. Die Anzahl der Wurzeln von/(:r) zwischen a und /3 ist so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, wie die Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe 5o, &1, &2, • • •, &n- Während also bei dem Budan' sehen Theorem die Vorzeichen- wechsel in zwei Werthreihen abzuzählen und zu vergleichen sind, verlangt das Jacobi'sche Kriterium nur die Abzahlung der Vorzeichenwechsel in einer Werthreihe. Auf dieselbe Weise lässt sich auch die Newton' sehe Regel umgestalten, wenn man die Grössen B, = v(n — v) U — (v -\- l) {n — V -\- 1) /a-i&.+i in Betracht zieht, und man erhält so den Satz: X. Die Anzahl der Wurzeln vowfix) zwischen « und /5 ist so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, wie die Zahl der Wechsel-Folgen in der Doppel- reihe Oö, C'li t>2, . . ., o„, -^05 -^15 -^25 • • •? ^n- §• 111- Kleins geometrische Vergleichung der verschiedenen Kriterien. Um die Tragvveite der verschiedenen Kriterien unter ein- ander zu vergleichen, hat Klein eine geometrische Interpretation angewandt, die wir jetzt besprechen wollen. Wenn man nicht mit Räumen von mehr Dimensionen operiren und damit die geometrische Anschauung verlieren will, muss man sicli hierbei auf die ersten Fälle beschränken, und wir beginnen also mit den (Quadratischen Gleichungen (Ij ä;2 -f ax -f 6 = 0. Sehen wir a und h als rechtwinklige Coordinaten in einer Ebene an, so ist jeder Punkt dieser Ebene das Bild einer und §. 111. Geometrische Interpretation. 355 nur einer quadratischen Gleichung, und umgekehrt hat jede quadratische Gleichung mit reellen Coefticienten einen Punkt der Ebene zum Bilde. Die Gleichung (2) «2 _ 4 j = 0 stellt eine Parabel dar, auf der die Bilder der Gleichungen mit gleichen Wurzeln liegen. Die inneren Punkte, d. h. die in der Höhlung der Parabel liegenden, stellen die Gleichungen mit ima- ginären Wurzeln, die äusseren Punkte die Gleichungen mit reellen Wurzeln dar. Wir bilden nun nach §. 95 die Sturm 'sehe Kette (3) x-^ -\- ax ^h, 2x -[- a, a^ — 4 6, und untersuchen die Zeichenwechsel. Ist x constant und rt, h variabel, so ist a;2-|-a:r + & = 0 die Gleichung der Parabeltangente in dem Punkte a = — 2x^ /> = a;2, und zwar ist x"^ -\- ax -\- h positiv in dem Theil der Ebene, der zugleich die Parabel enthält. Durch diese Tangente und durch die Parabel wird die Ebene in vier Felder getheilt, in denen in der Pieihe (3), wie in der Fig. 16 (a. f. S.) angedeutet ist, 0, 1, 2 Zeichen Wechsel vor- kommen. Wenn man also a; = « und x = ß setzt, so erhält man zwei solche Tangenten und eine Eintheilung der Ebene in vier Felder, worin die repräsentirenden Punkte für solche Gleichungen liegen, die zwischen a und ß keine, eine oder zwei Wurzeln liaben. In der Fig. 17 sind diese vier Felder durch die betreffenden Zifiern gekennzeichnet. Es ist der Unterschied zwischen solchen Punkten, von denen aus keine, eine oder zwei Tangenten an die Parabel gezogen werden können, die ihren Berührungspunkt zwischen « und ß haben. Die Fig. 17 also giebt die genaue und vollständige Unterscheidung der verschiedenen Fälle. Vergleichen wir nun hiermit den Budan 'sehen Satz, so haben wir die drei Functionen /(a;), /' (a;), /" (a;), also (4) x^ -\- ax -^ h, 2x -{- a, 1 in Bezug auf die Zeichenwechsel zu untersuchen. 356 Neunter Abschnitt. §. 111. Die beiden geraden Linien x^ -^ ax -^ h = 0, 2x -{- a = 0 tlieilen die Ebene in drei Felder, in denen die Reihe (4) die in der Fig. 18 angedeuteten Zeichenwechsel bietet. Fiff. 16. Fior. 17. Nehmen wir wieder zwei Werthe x = a und a; = /3, so ergeben sich sechs Felder, in denen der Verlust an Zeichen- Fig. 18. Fig. 19. wechseln in der Fig. 19 angegeben ist. In den mit 0 und 1 bezeichneten Feldern giebt also der Verlust an Zeichenwechseln die richtige Anzahl von Wurzeln. In dem Felde 2 dagegen ist die Entscheidung zwischen zwei und keiner Wurzel nicht getroöen. §. 111. Geometrische Interpretation. 357 S Nehmen wir nun das Jacobi'sche Kriterium (§. 110). Danach müssen wir, um die Anzahl der zwischen a und ß gelegenen Wurzeln abzuschätzen, die Gleichung (1) erst trans- formiren auf (« + ßyy + «(« + ßy) (1 + !/) + h(l 4- yy = 0, oder (ß^ + aß + h)y'^ + [2aß + a(« + ^) + 2 &] ^ -f («2 _p rt « + 6) = 0, und es ist nun die Anzahl der Zeichenwechsel in den drei Functionen ii = 2 « /3 4- a (a + /3) + 2 & 1)2 = «"- -\- aa -\- b abzuzählen. Der erste und der dritte dieser Ausdrücke stellen, gleich Null gesetzt, die beiden vorhin betrachteten Parabel- tangenten dar. Der mittlere, 2aß-\-a{rx.-\-ß)-\-2h, ver- schwindet für a = — 2«, b = a- und für « = — 2/3, b =: ß^ stellt also die Verbindungslinie der beiden Punkte «, ß dar, und zwar so, dass er auf die Seite, die den Schnittpunkt der beiden Fiff 20. Tangenten enthält, negativ wird [in diesem . Schnittpunkte selbst ist er gleich — (ß — «)2]. \ " Z Wir erhalten hier fünf Felder mit keinem, \i / einem oder zwei Zeichenwechseln, wie die 1 \:^ 1 Fig. 20 angiebt. / 0 \ Man sieht aus dieser und der vorigen Figur, dass der Raum der Unentschiedenheit bei Anwendung des Jacobi'schen Kriteriums ein Theil von dem ist, der sich für das Budan-Fourier'sche Theorem ergiebt, und dass also ersteres in diesem Falle vor letzterem den Vorzug ver- dient, entgegen einer Bemerkung von Jacobi, der dem Budan- Fourier'schen Kriterium vor dem seinigen den Vorzug giebt. Ob dies auch bei Gleichungen höheren Grades noch richtig ist, bleibt freilich noch zu untersuchen ij. Um das Newton'sche Kriterium in der Form §. 110, X. auf quadratische Gleichungen anzuwenden, hat man noch B^^ Bi, B^ ^) Vgl. F. Klein, Geometrisches zur Abzahlung der reellen Wurzeln einer algebraischen Gleichung in Dyck's Katalog mathematischer Modelle (München 1892). 358 Neunter Absclinitt. §. 112. ZU bilden, von denen aber B^, Bo immer positiv sind, und daher durch 1 ersetzt werden können. Für B^ ergiebt sich aber («2 — 4,1)) (a — /3)2 und man hat also die Anzahl der Wechsel- Folgen in der Doppelreihe &o, hl, 1)2 1. 5„ 1 abzuzählen, was in diesem Falle die genaue Anzahl der Wurzeln ergiebt. §. 112. Bestimmung einer oberen Grenze für die Wurzeln. Wir haben schon im dritten Abschnitt von dem Satze Ge- brauch gemacht, dass man immer eine positive Zahl finden kann, die grösser ist als die absoluten Werthe sämmtlicher Wurzeln einer gegebenen Gleichung. Es kommt aber jetzt darauf an, eine möglichst einfache und zugleich möglichst genaue Bestim- mung einer solchen oberen Grenze zu geben. Wir betrachten zunächst nur die reellen Wurzeln, und suchen also eine positive Zahl, die grösser ist als die grösste positive Wurzel einer gegebenen Gleichung f(x) = 0. Eine solche Bestimmung giebt uns das Budan'sche Theorem. Nehmen wir den Coefficienten der höchsten Potenz von x in f{x) gleich 1 (oder wenigstens positiv) an, so kann man die positive Zahl a immer so gross annehmen, dass (1) /(«),/'(«),/"(«), •••,/^"H«) alle positiv werden. Dann geht in der Reihe der Functionen /(^)>/'(4/"(^), --./'"K^) zwischen x ^^= a und ^ = x kein Zeichenwechsel mehr verloren, und es kann also auch nach dem Theorem I. (§. 107) keine Wurzel von f(x) zwischen a und oc liegen. Will man aus dem gleichen Satze für die negativen W^urzeln eine untere Grenze haben, so nehme man die positive Zahl ß so an, dass (2) (- 1)" /(- /3), (- 1)"-^ /' (- /3), . . , /(") (- ß) alle positiv werden, dann hat die Gleichung f{x) = 0 sicher keine negative Wurzel unter — ß. Diese Bestimmung der Grenzen rührt schon von Newton her. §. 112. Obere Grenze der Wurzeln. 359 Eine andere Bestimmung einer oberen Grenze, die für die Rechnung einfacher ist, hat Laguerre angegeben 1). Er benutzt statt der Ableitungen /(:r), /'(a;), /"(a;), . . . die Functionen /o (a;), /^ (x), /a (x), . . ., /„_i (x) , die wir schon mehr- fach, besonders in der Tschirnhausen-Transformation, gebraucht haben. Wir haben diese Functionen im §. 4 definirt durch f, (x) = 1 /i (x) = X -\- eil /a (x) = X'- -\- ttiX -^ «2 /„_i (X) = a;"-i + eil a:"-2 -]- a.2 x''-^ -j- . . . -f- «„_, f(x) = /„ (x) = X" + «1 x'-i + «2 ä:»-2 _| ^ an-, X + a,., und für sie die Recursionsformel aufgestellt: /v (a;) — xfy-i (x) = a,. Man hat nun, wie schon an der angeführten Stelle ge- zeigt ist, (3) fix) = {x-a) [x-^fo («) + X-^-fi («) H h/n-l («)] +/(«). Der Anblick dieser Formel zeigt, dass, wenn « eine Zahl ist, die die Functionen (4) /o («), /l («), /2 («), . . .. /n-1 («), /(«) positiv macht, kein positives x grösser als a existiren kann, was f{x) zu Null macht, da dann auf der rechten Seite von (3) lauter positive Glieder stehen. Wenn also ein positives cc so bestimmt ist, dass die Func- tionen (4) alle positiv sind, so ist dies eine obere Grenze für die positiven Wurzeln von f(x). Ebenso erhält man eine untere Grenze — ß für die negativen Wurzeln, wenn man die positive Grösse ß so bestimmt, dass (5) ./o (- ß). -/i (- /5), f-2 (- /3), . . . (- D" /(- ß) alle jiositiv werden. Diese Bestimmung der Grenzen ist zwar in der Rechnung einfacher zu handhaben, giebt aber doch unter Umständen minder genaue Grenzen als die Newton 'sehe Bestimmung. ^) Laguerre, Nouvelles Anuales d. math., 2. ser., t. XIX, 1880. Journal de math., 3. ser., t. IX, 1883. 360 Neunter Abschnitt. §. 113. Wenn man nämlich CS) fortgesetzt nach x differentiirt und dann x = a setzt, so erhält man unter der Voraussetzung, dass die Grössen (4) alle positiv sind, für die Derivirten /' {x\ f" {x\ . . . Ausdrücke, die für x = a aus lauter positiven Gliedern bestehen. Wenn also die Ausdrücke (4) positiv sind, so sind nothwendiger Weise auch die Derivirten (1) alle positiv, während das Um- gekehrte nicht nothwendig der Fall ist. Um eine obere Grenze für den absoluten Werth der ima- ginären Wurzeln, der auch für den Fall complexer Coefficienten noch gültig ist, zu finden, betrachten wir die Function worin die Coefficienten «i, «ai ..-,«»» reell oder imaginär sind. Wir bezeichnen den absoluten Werth einer complexen Grösse a wie früher durch |«| und haben dann, wenn wir annehmen, der absolute Werth von x sei grösser als 1, «1 + ^ H h ^~l , < I «1 I + I «2 I H h 1 «n I = «. Nehmen wir also x so an, dass sein absoluter Werth grösser ist als jede der beiden Zahlen 1 und «, so kann der Ausdruck nicht verschwinden, da der absolute Werth von x grösser ist, als der absolute Werth der Summe aller übrigen Glieder der rechten Seite. Wenn wir also, je nachdem a grösser oder kleiner als 1 ist. einen Kreis mit dem Radius a oder 1 um den Mullpunkt als Mittelpunkt legen, so liegen ausserhalb dieses Kreises gewiss keine Wurzeln von f(x) mehr. §. ns. Abschätzung der imaginären Wurzeln. Wir haben im §. 103 gesehen, wie wir aus der Charakteristik eines gewissen Curveusystems die genaue Anzahl der complexen Wurzeln einer Gleichung bestimmen können, die im Inneren einer geschlossenen Curve liegen. Auch dies Kennzeichen lässt §. 114. Theorem von Rolle. 361 sich vereinfachen, wenn man nicht mehr die genaue Anzahl der Wurzeln, sondern nur eine obere Grenze für diese Zahl finden will, was in vielen Fällen auch zur genauen Bestimmung aus- reicht. Es sei also, wie in §. 103 (1) F(2) = cp (*•, y) -\- it (x, y) eine reelle oder complexe Function des complexen Arguments 2 = X -\- yi] darin seien 9? und t^ reelle Functionen von x und«/, und es werde nun eine geschlossene Curve / gezeichnet. ^Yir haben dann den Satz: XL Wenn die Curve/ durch die Curve cp in 2m Segmente getheilt wird, in denen cp abwechselnd positiv und negativ ist, so ist die Zahl der inner- halb / liegenden Wurzeln von F{z) höchstens gleich m; und dasselbe gilt auch, wenn/ durch j^ in 2ni solcher Segmente getheilt wird. Der Satz ist eine unmittelbare Folge des Charakteristiken- satzes §. 103; denn danach ist Jc = \[E(f;cp, t) - Ä(f:cp,t)]- und wenn nun die Curve / von der g) -Curve in 2 m Punkten geschnitten wird, so ist m = l,[E(f- q>, i^) Jr Ä{f; t — Ä (/: qp, ^). Darin ist aber nach dem erwähnten Satze h gleich der Anzahl der im Inneren von / liegenden Wurzeln von F, und Ä(f; g), t/>) ist eine jedenfalls nicht negative Zahl. Ganz ebenso kann man mit der Formel h = UE{f\^^ ^) - Ä(f;i',cp)] verfahren. §. 114. Das Theorem von Rolle. Wenn die Gleichung f(x) = 0 zwei reelle Wurzeln « und ß hat, von denen die erste eine a-fache, die zweite eine &-fache ist, so können wir 362 Neunter Abschnitt. §. 114. (1) f{x) = {x- af {X - ßff, {x) setzen. Ist nun a < /3, und liegt zwischen a und /3 keine Wurzel von/(a;j = 0, so wird/(a') und /i (a?) in diesem ganzen Inter- vall ein unverändertes Vorzeichen haben. Bilden wir von (1) die Ableitung, so ergiebt sich = a{x - /i) + h{x - a) + {x-a) (X - ß)f^^' Die rechte Seite dieses Ausdruckes wird für ic = « negativ, nämlich a(a — /3), und für x = ß positiv, nämlich b(ß — a), und muss also, während x von a bis ß geht, einmal, oder allge- meiner eine ungerade Anzahl von Malen durch Null gehen. Auf der linken Seite von (2) haben {x — cc) {x — ß) und f{x) ein unverändertes Vorzeichen, und also muss f {x) eine ungerade Anzahl von Malen durch Null gehen. Daraus folgt das Rolle'sche Theorem : XII. Sind w und ß zwei auf einander folgende Wurzeln von f (x) = 0 , so liegen zwischen « und ß (ohne die Grenzen mitzurechnen) Wurzeln von f'{x) = 0 in ungerader Anzahl, also mindestens eine. Wichtige Folgerungen ergeben sich hieraus für den Fall, dass die Gleichung /(a;) = 0 nur reelle Wurzeln hat. Sind diese, der Grösse nach geordnet, a, jS, y, . . ., und ist u eine a-fache, ß eine J-fache, y eine c-fache etc. Wurzel, so hat /' (x) = 0 in oc eine (a — 1 j-fache, in ß eine {b — l)-fache, in y eine (c — l)-fache Wurzel und zwischen « und /3, zwischen ß und y u. s. f. je mindestens eine reelle Wurzel. Die Gesammtzahl dieser Wurzeln ist aber a -\- b -\- c -{- • • • — l = n — 1, und da/'(x) vom {n — 1)*^^ Grade ist, so wird diese Minimalzahl auch nicht überschritten. Daraus folgt der Satz: XIII. Hat/(a;):=0 nur reelle Wurzeln, so hat auch f (x) = 0 nur reelle Wurzeln, und von diesen sind die, die nicht mit mehrfachen Wurzeln von f (x) zusammenfallen, einfache Wurzeln, die von den Wurzeln von f{x) getrennt werden. §. 114. Theorem von Rolle. 363 Wenn wir dies Theorem wiederholt anwenden, so können wir es folgendermaassen verallgemeinern : XIV. Hat f {x) nur reelle Wurzeln, so haben auch /'(ic), f ipc), f"'{x) ... nur reelle Wurzeln. Hat eine dieser Functionen /^(a:) eine «-fache Wurzel «, und ist a > 1, so ist a eine (a-|-T)-fache Wurzel von/(a;). Diese Sätze werden wesentlich verallgemeinert, wenn man eine lineare Transformation darauf anwendet i). Dies wird leichter ausgeführt, wenn man die homogene Schreibweise anwendet, also unter f{x, y) eine ganze homogene Function n^^^ Grades versteht. Bildet man für einen beliebigen Werth I : 7j die Polaren dieser Function (§. 66): F,{x,^) = ^{^f'{x)Jrnf'iy)] (3.) P,(^,|) =_^-l_^ ['^'f"{x,x) + n^]f"{x,y)-\-ri,f"{y,y)\ + 3 1 7J 2/'" {X, y,y)-\-v '/'" (y^ y, y) j 1 so bleiben diese Functionen ungeändert, wenn man |, r] und x. y gleichzeitig durch eine lineare Transformation umformt, und für / und seine Ableitungen die entsprechenden transformirten Func- tionen setzt. In Bezug auf die Realität der Wurzeln wird durch eine reelle lineare Transformation nichts geändert. Nun lässt sich aber, wenn |, r] reell sind, die reelle lineare Substitution so l)e- stimmen, dass die transformirten Werthe |' = 1, ?;' = 0 werden, und dadurch gehen, wenn man noch y = \ setzt, die Polaren in die Derivirten der Function f{x) nach x über (abgesehen von " Zahlenfactoren). Daraus folgt, dass in den Sätzen XIII., XIV. die Deri- virten/'(a;), /"(a:) ... durch die Polaren Pi(a;, |), P2 (*'i ^) ••• für ein beliebiges, reelles |, t] ersetzt werden können. Wir machen hiervon die Anwendung auf die Gleichung, die man erhält, wenn man die {n — 2y^ Polare gleich Null setzt: ^) Laguerre, Nouvelles Anuales de mathematiques, 2. Ser., Vol. 19, 1880. 364 Neunter Abschnitt. §. 115. (4) x^f" (I, I) + 2 X ijf" (I, n) + tßf" (n. n) = o. Hat/(a;, ^) = 0, wie wir voraussetzen, nur reelle Wurzeln so muss auch die quadratische Gleichung (4) reelle Wurzeln haben, d. h. es muss die Hesse' sehe Determinante <5) f"(^.^)f"(n-v)-f"{l^)' für alle reellen |, iq negativ sein. Sie kann nur dann ver- schwinden, wenn (4) zwei gleiche Wurzeln hat, und dies ist nach XIV. nur dann möglich, wenn f(x.y) die m*^ Potenz einer linearen Function ist. In diesem Falle verschwindet die Determinante (5) identisch. Wenn wir also von diesem Falle absehen, so folgt, dass für eine Gleichung mit nur reellen Wurzeln die Gleichung, die man durch Nullsetzen der Hesse'schen Determinante erhält, nur imaginäre Wurzeln hat. Wollen wir zur inhomogenen Darstellung zurückkehren , so können wir mit Benutzung des Eul er' sehen Satzes ^/' (^) -f yf (y) = ^^/(^) (6) xf" (x,x) + yf" (X, y) = (n - l)f (x) ^f'iy.x) + yf"(y.y) = {n - \)f{y) setzen, und damit /'(?/),/" (a;, i/), /"(?/, ?/) eliminiren. Man erhält so, wenn man y =z \ setzt, /'(!/) =nf(x)-xf'{x) m f"(^.y)= {n - l)f' (x) - xf" (x) f"(y,y) = n(n - \)fix) - 2(w - l)xf'{x) + x^f"(x), also wenn (8) (H - 1) H{x, y) = /" {X, X) r {y, y) - /" (x, y^- gesetzt wird: (9) Hix, y) = H{x) = nf{x)f" {x) - (n - 1)/' {x^. H{x) ist in Bezug auf x höchstens vom Grade 2 n — 4. §■ 115. Die Sätze von Laguerre für Gleichungen mit nur reellen Wurzeln. Von den zuletzt abgeleiteten Sätzen hat Laguerre eine Anwendung auf Gleichungen mit nur reellen Wurzeln gemacht, die wir noch kennen lernen wollen. §. 115. Sätze von Laguerre 365 Es sei f{x) = 0 eine Gleichung «*en Grades mit n reellen Wurzeln a, a^, «2 • . ., die wir von einander verschieden vor- aussetzen. Ist X eine veränderliche Grösse, so haben wir die schon mehrfach angewandte Formel [§. 14, fll)]: (1) ' (^) worin sich das Summenzeichen S auf die verschiedenen "Wurzeln «, «1, «2, . . . bezieht. Wenn wir hiervon nochmals die Ableitung nach X bilden, so folgt .o^ 1 _f'{xy-f{o^)f"(x) ^^ ^{x-a)^- f{xy- und wenn wir auf der rechten Seite die Function H [§. 114, (9)| einführen, 1 _f'(xy-Hix) ^^ {X — a)2 ~~ nfixf Wendet man auf diese Formel eine lineare Transformation an , bei der dem Werth x = cc ein beliebiger anderer reeller Werth der neuen Veränderlichen entspricht, so erhält man eine allgemeinere Formel, die wir zunächst ableiten wollen. Wir führen homogene Variable ein, indem wir x durch x : y und « durch u : ß ersetzen. Dadurch wird (3) fn ß^- ^ / (xy - ,ß Hix, y) . W ^^^ß_yßy nf{x,yy nun wenden wir eine beliebige lineare Transformation an: X ^= ax' -\r hy\ a ^= a c/J -\- b ß\ ^^^ y=cx'^chj', ß=ca'^dß\ oder aufgelöst: rx' =^ dx — hy^ (6) ry' ^ — ex -^ a y, r = ad — b c. xß — ya = r(x'ß' — y' «'). Wenn durch diese Transformation f(x,y) = (p{x\ij') wird, so wird rf (X) ^dtp' (x') - c cp' (y'), und wegen der Covarianteneigenschaft der Function H (§. 65) r^H(x,y) = ir{x\y'), 366 Neuiiter Abschnitt. §. 115. wenn H' ebenso aus qp abgeleitet ist, wie H aus /. Hiernach folgt aus (4): ^^ {x'ß'—y'K'p n(p(x',yy In dieser Formel können, da dies nur Sache der Bezeich- nung ist, bei x\ y\ «', /3', H' die Accente weggelassen und / an Stelle von cp gesetzt werden. Es bleiben die beiden willkürlichen Grössen c und d darin. Setzen wir der eleganteren Bezeichnung wegen noch c = — ly, (Z = I, so erhalten wir also: ^""^ '^\xß - yc^J - nf(x,yy^ und in dieser Form bleibt sowohl die rechte als die linke Seite vollkommen ungeändert, wenn wir auf die Variablenpaare x^ y\ I, »j; «, /3 gleichzeitig eine beliebige lineare Transformation anwenden. Die Formel (8) ist eine identische; sie gilt für jede Func- tion f(x,y) und für alle Werthe der Variabelen x, y-, |, tj. Jetzt aber machen wir die Voraussetzung, dass f{x, y) nur reelle Wurzeln habe, dass also die a, ß reell seien, und wir setzen auch I, fj und x, y als reell voraus. Beide Seiten der Gleichung (8) sind dann wesentlich positiv. Wir bezeichnen ihren gemeinsamen Werth durch P, und bestimmen nun eine Grösse X : Y durch die quadratische Gleichung _ fXrj - ny ^ — \Xy - YxJ ' oder (!J) $ = {Xy — Yxy P — {X-q — r|)2 = 0. Diese Gleichung hat zwei reelle Wurzeln, die mau aus Xn-Yl = ±\'T{Xy - Yx) erhält. Ueber die Lage der Wurzeln dieser Gleichung können wir aber Folgendes aussagen: Setzen wir X =. x^ Y =^ y, ^o wird Q negativ. Setzen wir aber X = «, Y =^ ß, wenn a : ß irgend eine der Wurzeln von / = 0 ist, so ist /Xr] — rgy ^ /g/3— rju \Xy — YxJ \xß — yu §. 115. Sätze von Laguerre. 367 also gleich einem Gliede der Summe \xß — y a) und daher kleiner als P. Daraus folgt, dass ^ für X : Y = a : /3 positiv ist. Wenn wir nun die Werthe der sämmtlichen a : ß und x : y, der Grösse nach cyklisch geordnet, etwa auf einem Kreise an- ordnen, und den Werth X: F durch einen variablen Punkt dieses Kreises darstellen, und die betreffenden Punkte mit a, x, X bezeichnen, so geht ^ durch Null, wenn X von x aus nach vor- wärts oder nach rückwärts bis zu den nächst gelegenen Punkten, die wir mit «j und Wg bezeichnen wollen, geht. Sind also Xj, X.j die Wurzeln der Gleichung (9), so haben wir folgende Anordnung auf dem Kreise (10) «1, Xi, X, Xa, «2, und (Xj, X2) stellt ein Intervall dar, in dem zwar der beliebig gewählte Punkt x^ aber kein Wurzelpunkt der Gleichung /= 0 liegt. Xj und X^ sind also den beiden nächst gelegenen Wurzeln «i, «j näher als der Ausgangs- werth X. Dies gilt, welche Lage auch der zweite willkürliche Punkt | haben mag. Es werden davon zwar die Punkte X^, X^ abhängig sein; immer aber werden sie in dem Intervall («,, x) und (x, a^) liegen. Es entsteht nun die Frage: wie ist der Punkt ^ zu wählen, damit Xj möglichst nahe an «, oder X^ möglichst nahe an a^ liege, oder vielmehr, da es auf die Kenntniss von | selbst nicht ankommt, welches ist der möglichst nahe bei «j gelegene Punkt Xi und der möglichst nahe bei «2 gelegene Punkt XgV Denken wir uns den Punkt X gegeben , so ist (9) eine (juadratische Gleichung für den Punkt ^; zu jeder Lage von X gehören also zwei Lagen von ^. Aber nur solche Werthe von Xi oder Xg sind in (10) zulässig, für die diese quadratische Gleichung reelle Wurzeln ergiebt. Also nur solche Werthe von Xj und X2 können vorkommen, bei denen die Discriminante von (9) in Bezug auf ^ positiv ist, und wir erhalten die Grenz- lagen von Xi und X2 , wenn wir die Discriminante von (9) gleich Null setzen. Die Coefficienten von |2^ 2|>y, 1^2 i,| (9^ sind aber 368 Neunter Abschnitt. §. 115. f'{xy - f-H _ Y^y _ Y^ f(x)f(y) + xyH _ ^^ J-l^LL- {Xy — ra:)2 — X\ und die Discriminante erhält man, wenn man von dem Quadrat des mittleren das Product der beiden äusseren abzieht, nämlich, mit Benutzung der Relation xf'{x) -|- yf'{y) = vif'- und man erhält also die Grenzwerthe von X : Y aus der Gleichung (11) [X/ {X) -f Y/' (^)]2 + (n - 1) (A> - YxfR = 0, die in Bezug auf X : Z quadratisch ist. Hier steht H der Kürze wegen für H(x, y). Da H negativ ist, hat diese Gleichung zwei reelle Wurzeln, die man aus (12J Xf'{x) + Yf'iy) = ± {Xy - Yx) 1/(1 - n)H findet. Diese Formel umfasst mehrere besondere Resultate, die man erhält, wenn man die homogene Form verlässt. Nehmen wir zunächst ?/ = 0, also x : y unendlich und setzen Y = 1, so ergeben sich zwei Werthe Xj, Xg, zwischen denen die Gesammtheit aller Wurzeln von f{x) enthalten ist. Setzen wir f{x,y) = «0^" + a,x^'-Uj + a^x^'-^y'- -\ , so wird (13) H r= [2na^a.2 — (n — l)afja;2"-'' + • • -, und man erhält diese beiden W^erthe aus (14) na^X =^ — «1 + ]/(w — 1)^«!' — 2n{)i — Ija^a^. Lässt man x : y unbestimmt, kehrt aber zur inhomogenen Form zurück, indem man ?/ = 1, Y= 1 setzt und die Formeln (7) und (9) des §. 114 anw^endet, so erhält man aus (12) nf{x) (15) X— X= - f f.') ± V{n - Iff {xy - n {n - \)f{x)f" (x) ' und diese Werthe haben folgende Bedeutung; §. 115. Sätze von Laguerre. 369 Liegt X zwischen zwei Wurzeln «i, ccg von /(rr), so liegt von den beiden durch (15) dargestellten VVerthen von X der eine näher an «i, der andere näher an a^^ aber beide noch innerhalb des Intervalles («i, «,)• Ist aber x grösser als die grösste, oder kleiner als die kleinste Wurzel von f{x), so liegen die sämmtlicheu Wurzeln zwischen den beiden Werthen von X, während x ausserhalb liegt, oder es liegt x zwischen den beiden Werthen von X, und alle W^urzeln von f{x) ausserhalb. Liegt x nahe an einer Wurzel, so giebt einer der beiden Werthe von X einen noch genaueren Werth dieser Wurzel. Wir nehmen als Beispiel (mit Laguerre) die Kugelfunc- tionen, von denen wir schon früher (§. 93) nachgewiesen haben, dass sie nur reelle Wurzeln haben, die alle zwischen — 1 und -f- 1 liegen. Die Function ,j , , 1.3...(2n — 1) / n(n—l) , , \ ^"(^> = 1.2...n r - 2(L-1) ^"-^ + • • •) hat die Eigenschaft, dass n (n -\- 1) P4i) = i, p;.(i) = 2 n(n — l)r» 4- 1)0< + 2) 8 ist. Man beweist dies leicht durch vollständige luduction, indem man in den ersten Fällen w = 2, 3 . . . die Formeln direct nachweist, und dann aus der Recursionsformel (1 — x^)P'n(x) 4- nxPn{x) — nFn-i{x) = 0 durch zweimalige A})leitung die Richtigkeit für den Index n nach- weist, falls sie für den Index n — 1 vorausgesetzt wird. Wenn wir dann in (15) a; = 1 setzen, so erhalten wir einen W^erth von X, der kleiner als 1, aber noch grösser als die grösste Wurzel von P„ ist, nämlich x=. ^— w -f- 1 + (>? — 1) Für w = 7 z. B. ergiebt sich X = 0,94967 . . . Weber, Algebra. I. o± n{n 4- 1) 370 Neunter Abschnitt. §. 115. Der genauere Werth der grössten Wurzel ist nach der Berechnung von Gauss (Gauss' Werke, Bd. III, S. 195): 0,94911 . . .; X zeigt also erst in der vierten Decimale den Ueherschuss über den Werth dieser Wurzel. Ebenso wie durch X^, A'., ein Intervall bestimmt ist, in dem gar keine Wurzel der Gleichung liegt, so kann man auch ein Intervall bestimmen, in dem gewiss Wurzeln liegen. Auch hierbei geht man am besten von der homogenen Form aus und benutzt die lineare Transformation. Sei also wie vorher /(ä;,i/) eine Form n^^^ Grades mit lauter reellen Wurzeln; und seien ferner x : y, ^ : rj, !':■>?' drei reelle Werthe, von denen zwei willkürlich sind, und von denen der dritte durch die Relation .. [1/ (^) + vf m m' (^) + v'f (y)] ^ ^ -H{^y-nx){i'y-ri'x) = 0 von den beiden anderen abhängt. Die Gleichung (16) bleibt ungeändert, wenn wir die drei Grössenpaare x^y\ |,?^; |'. ^' gleichzeitig derselben linearen Transformation unterwerfen. Daher können alle Schlüsse, die wir aus einer speciellen Form dieser Gleichung ziehen, verallgemeinert werden. Die lineare Substitution lässt sich so bestimmen, dass für die neuen Variablen «/ = 0, 1 = 0 wird; dann ergiebt (16) für |', iq' die Gleichung ai(wao|' + «ii?') = [2nao«2 — 0« — 1)«!"]^'. oder also, wenn man «q = 1, t^' = 1 annimmt, 2 9, w ^ _ (}{ — ^(--ß'^'>^... Wenn man die Gleichung als Gleichung einer Curve in einem rechtwinkligen Coordinaten- system x, y deutet, so lassen sich die Verhältnisse geometrisch veranschaulichen. Wenn man z. B. die Gleichung (4) auf das Intervall von a bis (« 4- ö) anwendet und sich mit der Berücksichtigung der ersten Differenz begnügt, so heisst das in der Sprache der Geometrie, dass man den zwischen den beiden Curvenpunkten «, /(«) und « -|- d, /"(« -j- ö) verlaufenden Curvenbogen durch die Sehne ersetzt. Berücksichtigt man auch die zweite Differenz, so wird 374 Zehnter Abschnitt. §. 116. der durch die drei auf einander folgenden Punkte mit den Abscissen «, « -j- ö, « -f- 2 ö gehende Curvenbogen durch den Bogen einer Parabel ersetzt, die durch dieselben Punkte geht und deren Axe der Ordinatenaxe parallel ist; und diese Parabel wird sich der Curve noch enger anschliessen als die Sehne. Je kleiner das Intervall d ist, um so weniger werden die höheren Differenzen von Einfiuss sein. Wie weit man also bei der Annäherung zu gehen hat, das hängt nicht nur von der Genauigkeit ab , mit der man f(x) zu kennen wünscht, sondern wesentlich auch von der Dichtigkeit der Werthe oc, « -)- d, « -f- 2 d . . . , für die die Function bekannt ist. Auf diesen Sätzen beruht die Einrichtung unserer Tabellen- werke, besonders der Logarithmentafeln, Es handelt sich dabei freilich nicht um ganze rationale Functionen; allein bei den stetigen Functionen überhaupt gelten hier dieselben Gesetze, Man findet in den Tafeln daher auch neben den Werthen /(a), /(« -[- öj, /(« -{- 2ö) . . . die Werthe der ersten oder der beiden ersten Differenzen angegeben. Bei den gebräuchlichen siebenstelligen Tafeln genügt die erste Differenz. In der zehn- stelligen Tafel „Thesaurus logarithmorum" von Vega sind auch die zweiten Differenzen angegeben und müssen bei ganz scharfen Rechnungen berücksichtigt werden. Unsere Interpolationsformeln lassen sich mit Nutzen an- wenden, um die Wurzeln der Gleichungen zu berechnen, oder, genauer ausgedrückt, die auf anderem Wege gefundenen Nähe- rungswerthe zu verbessern. Wir können die Aufgabe so formuliren , dass zu einem gegebenen, zwischen f(a) und /(« -|- Ö) gelegenen Werth von f(x) der zugehörige Werth von x gefunden werden soll. Wir Ijetrachten a; = « als einen ersten Näherungswert!!. Setzen wir nun f{x)-f{a) = A so ist, wenn die Function f(x) zwischen x = a, und x = a 4-6 nur wächst oder nur abnimmt, z/ ein gegebener Werth von dem- selben Zeichen wie z/« =zf(ci -\- d) — /(«) und absolut kleiner als z/a- Setzen wir noch x — « = u, so giebt die Formel (4j /px . ZJaU . ^'a U(U — d) . (6) ^ = -r-^-w 2 +••• Bleiben wir zunächst bei der ersten Differenz stehen, so ergiebt sich als erste Correction §. 116. . Regula falsi. 375 (7) ** = ^^' und wenn wir nun u = d — — \- ti 'da setzen, so folgt aus (6), wenn man im zweiten Gliede w' weglässt, ^=^^' + 2^ ' also als zweite Correction: (8) u' = ö 2^'i Die erste Correction (7) erhält man dadurch, dass man den zwischen cc und a -\- d verlaufenden Curvenbogen durch die Sehne ersetzt, wie oben, die zweite Correction (8) dadurch, dass man den Bogen zwischen w, « -f- d, cc -\- 2 0 durch eine Parabel ersetzt, die durch dieselben Punkte geht, die aber jetzt ihre Axe mit der a;-Axe parallel hat. Nehmen wir als Beispiel die Gleichung f(x) = a;-' — 2 a; — 2 = 0, die zwischen 1,7 und 1,8 eine reelle Wurzel hat. Man berechnet X =z 1,7, f(x) = — 0,487, du = 0,719, z/;, = 0,108 1.8, =r + 0,232, = 0,827, 1.9, = 1,059. Da f{x) = 0 sein soll, so ist z/ = 0,487 zu setzen und die erste Correction zu a = 1,7 ist nach (7) u = 0,06773, die zweite Correction ergiebt nach (8) u' = 0,00164, also u -f w + u' = 1,76937. Der auf andere Weise berechnete genauere Werth ist 1,76929 ... Wir haben also ein in den ersten drei Decimalen genaues Re- sultat. Wir haben aber hier kein anderes Mittel, um die Genauig- keit von vornherein zu schätzen, als die Abnahme der Differenzen z/, z/',z^".. Ist z/' so klein, dass es ausserhalb der Grenzen 076 Zehnter Abschnitt. §. 117, o der beabsichtigten Genauigkeit fällt, so giebt die Berücksichtigung der ersten Differenz ein genaues Resultat. Die hier aus einander gesetzte Vorschrift zur Wurzelberechnung wird die Regula falsi genannt. Die einfachste, für die erste Annäherung geeignete Form dieser Vorschrift ist die: Liegt zwischen a und /3 eine Wurzel x der Gleichung /(a;) = 0 und ist /(«) = — a, /(/3) = &, so ist ■ . ha -\- a^ ein genäherter Werth von x. Dies ist nur eine andere Schreib- weise für die Formel (7). §• 117. Die Newton'sche Näherungsmethode. Eine Methode, die zur genäherten Berechnung der Wurzeln einer Gleichung meist besser ist als die Interpolation, rührt von Newton her und wurde von Fourier ausgebildet und genauer untersucht. Die Methode besteht einfach in Folgendem. Es sei (1 f{x) = 0 ^ ^ die aufzulösende Gleichung und es sei ein Werth x = a ge- funden, den man als eine gewisse Annäherung an eine Wurzel betrachten kann. Wir setzen in (1) X =^ a -\~ h, und erhalten f{a + h) =/(«) + hf («) + ^ /"(«) + • • • Wenn man nun h aus der Gleichung bestimmt /(«) + hf'{a) = 0, was voraussetzt, dass /' (a) von Null verschieden ist, so wird und wird also, wenn h eine kleine Zahl ist, da nur das Quadrat und höhere Potenzen von li vorkommen, einen kleinen Werth haben. Es wird also unter den geeigneten Voraussetzungen (2^ a' -a - i^ §. 117. Newton'sclie Näberungsmethode. 377 als eine bessere Annäherung an den wahren Werth der Wurzel zu betrachten sein. Ersetzt man dann « durch a', so wird man in " -" /■(«') eine noch bessere Näherung erhalten u. s. f. Es bleiben hier aber noch folgende beiden Fragen zu beant- worten : 1. Unter welchen Voraussetzungen ist a! wirklich ein besserer Werth als «? 2. Wie kann man den Grad von Genauigkeit schätzen, den man so erreicht? Diese Fragen hat Fourier beantwortet; er macht aber dabei folgende Voraussetzung : Es ist eine Wurzel von f{x) in einem Intervall (a, /3) eingeschlossen, das keine zweite Wurzel enthält. In dem Intervall (a, /3) ist/'(a;) von Null verschieden und/"(a;) auch von Null verschieden. Was die letztere Voraussetzung betrifft, dass /" ix) im Inter- vall von Null verschieden ist, so ist sie nur gemacht, um ein- facher auszudrückende Bedingungen für die Anwendung der Methode zu erhalten. An sich ist ihre Brauchbarkeit bei genügen- der Einengung des Intervalles davon nicht abhängig. Wenn aber f(x) und f"{x) keinen gemeinsamen Theiler haben, also nicht zugleich verschwinden, so kann man die Fourier'sche Voraus- setzung durch Einengung des Intervalles immer erfüllen, und wenn /(ic) und/'(a:) einen gemeinsamen Theiler haben, so kann man diesen zuvor absondern und dann auf die einzelnen Factoreu von f{x) die Näherungsmethoden anwenden. Am einfachsten übersieht man die Verhältnisse in der Geo- metrie , wenn man y = f{x) als Gleichung einer ebenen Curve in einem rechtwinkligen Coordinatensystem deutet. Die Gleichung (3) 2/ =/(«) + (^ -«)/'(«) ist die Gleichung der Curventangente in dem Punkte «, /(«) und die Newton'sclie Näherungsmethode kommt also darauf hinaus, dass man die Curve in dem Interwall («, ß) in erster Annäherung durch die Tangente in einem der Endpunkte ersetzt, anstatt wie bei der Interpolationsmethode durch ihre Sehne. 378 Zehnter Abschnitt. 117. Wenn der zweite Differentialquotient in dem Intervall (k, ß) verschwindet, also die Curve einen Wendepunkt hat, so kann der Fall eintreten, dass beide Endtangenten aus dem Intervall hin- ausführen; dann ist die Newton' sehe Methode also nicht an- wendbar (Fig. 21). Es kann aber auch, wenn das Intervall (oc, ß) schon genügend eingeengt ist, der andere Fall eintreten, dass Fig. 22. Fiff. 21. beide Tangenten nach inneren Punkten des Intervalles führen (Fig. 22). Indessen wird in diesen Fällen immer die Regula falsi eine bessere Annäherung geben. Wir wollen aber jetzt annehmen, dass f'{x) \\m\ f" (x) in dem Intervall («, ß) nicht verschwinden. Dann ändert die Curve den Sinn ihrer Krümmung nicht, und dann hat gewiss immer Fiff. 23. Fig. 24. eine der beiden Endtangenten ihren Schnittpunkt mit der x-Axe im Inneren des Intervalles. Dies trifft sicher zu, wenn die Tangente in dem Endpunkte des Intervalles genommen wird, in dem f(x) und f" [x) dasselbe Vorzeichen haben. Die beiden Fig. 23 und 24 veranschaulichen das Verhältniss bei positivem /' (x) und positivem und negativem /" {x). Es ist also im ersten Falle /3', im zweiten u' ein besserer Annäherungswerth, als ß und «. ?■ Newton'sche Näherungsmethode. 379 Will man gleichzeitig die andere Grenze verschieben, um ein neues engeres Intervall zu bekommen, so kann man nach Fourier von dem anderen Endpunkte, also im Falle der Fig. 23. in a die zu b ß' parallele gerade Linie ziehen, und erhält den Punkt «' als unteren Grenzpunkt des neuen Intervalles. Es ist dann im ersten Falle « im zweiten Falle a a a fißy ß' = ß - ß - f(ß) f'iß)' f(ß) Fi S. '-io. f («) ' und («', ß') ist ein engeres Intervall, in dem die gesuchte "Wurzel liegt. Es ist kaum nöthig, die beiden anderen FrlUe, in denen f'(x) im Inter- vall negativ ist, noch besonders zu betrachten. Man kann aber auch, um zwei neue Grenzen zu erhalten, mit noch besserem Erfolge die Newton' sehe Methode mit derinterpolationsmethodc verbinden, wie die Fig. 25 zeigt. Man erhält dann als die beiden neuen Grenzen : f(a)(ß - a) _ afiß) - ßf(a) fiß) M « / (P) - f («) ß' = ß - /(«J fM f'iß)' Wir fassen die Resultate in folgendem Satze zusammen: Ist ein Intervall («, ß) abgegrenzt, in dem f(x) einmal, f'(x) und f"{x) gar nicht ihr Zeichen wechseln, und ist ß der Endpunkt des Inter- valles, in dem f{ß) und f"{ß) dasselbe Vorzeichen haben, gleichviel, ob ß kleiner oder grösser als « ist, so erhält man ein engeres Intervall (a', ß') von denselben Eigenschaften, wenn mau (4) « a — /(«J iß - ^y-) fiß) -fi^y ß' = ß - fiß) ./■' iß) setzt. 380 Zehnter Abschnitt. §. 117. Um diese Resultate der geometrischen Ansc-hauimg ana- lytisch zu beweisen , nehmen wir an , es sei im Intervall /' (x) und /" (x) positiv, also « < ß. und /(«)<0, /(/3)>0. Wir beschränken uns auf die Betrachtung dieses einen Falles, da die drei anderen genau in derselben Weise zu be- handeln sind. Wir bilden die Function ^ ^ p — X und deren erste Derivirte ^ ^^-^ iß - xf Der Zähler dieses Ausdruckes ^.(;rj = - f/3 - x)f'{x) ^f(ß) - fix) verschwindet für x = ß. und seine Derivirte ist i^' (x) = - (ß - x)f" (x), also im Intervall negativ. Daraus folgt, dass i'{x) im Intervall mit wachsendem x abnimmt und daher, weil es für den grössten W'erth X = ß verschwindet, positiv bleibt. Folglich ist auch ^' (x) positiv und cp (x) wächst im Intervall mit wachsendem x beständig. Wir haben demnach (5) /M^0- Es ist also die gesuchte Wurzel zwischen «' und ß' enthalten, und das Intervall (oc', ß') ist kleiner als («, ß). Setzen wir in diesen Ausdrücken a\ ß' an Stelle von «, ß, so erhalten wir ein neues, noch engeres Intervall u. s. f. Was die Convergenz dieses Verfahrens betrifft, so können wir uns darüber folgendermaassen vergewissern. Wir setzen nach (6): ^ ^ /3 - « - ^^""'^''^ - (ß- a)f{ß) {/{ß) -f{a)\ Zähler und Nenner sind hier durch {ß — a)- theilbar, und wenn wir den gemeinsamen Factor (ß — oc)'- wegheben und ^, t] für a, ß setzen, so erhalten wir einen Ausdruck von der Form worin t^i und 1^2 ganze rationale Functionen der beiden Variablen I, ri sind. Ist X die im Intervall («, ß) gelegene Wurzel, so werden die beiden Functionen t^j und t^g nach unseren Voraussetzungen über f{x) nicht gleich Null, wenn (8) « ^ ^ < a,-, X <7i ^ ß. Die Function O (|, ri) ist für | = cc , 7j = /3, aber aucli für jedes andere Werthpaar in dem Intervall (a, /3), wofür /(|) negativ, / (7/) positiv ist, kleiner als 1, da jedes solche Intervall (^, rf) an Stelle von (a, ß) genommen werden könnte. Da nun ^(|, t]) eine stetige Function der beiden Veränder- lichen I, ri ist, so lange diese in dem Bereich (8) bleiben, so muss in diesem Bereich die Function ^(|, »/) einen Maximum- werth haben, und dieser muss kleiner als 1 sein, weil ^(|, ')]) auch noch in den Grenzfällen ^ = x^ ri = x kleiner als 1 bleibt. Es lässt sich also ein positiver echter Bruch ® angeben, so dass o (I, n)<® ist, so lange |, iq dem Bereich (8) angehören. Dann folgt aus (7) ß' - a' <{ß — a) &. Ebenso folgt, wenn wir auf dieselbe Weise von dem Intervall («', ß') zu einem engeren Intervall (a", ß") fortschreiten, 382 Zehnter Abschnitt. §. 117. ß" — «" < (ß' — «') 0', worin &' dieselbe Bedeutung für a\ ß' hat, wie & für «, ß. Da aber «', ß' dem Bereich (8) angehören, so ist 0' nicht grösser als 0 und statt 0' kann auch & gesetzt werden. Es folgt also: ß" _ «" < (ß — «) &\ und so schliessen wir weiter ^(.) _ «(v) < (/3 — a) ®\ Die Intervalle nehmen also mindestens so stark ab, wie die Glieder einer fallenden geometrischen Progression. Als Beispiel, mag die Gleichung dienen: ^s _ 2 ä;2 — 2 = 0, die eine Wurzel zwischen a == 2,25 und ß = 2,36 hat. Man erhält aus den Formeln (4) für ß' = 2,35931 . . ., cc' = 2,359298 . . ., so dass ein in der vierten Decimale genauer Werth der Wurzel 2,3593 ist. Für diesen Werth selbst ist, wie eine genauere Rechnung ergiebt, f{x) noch negativ, so dass er für a' genommen werden kann. Der nächste Schritt der Annäherung ergiebt 2,359304. Auf demselben Princip, das der Newton'schen x'\.uflösungs- methode zu Grunde liegt, beruhen auch die Methoden von W. G. Homer und Joseph Hörn er, die wir hier nur erwähnen können. Bei beiden ist das Ziel eine zweckmässige Anordnung der Rechnung, und, besonders in der ersten, ein dem dekadischen Zahlensystem angepasster Algorithmus, nach Analogie der Divisionsregeln der niederen x\rithmetik. Ein schnelles und sicheres Rechnen nach diesen Methoden erfordert viel Uebung ^). 1) W. G. Homer, A new method of solviug uumerical equations of all Orders, by continuous approximatiou. Communicated by Davies Gilbert. Philosophical Transactions 1819. Joseph Homer, Approximation to the roots of algebraic equations in a series of aliquot parts. Quarterly Journal of Mathematics, Vol. III, 1860. i §. 118. Bernoulli'sche Näheruugsmethode. 383 §• 118- Die Näheruu gsmetliode von Daniel Bernoulli und verwandte Methoden. Die Methode zur genäherten Auflösung einer Gleichung, die von Daniel Bernoulli herrührt i), beruht darauf, dass, wenn man eine Reihe reeller Grössen hat, die Potenzen der grössten unter ihnen um so mehr die gleich hohen Potenzen der übrigen überwiegen werden, je höher die Potenzen sind. Sind a, ß, y . . . beliebige reelle oder complexe Grössen, so jedoch, dass der absolute Werth von a grösser ist, als der absolute Werth aller übrigen, dass also die absoluten Werthe der Brüche ß-.a.y.a... echte Brüche sind, so ist «'" 4- ß'" -|- y»' 4- . . . ^ „m-l _|_ ßm — 1 1 ym — 1 -U . . . 1 a ©■"+(! /+(§r+(0"""+--- und je grösser m wird, um so mehr wird sich dieser Ausdruck wie die zweite Darstellung zeigt, der Grenze a nähern. Sind «. /3, 7 . . . die Wurzeln einer algebraischen Gleichung, so ist die linke Seite von (1) der Quotient der m^^" und (m — l)*en Potenzsumme, und wir erhalten also den Satz: Der Quotient der w«*^"" und (ni — l)**"" Potenz- summe nähert sich mit wachsendem m der absolut grössten unter den W^urzeln. Nimmt man m negativ an. und setzt « absolut kleiner als /3, y . . . voraus, so folgt auf die gleiche Weise: Der Quotient der — w"'" und — (w. + 1)*^° Potenzsumme nähert sich mit wachsendem ni der absolut kleinsten unter den Wurzeln. Da man die Potenzsummen als symmetrische Functionen durch die Coefficienten berechnen kann, so braucht man nur ein hinlänglich grosses m zu nehmten, um einen angenäherten Werth der absolut grössten und absolut kleinsten Wurzel zu erhalten. ^) I). Bernoulli, Commentationes Petropolitanae. Bd. III. 384 Zehnter Abschnitt. §• 118. Wenn aber unter den Wurzeln der Gleichung solche vor- kommen, die denselben absoluten Werth haben, und dieser der grösste oder der kleinste ist, so ist diese Methode nicht anwend- bar, also z. B. nicht auf reelle Gleichungen, bei denen ein Paar imaginärer Wurzeln vorkommt , das die reellen an absolutem Werth übertrifft. Wenn aber die grösste Wurzel zwar einzeln vorkommt, aber die nächstfolgende nicht viel übertrifft, so wird das Verfahren nur langsam einige Genauigkeit geben. Jacob i hat die Bernoulli'sche Methode nach einer Rich- tung ergänzt i). Nehmen wir an, es seien unter den Wurzeln a^i, x^, . . ., ar„ solche, deren absolute Werthe grösser sind, als die absoluten Werthe der folgenden aj^ + i, x^^i^ . . ., Xn und setzen Vm = a?»' + a;;'f H y Xu (2) so werden, wenn wir (3j {x — x^) {ii: — x^ .. . ix: — iCfc) ^ x^ -|- JLi x^-^ -) — • -\- A-^ setzen, die Coefficienten J.^, A^, . , . , ^^. den Gleichungen genügen (4) _Pm + 2fc-lH-i3)n + 2/c-2^l -)-i?m + 2^-3^ H hi^'» + fc-1 A = 0. Wenn man den Gleichungen (4) noch die Gleichung x^ -\- Ayx^-^ + A^x^-'' -] h ^fc = 0 zugesellt und die Ai, A-,, . ■ .-, Ajc eliminirt, so ergiebt sich die Gleichung k^^^ Grades = 0, x^, r-fc — 1 . . 1 Pm + fc, Pin + fc — 1, • • • Pm jPm + fc + li i?m + k, • ■ Pm + 1 Pm + 2k — li Pm-!r2k — 2i • ' 'Pm + k — l 1) Observatiunculae etc. Werke, Bd. 3, S. 280. §. 118. Bernoulli'sche Näherungsmethode. 385 deren Wurzeln x^, Xi, . . -^ x^ sind. Die Grössen Pm, Pm + ii • • ., können aber mit um so grösserer Genauigkeit durch die ent- sprechenden Potenzsummen aller Wurzeln ersetzt werden, je grösser m ist. So bekommt man z. B. für Je z= 2: 2 1 PmPm + 3 Pm + TiPm + 2 , P'm + 2 Ihn + lPm + 3 ^ Pm + 1 — PmPm + 2 P»« + 1 PmPm^2 eine Gleichung, die man anwenden kann, wenn bei einer reellen Gleichung ein Paar conjugirter Wurzeln den absolut grössten Werth haben. Wenn man die Bernoulli'sche Methode auf die Summe der negativen Potenzen anwendet, so erhält man, wie schon bemerkt, eine Annäherung an die absolut kleinste Wurzel. Man kann aber, durch Verlegung des Anfangspunktes, jede Wurzel zur absolut kleinsten machen , wozu freilich die Kenntniss eines bis zu einem gewissen Grade genäherten Werthes nöthig ist. Eine Formel, die für alle Fälle ausreicht, hat Fr. Meyer gegeben i). Es seien «i, «2, «3, . . ., «„ die Wurzeln der Gleichung f[x) = 0, die reell oder imaginär sein können. Man suche einen Punkt p in der a;-Ebene, so dass sich um p als Mittelpunkt ein Kreis beschreiben lässt, der nur einen der Punkte «1, Wg, . . ., a„ enthält, etwa den Punkt a, , dass also die absoluten Werthe von {^\ P ~ "1 P — "1 P — ^ \ 0 ) , , . . . , P «2 P «3 P — «n echte Brüche sind. Solche Punkte existircn immer; sie müssen nöthigenfalls nach der Sturm'schen Methode gefunden werden. Wählt man ausserdem noch eine beliebige Function qp (a;), die mit f{x) keinen gemeinsamen Theiler hat, z. B. (p{x) = 1, und bildet die symmetrischen Functionen Ui(p (ai) a^(p{u.2) . . a„{xy- = 0 die Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeln von fix) sind. Behandelt man /i (a;) ebenso, so erhält man eine Gleichung, deren Wurzeln die vierten Potenzen der Wurzeln von fix) sind u. s. f. Die Ausführung dieser Piechnung ist sehr einfach und führt oft nach wenigen Schritten zu einer guten Näherung. Wir betrachten einige Beispiele. Zunächst nehmen wir die Gleichung (4) a;3 _ 2 a; — 2 = 0, die eine reelle positive und zwei imaginäre Wurzeln hat. Die reelle Wurzel ist grösser als 1,7, und da das Product aller drei Wurzeln gleich 2 und (1,7)3 > 2 ist, so ist der absolute Werth der beiden imaginären Wurzeln kleiner als die reelle W^urzel. Also ist die reelle Wurzel die absolut grösste und die Gräffe'- sche Näherungsmethode muss auf sie führen. Man bekommt nun die Gleichungen, deren Wurzeln die zweite, vierte, achte... Potenz der Gleichung (4) sind: x"" — 4a;2-f- ^x — 4 = 0 x-' — 8ä;2 — 16:c — 16 = 0 x- — 96rr^ — 16-^ = 0 und X = 1/^96 = 1,7692 . . . ist bereits ein in den vier ersten Decimalen genauer Werth. Der nächste Schritt würde kein anderes Piesultat ergeben (weil die erste Potenz der Unbekannten in der letzten Gleichung fehlt); aber der darauf folgende ergiebt den in der sechsten Decimale genauen Werth 32 X = V85032960 = L769293 . . . Wir wollen noch ein zweites Beispiel einer Gleichung fünften Grades betrachten, das Gelegenheit bietet, mehrere der Sätze des vorigen Paragraphen anzuwenden. Das Beispiel ist, wie die §. 119. Gräffe'sche Näherungsmethode. 389 früheren, der Theorie der complexen Multiplication der ellipti- schen Functionen entnommen. Es ist die Gleichung fünften Grades (5) a;-' — x-^ — 2x^ — 2x — l =0. Wir leiten daraus die Gleichung ab, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeln von (5) sind, indem wir in (a;5 _ a;3 _ 2xy — (2a;2 4- 1)2 = 0 x^ durch X ersetzen. Dies giebt (6) ^5 _ 2 a;^ — 3 ä;3 — 1 = 0, und wenn wir dasselbe Verfahren zunächst noch zweimal anwenden, so erhalten wir die Gleichungen, deren Wurzeln die vierten und achten Potenzen der Wurzeln von (5) sind: (7) x'> — lOx^ -\- 9x^ — ix-^ — 1 = 0, (8) x'^ — S2x* -\- x'^ — 3ßx^- — 8x — l = 0. Die letzte dieser Gleichungen eignet sich zur Discussion. Sie hat nach dem Cartesischen Lehrsatz (§. 109) wenigstens eine positive Wurzel ; und da die linke Seite von (8) für x =: l negativ ist (= — 125), während sie für ein unendlich wachsen- des X positiv wird, so hat (8) eine reelle Wurzel, die grösser als 1 ist. Wenn wir für die Gleichung (8) die in dem Newton'schen Kriterium (§. 109) vorkommenden Functionen 1, 4 a/ — lOttu«.,, 6«! — 12 üitts 6a.f — 12 «2 ^4 1 4 af — 10 a^ «5 , 1 bilden, so erhalten wir die Vorzeichen + + - + - + und (8) hat also nach §. 109, Lehrsatz VIII. vier imaginäre Wurzeln. Die positive Wurzel ist jedenfalls grösser als 1, da die linke Seite von (8) für a: = 0 und x = l negativ ist. Um niin zu entscheiden, welche der Wurzeln den grössten absoluten Werth hat, wollen wir in (8) x = l : 2 setzen, und dann nach §. 103, 104 untersuchen, wie viele Wurzeln im Inneren des Einheitskreises in der ^-Ebene liegen. Setzen wir also in ^5 _[_ 8^* + 36^3 _ ^2 _|- 82^ — 1 z = cosO- -|- i sin 'S-, so erhalten wir den reellen und imaginären Theil : 390 Zehnter Abschnitt. §. 119. (p = cos 5 -O- -f 8 COS 4 ^ -|- 36 COS 3 -Ö- — cos 2 -O- -f 82 cos '& — 1 t/; = sin 5 ^ 4- 8 sin 4 ^ + 36 sin 3 'S- — sin 2 ^ + 82 sin ». Es lässt sich nun zeigen, dass ip positiv ist, wenn 0 < d^ < 7t und folglich negativ, wenn 0 > d- > — tt, dass also der Einheits- kreis in zwei Segmente getheilt ist, in denen i^ entgegengesetzte Vorzeichen hat. Daraus folgt nach §. 113, XI., dass im Inneren des Kreises nur eine Wurzel liegen kann, und dies ist die reelle Wurzel, während die imaginären W^urzeln ausserhalb liegen. Es folgt dann daraus für die Gleichung (8), dass die reelle Wurzel den grössten absoluten Werth hat, und dass also dieser durch die Gräffe'sche Methode gefunden wird. Um nun diese Eigenschaft der Function tl^ nachzuweisen, setzen wir 2cos'9' = ^, und wenden die goniometrischen For- meln an: sin 5 ^ = sin & (1* — 3 |2 -f- 1) sin 4 ^ = sin d- (^-^ — 2 |) sin 3 ^ = sin d- (|2 _ i) sin 2 O- = sin & |. Dadurch erhalten wir 1/. = sin ^ [^^ _!- |2 (8 1 -f 33) + (47 - 17 |)], woraus man sofort sieht, dass der Factor von sin-O- positiv bleibt so lange ^ zwischen — 2 und -j- 2 liegt. Die Gleichung (8) giebt nun selbst schon einen ziemlich guten Näherungswerth für die reelle Wurzel X = "^82 = 1,73471. Ein genauerer Werth, den man erhält, wenn man noch zwei Schritte weiter geht, ist 1,73469, der in der fünften Decimale noch richtig ist. Eine Einschliessung der gesuchten Wurzel in zwei Grenzen giebt diese Methode nicht. Das Kennzeichen, ob ein genügender Grad von Genauigkeit erreicht ist, besteht darin, dass, wenn .s„, Su' zwei auf einander folgende, zur Berechnung benutzte Potenz- summen der Wurzeln sind, diese sich mit genügender Genauigkeit verhalten, wie die /it*^ zur ft'^'^'^ Potenz einer Grösse, oder dass annähernd filog Su' — i^'logs,^ = 0 ist. Man muss aber diese Prüfung bei mehreren auf einander §. 120. Cubische Gleichungen. 391 folgenden Gliedern vornehmen, da in besonderen Fällen diese Relation scheinbar erfüllt sein kann und bei der späteren Rech- nung wieder aufhört. §. 120. Trigonometrische Auflösung cu bischer Gleichungen. Wir besprechen nun noch einige auf Gleichungen von speciellen Formen anwendbare Methoden der numerischen Auf- lösung. Das Ziel dieser Methoden ist, die allgemein verbreiteten Tafeln der trigonometrischen Functionen und der Logarithmen für die Auflösung von Gleichungen nutzbar zu machen. Wir wenden uns zunächst zur Betrachtung der cubischen Gleichungen, die wir immer in der reducirten Form (1) X-' -\- ax -^h = 0) annehmen, worin a und h reelle Zahlen sind. Da die Ver- tauschung von X mit — x gleichbedeutend ist mit der Ver- tauschung von h mit — 6, so können wir uns auf die Annahme beschränken, dass h negativ sei, und es bleiben dann noch drei verschiedene Fälle zu betrachten. Wir setzen 6 = — g und, je nachdem a positiv oder negativ ist, a = ^ e. Dann haben wir a) x'^ -{- ex — ^ = 0 h) x^ — ex — A e^ g^ . c) X'' — ex — g = 0, _ > :^ . Die Grenzfälle, dass eine der Grössen e, (/, 4e"' — 27 g- ver- schwindet, schliessen wir aus. Um die Cardanische Formel anzuwenden (§.38), setzen wir wo das obere Zeichen im Falle a), das untere in den Fällen ]/) und c) gilt. In den Fällen a) und b) ist nur eine Wurzel reell. in dem Falle c) (dem Casus irreducibilis) sind alle drei Wurzeln reell. Die Cardanische Formel giebt (3) ^=\/£+VM+ y\ - vii. 392 Zehnter Abschnitt. §. 120. "Wir verfahren nun so in den drei Fällen: a) Wir führen eiiien Winkel d' ein, den wir zwischen 0" und 90" wählen können, durch die Gleichung: (4) |=\/|^cotg*, also VR= \/^ ^ 27 siu'^' e (W . . , 1 , V/ . . 1 ^ = y ^\y cotg^ + --^ 4- U cotg^ - -. SVK "^ ' sin ■9- ' K * sin O- = VI(F-^-F'4> und wenn wir noch einen Winkel ff aus 'S- (ö) tg- = tgg)» bestimmen, so ergiebt sich (6) :r = 2 ^1 cotg2^. Die Winkel -ö", g? und zuletzt x findet man aus den logarith- misch trigonometrischen Tafeln nach den Formeln (4), (5j, (6). Um die imaginären Wurzeln zu erhalten, ersetzt man tgg? durch 9 tg qp , wenn q eine imaginäre dritte Einheitswurzel bedeutet. bj Im zweiten Falle bestimmen wir den Winkel O', gleich- falls im ersten Quadranten, aus (7) ^ = \I^-J^ ^ ' 2 K 27 sin^ yi2 = y|^cotg^ e fV/ . & , \V, ^ ^= KT VK''*«T+ i/^^27' (S) ig- = tgq>\ (9) X —- ^ 3 sin 2 (p c) Im letzten Falle endlich, wo drei reelle Wurzeln vor- handen sind, setzen wir §. 121. Trinomische Gleichungen. 393 (10) | = y|:eos* X = W — (]/^cos d- -j- i sin d- -\- Ifcos-O- — ^sinfO-), oder nach dem Moi vre 'sehen Satze: fllj X = 2 y -^ cos — ^. Nimmt man 0- wieder im ersten Quadranten, so erhält man für die beiden anderen gleichfalls reellen Wurzeln e n -\- d- r.\ / e n — Q- cos — , — 2 \/ -r- cos 3 3 ' K 3 3 Alle diese Formeln sind für die logarithmische Rechnung eingerichtet. 'O^ §. 121. Die Gauss'sche Methode der Auflösung trinomischer Gleichungen. Gauss hat eine Methode angegeben, um die Wurzeln einer Gleichung, die nur drei Glieder enthält, in einfacher Weise numerisch aufzulösen. Solche Gleichungen kommen häufig vor und umfassen als Specialfälle alle quadratischen und die redu- cirten cubischen Gleichungen. Es wird zunächst von einer solchen Gleichung, deren all- gemeine Form (1) a;'" + " -\- ax»" -(- & = 0 ist, nur die positive Wurzel, wenn sie existirt, gesucht. Die etwaige negative ergiebt sich, wenn man x durch — x ersetzt. Nach den Vorzeichen von a, h hat man drei Fälle zu unter- scheiden, da, wenn beide Vorzeichen positiv sind, keine positive Wurzel vorhanden ist. Wir betrachten also, indem wir mit e und (j positive Zahlen bezeichnen, die drei Fälle: a) a;'» + " -j- ex"' — r/ = 0, c) X'"- + " — e X'"- -[- ^ = 0. 394 Zehnter Abschnitt. §. 121. n den beiden ersten Fällen haben wir nach dem Cartesi- sehen Lehrsatz je eine positive Wurzel, im dritten können zwei oder keine positive Wurzel vorhanden sein. Wir setzen nun mit Gauss g»n + n ' und suchen die drei Gleichungen a), b), c) durch passende Sub- stitutionen auf die Form: sin2 0 -\- cos2 0=1 zurückzuführen. Wir setzen : ^m + n _ g^m siu 02 '" a) = sm 02, = cos 02, A = ^„^^„„ , ■' g 9 COS02'" + 2m' sin 02" (2) h) gx—^— = ^m®\ ea:-"=cos02, l = —^^^—^^ c) — = sin 02. ^— — = cos 02, l = sin 02 »'cos 02«. Die letzte Gleichung ergiebt die Unterscheidung der beiden Fälle, in denen die Gleichung c) zwei oder keine positive Wurzel hat. Man erhält nämlich für das Maximum von sin 02"' cos 02" nach den Regeln der Differentialrechnung {m 4- w)"' + "' das für tg 02 = m : n erreicht wird. Wenn also X unter dieser Grenze liegt, so haben wir in c) zwei reelle Wurzeln, sonst keine. In den Formeln (2) ist A eine gegebene Grösse, und man hat nun aus den Tafeln den Winkel 0 zu suchen, der diesen Gleichungen genügt. Wenn man noch gar keine Kenntniss über die ungefähre Lage dieses Winkels hat, so ist es zweckmässig, für die erste Annäherung eine etwa von Grad zu Grad fort- schreitende, auf zwei Decimalen abgekürzte Tafel zu benutzen, um den so gefundenen Werth mit Hülfe genauerer Tafeln zu verbessern. Gauss benutzt nicht die trigonometrischen Tafeln, sondern die von ihm zuerst eingeführten Additions- und Subtractions- Logarithmen. Wir wollen dies an einem der Fälle in der Kürze §. 121. Trinomische Gleichungen. 395 zeigen. Die Einzelheiten für die praktische Anwendung der Methode sind in der Gauss'schen Abhandlung zu suchen i). Die Tafeln der Additions- und Subtractions- Logarithmen, wie sie zuerst von Gauss eingeführt und berechnet sind, und wie sie sich jetzt auch in den gebräuchlichen Tabellenwerken finden, geben zu drei Zahlen, die grösser als 1 sind: a, 6 = 1-! , c = 1 -\- a, ' a die Brigg'schen Logarithmen: Ä, B, a Ist 0 ein Winkel im ersten Octanten, so kann man setzen: (3) a = cotg 02, i = _i c = ---^, 0 < 0 < 45°, ^ "^ * cos &- sm 02' und wenn 0 im zweiten Octanten liegt: (4) a = tg 02, b = -^^— , c = — ^— , 45" < 0 < 90°. ^ -^ ° sin 02' cos 02 Wir wollen dies auf den Fall b) anwenden; dabei ist zu unterscheiden, ob A kleiner oder grösser als 2'" ist, weil davon abhängt, ob 0 im ersten oder zweiten Octanten liegt. Es sind also wieder zwei Fälle zu unterscheiden: a) A < 2'», Jjin />m Tjtn + n Ö" ~~ «"* + » C" ' ß) l > 2"\ f.in + n l = a'" + "&"' = a^C" := — ; — , -^ ' ' ea Im Falle «) würde man also (6) log k = tnB — n Ä setzen und danach aus der Tafel die zusammengehörigen Werthe von Ä und B aufsuchen. Hat man diese gefunden, so ergiebt sich (7) mlogx = Ä -\- \ogg — löge. 1) Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen , zweite Ab- theilung (1849). Gauss Werke, Bd. III, S. 85. 396 Zehnter Abschnitt. §. 121. Um den Ge])rauch dieser Formeln an einem Beispiel zu erläutern, wollen wir die Gleichung betrachten: a;3 — 2x — 2 = 0, also e ^ ^ = 2, w = 1, m := 2, >l = | setzen. Die Formel (6) giebt also (8) 2A — B = 0,3010300 und (7) (9) loga; = A. Um den ersten Näherungswerth von A zu finden, benutzt man einen kleinen Auszug aus der Tafel: A = 0, B = 0,301 A = 0,1, B = 0,254 A = 0.2, B = 0,212 A = 0,3, B = 0,176 Es ergiebt sich daraus: A 2A — B Fehler 0,2 ! 0,188 —0,113 0,3 0,424 +0.123 Man kann hierauf die Interpolationsmethode anwenden, um einen genaueren Werth von A zu erhalten, indem man den Gesammtfehler von 0,236 nach Verhältniss der Theilfehler auf beide Werthe von A vertheilt, also 0,1 0,2 + setzt. 0,236 0.113 0,247 Mit Hülfe einer siebenstelligen Tafel von Zach erhält man nun- A B \ 2A B 1 1 Fehler 0,247 0,1948581 0,2991419 0,248 0,1944969 0,3015031 0,0018881 -f- 0,0004731 und durch abermalige Anwendung der Interpolation A = 0,2477996 oder X = 1,769292. Eine etwas andere Anordnung der Rechnung ist den neuer- dings erschienenen ..Tafeln zur Berechnung der reellen Wurzeln sämmtlicher trinomischer Gleichungen" von Gundelfingen (Leipzig 1896j zu Grunde gelegt. §. 122. Imaginäre Wurzeln. 397 Dort wird z. B. die Gleichung b) in die Form gesetzt Ist dann so folgt = — ic'« 4- 1. 9 9 =10^, - a;'« = 10^, 9 9 (10) 1 + 10^ = 10^ und ,11) ^ ,^^B+'\<>s gesetzt wird, , , sin«'^'" sinmO-"* ^' ' ' sin (w + wj '§•" + '« Man kann, da man von den beiden conjugirten Wurzeln nur die eine zu berechnen braucht, ^ auf den ersten Quadranten beschränken, muss aber dann unter Umständen auch r negativ annehmen. Wie man nun aus der Formel (5) mittelst der trigono- metrischen Tafeln den Winkel ■O- und dann aus einer der drei Formeln (2), (3), (4) den zugehörigen Werth von r berechnet, das wollen wir nun an dem vorhin betrachteten Beispiel a;o _ 2 a; — 2 = 0 noch nachweisen. Hier wird die Gleichung (5) 1 _ sin 2 ^»2 sin % ^^ "2 "" sin 3 ^3 ' oder (7) 3 log sin 3 ^ — 2 log sin 2 -^ — log sin % = 0,3010300, woraus zunächst ersichtlich ist, dass der Winkel d- in dem Inter- vall von 0 bis 60" liegt. Man findet zunächst nach wenigen Versuchen, dass -O- zwischen 33° und 34'' liegt, und wenn man dann für diese beiden Werthe die Differenz (8j 3 log sin 3 -^ — 2 log sin 2 -^ — log sin d- — 0,3010300 §. 122. Imaginäre Wurzeln. 399 berechnet, so erhält man zunächst auf drei Decimalen 0,026, — 0,013, und hieraus ergiebt sich durch Interpolation der genauere Werth & = 33040'. Hierauf berechnet man die Differenz (8) mit etwas grösserer Genauigkeit, etwa auf fünf Stellen für einige Winkel in der Nähe der Werthe 30^40', von Minute zu Minute fortschreitend, und findet aus der Vorzeichenänderung, dass d- zwischen 330 41' und 33042' liegt. Wenn man nun für diese beiden Werthe die Rechnung auf sieben Stellen durchführt, so ergiebt sich wieder durch Inter- polation der genauere Werth ^ = 330 41' 20,6". Aus den Formeln (3) oder (4) sieht man, dass hier r negativ ist, und man erhält r sehr einfach aus einer dieser Gleichungen. Man findet die Brigg' sehen Logarithmen: log (—rj = 0,0266148 log cos -O- = 9,9201547 — 10 log sin ^ = 9,7440468 — 10. Also sind die beiden imaginären Wurzeln: — 0,884646 ± 0,.589740«. Elfter Absclmitt. Zettenbrüche. §. 123. Verwandlung rationaler Brüche in Kettenbrüche. Wenn man eine natürliche Zahl m durch eine andere n nach den gewöhnlichen Regeln dividirt, so erhält man einen Quotienten und einen Rest, der positiv und kleiner als der Divisor n ist. Bedeutet a den Quotienten und r den Rest, so ist (1) m ^= an -{- r. Alle Zahlen w, m', m". . . ., die denselben Rest geben, heissen restgleich oder congruent nach dem Modul n^ und man drückt dies nach Gauss durch das Zeichen aus: (2) m ^ m' (mod. n). Eine solche Formel wird eine Congruenz genannt. Wenn wir also das System der Zahlen r = 0, 1,2,...,« — 1 betrachten, so ist jede beliebige (positive oder negative) ganze Zahl m einer und nur einer von diesen Zahlen nach dem Modul n congruent. Dieselbe Eigenschaft hat aber auch jedes System von Zahlen S = Wo, »?!, ^2, . . ., nin-i, die so ausgewählt sind, dass unter ihren Resten alle Zahlen r (und jede nur einmal) vorkommt. Es ist dann jede beliebige Zahl m einer und nur einer der Zahlen s nach dem Modul n §. 123. Volles Restsystem. 401 congruent. Ein solches Zahlensystem wollen wir ein volles Restsystem für den Modul n nennen. Ein solches volles Restsystem bilden z. B. bei ungeradem n die Zahlen Die Zahlen r heissen die kleinsten (oder kleinsten posi- tiven) Reste, die Zahlen q die absolut kleinsten Reste, Durchläuft s ein volles Restsystem für den Modul w, und hat a mit n keinen Theiler gemein, so durchläuft auch as ein volles Restsystem für denselben Modul. Denn wären unter den Zahlen as zwei verschiedene, as-^^ und «§2, die denselben Rest geben, so müsste ihre Differenz a (Sj — Sg) durch n theilbar sein, und da a mit n keinen Theiler gemein hat, so müsste s^ — s.j durch n theilbar sein, was nicht möglich ist, wenn s^, Sg zwei verschiedene Zahlen eines vollen Restsystems sind. Um nun die in (1) angedeutete Division fortzusetzen, wollen wir wj, n, r durch m, m^ , m^ bezeichnen, und dann wieder den Quotienten und den Rest der Division von m^ durch m.^ mit «1, m^ u. s, f. Setzen wir ausserdem noch «q für a, so ergiebt sich eine Reihe von Gleichungen: m = ÖQ wi^ -|- Wg Wi = tti m-i -\- m-^ (3) Wa = a.2 Wg -|- W4 die sich so lange fortsetzen lässt, als keiner der Reste ver- schwindet, d. h. so lange, als keine der Divisionen aufgeht. "Weil aber Wj > m-i > m:i > ■ • • ist, so rauss, da es nur eine endliche Anzahl von positiven Zahlen giebt, die kleiner als mi sind, nach einer endlichen Anzahl von Theilungen die Division aufgehen. Wenn m„ durch Wv + i theilbar ist, so ist w?v + i der grösste gemeinschaftliche Theiler von m und w^. Denn m^ + i ist dann nach den Gleichungen (3) Theiler aller vorausgehenden m,„ und umgekehrt ist jeder gemeinsame Theiler zweier benachbarter m^. auch Theiler aller folgenden, also auch von Wv + i. Weber, Algebra. I. 26 402 Elfter Abschnitt. §. 123. Wenn daher m und nii ausser 1 keinen gemeinsamen Theiler haben (wenn sie also theilerfremd oder relativ prim sind), so muss niv^i = 1 sein, und wir können die Gleichungen (3) so darstellen : ... m 1 m.2 m-, , «?s Wv-i ,1 — = a, -\ '-, ■ • •, = «►■-! H 171.2 ^^h *W'' ^^i- Dies giebt die Entwickelung des Bruches m : Wj oder m : n in einen Kettenbruch. Wir erhalten successive ._. m . 1 m . 1 ^ '' n mj n ' ,1 «1 H — m.2 W2 m.o und endlich (6) T = «0 + «1 + «2 + + «v-l + 1 m,, wofür wir, des bequemeren Druckes wegen, auch m / wii\ m / m.2 n \ m.y) n \ m. ni _ , . setzen. Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken: Jeder positive rationale Bruch lässt sich in die Form m : n setzen, so dass m und n relativ prim sind, und daher können wir jeden solchen Bruch in einen Kettenbruch von der Form (6) oder (7) ent- wickeln. Auch für negative rationale Brüche gilt dies, wenn wir für die Zahl «o auch negative Werthe zulassen. Die aj, «25 • • -i d^v—i-, Wy sind aber auch dann positive ganze Zahlen. Diese Zahlen sind vollkommen und unzweideutig bestimmt. Nur in einer Beziehung steht uns noch eine Willkür offen. Es ist nämlich nach der bis jetzt getroffenen Bestimmung der letzte der Theilnenner mv grösser als 1, da wir angenommen §. 124. Irrationale Zahlen. 403 haben, dass niv + i der erste unter den Resten sein sollte, der gleich 1 ist. Demnach können wir, wenn civ eine positive ganze Zahl ist, entweder mv = a,., oder Mv = «v + Y setzen und erhalten daher die zwei Darstellungen durch Ketten- brüche : I. Es lässt sich also jeder rationale Bruch in einen Kettenbruch entwickeln, der nach Belieben eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Theil- nennern hat. Die in den Formeln (5) vorkommenden Zahlen nii Wo nis W2' Wg' W4' ' nennen wir die Schlusszahlen des Kettenbruches, die Zahlen «0, «1, «25 • • • sollen die Theilnenner heissen (obwohl a^ nicht eigentlich als Nenner auftritt). Ersetzen wir m durch eine nach dem Modul n congruente Zahl m', so unterscheiden sich die beiden Brüche m : n und m' : n nur um eine ganze Zahl; die Kettenbruchentwickelungen unterscheiden sich also nur in ihren ersten Gliedern a^. §. 124. Kettenbruchentwickelung irrationaler Zahlen. Wenn x eine reelle irrationale Zahl ist, so wird es immer eine und nur eine ganze Zahl a^ geben, so dass x zwischen cif, und ÜQ -\- 1 liegt, a^ ist positiv, wenn x grösser als 1 ist, Null, wenn x ein positiver echter Bruch ist, und negativ, wenn x negativ ist. Setzen wir also 1 1 so ist x-^ ein positiver unechter Bruch, also wenn «j die zunächst unter Xi gelegene ganze Zahl ist, a^ positiv. "Wir setzen 26* 404 Elfter Abschnitt. §. 125. _ , 1 Xi — «1 -j — , U/2 _ I 1 Xo ■ — Clt) —r~ 1 _ , 2_ ^n — 1 ^n — 1 I 5 SO dass a^i, a:,, . . ., Xn positive unechte Brüche, «i, a.^^ . . ., «„_i ganze positive Zahlen sind. Nach der Bezeichnung des vorigen Paragraphen ist also x gleich dem Kettenbruch {^(lOf eil; U21 • • -i ein — 15 Xn). Diese Kettenhruchentwickelung lässt sich aber, wenn x irrational ist, unbegrenzt fortsetzen, d. h, wir können n beliebig gross annehmen. Es entsteht der folgende aus dem vorangehenden dadurch, dass man _ , J_ Xn ein -p J^n + 1 setzt. Auch hier nennen wir die ganzen Zahlen «oi <^n ^21 ••1 ^n—i die Theilnenner, Xn die Schlusszahl. Die Kettenhruchentwickelung der rationalen Zahlen ist als Specialfall darin enthalten. §. 125. Die Näherungsbrüche. Wenn wir einen Kettenbruch (,ij X ■ (_CEo, ttj, Cl2i • • •: ^n — li Xn)^ worin wir Xn als eine variable Grösse ansehen können, in einen gewöhnlichen Bruch verwandeln, so erhalten wir im Zähler und im Nenner einen linearen Ausdruck in Xn- Es wird also (2^ X = ■'^nXn -\- -Cm — 1 Vn ■^n "I Vn — 1 worin P„, ^„, P«— i, Qn—\ ganze rationale Functionen der «05 %i «25 • • •! «n— 1 sind. Dass dies richtig ist, ergiebt sich für die ersten Werthe w = 1, 2, , . . durch unmittelbare Rechnung: §. 125. Näherungsbrüche. 405 1 a^Xi -\- l ic = «0 + _ 1 _ («0 «l_-fl)^2-f «0 Wenn wir die Formel (2) für n schon als bewiesen voraus- setzen, so erhalten wir, wenn wir _ , 1 Xn O'n ~p setzen : (x w 2 immer 0 < ^„-1 < Qn- Die Pi, Pa, P3, . . . sind, wenn a^ positiv ist, gleichfalls alle positiv, wenn a^ negativ ist, so sind sie alle negativ, mit etwaiger Ausnahme von Pg = «0 «1 + 1 , was gleich Null sein kann. Die Qn sind von ao ganz unabhängig. In welcher Weise die P„ von «0 abhängen, können wir auf folgende Art erkennen. Nehmen wir die Zahlenreihe ttl, ü^f Oi^i Ö45 • • • als gegeben an und betrachten die Recursionsformel (5) Tn^\ = ein Tn -\- J-n — l, so ist dadurch T„ vollständig für alle n bestimmt, wenn T^ und Ti gegeben sind. Nehmen wir zwei specielle Fälle Qn und P„, die durch die Bedingungen (6) ^0 = 0, Q, = \ bestimmt sind, so erhält man die allgemeine Lösung der Glei- chung (5) in der Form (7) T„ = To P. + T: Qn und hierin ist also auch (8) Pn = Rn + «0 Qn enthalten. Wenn wir zwei Lösungen von (.5) betrachten, T„ und Sni also: J-n-'rl (^n J-n ~l -Ln — 1 'S'n+ 1 = (In ^n "T ^n — li SO folgt durch Elimination von «„ J-n + l ^n — J-n^n+1 ^^ — (-'n'-'n — 1 -J-n—l^^nJi oder wenn wir J-nl^n + l — ^n-^n + l = ^n setzen, (9) ^n= - ^n-l = ^« -2 = ••• = (— l)"z/o- Für Tn = Rn und /S« =^ f^n ist aber ^0 = 15 [nach (6)], also nach (9) Pn Vn + l Qn-ti-n + l = ( l)"i oder, indem man n in n — 1 verwandelt und das Zeichen beider- seits umkehrt: (lOj Rn Qn-l — QnBn-l = (- If- §. 126. Unbestimmte Gleichungen. 407 Wendet man dies auf zwei Functionen T„, Sn an, die durch Tn = To Rn -\- Ti Qni Sn = Sq i?„ -\- S^ Qu definirt sind, so folgt ^n Sn — l — Sn ^n — 1 = ( 1)" (^0 Si — T^ So)^ also im Besonderen (11) Pn Qn-^ - QnPn-X = (" l)"- Diese Formel, von der wir noch mannigfache Anwendung machen werden, zeigt, dass die Zahlen P„, Qn ohne gemeinsamen Theiler sind, dass also die Näherungsbrüche P„ : Q^ nicht durch Heben reducirt werden können. Ist der Kettenbruch ein endlicher, ist also die Schlusszahl Xn—i = ci„—i eine ganze Zahl, so setzen wir die Bildung der Näherungsbrüche nicht weiter fort als bis zu -* n -tn— lötn— 1 ~T~ -tji — 2 Qn Vn — if'n — 1 "h Qn — 2 und die Formel (2) zeigt, dass dann der letzte Näherungsbruch mit dem Werthe des Kettenbruches übereinstimmt. §• 126. Lösung unbestim^mter Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die zuletzt gefundenen Formeln führen zur Lösung einer Aufgabe, die in vielen Anwendungen vorkommt: Es seien a, ß zwei gegebene ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler, es sollen zwei andere ganze Zahlen gefunden werden, die der Bedingung genügen: (1) ay — ßx ■= 1. Diese Aufgabe hat, wenn sie überhaupt lösbar ist, unendlich viele Lösungen, die alle aus einer von ihnen abgeleitet werden können. Ist nämlich Xq, y^ eine Lösung, also (2) «T/o — |3^o = 1, so folgt durch Subtraction von (1) und (2) (^(y — Vo) = /5 (^ — Xo), woraus zu schliessen ist, da a mit ß keinen gemeinsamen Theiler 408 Elfter Abschnitt. §. 126. hat, dass x — Xq durch a theilbar ist; setzen wir demnach, indem wir mit h eine willkürliche ganze Zahl bezeichnen, so folgt und in dieser Form sind alle Lösungen von (1) enthalten. Wir brauchen also nur noch eine Lösung von (1) zu suchen, die wir immer auf folgende Weise erhalten. Wir setzen ß als positiv voraus, was die Allgemeinheit nicht wesentlich beschränkt, da wir eventuell x in — x verwandeln können, und entwickeln nach §. 123 die rationale Zahl a : /3 in einen Kettenbruch: a , >^ Hiervon bilden wir die I^äherungsbrüche -t 0 -Li X2 -Ln — l JLn Q{i Vi Qi Qn — \ Qn so dass ß Qn' Da aber a, ß sowohl als P„. Qn ohne gemeinsamen Theiler sind, und da ß und Qn positiv sind, so folgt « = P„, ß — Qn. Da nun ferner nach §. 125 -t« Qn—l Qn-Ln~l = ( — Ij" ist, so folgt, dass (3) x = {-\yPn-„ y={-\YQn-, ganze Zahlen sind, die der Gleichung (1) genügen, womit also die Aufgabe vollständig gelöst ist. Die Rechnung ist bei massig grossen Zahlen ziemlich einfach. Setzen wir z. B. a = 24335, ß = 3588, so erhalten wir zunächst nach §. 123 den Kettenbruch: 24385 = (6, 1, 3, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 4), 3588 :ungs 1 6 7 27 34 61 156 997 2150 3147 und die Näherungsbrüche 0' 1' r 4' 5 ' 9 ' 23 ' 147' 317' 464 5297 24335 781 ' 3588 §. 126. Unbestimmte Gleichungen. 409 und da hier n =^ II, also ungerade ist, so hat man zu setzen: X = — 5297, y = — 781. Dies sind die absolut kleinsten Werthe von x, ij^ die der Gleichung (1) genügen. Die kleinste positive Lösung erhält man daraus, wenn man « und ß dazu addirt, also X = 19038, y = 2807. Hierauf wird auch die Lösung der allgemeineren Gleichung (4) ay — ßx = y in ganzen Zahlen x, y zurückgeführt. Zunächst ist klar, dass, wenn (4) überhaupt lösbar sein soll, jeder gemeinsame Theiler von os und ß auch Theiler von y sein muss. Ein solcher gemeinsamer Theiler wird dann durch Division weggeschafft. Wir nehmen also auch hier an, dass a und ß keinen gemeinsamen Theiler haben. Dann folgt ebenso wie oben, dass alle Lösungen von (4) aus einer von ihnen, Xq, t/qi erhalten werden in der Form X = X(, ^ ha, ij = ijo -\- h ß, worin h eine unbestimmte ganze Zahl ist. Setzt man dann in (4) ^ = r I, y = yn^ und theilt durch y, so geht (4) über in an — /3| = 1, also in eine Gleichung von der Form (1), Die Lösung wird zu einer völlig bestimmten, wenn noch eine Bedingung gegeben ist, aus der h bestimmt werden kann, z. B. die, dass y zwischen 0 und ß liegen soll, mit Einschluss der einen der beiden Grenzen. Wir wollen dies in folgendem Lehrsatze zusammenfassen : in. Die unbestimmte Gleichung ay — ßx = y hat, wenn a, ß, y ganze Zahlen und a und ß ohne gemeinsamen Theiler sind, immer eine ganz- zahlige Lösung X, y und nur eine, wenn noch die Bedingung 0 ^y<ß, oder 0\ (modmi), «2^2^**2 (mod ?%), 01^X3 ^r^ (mod mg), ... und erhalten, da «,, Wg, . . . durch Mi u. s. f. theilbar sind, die gesuchte Zahl in der Form rr = «1 Xi -\- a2 X2 -\- ci^ x^ -\- • • • Hierzu kann noch ein beliebiges Vielfaches von m gefügt werden. Die in diesem Paragraphen betrachteten Gleichungen ge- hören zu den sogenannten Diop hantischen Gleichungen, worunter man im Allgemeinen Gleichungen versteht, die eine grössere Zahl von Unbekannten enthalten, als nach den Regeln der Algebra daraus bestimmt werden können, worin aber die Unbekannten noch durch die weitere Forderung beschränkt sind, dass es ganze Zahlen sein sollen. §• 127. Convergenz der Näherungsbrüche. Wir nehmen jetzt an, dass die Reihe der Zahlen «1, «21 ^'si ••• eine unbegrenzte sei, und bilden die Differenz zweier auf einander folgender Näherungsbrüche : 412 . Elfter Abschnitt. §. 127. /j\ ^n J^n — 1 __ ( • 1)" Diese Differenz hat also bei geradem n das positive, bei ungeradem n das negative Zeichen und nimmt, dem absoluten Werthe nach, mit unendlich wachsendem n unbegrenzt ab. Bilden wir noch aus (1) : (2) -Pn Pn-2^ (-1)" , (-1)" + ^ Vm ^n — 2 VnV» — 1 Vn — 1 xn — 2 ^ (-1)" /i L_Y Vn — 1 \Tn Vn — 2/ so folgt, da ^>i_2 < Qn ist, dass diese Differenz bei geradem n negativ, bei ungeradem n positiv ist. Hieraus folgt, dass die Reihe der Näherungsbrüche mit geradem Index V2 ^4 T6 eine abnehmende, die Reihe der Näherungsbrüche mit unge- radem Index (4) Pl Öl' P. P. eine z u n e h ] mende ist. Nun ist nach §. 125 X -t n Xn + Pn-1 also V« "^n + ^n-l' (5) Pn — X ^\ f ^ (-1)" und da ^„, ^n— n ^n positiv sind, so sind alle Zahlen der Reihe (3) grösser als x, alle Zahlen der Reihe (4) kleiner als x. Der Unterschied (5) sinkt mit unendlich wachsendem n unter jede Grenze und ist, da a:„>a„, also QnXn-\- Qn-i> Qn + i ist, dem absoluten Werth nach kleiner als ^n Vn + 1 und um so mehr kleiner als 1 : Qf,. Die Zahlen der Reihe (3) nähern sich also abnehmend, die der Reihe (4) zunehmend der Grenze x. Der Ausdruck (6j giebt ein Maass für den Fehler, den man begeht, wenn man x durch den Näherungsbruch P„ : Q^ ersetzt. §. 128. Aequivalente Zahlen. 413 Die Näherungsbrüche sind also angenäherte Ausdrücke von Irrationalzahlen durch rationale Brüche. Dass diese Näherungsbrüche bei gleichem Grade der An- näherung an die Irrationalzahl x die möglichst einfachen sind, das wird durch folgenden Satz ausgedrückt: VII. Es lässt sich zwischen den zwei rationalen Brüchen J^n -Ln — 1 Qn Qn^l kein anderer rationaler Bruch einschieben, dessen Nenner kleiner als Qn oder auch nur gleich ^„ ist. Angenommen , es liege der rationale Bruch M : N zwischen den Näherungsbrüchen P„ : Qn und P„_i : Qn-i- Dann ist die Differenz Pji -c n — 1 Qn Qn — l absolut grösser und vom selben Vorzeichen wie M Pn-l also ^ ^ \Qn Qn-J^^ ^ \N Qn-J Multiplicirt man beiderseits mit NQn—i, so folgt nach (1) ^ X- ir(ii/(?„_i - ivp„_o, und da rechts eine positive ganze Zahl steht, die also mindestens gleich ] ist, so folgt N > Qn. §. 128. Aequivalente Zahlen, Die Kettenbrüche führen uns auf die Betrachtung einer besonderen Art von linearen Substitutionen, die in der Algebra und Zahlentheorie überhaupt eine grosse Bedeutung haben, und die wir etwas näher betrachten wollen. 414 Elfter Abschnitt. §. 128. Sind X und ij zwei Zahlen oder auch veränderliche Grössen, die in der Abhängigkeit von einander stehen worin a, /3, y, d ganze Zahlen sind, die der Bedingung (2j uö — ßy = e = ±l genügen, so nennen wir x und y mit einander äquivalent/j. Wir nennen sie eigentlich oder uneigentlich äquivalent, je nachdem £ = -[- 1 oder s = — 1 ist. Diese Beziehung ist eine gegenseitige, denn aus (1) folgt (3) X = ^ ^' Wenn zwei Grössen mit einer dritten äquivalent sind, so sind sie auch mit einander äquivalent. Denn ist ^A u'0-^ß' I ? so folgt aus {\) y'^ + ö a!' z -^ ß" y"z-\- d" wenn a" ^ aa' -^ ß y\ ß" = a ß' ^ ß d\ y" = yu! + by\ ö" = y /?' + ö b\ (7) a"ö" — ß"y" = («5 — ßy) («' ö' — ß' y'\ oder (8j _ £" = £ £'. Die Substitution (5) heisst aus (1) und (4) zusammen- gesetzt. Es macht sich das Bedürfniss nach einer abgekürzten Be- zeichnung dieser Substitutionen geltend. Da es häufig nicht auf die Variablen, sondern nur auf die Substitutionszahlen «, /3, y, ö ankommt, so bezeichnet man die ganze Substitution (1) durch die Substitutionszahlen oder auch nur durch einen einfachen Buchstaben ^^0 « = C; 0. ^) Vgl. Dedekind, Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Crelle's Journal, Bd. 83 (1877). §. 128. Aequivalente Zahlen. 4|5 und schreibt dann, wenn es nötbig ist, die Gleichung (1) so: y=S{x) = Q ^j {X). Die Zusammensetzung zweier Substitutionen bezeichnet man durch Nebeneinandersetzen der Zeichen, wobei aber auf die Reihenfolge zu achten ist, also oder (11) SS' = S". Die Formeln (6) enthalten die Vorschrift, nach der eine zusammengesetzte Substitution zu bilden ist. Man kann sie aus der Multiplicationsregel der Determinanten ableiten, muss aber beachten, dass im ersten Factor nacn Zeilen, im zweiten nach Colonnen summirt werden muss, wie eben die Formeln (G) zeigen. Ebenso wie man zwei Substitutionen zusammensetzt, kann man auch die Zusammensetzung von mehreren bilden: O öl U2 '^Z • ' ' Bei der Bildung der zusammengesetzten Substitution dürfen, im Allgemeinen wenigstens, die Componenten nicht vertauscht werden; wohl aber kann man nach Belieben zwei benachbarte zu einer zusammenfassen, dann wieder zwei u. s. f., d. h. es gilt zwar nicht das commutative, wohl aber das associative Gesetz. Dies folgt unmittelbar daraus, dass, wenn x durch x^^ x^ durch Xi, x-i durch x^ ausgedrückt ist, der Ausdruck von x durch x^ entweder dadurch gefunden werden kann, dass man zuerst Xi in X durch x^ und dann x^ durch x-i ausdrückt, oder dass man zuerst x-^ durch x^ ausdrückt und dies in dem Ausdruck von X durch Xi einsetzt. Nach (8) ist eine zusammengesetzte Aequivalenz eine eigent- liche oder uneigentliche, je nachdem sich unter -den Compo- nenten eine gerade oder eine ungerade Zahl von uneigentlichen findet. Wenn man die beiden Substitutionen (12) ("•^Y ( ^'■-'^) 416 Elfter Abschnitt. §. 128. zusammensetzt, so erhält man, gleichviel welche von beiden man an die erste Stelle setzt, 1,0^ (^^) >0. 1 Diese Substitution ist nach (1) gleichbedeutend mit y = x] sie ändert nichts und wird die identische Substitution genannt und wohl auch kurz durch 1 bezeichnet. Demnach nennt man die beiden Substitutionen (12) zu einander reciprok und bezeichnet sie mit oder man setzt \ — £ 7, £ c/J Vy, 0 Durch die Zusammensetzung mit der identischen Substitution (13) bleibt jede andere Substitution ungeändert. ^Yir leiten hieraus sehr einfach den Beweis des Satzes ab: VlII. Alle rationalen Zahlen sind unter einander äquivalent, und zwar sowohl eigentlich als uneigentlich. Sind nämlich m : n und 7n' : n' zwei rationale Brüche und m und n sowohl als m' und n' ohne gemeinsamen Theiler. so können wir, wenn £, e' nach Belieben zt 1 sind, die Zahlen |u, v und ^'. v' nach §. 126 so bestimmen, dass mv — w fi = £. m' v' — n' {i' = b' wird, dass also ^^ '~ w, vj^ "'" — \n\ v' zwei lineare Substitutionen sind. Es ist dann auch 3IM'-^ = (^" l eine lineare Substitution, und »w, ^\ ^ M /5^ /m', ^'^ w, vj \y, dj V n\ v' woraus folgt: 7)1 = um' -f- ßn\ n = ym' -\- Ö n', also a— -f- ß m n ' M=(".':''\. jif '-/»•>' n m' n ' §. 129. Aequivalente Zahlen. 417 was ZU beweisen war. Die Aequivalenz ist eine eigentliche oder eine uneigentliche, je nachdem s = e' oder s = — b' ist. Jede Zahl ist mit ihrer entgegengesetzten und mit ihrer reciproken uneigentlich äquivalent, denn es ist — (-:;:) ^^). ^=C;;)'^)- §. 129. Entwickelung äquivalenter Zahlen in Kettenbrüche. Wenn von zwei äquivalenten Zahlen die eine irrational ist, so ist es die andere auch, und wenn die eine reell ist, so ist es auch die andere. Wir machen diese beiden Annahmen, setzen also in 0) ^=^H «*-'^^=^ X als irrational und reell voraus, und wollen nun untersuchen, wie sich aus der Kettenl)ruchentwickelung von x die Ketten- bruchentwickelung von y herleiten lässt. Es sei also x in einen Kettenbruch mit der Schlusszahl ar,, entwickelt : worin wir n vorläufig unbestimmt lassen. Durch die Näherangsbrüche ausgedrückt, wird (3) ^ = ^-^- + ^"-\ P„ Qn-, - Qn Pn-1 = (" !)"• Wenn wir dies in (1) substituiren, so folgt worin nach §. 128, (10) und (6), (7j i?„ = « p„ -I- ß (^„, Bn-x = « P„-i + /5 (;>„_!, (6) RnSn-l — Sn Rn-l = (— 1 )" £■ Setzt man Sn in die Form Pn ,_^, _.+,), Weber, Algebra. I. 27 418 Elfter Abschnitt. §. 129. SO ergiebt sich, da sich P„ : Qn dem Werthe x bis auf jeden beliebigen Grad annähert und Qn j^ositiv ist, dass, wenn n gross genug gewählt ist, >S„ im Vorzeichen mit {yx -j- d) übereinstimmt. Da x irrational ist, so ist diese Grösse von Null verschieden, und wir wollen sie als positiv voraussetzen. Wäre sie negativ, so hätten wir, um sie positiv zu machen, nur die Vorzeichen der vier Zahlen «, ß, y, Ö gleichzeitig zu andern, wo- durch (1) ungeändert bleibt. Es wird also S» für hinlänglich grosse n positiv sein. Nun folgt aber aus (5) mit Rücksicht auf §. 125, (3): Sn-\-l = ttn Sn -J- Sn — i, woraus man schliesst, dass, wenn n so gross ist, dass >S'„_2 und die folgenden S positiv sind, Sn mit n zugleich wächst, also: (7) Sn > S„_, > 0. Wir entwickeln nun den rationalen Bruch i2„ : Sn in einen endlichen Kettenbruch -D (S) -/^ = (ho- h, bo, . . ., Öm-l), On und bezeichnen den vorletzten Näherungsbruch mit B' : S\ so dass wir die Relation haben: (9) BnS' — SnR' = (-1)'». Nach dem Satze I. in §. 123 können wir aber ni nach Belieben gerade oder ungerade voraussetzen, und wir wollen so darüber verfügen, dass (— 1)'" = (— !)«£ wird. Ausserdem ist, wie wir aus §. 125, IL wissen, no) Sn ^ S' ^ 0, worin aber das Gleichheitszeichen in der unteren Grenze nur für Dt = 1 und in der oberen Grenze nur für m = 2 und b^ = 1, also überhaupt nur, wenn S» = 1 ist, vorkommen kann, und dies kann man nach (7) vermeiden, wenn man n gross genug annimmt. Da aber nach §. 126, III. durch die Bedingungen (9), (10) die Zahlen S', R' völlig bestimmt sind, und ^„-1, Rn—i nach (6), (7) denselben Bedingungen genügen, so folgt O Oji i , Ja, ::= -"»» 1 • §. 130. Quadratische Irrationalzahlen. 419 Hieraus ergiebt sich nun weiter, dass der Kettenbrucli mit der Schlusszahl Xn (11) (&0, &i, ^2, • . ., &W-1, Xn) den Werth hat !^n ^n ~I '^»» — 1 also mit y übereinstimmt. Wenn man nun Xn weiter in einen Kettenbruch entwickelt SO erhält man aus (2) und (11): X = (f<05 ^l5 f'^2i • • •! Cin — 1') ^ni ^*n + l) Öf,j ^ gj • • •) y = (Oq, Ol) 0-2, . . ., &m-l» (f'nt ^n + li dn + i-i ' • ') i oder in Worten ausgesprochen den Satz: IX. Die Kettenbruchentwickelungen zweier äqui- valenter Zahlen stimmen von einem gewissen Theilnenner an mit einander üb er ein. Wir können noch hinzufügen, dass, wenn die Aequivalenz eine eigentliche ist (£ = -|- 1), die Zahl der den überein- stimmenden vorangehenden Theilnenner in beiden gerade, oder in beiden ungerade ist, und dass, wenn die Aequivalenz un- «'igentlich ist, diese Zahl in der einen gerade, in der anderen ungerade ist. Dass der Satz auch umgekehrt gilt, ist leicht einzusehen. Denn wenn zwei Kettenbrüche von einem gewissen Theilnenner an übereinstimmen, so können sie so geschrieben werden, dass sie dieselbe Schlusszahl haben. Nun ist der Werth eines Ketten- l)ruches aber immer äquivalent mit jeder seiner Schlusszahlen [§. 125, (2)]; also sind auch zwei Kettenbrüche mit gleicher Schlusszahl unter einander äquivalent. §. 130. Quadratische Irrationalzahlen. Einfache und schöne Gesetze ergeben sich, wenn man die Kettenbruchentwickelung auf die Bestimmung der Wurzeln einer «luadratischen Gleichung anwendet. Die Wurzel einer ganz- zahligen quadratischen Gleichung hat die Form (1) (o = x-{-y Vd, 27* 420 Elfter Abschuitt. .§. 130. worin x^ y, d ganze oder gebrochene rationale Zahlen sind. Wir können aber, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, d als ganze Zahl und ohne quadratischen Theiler voraussetzen; denn wenn d einen Nenner hat, so können wir mit diesem Nenner erweitern und können die Wurzel aus dem quadratischen Nenner und aus einem etwaigen quadratischen Theiler des Zählers zu y rechnen; wir nehmen dann weiter an, dass d nicht gleich 1 ist, da sonst o rational wäre; d kann positiv oder negativ sein, und davon hängt es ab, ob cj reell oder imaginär ist. Wir wollen das Vorzeichen der Quadratwurzel Vd eindeutig bestimmen, was etwa dadurch geschehen kann, dass man bei positiven d auch Vd^ und wenn d negativ ist. — i Vd positiv an- nimmt oder, anders ausgedrückt, dass man Vd positiv reell oder positiv imaginär annimmt. Aendern wir das Vorzeichen der W^irzel, so erhalten wir (2) oV = X — y \Ul, was die zu a conjugirte Zahl genannt wird. Sie entsteht auch aus w durch Aenderung des Vorzeichens von y. Das Pro- duct der beiden Zahlen ca, w' 03 G}' = x^ — y^d heisst die Norm von « (oder auch von oj'j. Die Norm eines Productes zweier quadratischer Irrationalzahlen ist gleich dem Product der Normen. Die Norm einer imaginären Zahl o) ist immer positiv. Bei reellen quadratischen Irrationalzahlen kann die Norm positiv oder negativ sein. Die Zahlen to und oj' sind die Wurzeln einer Gleichung mit rationalen Coefficienten : (3) 0}^ — 1 X a -\- (x^ — ^2 cl) = 0. Um sie in eine ganzzahlige Gleichung zu verwandeln, setzen wir (4) a:^.^y^d = -j, 2a; = -, worin* öS, &, c ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, und erhalten aus (3) (5) c a^ = a -{- bo), also eine ganzzahlige primitive Gleichung. §. 130. Quadratische Irrationalzahlen. 421 Die Zahlen a, 6, c sind durch (4) nur bis auf ein gemein- sames Vorzeichen bestimmt. Die Discriminante von (3) ist (6) * D = &2 _^ 4 a c = 4 c^ >/2 fZ, und soll auch die Discriminante der Irrationalzahl a heissen. D ist also eine ganze Zahl, die im Vorzeichen mit d übereinstimmt und die durch d theilbar ist; denn ist p ein Prim- theiler von cZ, der also in d nach Voraussetzung nur einmal auf- geht, so kann ^ nicht im Nenner von Icy aufgehen und muss also nach (6) in D aufgehen. Also ist auch Icij eine ganze Zahl und der Quotient D : d ist eine Quadratzahl. Um die Vorzeichen von a, &, c zu bestimmen , wollen wir festsetzen , dass die ganze von Null verschiedene Zahl 2cy positiv sein soll, dass also c und y im Vorzeichen überein- stimmen. Wenn wir nun V5= 2cyVd setzen, also VD ebenso wie Vd positiv reell oder positiv imaginär annehmen, so ergiebt sich nach (4) und (6) (7) " = -^^' "= "2^^ ' oder, was dasselbe ist /o. 2a , —2a Vi) — h VB-\-h Es ist daher nicht nur das Zahlensystem a, J,c durch (o eindeutig bestimmt, sondern auch umgekehrt to durch a, &, c. Setzen wir, um diese Zugehörigkeit auszudrücken (9 j w = [ «, 6, c } , so ist die conjugirte Zahl w' zu bezeichnen durch (10) «'= j_a, _&, _c}. Da eine gerade Quadratzahl durch 4 theilbar ist, eine ungerade, durch 4 getheilt, den Rest 1 lässt, so ergiebt sich aus (6), dass (11) D = 0 oder = 1 (mod 4) sein muss. Wir wollen noch untersuchen, wie sich die Zahlen a, &, c, D ändern, wenn wir von « zu einer äquivalenten Zahl o^ über- gehen. Es sei also 422 Elfter Abschnitt. §. 130. (12) Ol = =P-^, 03 = '- r^-, ad — ßf = s. Setzen wir _ _ a = X -{- tj Vd, (01=^1+ ?/i Yd, so folgt, wenn man in (12) den Nenner rational macht. ^^^^ y^ "^ y2(x-^ — y^d)-{- 2ydx-^d^' _ ay(x^ - yUl) + {a8 J^ ßr)x-\- ßb ^^^^ ^' ~ y^{x^ — yUT)-^2y8x -^8^- und wenn co^ der quadratischen Gleichung (15) c, öf = a, -j- ?>i toi genügt, nach (12) und (5): 6i _ —1aay-^h{a8-^ßy)-\-2cßb c7 ~ —ay^--\-hy8-{-c8'i ' Ci — «yä _|_ jyö + CÖ2' ferner nach (4j und (13): £yc:= (— « y2 _|_ 5 y ö -f- c 62) ?/i. Wir setzen hiernach — sa^ = — aa^ -\- haß -\- cß-, (16) ah,=—2aay^h(u8-{-ßy)^2cß8, £ Ci = — ay- -\- hy8 -\- c8-, und folglich (17) ?/ß = 2/iCi, so dass 2/i Ci positiv ist. Aus (16) ergiebt sich durch Auflösung sa = rtiö2 -\-hiß8 — Ci/32, (18) £b = 2a^y8 -]-hi(a8 -}- ßy) — 2c,aß, — s c ^= ciiy^ -\- b^uy — Cj «2, woraus zu schliessen ist, dass die durch (18) bestimmten Zahlen «1, 61, Ci keinen gemeinsamen Theiler haben. Ferner ergiebt sich noch durch einfache Rechnung, oder auch nach dem Multipli- cationssatze der Determinanten (19) &2 _|_ 4 tt c = &f 4- 4 «1 Ci = D. Aus (17) und (18) schliessen wir. dass die Zahlen «i, hi. c^ dieselbe Bedeutung für oy^ haben, wie a, h. c für oj. und dass daher §. 131. Reducirte Zahlen. 423 CJi 2q = !«i, &i, c,} (20) zu setzen ist. Durch (19) ist dann der Satz bewiesen: Aequivalente Irrationalzahlen haben nicht nur dieselbe Irrationalität, sondern auch dieselbe Dis- criminante. §. 131. Reducirte Zahlen mit negativer Discriminante. Die bisherigen Betrachtungen sind gleichmässig auf die beiden Fälle der reellen und imaginären quadratischen Irrationalzahlen, also auf positive und negative Discriminanten anwendbar. Jetzt Fig. 26. aber müssen beide Fälle von ein- ander getrennt werden, und wir beginnen mit den negativen Dis- criminanten. Es handelt sich also um imaginäre Zahlen: (1) a = x-^yVd = ^-\-if}, worin | und r} reell sind; es ge- nügt, von den beiden conjugirten Zahlen ^ -\- irj, | — ir] die eine zu betrachten. Wir nehmen also rj positiv an und setzen folgende Definition fest: Eine complexe Zahl a = ^ -\- irj heisst bei positivem 7} reducirt, wenn (2) -l^^^h t' + n'^i- Betrachtet man |, rj als rechtwinklige Coordinaten in einer Ebene, so wird jede Zahl a durch einen Punkt dieser Ebene veranschaulicht, und die Lage der Punkte, die den reducirten Zahlen entsprechen, wird durch das in der Fig. 26 schraffirte Feld (mit Einschluss der Grenzen), das wir das Grundfeld nennen, veranschaulicht. Aus den Bedingungen (2) folgt dann noch, was auch in der Figur leicht zu bestätigen ist, (3) V' ^ !• Geht man nun von einer Zahl a zu einer äquivalenten Zahl oji über, so ergiebt die Formel (12) des vorigen Paragraphen 424- Elfter Abschnitt. §. 131. und diese Formel zeigt, dass t]^ dasselbe oder das entgegen- gesetzte Zeichen wie rj hat, je nachdem £ = -|- 1 oder = — 1 ist, also je nachdem die Aequivalenz eine eigentliche oder eine uneigentliche ist. Beschränken wir uns also auf Zahlen mit positiv imaginärem Bestandtheile, so kommt nur die eigentliche Aequivalenz in Betracht, und wir beweisen jetzt den Fundamentalsatz: 1. Jede imaginäre quadratische Irrationalzahl X -f- yVd mit positiv imaginärem Bestandtheil ist mit einer reducirten Zahl äquivalent. Verstehen wir unter « die dem ^ nächstgelegene ganze Zahl, so wird 09 — a der ersten der Bedingungen (2) genügen, dass nämlich — i^l — ^ ^ l i^^- Wenn nun (5) r2 = (I — a)2 -{- ri^ = {a — a) {co' — a) grösser oder gleich 1 ist, so ist co — a, was mit C3 äquivalent ist, bereits reducirt; anderenfalls setzen wir, indem wir eine Ketten- bruchentwickelung anwenden, (6) 09 = « , so dass auch Wi = |i -f- «^i mit 09 äquivalent ist. Die Zahl 09^ behandeln wir nun wieder ebenso wie 09, indem wir, wenn 09^ — oc^ noch nicht reducirt ist, (7) 09, = «, - 1 setzen u. s. f. Betrachten wir die Reihe der nach Analogie von (5) gebildeten Grössen r^- = a, - a,y + 7],^ r:- = {^, - u,y + 7],\ . . ., so kommt es also jetzt nur darauf an, nachzuweisen, dass wir nach einer endlichen Zahl von Schritten dieser Art zu einem r| kommen, das gleich oder grösser als 1 ist. Nach (6) ist aber r-i = ('09 — a) (a' — u) = , .,, k + Vi und danach ergiebt die Vergleichung der imaginären Theile auf beiden Seiten von (6j: §. 131. Iieducirte Zahlen. 425 Ebenso folgt die Reihe der Gleichungen (8) Y] = r^Yji, ^, ==rfj?2, y]2 = r^V3, ■ - ' Nun ist aber irj = yVd, und also nach der Formel (6), ^. 130 2c und weil hier )j positiv ist, so ist c eine positive ganze Zahl. Weil aber äquivalente Zahlen dieselbe Discriminante haben, so folgt ebenso: _ _ Vd Vd worin c, Ci, Ca, . . . eine Reihe positiver ganzer Zahlen ist. Danach erhält man aus (8): (9_) Ci = >*- c, c-2 =^ »"j" Ci , C;) =^ r, C21 ... So lange aber die Zahlen r^, rf, . . ., r'i kleiner als 1 sind, folgt hieraus (10) C > Ci > Ca . . . > Cv + i, und weil es nur eine endliche Anzahl positiver Zahlen geben kann, die kleiner als c sind, so muss diese Reihe abbrechen, womit unser Satz 1. bewiesen ist. Die reducirten Zahlen, deren Bilder an der Begrenzung des Grundfeldes liegen, sind paarweise äquivalent, nämlich a) 03 = — 7 + ^>? und coj^ = co-\-l=^-\-irj {a und a' in der Figur), b) a = — ^ -\- 17] und a^ = = ^ -\- irj^ o wenn ^'- -\- rj'^ = l ist (b und b' in der Figur), Es gilt aber ferner der Satz: 2. Von den Fällen a), b) abgesehen, sind keine zwei reducirte Zahlen äquivalent. Nehmen wir nämlich zwei nicht identische reducirte Zahlen an, (11) (o = ^ -{- r]i, «1 = ^1 + T^i i, und setzen voraus, was die Allgemeinheit nicht beeinträchtigt, (12) rj, ^ »j, so folgt aus der Formel (4j : 7] also wegen (12): (U) (y| + dj2-f j;2^2^ 1, 426 Elfter Abschnitt. §. 131. also auch, nach (3): also sind zwei Möglichkeiten : a) 7 = 0, ß) r=--±i. Im Falle a) ist «d = 1, also a == ö = + 1, aus (13) er- giebt sich rji = rj, ferner aus (4): li = I ± ß- Dies ist aber nur dann mit den Bedingungen (2) verträglich, wenn entweder |i := |, ß = 0. und also co^ mit cj identisch ist. oder wenn /3 = + 1 und ^i = — I = i t, ist, also in dem Falle aj. Im Falle ß) ist nach (14) (| + d)- ^ 1, und also entweder: d := 0, ßy = — 1 und ^- -)- ?j2 = 1, t^i = t;, ferner nach (4) li = + « — I , also , da 1^ ^= | ausgeschlossen ist , li = — |, « = 0, das ist der Ausnahmefall b), oder: ö= + 1, also (| + 1)2 _|- 7/2 ^ i^ und folglich nach (3) (I ± 1)2 ^ 1 Weil aber f| ± 1) nach (2) dem absoluten Werth nach mindestens gleich j sein muss, so folgt hieraus I = ~ I, 7]^ ^: |; mithin nach (13) t]^ = yj''^ z= ^^ und nach (2) 1^- ^= i, I, = + i, was sowohl unter dem Fall a) als unter dem Fall b) enthalten ist. Hiermit ist also der Satz 2. bewiesen. Dem fügen wir nun noch als dritten Satz hinzu: 3. Zu einer gegebenen negativen Discriminante D giebt es nur eine endliche Anzahl reducirter Irrationalzahlen. Aus der Darstellung der Irrationalzahlen §. 130, (7): " = — 2T-' ^ = 2^' ^' = -YT und aus der Ungleichung (3) yf '^\ folgt oder -I) 3 ' also giebt es, wenn D gegeben ist, nur eine endliche Zahl von Werthen der positiven ganzen Zahl c. Ferner folgt aus — i < ^ co ist, da dann (Oj negativ ist, oder wenn « -^ 1 < co ist, da dann o^ kleiner als 1 ist. Setzt man (8) in die Form <9) - :^ = « + ^ Oll ' 1 ta so ist, da — 1 : co' und — \ : co\ zugleich mit a und a^^ redu- cirt sind, u die grösste in — 1 : co\ enthaltene ganze Zahl, und a' ist nach (9) durch coi, also auch co durch a^ völlig bestimmt. Hieraus folgt: 3. Entwickelt man eine reducirte Zahl co in einen Kettenbruch, so sind alle Schlusszahlen co„ wieder reducirte Zahlen, und durch eine dieser Schluss- zahlen co„ ist sowohl die folgende co„ + i als die vorangehende co„_i vollkommen bestimmt. §. 133. Entwickelung reeller quadratischer Irrationalzahlen in Kettenbrüche. 4. Für eine gegebene Discriminante giebt es nur eine endliche Anzahl reducirter Zahlen. Die Richtigkeit dieses Satzes sieht man leicht ein, wenn man nach §. 130 die Irrationalzahl co in die Form setzt: 430 Elfter Abschnitt. )?. 133. (1) „ = _^t^=__^, D = h-^iac. Die coiijugirte Zahl ist , b-VB -2a (2) CO = 2c b-^VD Soll 03 reducirt sein, so ist (3) o 2c , , , <^> " = —2^- = W^b = '"' ''' "'• weil y und c hier positiv sind. Aus §. 132, 3. und §. 133, 4. or- giebt sich nun der folgende wichtige Satz: 5. Die Kettenbruchentwickelung einer reducirten Zahl (o ist periodisch, d. h. wenn w in einen Kettenbruch (9) CO = («0, «1, «2, . . .) entwickelt wird, so kehren immer nach einer bestimmten Anzahl von Theilnennern dieselben Theilnenner in derselben Reihenfolge wieder, also, wenn die Periode aus v Gliedern besteht, so ist Kq = Cf,. = 0C2v ... W^ == «, .j. 1 = «2'-f 1 • • • und es genügt also, den ganzen Kettenbruch durch die Periode zu bezeichnen, etwa so: (10) 03 = [«0, «1, . . ., «.-l]. Dieser Satz ist offenbar gleichbedeutend damit, dass die Schlusszahl gj^ des Kettenbruches (9) mit a selbst identisch ist, und darin liegt auch der Beweis der Behauptung. Denn die Schlusszahlen oj,. gehilren als äquivalente Zahlen alle zur selben Discriminante , und daher ist nach 4. die Zahl aller möglichen Schlusszahlen nur eine endliche. In der Reihe der Schlusszahlen w, Mj, 02 . • . muss daher einmal eine schon dagewesene zum zweitenmal auftreten. Ist «,. die erste, die zum zweitenmal auf- tritt, so muss CO, = w sein, da sonst nach §. 132, 3. auch cl),._i zum zweitenmal auftreten würde. Es lassen sich also die sämmtlichen, zu einer Discriminante gehörigen reducirten Zahlen in Perioden anordnen: (11) W, Wi, «2, . . ., «.-1, so dass, wenn Kq, W], W2, . . ., w,. — 1 die grössten darin enthaltenen ganzen Zahlen sind, OJ = [«,„ «1, . . ., «v-il «1 = I«], «2, • • •, «.-1, «oJ 432 Elfter Abschnitt. §. 133. ist, womit die Kettenbruchentwickelung für jede von diesen Zahlen gegeben ist. Ist durch eine Periode das ganze System der zur Discri- minante D gehörigen reducirten Zahlen noch nicht erschöpft, so bildet man eine zweite Periode u. s. f. Da durch eine Zahl oj sowohl die in der Periode vorhergehende, wie die nachfolgende völlig bestimmt ist, so enthalten zwei verschiedene Perioden nie- mals eine gemeinschaftliche Zahl. Von diesen Perioden gilt nun der Satz: 6. Reducirte Zahlen aus derselben Periode sind äquivalent, aus verschiedenen Perioden sind nicht äquivalent. Der erste Theil der Behauptung ist von vornherein klar, da reducirte Zahlen derselben Periode Schlusszahlen von einander sind; der zweite Theil ist durch den Satz §. 129. IX. bewiesen, dass äquivalente Zahlen, bei hinlänglich weit fortgesetzter Ketten- bruchentwickelung, schliesslich dieselben Schlusszahlen bekommen. Sind also beide Kettenbrüche periodisch, so müssen sie derselben Periode angehören. Hat man für eine gegebene Discriminante D nach den am Anfang des Paragraphen gegebenen Vorschriften das vollständige System der reducirten Zahlen entwickelt, so ist es leicht, diese Zahlen in Perioden zu ordnen und die Theilnenner « des Ketten- bruches zu finden. Es sei nämlich VB^h 2« (12) CO = -^- — = -j= eine von diesen Zahlen, (13) - _V5+^_ 2«, CO 2c, VD — I, die ihr in der Periode unmittelbar folgende Zahl, so dass (14) « = « 1 1 «1 03, ^ CD « ist, wenn « die grösste in « enthaltene ganze Zahl bedeutet. Nach (12) und (14j ist dann 2c CO 1 — 1 /^Fi I -I ^ ' Vi) _|_ J _ 2 c a und die Vergleichuug mit (13) giebt (15) tti = c, 6i = 2 ca — h. §. 133. Periodische Kettenbrüche. 433 Wenn umgekehrt zwei der zu D gehörigen reducirten Zahlen {a, &, c], {tti, Ji, Cij, in der durch (15) dargestellten Beziehung stehen, worin « irgend eine ganze Zahl ist, so folgt die zweite der ersten in der Periode unmittelbar nach. Denn aus (15) folgt (14), und daher muss « nach 2. die grösste in co enthaltene Zahl sein. Die Zahl ca^ ist also aus a durch die Bedingungen (15) vollständig und eindeutig bestimmt. 7. Man ordnet also die Zahlen ja, 6, cj, von einer beliebigen unter ihnen ausgehend, von links nach rechts in der "Weise, dass die letzte Zahl c der vorangehenden zugleich die erste Zahl a^ der folgenden wird, und dass die Summe der beiden mittleren Zahlen h -\- \ durch 2 c theilbar ist. Diese Anordnung ist nur auf eine Art möglich, und der Quotient 6 -f- ^i • 2c ist die Zahl a, die als Theilnenner im Kettenbrucli auftritt. Betrachten wir nun irgend eine primitive ganzzahlige qua- dratische Gleichung (16) A ^ BSl -f CSl^ = 0, in der A^ JB, C ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, die der Bedingung B^ - 4.AC = B genügen, so sind die beiden Wurzeln ß, PJ dieser Gleichung quadratische, zur Discriminante B gehörige Irrationalzahlen, und wenn wir sie in Kettenbrüche entwickeln, so werden wir nach §. 132 endlich auf Schlusszahlen «j, «2 kommen, die zu den reducirten gehören, und die also in den oben besprochenen Perioden enthalten sein müssen. Es ist noch festzustellen, ob diese Schlusszahlen ojj, «2 in derselben oder in verschiedenen Perioden enthalten sind. Nach 6. sind sie dann und nur dann in derselben Periode enthalten, wenn Sl und Sl' mit einander äquivalent sind. Nennen wir solche quadratische Irrationalzahlen, die mit ihren conju- girten äquivalent sind, zweiseitige Zahlen i), so können wir also sagen, dass die Kettenbruchentwickelung der Wurzeln der *) „Zweiseitig" brauchen wir nach Üedekind's Vorschlag statt des Gauss'schen anceps oder des sonst üblichen ambig: Dirichlet-Dede- kind, Vorlesungen über Zahlentheorie. 4. Auflage, 1894, S. 139. Weber, Algebra. I. 28 434 Elfter Abschnitt. §. 133. Gleichung (16) zu einer oder zu zwei verschiedenen Perioden führt, je nachdem die Wurzeln zweiseitig sind oder nicht. Welcher von beiden Fällen eintritt, kann man an der Periode selbst erkennen. Wenn nämlich co eine reducirte Zahl ist, und co' conjugirt zu oj, so ist auch — 1 : ö' reducirt (§. 132); und wenn Sl äqui- valent ist mit 03. so ist Si' äquivalent mit oj', also auch mit — 1 : oj'. Ist (o = [a, b, c], so ist nach (12): — — = [c, b a\. Oj Nach §. 132, (9) schliesst sich also — 1 : w' ebenso an — 1:«; an, wie «i an oj. Ist daher die Periode von a W, OJj, 039, • . •, Mv 1, SO ist die Periode von — 1 : w': — 1 — 1 — 1 — 1 a»',_i' a3v_o wi ' a' Ist die Periode der Kettenbruchentwickelung von co (17 j [«0, «1, . . ., «v-i], so ist sie für — 1 : o?': (18) [«.-1, M,._2, • . ., «o], also die umgekehrte. Ist nun CO mit co', also auch mit — l: co' äquivalent, so müssen nach 6. diese beiden Perioden mit einander übereinstimmen, wenn man bei einem geeigneten Gliede beginnt, oder die Periode von CO muss umkehrbar sein. Das besagt: Es müssen sich in der Kettenbruchentwickelung für CO zwei Elemente so auswählen lassen, dass die Entwickelung gleich lautet, wenn man sie von der einen dieser Zahlen nach links oder von der anderen nach rechts fortschreitend liest. In Zeichen: es muss für irgend ein passend bestimmtes Je und für i = 0, 1, 2, . . ., i' — 1 sein. Wenn die Periode umkehrbar ist, so ist auch umgekehrt (nach 6.) co mit — 1 : co', also auch mit co' äquivalent. Daraus also das Resultat: 8. Zweiseitige Zahlen haben in ihrer Kettenbruch- entwickelung eine umkehrbare Periode und um- §. 134. Beispiele. 435 gekehrt sind Zahlen, die in der Kettenbruch- entwickelung eine umkehrbare Periode haben, zweiseitig. Schliesslich wollen wir noch bemerken, dass durch die Eigen- schaft, in einen periodischen Kettenbruch entwickelbar zu sein, die reellen quadratischen Irrationalzahlen von allen anderen Zahlen unterschieden sind. Denn ist o? eine in einen Ketten- bruch entwickelte Zahl, und sind co„, co,^ zwei Schlusszahlen dieses Kettenbruches, so ist -t „ COn -\- P„_i Pm (^m ~r ^m — 1 Qn^n -\- Qn — 1 Qm^im "T~ Qm — l Wenn nun der Kettenbruch periodisch ist, gleichviel, ob die Periodicität gleich von Anfang beginnt oder erst im Verlaufe der Entwickelung , so ist, für zwei verschiedene Werthe von n und m, COn = «m , und man erhält also durch Elimination von (o„ eine quadratische Gleichung für w, die man in die Form setzen kann: Pn — O Qn, P„-i — « ^n-1 ' Pm — tO Qm, P„j _ 1 — CO Q„i _ 1 = 0. §. 134. Beispiele. Wir wollen einige Beispiele für die Bestimmung der redu- cirten Zahlen und Perioden hier durchführen, um die Anwendung der Methode zu zeigen ; die Beispiele lassen sich natürlich ganz nach Belieben vermehren. 1. Z) = 29. Wir bestimmen zunächst nach §. 133 die sämmtlichen zu D gehörigen reducirten Zahlen. Die grösste in VJJ enthaltene ganze Zahl A ist hier = 5 ; also kann b nur die Werthe haben : & = 1, 3, 5, woraus ac = ' = /, !), 1. 4 Die Grenzen, in denen a und c liegen müssen, sind nach §. 133, (7) für die drei Werthe von b: 3, 3; 2, 4; 1, 5. Man erhält also nur die einzige reducirte Zald: {1, 5, IJ. 28* 436 Elfter Abschnitt. §. 134. Die Periode Ijestelit aus einem einzigen Gliede, und der Kettenbruch für ca ist: 5 +V29 .... , 0} = = (^0, 5, 5 . . .). 2. D = 116 = 4. 29. Hier ist A = 10 und b bat einen der Werthe 6 = 2, 4, 6, 8, 10, also ac = 28, 25, 20. 13, 4; die Grenzen für a und c sind i 5, G; 4, 7; 3, 8; 2, 9; 1, 10, also, da die Fälle, in denen a, h, c den gemeinschaftlichen Factor 2 haben, noch wegzulassen sind, ergeben sich die reducirten Zahlen : {5, 4, 5}, {4, 6, 5), [5, 6, 4), {1, 10, 4J, ' (4, 10, 1), die sich so in eine Periode ordnen, wobei das erste Glied am Ende noch einmal zugesetzt ist: {4, 10, 1}, {1, 10, 4}, {4, 6, 5j, (5, 4, 5}, (5, 6, 4{, (4, 10, 1}, und für oj ergiebt sich die Kettenbruchperiode : 5 + V29 = [10, 2, 1, 1, 2]. 3. D = 76 = 4. 19, A = 8, & = 2, 4, 6, 8, ac = 18, 15, 10, 3. Grenzen für a und c: 4, 5; 3, 6; 2, 7; 1, 8; also sind die reducirten Zahlen: {3, 4, 5j, {5, 4, 3J, {2, 6, 5}, {5. 6, 2j, {1, 8, 3}, {3, 8, 1}. Wir erhalten eine Periode: {3, 8, 1}, {1, 8, 3}, {3, 4, 5j, {5, 6, 2|, {2, 6, 5}, j5, 4, 3j, {3, 8, 1|, und die Periode des Kettenbruches für 4 -|-Vl9 wird [8, 2, 1, 3, 1, 2]. 4. D = 37, A = 6, 6 = 1, 3, 5, ac = 9, 7, 3; Grenzen für a, c: 3, 3; 2, 4; 1, 5; §. 134. Beispiele. 437 reducirte Zahlen: Periode: {3, 5, 1}, {1, 5, 3}, {3, 1, 3}, 13, 5, IJ ; Kettenbruch: 5 4-V37 ^, ^ .. In allen diesen Fällen sind die Perioden umkehrbar. 5. D = U8 = 4. 37, A = 12, ?> = 2, 4, 6, 8, 10, 12, ac = 36, 33, 28, 21, 12, 1; Grenzen für a, c: 6, 7; 5, 8; 4, 9; 3, 10; 2. 11; 1, 12; reducirte Zahlen: {4, 6, 7}, {7, 6, 4}, {3, 8, 7}, (7, 8, 3} {3, 10, 4j, {4, 10, 3}, {1, 12, 1|. Hier erhalten wir drei Perioden von 1, 3 und 3 Gliedern: {1, 12, 1}, |1, 12, Ij, {3, 10, 4}, {4, 6, 7}, {7, 8, 3}, [3, 10, 4}, {4, 10, 3}, {3, 8, 7}, {7, 6, 4}, {4, 10, 3} und die Kettenbruchperioden [12], [2, 1, 3], [3, 1, 2]; von diesen ist die erste umkehrbar, die anderen beiden gehen durch Umkehrung in einander über. 6. D = 136 = 4. 34, k = 11, h = 2, 4, 6, 8, 10, ac = 33, 30, 25, 18, 9; Grenzen für a, c: 5. 6; 4, 7; 3, 8; 2, 9; 1, 10; reducirte Zahlen: {5, 4, 6j, [6, 4, 5}, [5, 6, .5}, [2, S, 9{, {9, 8, 2j {3,8,6}, (6, 8, 3J, {1,10,9}, {9,10,1}, {3,10,3}; Perioden: {5, 4, 6}, {6, 8, 3}, {3, 10, 3}, [3, 8, 6}, {6, 4, 5), {5, 6, 5}, (5, 4, 6}; {9, 10, 1}, {1, 10, 9}, |9, 8, 2), {2, 8, 9}, {9, 10, 1}; Kettenbruchperioden: [1, 3, 3. 1, 1, 1], [10, 1, 4, 1]. Wir haben also hier zwei verschiedene Perioden, die beide umkehrbar sind. 438 Elfter Abschnitt. §. 135. §. 135. Die PelTsche Gleichung. Ist o eine zu der positiven Discriminante D gehörige redu- cirte Zahl, so erhält man durch die Kettenbruchentwickelung : Pn tön -\- Pn — 1 (O und es ist «„ := oj immer dann, wenn n ein Vielfaches von der Gliederzahl v der Periode ist. Dann aber folgt aus (1): (2) QnOr^ = (Pn - Qn-l)C0 + Pn-,- Es genüge nun co der quadratischen Gleichung §. 130, (5): (3) c a^' = a -^ b CO, D = b^ -\- Aac, und aus dieser muss, da a, b, c ohne gemeinsamen Theiler sind, die Gleichung (2) durch Multiplication mit einer ganzen Zahl folgen. Bezeichnen wir diese ganze Zahl mit w, so ist also (4) Qn = UC, P„_i = Ma, Pn ^„_i = l*6. Setzen wir noch (5) Pn + Qn-1 = t, so folgt: (6) T> _ n _ t — üb 1 n — \ U Cl. {^„ — 1 2 Nach §. 12.5, (11) ist Pn Qn — 1 QnPn — 1 ^^ ( 1/ i und daraus: (7) P — Du^ = (— 1)"4. Die Gleichung (7) heisst die Pell' sehe Gleichung. Die Aufgabe ist die, für ein gegebenes D alle ihre ganzzahligen Lösungen t, u zu finden. Da, wenn t, u der Gleichung genügen, auch ±t, +u ihr genügen, so können wir uns auf die Ermitte- lung ihrer positiven Lösungen beschränken. Die Formeln (4), (5) geben uns eine unendliche Zahl solcher Lösungen; wir haben nur für n ein beliebiges Vielfaches der Periodenzahl v zu wählen, für u den grössten gemeinschaftlichen Theiler von Q^ Pn—i^ Pn — Qn—ii oder auch einfach die Zahl ^„ : c zu setzen, und t aus (5) oder auch, nachdem u bestimmt ist, direct aus (7) zu ermitteln. §. 135. Die Pell'sche Gleichung. 439 Ist V ungerade, und n ein ungerades Vielfaches von v^ so ist (8) f^ — Du'- = — 4, ist aber v gerade, oder n ein gerades Vielfaches von v, so ist (9) P — B t(2 = 4. Die Gleichung (9) hat die selbstverständliche Lösung f ^= dz 2, M = 0 ; in allen anderen Lösungen von (8) oder (9) sind t und u von Null verschieden und wir betrachten hier nur die positiven Lösungen. Wir wollen nun nachweisen, dass man aus einer beliebigen Gleichung von der Form (3) durch die Formeln (4), (5) alle Lösungen von (8) und (9) erhält. Nehmen wir also an, es sei ^, u irgend eine positive Lösung der Gleichung (8) oder (9), und o ^ {a, J, c{ eine zur Discri- minante D gehörige reducirte irrationale Zahl. Wir bestimmen durch die Gleichungen (6) P„, ^„, P„_i. Qn—i-, die offenbar ganze Zahlen werden, da t und u h entweder beide gerade oder beide ungerade sind. Aus der Gleichung (3j. der g> genügt, ergiebt sich dann (2), woraus wieder auf zu schliessen ist; und aus (8) oder (9j ergiebt sich (11) PnQn-, — QnPn-^=T 1, worin, wie auch in den folgenden Formeln, das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem t, u die Gleichung (8) oder (9) befriedigt. Nun folgt aber aus (6) 0 0- ('^c-{-h)u-t Yn Vn — 1 — 0 1 und weil (a, &, c\ eine reducirte Zahl ist, so ist 2c -f- 6 > Vi) [§. 133, (4)], also 0—0 -> ^^^ — * _ ^' B — f^ _ + 2 da aber u und t positive ganze Zahlen sind und D > 1 , so ist uVD -{- t > 2; also Qn — Q„-i > 0 für das obere und > — 1 für das untere Zeichen. Weil nun Qn — Qn—i eine ganze Zahl sein muss, so ist sie hiernach gleich oder grösser als Null, und wir haben Qn-l ^ Qn, wo das Gleichheitszeichen nur im Falle des unteren Zeichens, also im Falle der Gleichung (9) möglich ist. 440 Elfter Abschnitt. §. 135. Ferner ist (da nach §. 133, (i) b < VD ist) n _t — ah t — uVD P — u'-B =f= 2 Yn— 1 K > 2 2 2(t^uVD) t-^uVn' also Qn-i Null oder positiv, und Null kann nur im Falle des oberen Zeichens, also im Falle der Gleichung (8) auftreten. Daraus schliessen wir (12) 0 < Qn-l ^ Ui an, so ist m^ — u( = {u — u{){u-[-Ui) ^. 2, und da J) ^ 0 oder ^ 1 (mod 4) und kein Quadrat ist (§. 130), so ist D mindestens = 5. Nach (13) ist daher auch t > ij, und wir schliessen, dass, wenn u wächst, auch t wachsen muss, dass also, wenn u einen möglichst kleinen positiven Werth hat, auch t möglichst klein ist. Man kann also von einer kleinsten positiven Lösung reden, die wir mit T, U bezeichnen wollen. Man erhält sie, wenn man in den Formeln (4), (5) n möglichst klein, also gleich der Gliederzahl v der Periode setzt. Ist daher v gerade, so ist nur die Gleichung (9), nicht die Gleichung (8) lösbar; ist aber v ungerade, so ist sowohl (8) als (!)) lösbar. Da dies nur von der Discriminante Z), nicht von der besonderen Zahl « abhängen kann, so folgt: 9. dass bei einer Discrimininante die verschiedenen Perioden entweder alle eine gerade oder alle eine ungerade Gliederzahl enthalten. Ist Z) gerade, also durch 4 theilbar, so muss auch t gerade sein, und die Gleichung (7) lässt sich Glied für Glied durch 4 theilen. Ist D ungerade, so sind auch t, u entweder beide gerade oder beide ungerade; sind sie beide ungerade, so sind ihre Qua- drate, wie alle ungeraden Quadratzahlen, nach dem Modul 8 mit 1 congruent, also muss D ^ b (mod 8) sein. Aber es ist nicht immer möglich, wenn D ^ b (mod 8) ist, die Gleichung (7) durch ungerade Zahlen zu lösen i). Ist D ^ 1 (mod 8) , so müssen t, u gerade sein. Die Beispiele des §. 1 34 geben , auf diese Weise behandelt, die folgenden kleinsten positiven Lösungen der Pell' sehen Gleichung, wobei der Factor 4, wo es möglich ist, weggehoben ist. 52 _ 29,12 = — 4 702 — 29.132 = — 1 1702 _ i9 3()2_ 1 62 — 37.12 ^ _ 1 3.52 — 34.62 = 1, ^) Vergl. Cayley, Note zur l'equation x"^ — Dy^=.±4:, D = 5 (mod 8)> Crelle's .Journal, Bd. 53. Mathematical papers, Vol. IV. Tafeln für die Lösungen der Pell' sehen Gleichung in der P'orm y'^ = a x^ -|- 1 hat Degen berechnet (Canon Pellianus, Havniae 1817). Auch in Legendre's Zahlentheorie (deutsch von Maser) findet sich eine solche Tafel. 442 Elfter Abschnitt. §. 136. §. 130. Ableitung aller Lösungen der PelTschen Gleichung aus der kleinsten positiven. Ist t, u irgend eine Lösung der PelTschen Gleichung, so ist der Ausdruck P — Du'- 4 ' der den Werth + 1 hat. die Norm der beiden conjugirten Zahlen Wir wollen sie die zu VT> gehörigen Einheiten nennen. Darunter sind auch die Zahlen + 1 enthalten (für u = 0). Sind also (f, , %), (^25 **2) irgend zwei (positive oder negative) Lösungen der Pell' sehen Gleichung ^2 _ Bu'^ = ± 4, so haben die beiden Zahlen 01 = 2 — ; ^' - — 2 die Norm + 1, und das Gleiche gilt also auch von ihrem Product 2 «3 = H , und fg und u-,, sind, wie man sofort sieht, ganze Zahlen. Denn wenn D gerade ist, so sind f^, fg gerade, und wenn D ungerade ist, so sind ^1, Ui entweder beide gerade oder beide ungerade, und ebenso ^0, W9. Es ist also ©3 gleichfalls eine zu V-D gehörige Einheit, und es folgt, dass das Product zweier (und folglich auch mehrerer) Einheiten wieder eine Ein- heit ist. Ist & eine beliebige irrationale Einheit, so ist +0-^ die zu & conjugirte Einheit. Es gehören unter den von + 1 ver- schiedenen Einheiten immer vier zusammen, + 0, ± &-\ unter denen eine positiv und grösser als 1 ist. Diese entsj^richt 03 = = &, 0. — Darin ist t. h <2 + D 1 §. 136. Die Pell'sche Gleichung. 443 den positiven Werthen von i, u; eine zweite ist positiv und kleiner als 1 und die beiden anderen sind negativ. Ist J, U die kleinste positive Lösung der Pell'schen Gleichung, so ist ^ T + DVD 0= die kleinste unecht gebrochene zu Vi) gehörige positive Einheit. und wir können nachweisen, dass in der Form 4: 0", worin n eine ganze Zahl bedeutet, alle zu Vi) gehörigen Einheiten ent- halten sind. P"s genügt dazu, zu zeigen, dass der Ausdruck 0" für ein positives n alle Einheiten , die grösser als 1 sind, liefert. Dies ist aber sehr einfach; denn ist 0^ irgend eine von diesen Einheiten, so wird sie zwischen zwei auf einander folgenden Potenzen von 0 liegen , da diese Potenzen mit dem Exponenten ins Unendliche wachsen ; also 0" ^ 01 < 0"^\ mithin . 1 ^ 01 0-« < 0. Da aber 0^0-" gleichfalls eine Einheit ist, so ist, wenn nicht das Gleichheitszeichen gilt, 0^ 0—" grösser als 1 und kleiner als ö, was gegen die Voraussetzung ist, dass 0 die kleinste unecht gebrochene Einheit sei; es muss also 0, = 0" sein, was zu beweisen war. Anmerkung, die Gauss'sche Theorie der quadratischen Formen betreffend i). Wir fügen, um die Verbindung unserer Betrachtungen mit der sonst bekannten Gauss'schen Theorie der quadratischen Formen herzustellen, einige Bemerkungen bei, die in unserem Zusammenhange nicht gerade erforderlich sind, und die daher auch übergangen werden können. Aus jeder quadratischen Irrationalzahl 03 = {a, b, c\ können wir eine bestimmte primitive quadratische Form (nach der Gauss'schen Bezeichnung) ^) Vergl. Disq. ar. art. 183 ff., D i richlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie. Vierte Auflage. §. 62, §. 72 ff. 444 Elfter Abschnitt. §. 136. cp = (Ä, B, C) = (— a, \h, c) oder = (— 2 a, 6, 2 c) (je nachdem 6 gerade oder ungerade ist) ableiten, deren Deter- minante = i> : 4 oder = J) ist. Aus der conjugirten Zahl to' = { — a, — h, — c] erhalten wir dann die Form — 9), deren Coefficienten denen von cp entgegengesetzt sind. Die Zahlen o und a' sind die Wurzeln der Form «jp = 0 oder —

Yurzeln. 447 •2x'^ — 4a;2 — 8 a; — 3 = 0, 9x^ — 22x^ — 14 a; — 2 = 0, 46a;3 _ 6a;2 — 32 a; — 9 = 0, a;3 — 94a;2 — 132 a; — 46 = 0, 3561 a;- — 9083 a;^ — 191 a; — 1 = 0, also X = (1, 1, 3, 2, 1, 95, 2 . . .) und die Näherungsbrüclie : a.. 3 a-i 2 a^ 1 «5 95 «6 2, 1 2 7 16 23 2201 4425 1 ' 1 ' 4 ' 9 ' 13' 1244' 2501 Wenn wir die beiden letzten Brüche in Decimalbrüclie ver- wandeln, so erhalten wir für x die beiden Grenzen: 1,7692926; 1,76929228, und der Fehler in der letzteren etwas zu kleinen Zahl ist kleiner als 0,00000016. Dass man hier nach wenig Schritten ein gutes Resultat erhält, beruht auf dem Umstände, dass hier ziemlich früh ein grösserer Theilnenner 95 auftritt. In den meisten Fällen be- kommt man für die Theilnenner kleine Zahlen ; dann wachsen die Nenner der Näherungsbrüche langsam, und man erhält nur mühselig ein Resultat von grösserer Genauigkeit. Die Auffindung grösserer Theilnenner, z. B. 95, wird durch die Bemerkung erleichtert, dass, wenn eine Wurzel einer Gleichung einen grossen Werth hat, der negative Coefficient der zweithöchsten Potenz der Unbekannten eine , wenn auch nur rohe Annäherung an diese Wurzel giebt, wie z, B. in der vorletzten der obigen Gleichungen 94 an 95. §. 138. Rationale Wurzeln ganzzahliger Gleichungen. Reducible Gleichungen. Wir schliessen diesen Abschnitt mit einer Betrachtung über ganzzahlige Gleichungen, die, wenn sie auch nicht unmittelbar mit der Theorie der Kettenbrüche in Beziehung steht, doch hier am passendsten eine Stelle findet. 448 Elfter Abschnitt. §. 138. Wenn man es mit Gleichungen zu thun bat, deren Coeffi- cienten rationale Zahlen sind, so wird man zunächst nach etwaigen rationalen Wurzeln suchen. Wenn die Gleichung fix) = «0 a;" -\- tti a;"-i -|- «2 a;""-^ + • • • + <^*n-i x -{- an = 0 rationale Coefficienten hat, so können wir immer annehmen, dass diese Coefficienten ganze Zahlen sind; man hat nur nöthig, um den Fall gebrochener Coefficienten darauf zurückzuführen, die ganze Gleichung mit einem gemeinschaftlichen Vielfachen aller Nenner zu multipliciren. Wir können aber auch noch weiter annehmen, dass a^ = 1 sei; denn setzen wir in dem Product aj;~^/(x) so wird die Gleichung x'l -\- a^x^-^ + ao«2^i~^ + • • • + «o~^a« = 0. Wir wollen also jetzt annehmen, dass in der Gleichung (1) X'' + öl x"-'^ -\- a.2 :r"-2 -|- . . . -f- ün-i X + a„ = 0 die Coefficienten «j, «25 • • •> ^n ganze Zahlen sind. Eine ratio- nale Wurzel von (1) kann nicht eine gebrochene Zahl sein; denn nehmen wir an, es werde (1) befriedigt durch den Bruch P wo p und q ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, und q positiv und grösser als 1 ist, so folgt durch Multiplication mit 5"—^ Es müsste also p" : q eine ganze Zahl sein, was unmöglich ist. Wenn nun die Gleichung (1) dadurch befriedigt werden kann, dass man für x eine ganze Zahl setzt, so muss diese ganze Zahl, wie die Gleichung (1) zeigt, nothwendig ein Theiler von a„ sein, und man hat also nur die verschiedenen Divisoren von a„, mit positivem und negativem Zeichen behaftet, versuchsweise in die Gleichung einzusetzen. Auf die Erage nach rationalen Wurzeln einer ganzzaliligen Gleichung kommt auch die allgemeine Frage zurück, ob eine ganze rationale Function f(x) = x" -\- «1 rr*»-! -\- «2 ^"~^ + • • • + ««-1 ^ + *«' deren Coefficienten «j, «21 . • •, <^» ganze Zahlen sind, durch eine rationale Function von niedrigerem Grade v: §. 138. Keducible Gleichungen. 449 cp(x) = x^ -\- a^x"—'^ -f- a^x''—^ ~\~ ' ' ' ~\~ ^v—\X -\- cc^ mit rationalen Coefficienten «i, «2, • . ., «v theilbar sein kann. Wenn /(a;) durch (f{x) theilbar ist, so ist der Quotient -^ {x) wieder eine ganze rationale Function mit rationalen Coefficienten vom Grade w — v: i,(x) = X—' -I- ß^X^-'-^ -\ h ßn-v-xX^ /3„_,, und da /(.r) auch durch ^'(.r) theilbar ist, so können wir bei der Entscheidung unserer Frage v ■^\n annehmen. Ausserdem folgt aus §. 2 , dass die Coefficienten a und ß von (p und i/; ganze Zahlen sein müssen. Um nun über die Möglichkeit einer solchen Theilung zu entscheiden, nehme man die Function cp {x) mit unbestimmten Coefficienten a, und dividire f{x) durch cp{x) (nach §. 3). Es ergiebt sich dann ein Rest vom Grade v — 1, und wenn man dessen Coefficienten, die sammtlich rationale Functionen der a sind, gleich Null setzt, so erhält man v Gleichungen, denen diese Coefficienten genügen müssen. Man kann durch Elimination (§. 55) eine Gleichung herstellen, die nur noch eine dieser Unbekannten enthält, und die dann eine ganzzahlige Wurzel haben muss. Es wird aber oft zweckmässiger sein, diese Elimination nicht wirk- lich auszuführen , sondern direct zu versuchen , dem System der V Gleichungen durch ganzzahlige Werthe der a zu genügen. Die Auswahl der zu erprobenden Zahlen kann durch manchen Kunst- griff, der auf zahlentheoretischen Sätzen beruht, sehr eingeschränkt werden. Wir wollen beispielsweise eine Gleichung zehnten Grades aus der Theorie der elliptischen Functionen entnehmen, wo solche Aufgaben sehr häufig in der Weise vorkommen, dass die Zerlegbarkeit in Factoren bestimmten Grades theoretisch fest- steht, und wo es sich dann darum handelt, diese Factoren zu finden!). Eine solche Gleichung ist a;io _ 36a;s -f- 528 a;^ — 3897 a;* + 14354 a;2 — 21025 = 0. Wir fragen, ob die linke Seite in zwei Factoren fünften Grades zerlegbar ist. Wenn der eine der beiden Factoren *) Vergl. des Verfassers Werk: „Elliptische Functionen und algebraische Zahlen", Braunschweig 1891. Das hier behandelte Beispiel aus der Theorie der Transformation 478ten Grades ist aus der Abhandlung genommen: „Ein Beitrag zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen etc." von II. Weber (1893). Mathematische Annalen, Bd. 43. Weber, Algebra. I. 29 450 Elfter Abschnitt. §. 138. x^ -\- a x'^ -^ ß x^ -\- y X- -{- d X -\- E ist, so ist der andere, da in der gegebenen Gleichung keine ungeraden Potenzen vorkommen, x^ — ax* -^ ßx-' — yx^-^-dx — s, und es muss also sein : a;io _ 36a;8 _|_ 528 a:^ — 3897 a;^ -\- 14354 ic^ — 21025 = {x'^ -^ ßx-' -\- dxy — (ttx* + yx^ -\- £)2. Setzt man entsprechende Coefficienten einander gleich, so folgt : 1. «2 __ 2/3 = 36, 2. ' /32-f 2d — 2ay = 528, 3. y2^2cc£ — 2/30 = 3897, 4. d-^ — 2y6 = 14354, 5. £2 _ 21025, und es sind nun ganzzahlige Werthe von «, ß, y, 8, e zu suchen, die diesen fünf Gleichungen genügen. Zunächst erhält man aus 5.: £ = 1/2 1025 = 145 = 5 . 29, und man kann e positiv annehmen, weil das von x unabhängige Glied jedenfalls in einem der beiden Factoren positiv ist. Die Gleichung 4. ergiebt, wenn man rechts den Rest nach dem Modul 145 nimmt, (4) Ö2 = — 1 (mod 145), und diese Congruenz hat die vier Lösungen d = ±U, ±17 (mod 145). Da ö nach 4. ausserdem gerade sein muss, so könnte d folgende Werthe haben : d = + 12, ± 128, ± 162. Weiter wird man vorläufig nicht gehen, da grosse Zahlwerthe für d von vornherein unwahrscheinlich sind. Diesen Werthen von d entsprechend erhält man aus 4. für y: y = — Ad, 7, 41. Wenden wir noch den Modul 5 an, so folgt: y^ = l, — 1, 1 (mod 5) und aus 3.: /3 = + 1, ±2, ±1 (mod 5) und aus 1.: «2=1^2, 1 + 1, 1 + 2 (mod 5). §. 138. Reducible Gleichungen. 451 Daraus ergiebt sich, da nur 0, 1 und 4, nicht 2 und 3 nach dem Modul 5 mit einem Quadrat congruent sein können, dass in 8 die Zeichen so genommen werden müssen : d = — 12, -|- 128, — 162 a = ± 2, 0, ±2 (mod 5). Die Gleichung 2. zeigt ngch, dass der mittlere Fall auszu- schliessen ist, da die rechte Seite nicht durch 5. theilbar ist. Dass auch d = — 12 ausgeschlossen werden muss, ergiebt sich aus der Gleichung 2., die für ö = — 12, y = — 49 die Congruenz ß^ = 6 (mod 7) zur Folge hat, die aber nicht lösbar ist. Es bleibt also nur noch übrig : d = — 162, y = 41. Aus 3. folgt für ß die Congruenz: n ß = 93 (mod 145) oder ß = — \ (mod 5), 2ß = — \ (mod 29), also ß= U (mod 145). Nimmt man /3 = 14 an, so folgt a = — 8, und alle Glei- chungen 1. bis 5. sind befriedigt. Es hat sich also damit die Zerlegung ergeben, die nachträglich leicht zu verificiren ist: a:i« — 36 a;« -f 528 a;^ — 3897^* + 14354 a;2 — 21025 = {X'- — 8x4 -f 14a:3 -f 41 a;2 _ i62a; + 145) (x= -\- 8x^ -f Ux^ — 41a;2 — 162a; — 145). 29 = Zwölfter Abschnitt. Theorie der Einheitswurzeln. §. 139. Die Einheitswurzeln. Unter einer Einheitswurzel versteht man allgemein eine reelle oder imaginäre Zahl von der Beschaffenheit, dass irgend eine ihrer Potenzen mit einem ganzzahligen Exponenten gleich 1 ist. Diese Einheitswurzeln haben wir schon im §. 36 kennen gelernt und durch trigonometrische und Exponentialfunctionen dargestellt. Wir haben ferner specielle Fälle, z. B. im §. 38 die dritten Einheitswurzeln, benutzt, die dort ohne trigonometrische Functionen ausgedrückt wurden. In allen tiefer gehenden Untersuchungen über algebraische Gleichungen ist nun eine genauere Kenntniss der Einheitswurzeln und ihrer Eigenschaften un erlässlich. Wir werden uns daher in diesem Abschnitt mit dem elementaren Theil der algebraischen Theorie der Einheitswurzeln eingehender beschäftigen, ohne von ihrer Darstellung durch trigonometrische Functionen Gebrauch zu machen. Wegen der geometrischen Anwendung auf die Con- struction der regulären Vielecke, auf die wir schon im §. 36 hingewiesen haben, wird die Theorie der Einheitswurzeln auch die Kreistheilungstheorie genannt. Sie ist im Wesentlichen eine Schöpfung von Gauss i). Wenn die n^^ Potenz einer Zahl r gleich 1 ist, wenn also die Gleichung (1) r^ = 1 ^) Gauss, Disq. ar. Sectio VII. §. 139. Einheitswurzeln. 453 für ein ganzes positives n befriedigt ist, so heisst r eine w*® Einheitswurzel oder eine Einheitswurzel vom Grade n. Es sind also alle n^^"^ Einheitswurzeln, und nur diese, Wurzeln der Gleichung w*^° Grades (2) f(x) = rc" — 1 = 0. Es ist (3) f(x) = nx»-\ und folglich hat/(aj) mit/'(a;) keinen Theiler gemein; also hat f{x) keine mehrfachen Wurzeln, und es giebt n und nicht mehr von einander verschiedene w*® Einheitswurzeln. Ist r eine w*® Einheitswurzel, so ist es auch jede ganze Potenz von r, denn aus r» = 1 folgt r^^ = 1, wenn Je eine be- liebige positive oder negative ganze Zahl ist (auch A; = 0 nicht ausgeschlossen); also ist auch r^ eine w*^ Einheitswurzel. Da es aber nur n Einheitswurzeln vom Grade n giebt, so sind die Potenzen r^ nicht alle von einander verschieden. Hierüber gilt nun Folgendes: Wenn sich zwei Zahlen /;, l' um ein Vielfaches von n unter- scheiden, wenn also (4) h' = 1 (mod n) ist, so ist auch (5) r^ = r^'. Denn ist h' = Je -{- h n, so ist woraus, da r" = 1 ist, die Gleichung (5) folgt. Es sind also in der Reihe der Zahlen (6) 1, r, r\ r\ . . ., r"-^ gewiss alle von einander verschiedenen r'' enthalten; aber es müssen nicht umgekehrt die Grössen (6) alle von einander ver- schieden sein. Nehmen wir an, es seien fc und Je' = Je -\- ^ zwei Zahlen der Reihe 0, 1, 2 . . . « — 1, und »•fe y1c + fi so folgt, dass r" = 1 sein muss. Es kann also in der Reihe (6) kein früher dagewesenes Glied wiederkehren, ehe das erste Glied 454 Zwölfter Abschnitt. §. 139. 1 zum zweiten Male vorkommt, und wenn ft die kleinste posi- tive Zahl ist, für die r" = 1 ist, so sind die Zahlen: (7) 1, r, r^ . . ., r/^-i alle von einander verschieden. Es muss dann /i ein Theiler von n sein. Denn durch Division lassen sich die ganzen Zahlen h, ft' so bestimmen, dass n = hfl -{- ^'; 0 < ß' {n) = nn{\ -1^, worin das Productzeichen 77 sich auf alle von einander ver- schiedenen in n aufgehenden Primzahlen bezieht. Nur für den Fall w = 1 passt die Formel (6) nicht mehr; in diesem Falle ist 9) (1) = 1 zu setzen. Die Zahl (p {n) ist also niemals gleich Null. Da es hiernach für jeden Grad n wenigstens eine primi- tive Einheitswurzel r giebt, so lassen sich alle 'n}^^ Einheitswurzeln durch die Potenzen von r darstellen: (7) 1, r, r2, r\ . . ., r"-i. Ist r'^ irgend eine Potenz von y, so wird dann und nur dann yitm __ i ggjjj^ wenn hm durch n theilbar ist. Ist also n = n' n" und n' der grösste gemeinsame Theiler von Je und n, so muss m durch n" theilbar sein, und n" ist der Exponent der niedrigsten Potenz von r^, die gleich 1 wird, d. h. r^ ist eine primitive n"*® Einheitswurzel. Es folgt hieraus der Satz: III. Ist r primitive w*® Einheitswurzel, so ist r^ dann und nur dann primitive w*« Einheitswurzel, wenn k relativ prim zu n ist. Nehmen wir k aus der Reihe der Zahlen 1, 2, 3 ... w, so ergiebt sich der Satz der Zahleutheorie, dass q)(n) gleich der Anzahl der Zahlen ist, die nicht grösser als n und rela- tiv prim zu n sind. Dies ist die ursprüngliche Definition des in der Zahlentheorie allgemein gebrauchten Zeichens q) (n). Ist k relativ prim zu n, so kann man eine ganze Zahl x so bestimmen, dass kx ^ 1 (mod n) wird. Sind dann r, rj zwei w*® Einheitswurzeln, so kann nur dann r^ = r^ sein, wenn r =r rj ist, wie sich durch Erheben zur Potenz x ergiebt. Daraus folgt nach III.: 458 Zwölfter Abschnitt. §. 141. IV, Ist h relativ prim zu n und durchläuft r die Reihe der primitiven n^^^ Einheitswurzeln, so durchläuft r^ dieselbe Zahlenreihe, wenn auch in anderer Ordnung. Endlich führen wir noch den Satz an : V. Ist n eine Primzahl, so ist jede n^ Einheits- wurzel mit Ausnahme von 1 primitive w*® Einheits- wurzel. §• 141. Gleichungen für die primitiven Einheitswurzeln ^ten Grades. Alle n*^'^ Einheitswurzeln sind, wie wir gesehen haben Wurzeln einer Gleichung /„ (x) = 0, wenn (1) f^{x) = x--l ist; wenn wir die Function fn{x) von allen Factoren befreien, die sie mit anderen Functionen derselben Form/„, (a;) gemein hat, was durch rationale Operationen geschieht (§. 6), so erhalten wir eine Gleichung X« = 0, der die primitiven w*^"^ Einheitswurzeln und nur diese genügen, und X„ hat die Form (2) Xn = x" -{- tti a;"-! H • -{- a... Der Grad v ist gleich (p (n) und die Coefficienten a^, a^^ . . ., a» sind rationale Zahlen. Beim Aufsuchen der gemeinschaftlichen Factoren von /„ und /„j können wir uns für % auf die Theiler von n beschränken. Wie man die Function X^ einfach bilden kann, werden wir gleich noch näher sehen. Wir beweisen aber zunächst einen allgemeinen Satz über diese Functionen. Die M*^'^ Einheitswurzeln umfassen alle primitiven /tt***" Ein- heitswurzeln, worin fi irgend ein Theiler von n ist, n selbst und 1 eingeschlossen, da als primitive erste Einheitswurzel eben die Einheit 1 selbst zu betrachten ist. Lassen wir also /u, alle Divi- soren von n durchlaufen und beachten, dass zwei verschiedene X^ niemals einen gemeinschaftlichen Theiler haben, und dass sowohl /„ (ic) als X|U keine mehrfachen Factoren enthalten, so folgt: (3) /„(^) = 77X„, §. 141. Einheitswurzeln. 459 worin sich das Productzeichen TT auf alle Theiler ^ von n bezieht. Daraus erhalten wir nebenbei einen Beweis des zahlen- theoretischen Satzes: (4) n = Ucp (u), wenn wir den Grad der Functionen auf der rechten und der linken Seite von (3) einander gleich setzen. Andererseits schliessen wir nach dem Gauss' sehen Theorem (§. 2), dass die Coefficienten der sämmtlichen X^ ganze Zahlen sind. Denn kämen darunter auch gebrochene Zahlen vor, so könnte das Product nicht lauter ganzzahlige Coefficienten ent- halten, wie es doch nach (3) und (1) sein muss. Alle Functionen /„ (x) haben den Theiler x — 1, und wenn wir die Theilung ausführen, so ergiebt sich (5) x^ — l ^ ^^_^ ^ ^^_^ _^ Vx^l. CO — 1 Hieraus schliessen wir, dass, wenn r irgend eine primitive oder nicht primitive w*® Einheitswurzel ist, mit alleiniger Aus- nahme von r = 1, immer (6) 1 + r -f- rH- • • • + »*""' = 0, während für r = 1 die Summe auf der linken Seite von (6) offenbar den Werth n hat. Wenn n eine Primzahl ist, so giebt es ausser 1 keine im- primitiven n^^^ Einheitswurzeln, und daher ist, wenn n eine Prim- zahl ist, was wir dadurch andeuten wollen, dass wir p dafür setzen, (7) Xp = xP--" + xP-^ H 1-^+1- Ebenso einfach lässt sich X„ bilden, wenn n eine Prim- zahlpotenz ist, also oder, wenn wir zur Abkürzung p^—^ = p' setzen: n = p' p. Die w*^° Einheitswurzeln bestehen in diesem Falle aus den primitiven n^^^ Einheitswurzeln und aus den y*®" Einheitswurzeln, und es ist also (8) X„ = ^'^zlI = a:^'(P-i) -|- ^i>'(P-2) _^ \- xp' -{- 1. 460 Zwölfter Abschnitt. §. 141. Ist jp' > 1, also 3r > 1, so fehlt in dieser Gleichung das Glied mit der (y — 1)^'^'' Potenz der Unbekannten, dessen Coeffi- cient der negativen Summe der Wurzeln gleich ist. Wir haben also den Satz: VI. Die Summe aller primitiven n^'''' Einheitswurzeln ist, wenn n eine höhere Potenz einer Primzahl ist, immer gleich Null. Zur allgemeinen Bildung von X„ wollen wir ein recurrentes Verfahren anwenden; wir nehmen X„ als schon gebildet an, bezeichnen mit 2^ eiiie iii *^ nicht aufgehende Primzahl, mit |)' wie oben die (jr — l)*'' Potenz von jj, und bilden nun X„p'p, worin natürlich p' auch gleich 1 sein kann. Bezeichnen wir mit r die primitiven w*'^'^ Einheitswurzeln, mit « jede Einheitswurzel des Grades 2^p\ und mit «' jede Ein- heitswurzel des Grades p', so erhält man die sämmtlichen primi- tiven Einheitswurzeln des Grades npp\ wenn man von den sämmtlichen ra, die ra' wegnimmt (§. 140, IL). Die ra sind aber die Wurzeln der Gleichung: weil die Grössen (r ayp' = rPP', von der Reihenfolge abgesehen, mit den r selbst übereinstimmen (§. 140, IV.). Ebenso sind die roc' die Wurzeln der Gleichung Xn(xP') = 0, und daraus ergiebt sich Hiervon macht auch der Werth n = 1 keine Ausnahme, wenn wir unter Xj die Function x — 1 verstehen. Danach können wir Xn in allen Fällen verhältnissmässig einfach bilden. Wir betrachten einige besondere Fälle. Nehmen wir an, es enthalte n nur zwei von einander ver- schiedene Primzahlen p^ q und sei also n = p j)' q q\ dann ergiebt die Formel (8) und (9): (iC" — 1) \XP^ — l) Xn \xp — ly Uä — ij §. 141. Einheitswurzeln. 461 eine Formel, die sich leicht durch vollständige Incluction folgender- maassen verallgemeinern lässt. Bezeichnet man mit /i^ alle Zahlen, die aus n entstehen, wenn man n durch eine gerade Zahl verschiedener Primtheiler von n dividirt (n selbst eingeschlossen), mit ^2 die Zahlen, die aus n entstehen, wenn man n durch eine ungerade Zahl solcher Primtheiler dividirt, so ist nm X - ^ ^'^'"^ - ^^ (10) A„ — — n(x''^ — 1) Der Beweis ergiebt sich aus (9) für npp', wenn man an- nimmt, die Richtigkeit sei für n schon bewiesen. Bedeutet r jede der primitiven n^^^ Einheitswurzeln, so sind bei ungeradem n die — r die primitiven 2n*^^ Einheitswurzeln (§. 140, L, IL). Demnach ist bei ungeradem n (11) X,n(x)= Xn{-x). Ist n eine Potenz von 2, so ist nach (8): (12) X„ = ^-^ = 0:2 + 1. Setzen wir in der Formel (8) a; = 1 , so erhält X» den Werth jj, wenn n eine Potenz von p ist. Dagegen ergiebt die Formel (9), wenn n > 1 ist, für Xnpp' den Wertli 1 (für n = 1 würde auf der rechten Seite Zähler und Nenner = 0). Wir erhalten also den Satz: VII. Die Function X» erhält für x = 1 den Werth p, wenn n eine Potenz der Primzahl p ist, und den Werth 1, wenn n mehr als eine Primzahl als Theiler hat. Ist p eine in n aufgehende Primzahl und w = jj n\ so ist (13) ^[[, ~ ^ = x^'<-p-^'> + a;"'(P-2) -] 1- a;"' -f 1, und diese Function verschwindet, wenn cc gleich irgend einer primitiven w*«° Einbeitswurzel oc gesetzt wird. Sie ist daher durch X„ theilbar, und es muss also eine ganze Function F„ von X geben, die nach §. 2 ganzzahlige Coefficienten hat, so dass (14) x»'0^-i> + iC'^'CP-« -] 1_ a;"' + 1 = Xn Yn 462 Zwölfter Abschnitt. §. 142. wird. Ist nun u! irgend eine n"^^ Einheitswurzel, also «'"' = 1, so folgt aus (14) (15) Xn{y!)Yr.{a:)=i,, also eine Zerlegung der Primzahl j; in zwei Factoren, die ganze Functionen einer Einheitswurzel von beliebigem Grade w' sind. §• 142. Die Discriminante der Kreistheilungsgleichung. Die Einheitswurzeln vom Grade n lassen sich in transcen- denter Form darstellen durch IniU Inli , . . 1 xK (1) r = e " = cos 1- i sin ■' n n Diese Einheitswurzel ist primitiv oder nicht primitiv, je nachdem Tx, th eilerfremd zu n ist oder nicht. Die einfachste unter den primitiven erhält man für /^ = 1, nämlich ,„. — Itc , . . Itc , , . (2) ro = e " = cos h * sm — ^:^ a -]- ot. n ^ n ' Der Winkel 2 7t : n ist der w^^ Theil der ganzen Kreisperi- pherie. Die verschiedenen Theilpunkte, die man erhält, wenn man Fiff. 28. diesen Winkel von einem beliebigen Anfangs- punkte an auf der Peripherie aufträgt, be- stimmen das dem Kreise eingeschriebene reguläre «-Eck. Die Theilpunkte lassen sich construiren, wenn man r und damit a und b (oder auch nur eine dieser beiden Grössen) kennt. Insbesondere ergiebt sich für die Seite s des regulären w- Eckes, wenn der Radius c des umgeschriebenen Kreises gleich 1 angenommen wird, 2sin^=y2(l-cos^) Die übrigen Grössen r stehen in derselben Beziehung zu den anderen Theilpunkten. Wiegen dieser geometrischen Bedeutung nennen wir die Gleichung X„ = 0, deren Wurzeln die Grössen (1) sind, die Kreistheilungsgleichung. Wir bestimmen jetzt die Discriminante der Kreistheilungs- gleichung Xn = 0, beschränken uns aber auf den Fall, dass n eine ungerade Primzahl ist. §. 142. Discriminante der Kreistheilungsgleichung. 463 Es ist dann (3) Xn = a;"-i -f a;»-2 -\ h ^ + 1, und da nur die eine imprimitive w*^ Einheitswurzel 1 existirt, so ist (4) f„{x) = a:- - 1 = (:r - 1) X„, also (5) Mx) = nx—^ ^ X„ 4- (:r - 1) X;. Ist nun D die Discriminante von X„, so ist nach §. 50, (5) n — X (6) i) = (_l) 2 77X;(r), worin sich das Productzeichen 77 auf alle Wurzeln r der Gleichung X„ = 0 erstreckt, und worin, da n ungerade ist, n(n — 1) n — 1 (- 1)~^ = (- 1)^ gesetzt werden konnte. Es ist aber nach (5) (7) wr"-! = (r — l)X;(r), und da das Product aller r gleich 1 ist (weil es gleich dem von X unabhängigen Gliede in X„ ist), und da n{x -r) = n{r -x) = X„, also j7(r-l) = X„(l) = n, (§. 141) so folgt aus (6) und (7) n — 1 (8) i) = (— 1) 2 w"-2. Die Wurzeln von X„ sind,, wenn r eine von ihnen ist, alle in der Form enthalten und wenn wir also das Differenzenproduct (9) p — (r — y2) (r — r^) . . .{r — r"-i) ^"^2 yS") _ _ ^^2 ^n — 1"V /^n — 2 yn — 1\ einführen, so ist (§. 50) Es ist also auch nach (8) « — 31 / n — 1 (10) P = w"2~l/(— 1)2 n, 464 Zwölfter Abschnitt. §, 142. wodurch P, abgesehen vom Vorzeichen, bestimmt ist. Es ist P reell, wenn w ^ 1, und imaginär, wenn n ^ — 1 (mod i) ist, also reell für n = 5, 13, 17, 29, 37, . . ., imaginär für n = S, 1, 11, 19, 23, 31, . . . Das Vorzeichen, das -wir in (10) der Wurzel zu geben haben, hängt davon ab, welches r wir in dem Ausdruck (9) gewählt haben. Wählen wir ein bestimmtes r, z. B. r ^= r^, so können wir das Vorzeichen in (10) noch bestimmen. Um dies auszuführen, theilen wir die binomischen Factoren von P, r* — r", V ■< ^, deren Anzahl |(n — Ij {n — 2) beträgt, in zwei Classen. Die Differenzen der einen Classe bilden das Product / n — 1 n + 1\ ai) Q = (r — r"-i) (r2 — r"-^) . . . \r~^ — r'^J, das also alle die Factoren enthält, in denen ^ -\- v = n ist. Die übrigen Factoren lassen sich in Paaren von folgender Form zusammenfassen (12) P = (r" — r") fr"-" — r«-'). Die Anzahl der Factoren in Q ist ^(n — 1), und also ist die Anzahl der Paare P l^ /(n — l){n — 2) _ n — l\ _ {n — 1) {n — 3) YV 2 ~2 )~ 4 ' und diese Zahl ist immer gerade, da einer der beiden Factoren n — 1, w — 3 durch 4 theilbar ist. Nun ist, wenn r = e ** ist, P I ^ /, 2 Jt (u. — v) 7 \ r"-'' + r'-." =z — 2 M — cos ^-^ ^ fc j. d. h. P ist immer negativ. Folglich ist das Product aller P eine positive Grösse. Es ist ferner n — 1 2-jih . 4 jr A; . (n — \)7ili (13) Q = (2i) 2 sin sin • • sin und das Vorzeichen hiervon ist von Je abhängig. Nehmen wir aber 7j = I, also r = r^, so sind alle die Winkel 2 jr 4 :;r (n — 1) Jt n '' n '' ' n §. 142. Discriminante der Kreistheilungsgleichung. 465 zwischen Null und ii gelegen und die Sinus alle positiv. Wir schliessen hieraus nach (10), dass in diesem Falle n — 1 n — 3 _ (14) 1^ = i~^' n'^Vn ist, und yn positiv zu nehmen ist. Das Vorzeichen des Productes der H hängt von der Wahl von r nicht ab, sondern nur von der Beschaffenheit von n. Es ist daher von Interesse, das Product ^, 'dessen Vorzeichen von der Wahl von r abhängt, für sich zu bestimmen. Wir erhalten es auf folgende Weise: Multiphciren wir den Ausdruck (11) mit n — 1 n* — 1 r . r"^ . r^ . . . r "^ = r ^ und sodann mit _ n -1 _ n^ — 1 Y — 1 V — 2 A. — 3 *. 2 ^ 8 SO erhalten wir r ^ Q = (r2 — 1) (H — 1) . . . (r»--' — 1) _n2 — 1 r » Q = (l — r"-2) (1 _ r»-") ... (1 — r). Da nun die Exponenten 2, 4, . . ., w — 1, w — 2, w — 4, . . ., 1 zusammen alle Zahlen 1, 2, . . ., n — 1 umfassen, so ergiebt sich durch Multiplication dieser beiden Ausdrücke: n— 1 n— 1 Q^ = (- 1) ^ n(r -!) = (_ 1)2 ^, also (15) Q = ±r^ Vn. Die Vergleichung mit (13) ergiebt (16) 2 2 sin sin • • • sin ^^ = + Vn. n n n ~ Das Vorzeichen in dieser Formel hängt, wie in (15), noch von jfc ab; es ist aber das positive, wenn ^ = 1 ist. Im Uebrigen wollen wir über dies Vorzeichen, das weiterhin noch genauer untersucht werden wird, noch einen wichtigen Satz ableiten. Nach der Definition (11) ist Q eine ganze rationale Function von r, die, wenn man sie nach Potenzen von r ordnet, ganze rationale Zahlencoefficienten erhält. Setzen wir also Weber, Algebra. I. gQ 466 Zwölfter Abschnitt. §. 143. SO wird worin F das Zeichen für eine rationale Function ist, deren Coefficieuten von 1: nicht abhängig sind. Setzen wir nun für /,• der Reihe nach die Werthe Ä- =1, 2, . . . w — 1, so stellt r\ alle Wuraeln der Kreistheilungsgleichung A'„ = 0 dar, und die Summe iQ = F(r,) + F(r:-) + • • • + F(r^^~^) ist eine symmetrische Function der Wurzeln dieser Gleichung; sie lässt sich also rational durch die Coefficienten der Gleichung, d.h. durch rationale Zahlen ausdrücken und ist mithin selbst eine rationale Zahl. Andererseits ist aber nach der Formel (15) wenn /; eine ganze Zahl bedeutet, nämlich die Anzahl der Fälle, in denen in (15) das positive Zeichen zu nehmen ist, vermindert um die Anzahl der Fälle, in denen das negative Zeichen gilt. Beides ist aber nur dann mit einander verträglich, wenn ä = 0 ist; und damit ist der folgende Satz bewiesen : 1. Durchläuft Ä; die Reihe der Zahlen 1, 2, 3, ..., w — 1, so gilt in der Formel (16) ebenso oft das positive wie das negative Zeichen. Es braucht kaum besonders erwähnt zu werden, dass man für k auch ein anderes volles Restsystem von w, mit Ausschluss der durch n theilbaren Zahl, nehmen kann. §. 143. Primitive Congruenzwurzeln. Parallel mit der Theorie der Einheitswurzeln geht eine Theorie der sogenannten binomischen Congruenzen, ohne die in der Theoi'ie der Kreistheilungsgleichungen weitere Schritte nicht gemacht werden können, deren Grundzüge passend hier ein- geschoben werden, wo sich die Analogie mit der Theorie der Einheitswurzeln deutlich zeigt. §. 143. Primitive Congrueuz wurzelu. 4ß7 Es sei also jetzt n eine Primzahl und (1) f(x) = «0 X'" -f «1 x"'-^ + • • • -f «m-1 X -\- a,n eine ganze Function von rr, deren Coefficienten a ganze Zahlen sind, und a^ nicht durch n theilbar. Setzen wir für x eine solche ganze Zahl «, dass /(«) durch 7i theilbar wird, so sagen wir (nach Analogie der Gleichungen), a sei eine Wurzel der Con- gruenz m^^"" Grades: (2) f(x) = 0 (mod n). Wird « um ein Vielfaches von n vermehrt, so bleibt es Wurzel der Congruenz (2). Solche nach dem Modul n con- gruente Wurzeln gelten nicht als verschieden. Unter dieser Voraussetzung können wir den Satz aussprechen: 1. Eine Congruenz m*^° Grades für einen Primzahl- modul kann nicht mehr als m verschiedene Wurzeln haben. Der Satz ist richtig für »i= 1, denn die Congruenz aoX-\-a^O (mod n) hat nur eine Wurzel, nämlich, wenn «o so bestimmt wird, dass «0 ^0 ^ 1 (mod m) ist, « ^ — aa'o (mod n). Wir nehmen unseren Satz also jetzt als bewiesen an für den Grad m — 1 und leiten seine Richtigkeit für den Grad m daraus her. Nach §. 4 können wir, wenn zunächst a beliebig ist, setzen (3) /W-/W^^(^) worin /, (x) eine ganze Function vom (m — 1)*^'' Grade ist, die, wenn « eine ganze Zahl ist, ganzzahlige Coefficienten hat. Wenn also /(aj ^ 0 ist, so folgt aus (3) (4) f(x) = {x — u) /i (x) (mod n). Jede Wurzel ß der Congruenz (2) muss also der Bedingung (ß — u) /i (ß) ^ 0 (mod )/) genügen. Also ist entweder ß — a oder /i (ß) durch n theilbar. Nun giebt es nach Voraussetzung höchstens ni — 1 Werthe /3, für die /i (/3) durch n theilbar wird; giebt es also noch eine w*« Wurzel von (4), so muss diese gleich a sein. Wenn also eine Congruenz von der Form /(;r) ^ 0 (modw) mehr Wurzeln hat, als ihr Grad beträgt, so schliessen wir, dass die Congruenz identisch ist, d. h. dass alle Coefficienten von f(x) durch n theilbar sein müssen. 30* 468 Zwölfter Abschnitt. §. 143. Dieser Satz ist, wie man sieht, ganz analog dem alge- braischen Satze, dass eine Gleichung nicht mehr Wurzeln haben kann, als ihr Grad angiebt. Es lässt sich aber nicht der andere Satz übertragen, dass jede Gleichung auch wirklich so viele Wurzeln hat. Eine Congruenz m*°'^ Grades kann weniger, selbst gar keine Wurzeln haben. Um so bemerkenswerther ist eine besondere Congruenz, bei der die Zahl der Wurzeln immer dem Grade gleichkommt, auf Grund eines Lehrsatzes, der der Fermat'sche Lehrsatz genannt wird, und den wir hieu so formuliren. 2, Die Congruenzen (5) a;» — X ^0, a;"-i — 1 = 0 (mod n) haben, wenn n eine Primzahl ist, so viele Wurzeln als ihr Grad beträgt, nämlich n und 7i — L Beide Behauptungen sind nicht wesentlich verschieden, denn die erste der Congruenzen (5) hat alle Wurzeln der zweiten und ausserdem die Wurzel 0, die der zweiten nicht genügt. Ebenso hat die zweite alle Wurzeln der ersten, mit Ausnahme der Wurzel 0. Da es nun für den Modul n überhaupt nur n verschiedene Zahlen giebt, so ist also zu beweisen, dass für jede ganze Zahl a die Congruenz besteht (6) a" ^ a (mod n). Diese Congruenz ist richtig für oc = 0 und a = l. Wir beweisen sie also wieder durch vollständige Induction, indem wir aus der als richtig vorausgesetzten Congruenz (6) die Richtig- keit von (7) (a -|- 1)" = a 4- 1 (mod n) ableiten. Dies ist aber aus dem binomischen Satz zu schliessen, wenn man beachtet, dass alle Binomialcoefficienten, mit Aus- nahme des ersten und des letzten, die gleich 1 sind, nämlich n(n — 1) n(ti — 1) (m — 2) **' rv2 ' 1.2.3 '*•• durch n theilbare ganze Zahlen sind (§. 12). Demnach ist (a -f 1)" = K» -|- 1 (mod «), also folgt die Formel (7) aus der Formel (6). Die Differenz x(x — 1) (a; — 2) ... (x — n -\- 1) — x"* ~\- x §. 143. Primitive Congruenzwurzeln. 469 ist eine Function, höchstens vom n — 1*^^ Grade. Sie ist aber für n Werthe von x, nämlich für a? = 0, 1, 2, . . ,, w — 1 con- gruent mit Null, und daher haben wir identisch x{x — 1) (^ — 2) . . . (x — n -{- 1) ^ X" — X (mod n). Daraus ergiebt sich der "VVilson'sche Lehrsatz: 1 . 2 . 3 . . . (w — 1) = — 1 (mod n), wenn man die Coefficienten der ersten Potenz von x beiderseits vergleicht. Wir beschränken uns jetzt auf die zweite der Congruenzen (5) (8) ^"-1 = 1 (mod n) und beweisen zunächst den Satz: 3. Ist a ein Theiler von n — 1, so hat die Congruenz (9) X'' ^ l (mod n) genau a verschiedene Wurzeln. Denn es ist, wenn n — l = ab ist, a;"-i — 1 = (x" — 1) (x"^^-'^ -f- a;«(''-2) 4- p a:« + 1), und da jede Wurzel der linken Seite Wurzel entweder des einen oder des anderen Factors auf der rechten Seite sein muss, so folgt, dass, wenn x" — 1^0 weniger als a Wurzeln hätte, der zweite Factor mehr Wurzeln haben müsste, als sein Grad angiebt entgegen dem Satz 1. Ist a eine durch n nicht theilbare Zahl, und a die kleinste positive Zahl, für die a" ^ 1 (mod n) wird, ist ferner h irgend eine positive ganze Zahl, für die cc^ ^ 1 (mod n) ist, so ist a nothwendig ein Theiler von h, insbesondere also a ein Theiler von 71 — 1. Denn setzen wir h = qa -{- a\ worin q eine ganze Zahl und a' < a ist, so ist auch «"' ^ 1; also muss a' = 0 sein, weil a die kleinste positive Zahl sein sollte, wofür diese Congruenz befriedigt ist. Eine Wurzel « der Congruenz (9) von der Eigenschaft, dass keine niedrigere als die a*^ Potenz der Einheit congruent wird, heisst eine primitive Wurzel dieser Congruenz, oder primi- tive a*^ Congruenzwurzel der Primzahl w, und eine primitive Wurzel g der Congruenz (8) nennen wir auch kurz eine primitive Wurzel der Primzahl n. 470 Zwölfter Abschnitt. §. 143. Wir wollen beweisen, dass für jede Primzahl n primitive Wurzeln existiren und ihre Anzahl bestimmen, und gehen dabei denselben Weg, wie bei den Einheitswurzeln. Es seien a und h zwei Theiler von n — 1 , die unter sich relativ prim sind, und a eine a*% ß eine &*^ primitive Congruenz- wurzel von n. Setzen wir ab = c, so ist y = a/3 eine primi- tive c*^ Congruenzwurzel, und umgekehrt lässt sich auch jede primitive c*® Congruenzwurzel in der Form aß darstellen. Denn es ist erstens: (ußy=(/S ß''^l (mod n), und zweitens: wenn (a/3)'' = c/J' ß^' ^ 1 (luod n) ist, so ist auch aJ'^' ß^^' ^ 1, also c/J'^ ^ 1, also hb durch a theilbar, also auch h durch a theilbar, und ebenso schliesst man, dass Ji durch &, also auch durch ab = c theilbar sein muss, d. h. aß ist primitive c*® Congruenzwurzel. Ist umgekehrt y eine primitive c*^ Congruenzwurzel, so bestimmen wir die positiven ganzen Zahlen x, y so, dass (10) ay -\- bx ^ 1 (mod c) wird, indem wir zunächst x aus bx =1 (mod a), und dann y aus y ^ (mod b) bestimmen. Dann ist y relativ prim zu 5, und X relativ prim zu a. Hiernach ist y ^ y^^yax ■= aß (mod m), und y^^ ^ a ist primitive a*® Congruenzwurzel, y"^ = ß primi- tive b^^ Congruenzwurzel (weil «'' = y''^'* nur dann ^1 sein kann, wenn h durch a theilbar ist). Es ist noch zu zeigen, dass die Producte aß alle von ein- ander verschieden sind, d. h. dass die Congruenz (11) aß = a'ß' (mod n), wenn a, «'; /3, ß' primitive a*^ und b^^ Congruenzwurzeln sind, nur befriedigt werden kann, wenn a ^ «', ß ^ ß' (mod n) ist. Dies folgt aber nach (10), wenn man (11) in die Potenz hx ^ \ (mod a) erhebt, woraus sich « ^ aJ ergiebt, und dann auch ß ^ ß'. Bezeichnen wir also die Anzahl der primitiven a^^^ Con- gruenzwurzeln mit cp (a), so folgt aus dem Bewiesenen (12) cp{e)^cp(a)cpib). §. 143. Primitive Congruenzwurzeln. 471 Es bleibt noch übrig, wenn p eine Primzahl und ppi eine in « — 1 aufgehende Potenz von ^ ist, (p(ppi) zu bestimmen. Ist ci eine nicht primitive Congruenzwurzel vom Grade p'', und 2J^~^ = Pii so ist, wenn «'' die niedrigste nach dem Modul Ol mit 1 congruente Potenz von cc ist, h ein Theiler von pp^^ d. h. eine Potenz von jj; da h aber kleiner als pj)^ sein soll, so ist es auch ein Theiler von p^ , und folglich ccPi ^ 1 (mod n), also: eine nicht primitive Congruenzwurzel des Grades |)jjj ist zugleich eine Congruenzwurzel des Grades pi- Umgekehrt ist jede Congruenzwurzel des Grades ])i zugleich eine imprimitive Congruenzwurzel des Grades ppi. Da nun die beiden Con- gruenzen xpp^ ^ 1, xp^ ^ 1 so viele Wurzeln haben, als ihr Grad beträgt, so bleiben ^^Ji — 2^i primitive Congruenzwurzeln der ersten übrig, und es ist also (13) fPiPlh) =lh{p - !)• Die Function (p{a) hat also dieselbe Bedeutung, wie im §. 140, und es ist damit zugleich die Anzahl der primitiven Wurzeln der Primzahl n gleich q)(n — 1) gefunden. Wir sprechen also noch den Satz aus: 4. Eine Primzahl n hat (p{n — 1) primitive Wurzeln. Damit ist die Existenz von primitiven Wurzeln für jede Primzahl nachgewiesen und zugleich ihre Anzahl bestimmt. Zur Auffindung der primitiven Wurzeln haben wir freilich keine andere allgemeine Methode als das Probiren, was durch einige Kunstgriffe etwas abgekürzt werden kann. Ist g eine primitive Wurzel der Primzahl >«, so sind die Reste der Potenzen (14) h 9, (A 9\ -^ : g''-' alle von einander verschieden, da, wenn ^'" ^ ^"' + ." wäre, g'' ^ 1 sein müsste, was nicht möglich ist, so lange ii positiv und kleiner als n — 1 ist. Es muss also unter den Resten der Reihe (14), unter denen der Rest 0 nicht vorkommt, jede der Zahlen (15) 1, 2, 3, . . ., n - 1 und jede nur einmal enthalten sein, oder mit anderen Worten: 5. Ist a eine durch n nicht theilbare Zahl, so giebt es eine und nur eine Zahl « aus der Reihe der Zahlen 0, 1, 2, . . ., m — 2, durch die die Con- gruenz (16) ^" = a (mod n) 472 Zwölfter Abschnitt. §, 143. befriedigt wird. Dieselbe Congruenz wird aber auch befriedigt, wenn als Exponent eine mit a nach dem Modul w — 1 congruente Zahl gesetzt wird, und man findet in jedem vollen Restsystem nur eine solche Zahl «. Der Exponent a heisst der Index von a in Bezug auf die Basis ^, und es wird geschrieben (17) a ^ inda (mod n — 1). Man hat also für jede durch n nicht theilbare Zahl (18) g^^" ^ a (mod n). Aus den beiden Formeln (19) ^inda + indö ^ ^ J^ gm ind a ^ (j^ni (^modw) ergiebt sich der Satz : 6. Der Index eines Productes ist gleich der Summe der Indices der Factoren; der Index der m^^'^ Potenz von a ist gleich dem m fachen des Index von a. Diese Sätze sind ganz analog den entsprechenden Sätzen, die sich auf die Rechnung mit Logarithmen beziehen, und die Analogie lässt sich noch weiter verfolgen. So wird z. B. der Uebergang von einer Basis g zu einer anderen Basis g' durch die Formel .3 .3.9' (20) inda ^ ind?;' inda (mod n — 1) vermittelt. Wir wollen noch den leicht zu beweisenden Satz anführen, dass unter den durch n nicht theilbaren Zahlen a die und nur die j^rimitive Wurzeln sind, deren Indices relativ prim zu n — 1 sind. Für praktische Rechnungen bedient man sich zweckmässig sogenannter Indextabellen, die den Logarithmentafeln entsprechen. Man nennt in der Congruenz (17) a den Index und a den Numerus, und stellt am besten zwei Tabellen auf, von denen die eine zu jedem Index den Numerus, die andere zu jedem Numerus den Index giebt, wo die zweite durch Umstellung aus der ersten gewonnen wird. Dabei ist zu beachten, dass für die Indices der Modul n — 1, für die Numeri der Modul n in Betracht kommt und congruente Zahlen als gleichwerthig gelten. So erhält man z. B. für n = 13 und die Basis 2 §. 143. Primitive Congruenzwurzeln. 473 1 012 3 456789 10 11 N 1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Index gleich 0 oder n — 1 ist, den Index — - — haben; in 014295 11 38 10 7 6 Im Canon Arithmeticus von Jacobi (1839) sind für alle Primzahlen im ersten Tausend Indextabellen zusammengestellt. In kleinerem Umfange nach Berechnungen von Ostrogradsky in der „Theorie der Congruenzen" von Tschebyscheff (deutsch von Schapira, Berlin 1889). Es ist noch zu bemerken, dass der Index von 1 immer gleich 0 ist, und dass der Index von — 1 (oder von n — 1) immer gleich ^ \ — - — ist. Denn da ( — \f den Index 0 oder n — 1 hat, so muss • — 1, da es nicht den Index 0 hat, und das Doppelte seines Index gl( Formeln : (21) ind 1 = 0, ind(— 1) = (mod n — 1). Ist n eine Primzahl, und m nicht durch n — 1 theilbar, so giebt es immer wenigstens eine durch n nicht theilbare Zahl A", so dass Z;'" nicht mit 1 congruent ist. Denn ist m' der Rest von m nach dem Modul n — 1, so ist Ä;'" ^ Ä;"'' (mod w), und die Congruenz x'"' ^ 1 hat weniger als n — 1 Wurzeln. Folglich giebt es eine durch n untheilbare Zahl 7j, die nicht Wurzel dieser Congruenz ist. Nun durchläuft aber 1;x zugleich mit x ein volles Restsystem nach dem Modul n (§. 123), und wir haben daher 2:^;"' = ZQix)»" (mod w), oder ßm — 1) Zx"' = 0 (mod n). Daraus ergiebt sich für jeden durch n — 1 nicht theilbaren Exponenten m (22) Ä Ux'" ^ 0 (mod w), [m nicht ^0 (mod n — 1)], wenn x ein volles Restsystem für den Modul n durchläuft. Ist aber m durch n — 1 theilbar, so ist x'^ für jedes durch n untheilbare x mit 1 congruent, und wir erhalten direct (23) Ux"^ = — 1 (mod w), [m = 0 (mod n — 1)]. 474 Zwölfter Abschnitt. §. 144. Diese Sätze lassen sich auch dadurch beweisen, dass man x durch eine Potenz einer Primitivwurzel g darstellt, und zeigen eine weitere Analogie der Potenzreste mit den Einheitswurzeln. §• 144. Multiplication und Theilung der trigonometrischen Functionen. Wir haben schon auf den Zusammenhang hingewiesen, der zwischen der Theorie der Einbeitswurzeln und der geometrischen Aufgabe der Theilung der Kreisperipherie besteht. Die Ver- allgemeinerung dieser Aufgabe führt auf die Theilung eines beliebigen "Winkels. Auch diese Aufgabe führt auf algebraische Gleichungen, von denen wir die für die Dreitheilung schon früher für die allgemeine Auflösung der cubischen Gleichungen benutzt haben (§. 120). Wir beginnen jetzt mit der Aufstellung der allgemeinen Formeln. Nach dem Moi vre' sehen Satze (§. 36 j ist, wenn n eine beliebige positive ganze Zahl und cp ein beliebiger Winkel ist, (1) cos n(p -{- i sin n (p = (cos (p -\- i sin g))", und wenn wir auf der rechten Seite den binomischen Satz an- wenden, so folgt durch Trennung des Reellen vom Imaginären cos 11 (p = cos qp»» — B^^^ cos" "2 (psin- q) -\- 5(»"cos"-*QPsin4(p — • • •. (2) . -r . H^ ^ ' sin w qp , -r,, . o • „ — ; — = n cos"~"^ OD — i>-,"^ cos"~3 qp sm2 qp sm qp T ö -\- 5^») cos"-^ qp sin* qp — • • •, worin B["' wie früher die Binominalcoefficienten sind, und die Summen auf der rechten Seite so weit fortzusetzen sind, als keine negativen Exponenten von cos qp vorkommen. Da nun sin^ qp = 1 — cos- qp ist, so lassen sich diese beiden Ausdrücke rational durch cos qp darstellen ; wir setzen (3) 2cosqp = X, und führen die Bezeichnung ein (4) 2cosn(p = Än(x), —. — - = Bn(x), ^ ^ ^ ^ ^ sin qp §. 144. Trigonometrische Functionen. 475 worin also An(x) und B^ix) ganze Functionen von x sind, An{x) vom Grade w, Bn(x) vom Grade n — 1. Wir wollen das allgemeine Gesetz dieser Functionen ermitteln. Wir stellen sie für die ersten Werthe w = 1, 2, 3, . . . auf, und leiten dann eine Recursionsformel zur Berechnung der höheren Functionen ab. Man findet Ai (x) = X, -Bi (x) = 1 (5) ^2 [x) = a;2 — 2, 1?, (x) = x A3 (x) = x-^ — Sx, B^^x) = x^ — \. Nun ist aber nach bekannten Formeln cos (n -j- 1) g? -|- cos (n — 1) g? = 2 cos q) cos n cp sin (n -\- l)(p -\- sin (w — 1) ^ = 2 cos qp sin n g?, woraus für An und J5„ die Recursionsformeln folgen: A„^l(x) == X An (X) — An-i (X), ^ ^ Bn + i(x) = xBn (X) — Bn-i (x). Daraus kann man A„, B„ für jedes beliebige n berechnen, wenn diese Functionen für n = 1 und n = 2 bekannt sind. So findet man A^(x) = a:* — 4a;2 -f 2 A^ (x) = x'^ — bx^ -^ öx Ae (x) = X'- — ex* -\- 9x^ — 2 Bi (x) = x^ — 2x B, {x) = X* — 3x-^ ^ l B(,{x) = x-^ — 4. x^ -\- 3 X, und so kann man fortfahren. Man kommt durch Induction zu folgendem allgemeinen Gesetz: n wn-.-> „ n., r. = = n (7) An{x) = i:{-\y-^B[-'^x--^\ 0 n — V 2' y Yl 1 (8) Bn{x) = 2; (- \y B':-'-'' x—^^-\ 0 ^ V ^ ^— , wo die Summen mit v =: 0 beginnen, und so lange fortzusetzen sind, als die Exponenten von x nicht negativ werden. Da sich diese Formeln in den ersten Fällen als richtig erweisen, so ist, um sie allgemein zu beweisen, nur noch der Nachweis nöthig, dass sie die Formeln (6) verificiren. Bilden wir zu diesem Zweck An-^{x) = i f-iy -'^~^ , Bl" — ''x-'^-\ ^'^ ^W V 1 476 Zwölfter Abschnitt. §. 144. und setzen v — 1 an Stelle von v, so folgt (9) An-, {x) = -i (- 1)^ ^"^^ JB';s:'^x—'^+\ ^ n — V . _ _ n+ 1 1 < v<~^ Wenn wir JB[ü\ = 0 annehmen, können wir auch hierin v von 0 an wachsen lassen. Die Werthe, die v in der Formel (7) annimmt, unterscheiden sich dann von denen in der Formel (9) nur wenn n ungerade ist, weil dann der Werth v = (n -|- 1) • 2 in (9), aber nicht in (7) vorkommt. Wir können aber diesen Werth in (7) zufügen, wenn wir einen Binomialcoefficienten JB[X+ii in dem der untere Index den oberen übertrifft, gleich 0 annehmen. Dann er- giebt sich (10) xÄn(x) — Än-i(x) ^^ n — V ^ ^ — 2 Nun ist aber, wie sich aus §. 7 (9) ergiebt, n — V n ^ V -\- 1 auch in den beiden Grenzfällen v = 0, y=^(n-J-l):2, und somit stimmt also (10) mit dem überein, was sich aus der rechten Seite von (7) durch Vertauschung von n mit n -f- 1 ergiebt. Noch einfacher ergiebt die Formel (8) xBJx) - Bn-,{x) = i (- lyx—'^^' (J5t"-*-^) + -Bl-"/"'0. und da ist, so ist damit auch (8) allgemein bewiesen. Der Uebersicht halber setzen wir die P'ormeln etwas aus- führlicher her: (11) An{x) = x'' — wa:»-2 n{n — ?,) n(».-4)(n-5) + 1.2^ 1.2.3 "" + §. 144. Theilung des Winkels, 477 (12) -B„ (x) = a;"-i — {n — 2) a;"-^ (^-3) (^-4) _ (n-4)(n-5)(n-6) "T" 1.2 1.2.3 ^i-- Nehmen wir coswgj und iinncp als gegeben an, so dient die Gleichung w*^"^ Grades (13) -^nix) — 2 cos n 9? = 0 zur Bestimmung der Unbekannten x = 2 cos g). Die Bedeutung der n Wurzeln dieser Gleichung ergiebt sich daraus, dass der Cosinus sich nicht ändert, wenn der Winkel um ein Vielfaches von 2 7t wächst. Demnach genügt der Gleichung (13) jeder Werth (14) a;==2cos(9. + ^), wenn v eine beliebige ganze positive oder negative Zahl bedeutet. Man erhält aber alle von einander verschiedenen Werthe von (14), wenn man v ein volles Restsystem in Bezug auf n durch- laufen lässt, also z. B. V = 0, 1, 2, . . ., n — 1 setzt, und man sieht auch leicht, dass diese n Werthe alle von einander ver- schieden sind, wenn man von dem besonderen Falle absieht, dass (p ein Vielfaches von 7i:n ist. Denn zwei Cosinus sind nur dann einander gleich, wenn die Summe oder die Differenz der Winkel ein Vielfaches von 2 jr ist. Die Gleichung (15) sin ng) = sin cp Bn (x) bestimmt, wenn JBn{x) nicht gleich Null ist, sin cp eindeutig durch X. Suchen wir in der Gleichung (13) das von x unabhängige Glied, so ergiebt sich mit Benutzung von (6) für ein gerades n n 2( — 1)^ — 2 cos w 9, und für ein ungerades n — 2 cos n (p , und wenn man dies dem positiven oder negativen Product der Wurzeln gleichsetzt, so erhält man für ein gerades n (16) 2"-^ JI cos (qp -| j =:r (— 1)2 _ cosng), und für ein ungerades n 478 Zwölfter Abschnitt. §. 144. '' / 2v TT \ (17) 2"-^ TT cos f 9? H \ = cos ncp, und diese Formeln gelten, da rechts und links stetige Functionen von g? stehen, auch noch für den zunächst ausgeschlossenen Fall, wo 9 ein Vielfaches von 7t : n ist. Hierin können wir unter demProductzeichen vm für r setzen, wenn m irgend eine zu w theilerfremde Zahl ist, weil dann vm zugleich mit v ein volles Restsystem nach dem Modul n durch- läuft. Sondern wir den Werth v = 0 ab, und lassen dann v sowohl die positiven als die negativen Zahlen durchlaufen, die absolut kleiner als n : 2 sind, so erhalten wir aus (17) die für jedes ungerade n gültige Formel JL / , 2vm7i\ / 2vmTc\ cos nw (18) 2«-i JI ^cos [cp + -^^) cos [cp ^— j - '' 2 cosqo Setzen wir hierin (p = 0 und ziehen die Quadratwurzel, so ergiebt sich (19) 2"-?n cos^ü^ = +l, «-1 n 1, 2 worin einstweilen das Vorzeichen noch unbestimmt bleibt. Wenn wir aber in (18) cp in 7i:2 übergehen lassen, so erhält die rechte Seite, die sich unter der unbestimmten Form 0 : 0 u — 1 darstellt, den Grenzwerth (—1) ^ w, und wir erhalten Avieder die Formel, die wir im §. 142 für eine Primzahl n abgeleitet haben, allgemein für jedes ungerade n ^ — ^ V 2vm7C I T /~ (20) 2 2 n sin ^ = + Vn, «-1 ^' 2 und für m = l ist das positive Zeichen zu nehmen. Die Function Bn, die in Bezug auf x vom {n — ly^"" Grade ist, verschwindet nach (4), wenn n (p, aber nicht (p ein Vielfaches von 7C ist, also für (21) X =^ 2 cos — , ^ ■' n worin li eine ganze, nicht durch n theilbare Zahl ist. Nehmen wir zunächst n gerade an, so erhalten wir alle in (21) enthaltenen verschiedenen Werthe, wenn wir für m eine beliebige zu n theilerfremde Zahl setzen und §. 144. Theilung des Winkels. 479 (22) h = m, 2 m, 3 m, . . ., {n — 1) m annehmen; denn es ist nur dann h 7C h' n cos — = cos — , n n wenn entweder h -\- h' oder h — li' ein Vielfaches von 2 n ist, was nicht eintreten kann, wenn h und h' beide aus der Reihe (22) genommen sind. Unter den VVerthen (21) ist einer, nämlich der dem Werth ]i = nm : 2 entsprechende, gleich Null und die übrigen sind paar- weise entgegengesetzt. Hiernach ergiebt sich für ein gerades n (23) B„ (_x) = x h (x^- — 4 cos2 "^^^^ • Wenn n ungerade ist, so ist Br.{x) nur von x'^ abhängig; also sind je zwei der Werthe (21) entgegengesetzt gleich (für h und h -\- n). Wenn man, indem man wieder m zu n relativ prim voraussetzt, h = 2m, im, 6m, . . ., (n — l)m annimmt, so erhält man in (21) weder zwei gleiche, noch zwei entgegengesetzte Werthe, und es ergeben sich alle von einander verschiedenen Werthe von x^. Es wird also für ein ungerades n (24) Bnix)=n (x^ - icos^^J^^. Setzen wir in dieser Formel • „ N „2vm7t , . ^2vmn X = 2 cos op, :r2 = 4 ( 1 — sin2 m), cos^ = 1 — sm^ so können wir sie so darstellen: (25) —. — -^ = (—1)2 2"-i n (sm^o) — sin2 ), ^ sing) ^ ^ „_A ^ n J woraus wieder für (p = 0 die Formel (20) folgt. Da coswqp bei ungeradem n verschwindet, wenn 2vm7t cos g) = + sin n ist, so haben wir damit für diesen Fall auch die Factoren- zerlegung der Function Än(x) gefunden. Es ist für ungerades n 480 Zwölfter Abschnitt. §. 145. »■ / ^ VW, 7t\ (26) Än(x) = X n (x-^ — 4sm2^ V Die Grössen .r.^ • « 2 vmjr (27) « = sm2 sind also die Wurzeln einer algebraischen Gleichung vom Grade (n — 1) : 2 0n(x) = 0, und wir erhalten die Function ^„(x), wenn wir an Stelle der Variablen x- in der Function Än(x) : x eine neue Variable 4 a; setzen und durch 2"~^ dividiren. Es wird daher [Formel (11)] (28) 0n(x) = n(x-a) = X2 -jx. + \^ 16^^ ' und für (25) können wir schreiben (29) smjr^ ^ »^ 2«-i /7 (sin2 (p — «). ^ '^ sin 9? ^ ^ ^ §. 145. Vorzeichenbestimmung. Quadratische Reste. Wir haben im vorigen Paragraphen zwei Formeln abgeleitet, in denen noch Vorzeichen zu bestimmen waren, nämlich (1) r^ h cos ^^^ = ± 1, (2) 2 2 TT sm = -\- 1/w, worin w relativ prim zu der ungeraden Zahl n ist, und v die Reihe der Zahlen 00 1, 2, . . , ^ durchläuft. Wir wollen das Zeichen v für die Zahlen dieser Reihe hier festhalten. Jede beliebige ganze Zahl giebt bei der Theilung durch n als Rest eine der Zahlen v oder 0 oder [n — v. Statt n — v können wir, wenn wir auch negative Reste zulassen, — v wählen, und wenn wir also von den durch n theilbaren Zahlen absehen, §. 145. Quadratische Reste. 481 SO bleibt eine der Zahlen +v als Rest. Wir nennen diese den absolut kleinsten Rest (zum Unterschied von dem kleinsten Rest im gewöhnlichen Sinne, der aus den Zahlen l, 2, ..., n — 1 genommen ist). Es sei nun also m eine zu n theilerfremde Zahl; wir be- trachten die Reihe der Zahlen (mv) m, 2m, 3 m, . . ., — ^ — w, und bilden zu jeder den absolut kleinsten Rest q: (q) ±^1, +^2, ±n^ ' • •, ±VL(n-lV unter diesen Zahlen q kommen nicht zwei gleiche und auch nicht zwei entgegengesetzte vor; denn wenn die Summe oder die Differenz zweier Zahlen (p), also Q -^ q' oder q — q' gleich Null wäre, so müsste für zwei verschiedene Zahlen v, v' aus (v) w(v i v') durch n theilbar sein, also müsste auch v + v' durch n theilbar sein, was unmöglich ist, da jede der Zahlen v, v' kleiner als n : 2 ist. Die Gesammtheit der Zahlen (q) stimmt also, vom Vorzeichen und von der Reihenfolge abgesehen, mit der Gesammtheit der Zahlen (v) überein. In den Formeln (1) und (2) können wir aber, wegen der Periodicität von Sinus und Cosinus, vm durch q ersetzen, und da cos ( — g)) = cos )^(T> tl«— 1 8 , Aendert man m um ein Vielfaches von w, so bleiben alle Factoren des Productes (4) ungeändert, und daraus folgt: 7. Es ist /m\ /m'\ VW ~ \n/ ' wenn m ^ m' (mod n). Wir setzen jetzt nicht nur w, sondern auch m als ungerade und positiv voraus und wenden die Formel (29) des §. 144 an, in der wir n durch ni ersetzen : 31* 484 Zwölfter Abschnitt. §. 145. srnrntp ^ ^ »^-il 2^-1 n (sin2 (p - /3), ^ sm 9 ^ worin /3 die säramtlichen Wurzeln der Gleichung ^,„(a;) = 0 durchläuft, die den Ausdruck (6) ß = sm2 -?^ haben. Ist nun m' eine zu « theilerfremde Zahl, so durchläuft 2 vin' 71 CJ) « = sm2 ^ ■' n die sämmtlichen Wurzeln der Gleichung 0„(a:) = 0, und wenn wir in (.5) 2v m' 71 (8) f = ^r- setzen und das Product in Bezug auf alle v nehmen, so folgt: 1^ . 2 V mm' 71 ^^'^ n (m — 1) (>i— 1) (m— 1) (n — 1) u ß n sm Die rechte Seite dieser Formel ist aber von m' ganz unab- hängig. Der Werth der linken Seite ist also derselbe, als ob w' = 1 wäre, und wenn man für die Producte die Werthe aus (4j setzt, so folgt /mm'\ /m'\ /niX . /1\ \ n J ' \n J \w/ ' \n/ ' oder /mm'\ i-' = if)(" Hier war zunächst vorausgesetzt, dass m und m' positiv und ungerade seien. Nach 3. und 5. aber bleibt 8. auch noch richtig, wenn m oder m' negativ oder gerade ist, wenn nur m und m' relativ prim zu n sind. Nehmen wir wieder m ungerade und positiv an, so folgt jetzt aus (4) und (9) /m\ (»1 — 1) (n — l) (m — 1) (n — 1) a ji (10) r-^J = (- 1) — 4 2 — 2 nn{a- ß). Wenn wir hierin m mit n vertauschen, so ändert in dem Doppelproduct auf der rechten Seite jeder Factor sein Vorzeichen; alles Andere bleibt ungeändert. Die Anzahl dieser Factoren ist aber §. 145. Quadratische Reste. 435 n — 1 m — 1 2 2 und daraus folgt ^- (»; = (->> ' \mh — ) ist ffleich ( — ), wenn von den beiden \nj ^ \mj ungeraden Zahlen m^ n wenigstens eine von — j ist entgegen- gesetzt zu (— ), wenn beide Zahlen von der \mj Form 4fc -|- 3 sind Dieser berühmte Satz ist unter dem Namen des Reciproci- tätsgesetzes bekannt. Der hier scegebene Beweis rührt von Eisenstein her. Man kann mit seiner Hülfe und nach 5. und 6. den Werth des Symbols ( — ) sehr schnell ermitteln, indem man so verfährt, als ob es sich um die Bestimmung des grössten gemeinschaftlichen Theilers von m und n handelte. Aus 8. und 9. ergiebt sich noch ein letzter Satz, der gilt, wenn n und n' zwei positive ungerade zu m theilerfremde Zahlen sind: (?) © = (w)- ; Seine Richtigkeit ergiebt sich, wenn m ungerade und positiv ist auf Grund der Congruenz (11 j (n — 1) in' — 1) = (nn' — 1) — (w — 1) — (n' — 1) = 0 (mod 4), wenn man auf beide Seiten von 10. die Formel 9. und dann 8. anwendet, und wenn m gerade oder negativ ist, aus 4. und 6. (fyi\ — ) auf ein Product von nj Werthen (— ) zurückführen, worin p, q Primzahlen sind. Die — ) geschieht aber leichter nach 9. ohne diese Zerlegung. Wir wollen nun noch eine andere Bedeutung des Symbols — ] kennen lernen, für den Fall, dass j) eine ungerade Prim- 486 Zwölfter Abschnitt. §. 145. zahl ist, durch die ursprünglich das Symbol von Legend re ein- geführt ist. Wenn wir alle durch 2^ nicht theilbaren ganzen Zahlen x ins Quadrat erheben, und die Reste der Division durch j3 auf- ü — 1 suchen, so erhalten wir im Ganzen nur ^—^ — verschiedene Reste, denn erstens geben die Quadrate congruenter Zahlen die- selben Reste, und zweitens geben die Quadrate entgegengesetzter Zahlen auch dieselben Reste. Wir bekommen also gewiss alle Reste, wenn wir die - — ;- Zahlen v (v) 1, 2, 3, . . •, ^-=^ ins Quadrat erheben. Auf der anderen Seite ergeben auch die Quadrate dieser Zahlen v lauter verschiedene Reste; denn es kann, wenn v und v' verschiedene von ihnen sind, niemals v^ — V'2 T= (v — v') (v + v') durch 2^ theilbar sein, weil sowohl v — v' als v -\- v' kleiner als 2? ist. Von den Zahlen (s) 1, 2, 3, . . ., jj - 1 kommt also die Hälfte unter den Resten von x'^ vor, die Hälfte nicht. Die ersteren Zahlen und alle mit ihnen nach p con- gruenten heissen die quadratischen Reste von p, die anderen die quadratischen Nichtreste von ^. Wenn nun m quadratischer Rest ist, so ist die Congruenz (12) a;2 ^ m (mod p) möglich, und aus 7. und 8. folgt f ) - (f ) - (f )^ - + - I = -|- 1 , wenn m quadratischer Rest von p ist. Es ist aber in §. 142, 1. der Satz ausgesprochen, dass, wenn — j ebenso oft das positive wie das negative Zeichen hat, und daraus ersieht man, dass das negative Zeichen gilt, wenn m quadratischer Nichtrest ist, es folgt also: §. 145. Quadratische Reste. 487 11. Ist p eine ungerade Primzahl, und m durch p nicht t heilbar, so ist ( — j = -|- 1 oder = — 1, je nachdem m quadratischer Rest oder qua- dratischer Nichtrest von p ist. Darin sind alle Hauptsätze über die quadratischen Reste enthalten, z. B, nach 8, der Satz: 12. Das Product zweier quadratischer Reste oder zweier Nichtreste ist ein Rest; das Product aus einem Rest und einem Nichtrest ist ein Nicht- rest. Nach dem Fermat'schen Satze (§. 143) ist für jede durch p nicht theilbare Zahl m wP-i — 1 = (>w 2^ — l) \ni~^ + l) = 0 (mod m). Es muss also einer der beiden Factoren p — 1 p — 1 m~2~ _ 1, nf^^ -\- 1 durch 2) theilbar sein, und es kann auch nur einer von ihnen sein, weil sonst auch ihre Diöerenz, die gleich 2 ist, durch p theilbar sein müsste. Wenn nun die Congruenz (12) möglich ist, so ist w 2 ^ xP~^ ^ l (mod p), woraus folgt, dass alle quadratischen Reste, deren Anzahl \(p — 1) ist, Wurzeln der Congruenz i> — 1 X ^ ^1 (mod p) sind. Da aber diese Congruenz nach §. 143 nicht mehr als ^(t, — 1) Wurzeln haben kann, so sind die quadratischen Nicht- reste Wurzeln der Congruenz X ^ ^ — 1 (mod p), und hieraus folgt der für jede durch p nicht theilbare Zahl ni gültige Satz von Euler (13) m 2 = i^—j (moAp), oder in Worten : 488 Zwölfter Abschnitt. §. 145. 13. Die durch p nicht theilbare Zahl ni ist quadrati- scher Rest oder Nichtrest von p, je nachdem m 2 — 1 oder m ^ -}- 1 durcli p theilbar ist. Wir können noch hinzufügen, dass die quadratischen Reste in jedem Indexsysteme gerade Indices haben, die Nichtreste ungerade. Hieraus lassen sich noch einige weitere bemerkenswerthe Folgerungen ziehen. Wir bezeichnen mit a die quadratischen Reste, mit b die Nichtreste der ungeraden Primzahl p, so dass die Anzahl der a und der h je l{p — 1) beträgt. Mit 11 (a) und n(^lj) bezeichnen wir die Producte der sämmtlichen a und der sämmtlichen b. Die a und b zusammen enthalten alle Zahlen 1, 2, .... ^:* — 1, und es ist daher nach dem Wilson'- schen Satze (§. 143) (14) n(a) n{b) = — 1 (mod jj). Ist b„ ein fester Nichtrest, so durchläuft b,^a nach 12. die sämmtlichen Nichtreste b. wenn a die sämmtlichen Reste durch- läuft und daraus ergiebt sich nach 13. (15j n(b) = b^^ n(a) = — n{a) fmod p). Ferner ist, da jedes a dem Quadrate einer der Zahlen 1, 2, . . ., \(p — 1) congruent ist (16) n{a) = (l, 2, 3. . • ., ^-^)' (mod p). Die in dem Wilson' sehen Satze vorkommenden Zahlen 1, 2, . . .• p — 1 kann man aber auch durch die Zahlen + 1, ib2, . . ., -^\{p — Ij ersetzen, und daraus ergiebt sich i;, 2, • . ., -^^) = (_ 1)^- (mod pl 2 und es folgen also aus (15j und (16) die Formeln P + i (17) n{a)=i-\)^, n(b) = {-l)^ (modp). DRITTES BUCH. ALGEBRAISCHE GROSSEN. Dreizehnter Abschnitt. Die Galois'sche Theorie. V §. 146. Der K ö r p e r b e g r i f " f . Ein System von Zahlen wird ein Zahlkörper genannt, wenn es so in sich vollendet und abgeschlossen ist, dass die vier fundamentalen Rechenoperationen (die vier Species), die Addi- tion, die Subtraction, die Multiplication und die Divi- sion, ausgeführt mit irgend welchen Zahlen des Systems, aus- genommen die Division durch Null, immer auf Zahlen führen, die demselben System angehören. Dieser Begriff, der eine Eintheilung der Zahlenarten nach einem natürlichen Gesichtspunkte giebt, ist von Dedekind eingeführt (Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, 2. Aufl. 1871, §. 159). Er ist für die Algebra von der grössten Bedeutung, und es ist nicht gleichgültig, "dafür einen bezeichnenden und ausdrucksvollen Namen zu haben. Das Wort Zahlkörper ist von Dedekind nach zahlreichen Ana- logien gebildet, in denen das Wort Körper (corpus, corps) in ähn- licher Weise eine Vereinigung von zusammengehörigen Dingen, der eine gewisse Vollständigkeit zukommt, bedeutet. Der Begriff des Zahlkörpers kann erweitert und auf alle Grössen übertragen werden, mit denen nach den Regeln der vier Species gerechnet werden kann, insbesondere also auf rationale Functionen irgend welcher Veränderlichen. Wir nennen also einen Functionenkörper ein System von Functionen von einer oder mehreren Veränderlichen von der Beschaffenheit, dass in diesem System die Rechnungen mit den vier .Species unbegrenzt ausgeführt werden können und immer 492 Dreizebiiter Abschnitt. §. 146. auf eine bestimmte Function desselben Systems führen (immer mit Ausnahme der Division durch Null). Die Veränderlichen können ganz von einander unabhängig sein; es ist aber auch der Fall nicht ausgeschlossen, dass gewisse Beziehungen zwischen ihnen festgesetzt sind, die beim Rechnen zu berücksiclitigen sind. Eine Function eines Functionenkörpers gilt nur dann als Null, wenn sie identisch, d. h. für alle in Betracht kommenden Werthe der Veränderlichen verschwindet. Da wir vorläufig unsere Betrachtungen nicht einschränken wollen, so werden wir ietzt von Körpern schlechtweg sprechen, und die Objecte, mit denen die Rechnungen auszuführen sind, die sowohl Zahlen als Functionen sein können, als Grössen oder auch als die Elemente des Körpers bezeichnen i). Ein Körper ist dann also ein System von Grössen von der Vollständigkeit, dass in ihm die Grössen addirt, subtrahirt, multi- plicirt und dividirt werden können. Wenn alle Grössen eines Körpers in einem zweiten Körper enthalten sind, so heisst der erste Körper ein Theiler des zweiten. Ist ein Körper fl ein Theiler eines Körpers Sl\ so werden wir auch sagen, Sl' ist ein Körper über Sl. Streng genommen, bildet die einzige Zahl „Null" für sich einen Körper. Diesen wollen wir aber der Kürze wegen ein- für allemal ausnehmen. Dann ist das nächstliegende Beispiel eines Körpers der In- begriff aller rationalen Zahlen. Dieser Körper ist ein Theiler von jedem anderen Körper; denn jeder Körper enthält wenigstens eine von Null verschiedene Grösse ra, also auch den Quotienten co : o = 1, d. h. die Zahl 1, also auch, da alle ganzen Zahlen durch Addition und Subtraction von Einern entstehen , alle ganzen Zahlen ; und aus den ganzen Zahlen kann man wieder durch Division alle Brüche ableiten. Andere Beispiele von Zahlkörpern sind: der Inbegriff aller complexen Zahlen von der Form x -\- yi, worin * =V — 1, x und y alle rationalen Zahlen bedeuten; ferner der Inbegriff' aller (rationalen und irrationalen) reellen Zahlen, oder der In- begriff aller überhaupt existirenden complexen Zahlen x -{- yi. 1) Vergl. des Verfassers Abhandlung: „Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie". Mathematische Annalen, Bd. 43. §. 147. Adjunction. 493 Als Beispiel eines Functionenkörpers mag der Inbegriff aller ganzen und gebrochenen rationalen Functionen einer Veränder- lichen (mit Einschluss der Constanten) dienen, wobei man die Constanten Coefficienten auf einen beliebigen Zahlkörper, etwa auf den der rationalen Zahlen beschränken oder auch ganz un- beschränkt annehmen kann. Wir wollen hier nicht weiter die Beispiele häufen, da die genaue Untersuchung von Körpern besonderer Art eine der Hauptaufgaben unserer späteren Ausführungen sein wird. v§. 147. Adjunction*. Wenn einem Körper irgend welcher Grössen, den wir mit £1 bezeichnen wollen, irgend eine Grösse a hinzugefügt wird, die nicht in ihm enthalten ist, so entsteht ein neues Grössensystem ß, a, das aber kein Körper sein wird; um daraus einen Körper abzu- leiten, muss man alle Grössen hinzufügen, die sich durch die Verbindung von « mit den Grössen von Sl mittelst der Grund- rechnungsarten ableiten lassen. So erhält man einen erweiterten Körper Sl\ der zugleich a und Si enthält, und der durch a und Sl völlig bestimmt ist. Wir wollen ihn den Körper ß, a nennen. Dies Hinzufügen einer neuen Grösse a zu einem Körper Si heisst Adjungiren, und man sagt, der Körper £1' entsteht aus iß durch Adjunction von a. Zu £1' kann man wieder eine Grösse a' adjungiren, und erhält einen dritten Körper ß", der dann ß, « und «' ent- hält u. s. f. Man kann aber auch gleichzeitig zwei oder mehrere Zahlen zu £1 adjungiren, und erhält so denselben Körper £l'\ wenn man gleichzeitig a und a' dem £i adjungirt. Man kann auch einem Körper einen zweiten Körper adjungiren und erhält so einen Körper, der zugleich die Zahlen der beiden Körper enthält. In dem obigen Beispiel würde man durch Adjunction des Körpers £1, a' zu dem Körper £1' = £1^ a wieder denselben Körper £1" erhalten. Adjungirt man einem Körper einen seiner Theile, so entsteht kein neuer Körper. So erhält man z. B., wenn man zum Körper der rationalen 494 Dreizehnter Abschnitt. §. 148. Zahlen, der mit 9t bezeichnet sein mag, die Zahl i = V — 1 adjungirt, den Körper der complexen Zahlen x-\- yi, mit ratio- nalen X, y. den wir ^ nennen wollen. Durch Adjunction einer Variablen u zum Körper 9t erhält man den Körper, der aus allen ganzen und gebrochenen rationalen Functionen von u mit ratio- nalen Coefficienten besteht, durch Adjunction von u und i zu 9t den Körper der rationalen Functionen von ii, deren Coefficienten Zahlen in ^ sind u, s. f. Es sei schliesslich noch bemerkt, dass ein Körper von Grössen vielfach auch, nach Krone cker's Vorgang, ein Ratio- nalitätsbereich genannt wird. Es ist bisweilen nützlich, den Ausdruck Rationalitätsbereich für einen Körper dann zu brauchen, wenn damit ausgedrückt werden soll, dass bei einer bestimmten Aufgabe die Grössen dieses Körpers als bekannt oder rational betrachtet werden sollen. v§. 148. Functionen in einem Körper. Wir haben oft Veranlassung, ganze Functionen einer Ver- änderlichen X (1) f{x) = a, a;'" + «1 a;"»-! H • + a,n-iX + a,„ zu betrachten , deren Coefficienten einem bestimmten Körper Sl angehören, und die wir in Si enthaltene Functionen, oder kurz Functionen in Sl nennen wollen. Sie sind nicht zu ver- wechseln mit Functionen, die etwa dem Körper Sl angehören, wenn Sl ein Functionenkörper ist. Im dritten Abschnitt haben wir gesehen, dass, wenn die Coefficienten a^, «i, . . ., «,„ bestimmte Zahlenwerthe haben , m Wurzeln «i, «2, . . ., «m von f{x) existiren, die gleichfalls be- stimmte Zahlenwerthe haben, unter denen aber mehrere einander gleiche vorkommen, wenn die Discriminante z:/(a) der Function (1) verschwindet. Sind die Coefficienten a von f(x) unabhängige Variable, so giebt es für jedes bestimmte Werthsystem der a ein bestimmtes Werthsystem der «. und die « ändern sich stetig mit den a (§. 44j. So lange wir also die Veränderung der a auf ein hinlänglich enges Gebiet beschränken, in dem solche Werthe nicht vorkommen, für welche die Discriminante ^ (a) verschwindet, so §. 148. Functionen in einem Körper. 495 sind die m Grössen a als Functionen der a vollständig bestimmt und von einander unterschieden, wenn der Wertli einer jeden von ihnen für irgend ein bestimmtes Werthsystem der a gegeben ist. Sind die a nicht unabhängige Veränderliche, sondern selbst wieder Functionen von anderen Veränderlichen, so bleibt alles dies gültig, so lange nur die Aenderungen der a nach der Stetigkeit erfolgen. Wir können also hiernach in allen diesen Fällen von den tn Wurzeln einer Gleichung m*^" Grades sprechen, die als Zahlen oder als algebraische Functionen ihrer Coefficienten aufzu- fassen sind. Wenn nun Sl ein beliebiger Körper, und f{x) eine Function in ü ist, so sind zwei Fälle möglich. Die Function /(a;) ist entweder zerlegbar oder nicht zerlegbar in Factoren niedrigeren Grades, deren Coefficienten dem Körper il angehören. Im ersten Falle heisst die Function /(a;) redu- cibel, im zweiten irreducibel in Sl. Man spricht bisweilen auch, wenn der Körper Sl als bekannt und feststehend betrachtet werden kann, wenn es z. B. der Körper der rationalen Zahlen ist, schlechtweg von reduciblen oder irreducibeln Functionen, ohne die Bezeichnung „im Körper Sl" ausdrücklich hinzuzufügen. Dass aber an sich die genaue Präcisirung des Körpers, auf den sich die Reducibilität bezieht, oder der als Rationalitätsbereich betrachtet wird, sehr wesentlich ist, ergiebt sich aus folgenden Bemerkungen. Eine lineare Function ist selbstverständlich in jedem Körper irreducibel. Multiplicirt man mehrere Functionen der Form (\) mit einander, so entsteht eine Function derselben Form, die aber dann natürlich reducibel ist, da sie wieder in die Factoren zer- legt werden kann, aus denen sie entstanden ist. Eine Function f(x)^ die in Sl irreducibel ist, kann in einem erweiterten Körper ß', der aus Sl durch irgend eine Adjunction entsteht, reducibel werden; so wird jede Function /(ajj reducibel in dem Körper ß', der aus Sl durch Adjunction einer Wurzel a von f(x) = 0 entsteht; denn es kann von f(x) ein linearer Factor x — « abgesondert werden. In dem Körper, der aus allen Zahlen besteht, ist jede Function mit Zahlencoefticienten reducibel. I. Eine irreducible J'unction f(x) kann mit einer anderen Function F(x)^ deren Coefficienten 496 Dreizehnter Abschnitt. §. 148. demselben Körper Sl angehören, keinen gemein- samen T heiler haben, wenn nicht F(^x) durch f(x) theilbar ist. Dieser Satz, der uns in der Folge noch sehr wichtige Dienste leisten wird, ist fast selbstverständlich; denn der grösste gemein- schaftliche Theiler zweier Functionen F(x) und f(x) lässt sich durch rationale Rechnung finden, und ist daher auch in Sl ent- halten. Da nun aber/(a;) keinen in Sl enthaltenen Theiler hat als sich selbst oder eine Constante (d. h. eine in Sl enthaltene Grösse), so muss also dieser grösste gemeinschaftliche Theiler entweder eine Constante oder f(x) selbst sein. Es folgt aus diesem Satze, dass eine irreducible Function niemals mehrfache Factoren haben kann; denn sie müsste sonst mit ihrer Ableitung f'{x) einen gemeinsamen Theiler haben; also müsste f'(x) durch f{x) theilbar sein, was unmöglich ist, da der Grad von /' (x) niedriger ist als der von f{x). Wir können dem Satze I. auch den folgenden Ausdruck geben : II. Ist /(:r) irreducibel, und verschwindet F(x) für eine Wurzel von /(a;) = 0, so verschwindet es auch für alle anderen Wurzeln von /(o;) = 0. Insbesondere können wir daraus schliessen: III. Ist F(x) von niedrigerem Grade, als die irre- ducible Function f{x)^ und verschwindet F(x) für eine Wurzel von /(ic), so muss F(x) identisch verschwinden, d. h. alle Coefficienten von F(x) müssen Null sein. Auch ganze rationale Functionen von mehreren Variablen, f{x^ i/, *, . . .), deren Coefficienten dem Körper Sl angehören, heissen Functionen in Sl. Auch diese werden als reducible und irreducible Functionen bezeichnet, je nachdem sie zer- legbar oder nicht zerlegbar sind in mehrere Factoren, die selbst Functionen in Sl sind , und wenigstens einige der Variablen a;, ?/, ^, . . . wirklich enthalten. Hier ist aber auf einen Unterschied aufmerksam zu machen. Unter den Functionen von mehr als einer unabhängigen Veränderlichen giebt es solche, die überhaupt nicht in Factoren niedrigeren Grades, die rational von den Veränderlichen ab- hängen, zerlegbar sind, die also in dem aus allen Zahlen be- §. 149. Algebraische Körper. 497 stehenden Körper irrediicibel sind, und wieder andere, die zwar zerlegbar sind, aber nur in solche Factoren. deren Goefficienten nicht in Sl enthalten sind, und endlich drittens Functionen, die in mehrere Functionen in Sl zerlegbar sind; nur die letztere Alt werden wir reducibel in Sl nennen, während die der zweiten Art als zerlegbare^ die der ersten Art als unzerlegbare Functionen bezeichnet werden. Ist z. B. Sl der Körper der rationalen Zahlen, so ist x^ — y'^ = {x — y) (x -\- y) reducibel in Sl. Die Function x- — 2])- ist zwar in die Factoren X -\- y V2 , X — y yl zerlegbar , aber diese Factoren sind nicht Functionen in Sl. Die Function x"- A^ iß -\- 1 endlich ist über- haupt nicht zerlegbar. Eine in einem Körper Sl irreducible, aber zerlegbare Function wird in einem erweiterten Körper reducibel. Die fundamentalen Sätze über irreducible Functionen haben wir in §. 20 kennen gelernt. Bei jenen Ausführungen war zwar zunächst, dem dortigen Standpunkte entsprechend, der Körper aller Zahlen als Rationalitätsbereich vorausgesetzt, in dem der Unterschied zwischen unzerlegbaren und irreduciblen Functionen wegfällt. Benutzt ist aber immer nur die Reducibilität oder Irreducibilität einer Function, und die besondere Natur des Kör- pers Sl kommt nicht in Betracht. So ist also darin der Beweis des Satzes enthalten : IV. Eine reducible Function in Sl kann nur auf eine Art in irreducible Factoren zerlegt werden, wenn man rationale Functionen, die sich nur durch einen constanten Factor unterscheiden, als nicht verschieden betrachtet. ^ §. 149. Algebraische Körper. Ist Sl ein beliebiger Körper, und F{x) eine Function in ü, so heisst die Gleichung (1) Fix) = 0 eine Gleichung in Sl. Diese Gleichung heisst reducibel oder irreducibel, je nachdem die Function F{o^ reducibel oder irre- ducibel ist. Durch Adjunction einer Wurzel a einer solchen Gleichung zu Sl entsteht (wenn a nicht selbst schon zu ß gehörtj Weber, Algebra. I. 32 498 Dreizehnter Abschnitt. §. 149. ein neuer Körper Sl\ den wir einen algebraischen Körper „über" Sl oder auch, wenn Zweifel über die Bedeutung aus- geschlossen sind, kurz, einen algebraischen Körper nennen wollen. Wir brauchen für einen solchen Körper das Zeichen Sind /3, y, . . , Wurzeln von anderen Gleichungen in Sl oder auch andere Wurzeln derselben Gleichung, so erhalten wir durch gleichzeitige Adjunction von «, /3, y, . . . gleichfalls algebraische Körper über ü, die wir mit bezeichnen. Wir werden gleich sehen, dass diese Erweiterung des Begriffes algebraischer Körper nur eine scheinbare ist, und bleiben also zunächst bei der Adjunction einer Grösse a, also bei der Betrachtung von Sl(cc) stehen. Die Gleichung (1), deren Wurzel cc ist, kann reducibel sein. Unter den irreducibeln Factoren von F(x) ist aber wenigstens einer, der für x = k verschwindet, den wir mit/(ä;) bezeichnen wollen; diese Function /(a;) ist, wenn wir den Coefficienten der höchsten Potenz von x gleich 1 annehmen, völlig bestimmt, weil nach dem vorigen Paragraphen x = a nicht die Wurzel von zwei verschiedenen irreducibeln Gleichungen sein kann. Die Gleichung f{x) = 0 hat also die Form (2) x"" -\- a^x''-^ + a^x''-^ + • • • + «n-i^; -\- ein = 0, worin a^, «2? • • -i <^n Grössen in ß sind. Ist n der Grad dieser Gleichung, so nennen wir n auch den Grad des Körpers Sl(a). Alle Grössen & des Körpers £1(k) lassen sich ableiten durch Addition, Subtraction, Multiplication und Division aus oc und aus Zahlen in Sl; sie lassen sich also darstellen als rationale Func- tionen von « mit Coefficienten in ü, oder in der Form (3) ® = f^. worin % (x) und t/^ [x) Functionen in Sl sind. Da aber ip (a) von Null verschieden sein muss, so ist ^p{x) nicht durch f(x) theilbar, und dsb f(x) irreducibel angenommen ist, so ist ijj(x) relativ prim zu f{x). Danach können wir nach §. 6, Satz IL die Functionen Q(x), (p(x) in ß, und zwar (p (x) höchstens vom Grade n — 1, so bestimmen, dass (4) Q ix)f{x) + qp (X) ip{x) = x {X) §. 150. Mehrfache Adjunction. 499 wird, und vv'enn wir also hierin a; = a setzen, so dass /(«) = 0 wird, so folgt (5) ^^ = w («). Bezeichnen wir die Coefficienten von 9? (x) , die, wie wir ge- sehen haben, Grössen in Sl sind, mit Cq, Cj, . . ., Cn—i-, so kann also jede Grösse 0 in Sl(u) in der Form dargestellt werden: 0 = Co + Ci « -}- Ca «2 -^ . . . -|- Cn-i «"-1. Diese Darstellung ist nur auf eine Art möglich; denn ist gleichzeitig (6) 0 = Co 4- cI« + C2a2 -^ L (■■;_, K"-i, so verschwindet die Function (}i — l)*^"^ Grades Co — Co -f (Ci — c'i)x + (C2 — Ca) a;--^ -J- • • • -f (c„_i — c;_i)-^"~^ für :c = «. Das ist aber nach dem Satze III. des vorigen Para- graphen nur möglich, wenn ff f Cq ^=: Co, C| =^ Ci, . . ., C„_i = Cn — 1 ist. Wenn wir den Körj^er Sl als den gegebenen, seine Grössen als rational , den Körper Sl (a) als den daraus abgeleiteten betrachten, so bezeichnen wir eine rationale Function in Sl auch kurz als eine rationale Function, und können demnach auch sagen : Der Körper Sl(a) besteht aus allen rationalen Functionen von a. y §. 150. Gleichzeitige Adjunction mehrerer algebraischer Grössen. Es soll jetzt zunächst nachgewiesen werden, dass man die gleichzeitige Adjunction mehrerer algebraischen Grössen durch die Adjunction einer einzigen ersetzen kann, mit anderen Worten, dass jeder Körper ü(«, ß, y, . . .) angesehen werden kann als ein Körper Sl{a). Es seien also «, /3, y, . . . algebraische Grössen in beliebiger Anzahl und (1) Ä(x) = 0, B{x) = 0, C{x) = 0,... Gleichungen in ii, deren Wurzeln a; = c«, x = ß, x = y, . . . sind. Keine dieser Gleichungen soll eine mehrfache Wurzel 500 Dreizehnter Abschnitt. §. 150. haben, eine Voraussetzimg, durch die die Allgemeinheit nicht beschränkt wird. Dagegen ist nicht ausgeschlossen, dass unter diesen Gleichungen dieselbe mehrmals vorkommt, wenn etwa a, ß verschiedene Wurzeln einer Gleichung sind. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass sich jede Grösse eines Körpers Sl(a) als ganze rationale Function in Sl von « darstellen lässt. Setzen wir in diesem Satze an Stelle des Körpers Sl den Körper Sl{ß, y. . . .), so folgt, dass jede Zahl in Sl(a, /3, y, . . .) als ganze rationale Function von « mit Coefficienten aus Sl(ß. y^ . . .) dargestellt werden kann; und wenn wir dieselbe Schlussweise in Beziehung auf die Coefticienten wiederholen, so ergiebt sich: Jede Grösse des Körpers £i{ci, /3, >^, . . .) kann als ganze rationale Function in Sl von «, /3, y, . . . dar- gestellt werden. Wir bilden eine lineare Function der «, ß, y, . . . t = XU -{- yß -\- 2y -\ , Y und beachten, dass jede der Gleichungen (1) nicht nur eine, sondern mehrere W' urzeln hat, deren Zahl gleich dem Grade der Gleichung ist. Ist also «', ß', y', . . . irgend eine von a, /3, y, . . . verschiedene Combination von je einer Wurzel von jeder der Gleichungen (1), so setzen wir: ^' = xu'-{-yß' + ^y' + --. und bilden auf die gleiche Weise |", |"', . . . Die Anzahl der so gebildeten Grössen | ist, wenn a der Grad von A(x)^ h der Grad von B(x), c der Grad von C(x) ist u. s. f., m z= ah c . . . Die Differenzen ^ — |', | — |", |' — |", . . . sind lineare Functionen von x, y, z, . . . und keine von ihnen ist identisch Null, da wir angenommen haben, dass keine der Gleichungen (1) gleiche Wurzeln habe. Wir können also nach dem in §, 43 bewiesenen Satze für x, y, z, . . . solche rationale Zahlen setzen, dass keine von diesen Differenzen verschwindet, dass also die m W^erthe |. |', |", . . . alle von einander verschieden sind. Nun ist jede rationale Function, die in Bezug auf die Wurzeln jeder der Gleichungen (1) symmetrisch ist, rational durch die Coefficienten dieser Gleichungen ausdrückbar, d. h. es ist eine Zahl in Sl. Dazu gehören auch die Coefficienten der Function m^^"^ Grades von t: §. 151. Primitive und imprimitive Körper. 501 (2) F{t) = (t-^){t- r) {t - r') . . ., und F{t) = 0 ist also eine Gleichung in ß, die keine gleichen Wurzeln hat, und deren eine Wurzel | ist. Ist ferner 0 eine Grösse in Sl («, /3, 7, . . .), also eine ganze rationale Function von «, /3, y, . . ., und bezeichnen wir mit 0', &", . . , die Grössen , die aus dieser rationalen Function hervorgehen, wenn die Variablen durch «', ß', y\ ... oder r/J\ ß". y" . . . u. s. f. ersetzt werden, so ist / 0 &' 0" \ ^«n*-^ + rr^ + ^^r + ■■■) = *' <" als symmetrische Function der « und der /3, . . . eine ganze rationale Function (m — l)*^"^ Grades von t in ü, und wenn man < = | setzt, so folgt und 0 ist also in ß (|) enthalten. Da umgekehrt auch jede Grösse in Sl(^) zugleich in ü(«, /3, y, . . .) enthalten ist, so sind beide Körper identisch, d. h. es ist Damit ist aber unsere Behauptung erwiesen. j §. 151. Primitive und i m p r i m i t i v e Körper. Nach dem zuletzt bewiesenen Satze beschränken wir uns jetzt auf die Betrachtung algebraischer Körper ß (a) , worin « die Wurzel einer Gleichung in il ist. Die Gleichung möge, von mehrfachen Factoren befreit, mit (1) F{x) = 0 bezeichnet und vom Grade m sein. Ihre Wurzeln seien (2) «, «1, «2, . . ., a„i_i. Es kann Fix) in Sl reducibel sein; dann wird es einen und nur einen irreducibeln Factor f(x) von F(x) geben, so dass et eine Wurzel der Gleichung (3) fix) = 0 ist. Der Grad von f{x) sei n und die Wurzeln von (3), die alle unter den Wurzeln (2) enthalten sind, seien (4) w, «1, «2, . . ., a„_i. 502 Dreizellliter Abschnitt. §. 151. Der Grad des Körpers Sl(oC) ist dann nach der in §. 149 gemacliten Festsetzung gleichfalls n. Jede der Grössen (4) giebt zu einem algebraischen Körper Anlass, und so entstehen die Körper (5) wQ(a), Si(a,l . . , Sl{a„_^). die wir die mit £l(u) conjugirten Körper nennen. Es kann sein, dass diese Körper alle oder theilweise identisch sind, sie können aber auch alle von einander verschieden sein, wovon später Näheres. Nach §. 149 erhalten wir jede Grösse 0 in ü(«), wenn wir in einer ganzen rationalen Function % (t) in Sl. höchstens vom Grade (n — 1), für die Variable t die Zahl « setzen. Setzen wir für t in x (0 die verschiedenen Grössen (4), so erhalten wir n Grössen, eine aus jedem der conjugirten Körper (6) 0 = %(«), 01 = %(;«:), . . .. 0n-i = ;tK-i), und diese heissen die mit 0 conjugirten Grössen. Jede symmetrische Function dieser Grössen ist zugleich eine symmetrische Function der Wurzeln der Gleichung (3). und mithin in Sl enthalten. Unter diesen symmetrischen Functionen wollen wir zwei, die häufig vorkommen, durch besondere Namen und Bezeichnungen hervorheben; es ist die Summe (7) S{0) = 0 -f 01 + 0, J L 0„_,, die wir die Spur von 0 nennen, und das Product (8) iS^(0) = 0 010-3 ... 0„_i. das die Norm von 0 heisst. Conjugirte Zahlen haben hiernach dieselben Spuren und Normen. Das Product (9) (t — 0) (t - 0,) . . . (t — 0n-l) = ^(t) ist eine ganze rationale Function n^^"^ Grades von t in Sl und ihre Wurzeln sind 0 und die mit 0 conjugirten Grössen. Daraus ergiebt sich der Satz: 1. Jede Grösse in Sl(u) ist Wurzel einer Gleichung w*^"^ Grades in ß, deren übrige Wurzeln die mit 0 conjugirten Grössen sind. Die Berechnung der Function 0{t) aus f{x) ist nichts Anderes, als die von einem anderen Gesichtspunkte im vierten §. 151. Primitive und imprimitive Körper. 503 und sechsten Abschnitt betrachtete Tschirnhausen-T rans- formation. Wir haben nun die Function 0{t) auf ihre Irreducibilität zu untersuchen. Wenn die Function 0(f) reducibel ist, so hat sie einen irre- ducibeln Factor g? (t)^ in dem wir den Coefficienten der höchsten Potenz von t gleich 1 annehmen können, und jeder solche Factor verschwindet wenigstens für einen der Werthe 0, 0i, . . ., 0„_i. Es sei also d. h. die Gleichungen q>[x(xy] = 0 und f(x) = 0 haben eine gemeinsame Wurzel. Da aber f(x) irreducibel vorausgesetzt ist, so muss ^[%(x)] nach dem Theorem IL, §.148 für alle Wurzeln cc, «1, K,, . . ., w„_i von f(x) = 0 verschwinden, d. h. es ist gp (0) = 0, 9 {&,) = 0. cp (0.,) = 0, ... 9 (0„_i) = 0. Wenn also die mit 0 conjugirten Werthe alle von einander verschieden sind , so ist (p (t) mit 0 (t) identisch , d. h. 0 (t) ist irreducibel. Sind aber unter den mit 0 conjugirten Werthen nur «1 von einander verschiedene vorhanden, etwa 0, 0i, 02,..., 0„j_i, so ist (10) Cp (t) = (t-0)(t-0,) ■■■(i — 0n._l), und jeder andere irreducibele Factor von 0{t) ist, da er wenig- stens für einen der conjugirten Werthe 0, und folglich für alle verschwinden muss, mit q)(t) identisch. Es ist also 0(t) eine Potenz von (p (/), etwa (11) oit) = cp{tr und (12) n ■= iii n^. Daraus ergiebt sich also der Satz: 2. Die Function 0{t) ist entweder irreducibel oder sie ist eine Potenz einer irreducibeln Function. Die n mit einer Zahl in £l{a) conju- girten Zahlen sind entweder alle von einander verschieden, oder sie zerfallen in Wi Systeme von je «2 unter einander gleichen Zahlen. Im ersten Falle ist ^{t) irreducibel, im zweiten die ^2*® Potenz einer irreducibeln Function ij^ten Grades in ß. 504 Dreizehnter Abschnitt. §, 151. Eine Grösse 0 in ß(a), die von allen ihren conjugirten Zahlen verschieden ist, und die also einer irreducibeln Gleichung n^^^ Grades genügt, heisst eine primitive Grösse des Körj^ers. Nach dem Satze §. 43, 1. lassen sich unendlich viele solche primitive Grössen bestimmen, sogar so, dass die Coeffi- cienten von 0 = i{u?) rationale Zahlen sind. Man braucht nur über die Coefficienten von % so zu verfugen, dass unter den con- jugirten Grössen % {a) keine gleichen vorkommen. 3. Jede Grösse co des Körpers ii(a) kann rational durch eine beliebige primitive Grösse 0 des Körpers ausgedrückt werden. Denn sind ö, (ö^, co.,, . . ., cj„_i die zu w conjugirten Zahlen, ebenso 0, 0^, 0-2, . . ., 0„-i die zu 0 conjugirten und 0(i) = (^ _ 0) (i _ 0J . . . (^ _ 0„_,), so ist 0 ^'^ V^ — 0 ^ ^ — 01 ^ t — &r,-x) ^^ eine ganze rationale Function n — l*^'^ Grades von t, deren Coefficienten Zahlen in £1 sind, und daraus ergiebt sich, wenn man i = 0 setzt. CO worin ^'(0) von Null verschieden ist. Es ist hiernach der Körper £l(&) mit dem Körper Sl (a) identisch. 4. Ist 0 nicht primitiv, so kann nicht jede Grösse in iß(a) rational durch 0 ausgedrückt werden. Der Körper ß(0) ist ein Theiler des Körpers Sl(ci) und der Grad von Sl(0) ist ein Theiler des Grades von ß(a). Denn jede Zahl des Körpers ü(0) genügt einer Gleichung in Sl vom Grade ^^j, wenn n^ ein Theiler von n und kleiner als n ist. Also kann eine primitive Grösse des Körpers ß(«), die einer irreducibeln Gleichung w*^"^ Grades genügt, nicht in Sl(0) enthalten sein. Der Körper Sl{u) heisst primitiv, wenn er ausser den Grössen in Sl keine imprimitiven Grössen ent- hält, imprimitiv, wenn er noch andere imprimitive Grössen enthält. §. 152. Normalkörper. 505 Aus dieser Definition ergiebt sich zunächst, dass ein Körper dessen Grad eine Primzahl ist, nothwendig primitiv ist; denn eine imprimitive Grösse & in Sl (a) genügt einer Gleichung deren Grad ein von n verschiedener Theiler des Grades n von Sl(cc) ist. Wenn dieser Theiler gleich 1 ist, so ist 0 in ü ent- halten. Wir wollen jetzt noch einige der wichtigsten Eigenschaften der imprimitiven Körper kennen lernen. Hat Sl(u) einen von Si verschiedenen Theiler £i\ der seiner- seits Si als Theiler enthält (ist also il' ein Körper über ü), und ist ß eine Grösse, die dem Körper Sl', aber nicht Sl angehört, so ist der Körper Sl (ß) ein algebraischer Körper über Sl und zugleich ein Theiler von Sl' und von Sl (a), und nach dem, was wir vorhin bewiesen haben, ist der Grad n^ des Körpers Sl (ß) ein Theiler von n. Ist nun durch Sl (ß) der Körper Sl' nicht erschöpft, so nehmen wir eine Grösse y in Sl', aber nicht in Sl(ß); dann ist der Körper Sl{ß, y) ein Theiler von Sl' und von Sl(a,) und hat seinerseits Sl{ß) zum Theiler. Der Grad von Sl(ß, y) ist also grösser als der von Sl{ß) und kleiner als der von Sl (), •••, &u-i{q) überein. Dies wird erwiesen sein, wenn wir zeigen, dass in (ö) keine zwei gleichen Werthe vorkommen. Bezeichnen wir der Uebereinstimmung halber mit 0^ (p) oder 0 (q) die Wurzel q selbst, so folgt aus der Gleichheit zweier der Grössen (5) nach dem Satze 1. (8) 0,(9) = 0,(9). 510 Dreizelinter Abschnitt. §. 153. was aber, wenn i von h verschieden ist, nicht möglich ist. Also sind zugleich mit den Grössen (6) auch die Grössen (5) unter einander verschieden. Wir können dies als Satz zusammenfassen : 2. Vertauscht man q mit p;,, so geht zugleich jede mit Q conjugirte Grösse in eine bestimmte andere über, und niemals zwei verschiedene in dieselbe. Wenn wir in allen Functionen von q statt q eine andere Wurzel Qa setzen, so führen wir eine Substitution aus. Wir bezeichnen diese Substitution mit ö« = (9, Qa), a = 0, 1, 2, . . ., ^ — 1, wobei unter (Jo oder 6 die sogenannte identische Substitution (9, q) verstanden wird, die darin besteht, dass q durch sich selbst ersetzt wird, also alle Zahlen in Sl (q) ungeändert bleiben. Wenn wir in einer beliebigen der Wurzeln (3) Qh = ®h (q) die Substitution ö« ausführen, so geht Qh in eine andere Wurzel Qjc Über, die bestimmt ist durch (9) Qu = &h (Qa) = &h @a {q) = ®U {9). Es ist also Qu dieselbe Function von Qa, wie Qh von q. Eine beliebige Grösse co = qp ((>) des Körpers ^{q) geht durch die Substitution ö« in oj^ = 9 {Qo) über. Drücken wir « durch Qhi und co« durch Qu aus: « = ^' (p/Ol «n = "^ (Pfe)' SO sieht man, dass ca in Oa übergeht durch die Substitution (10) 6a = {Qh, Qlc) = [Qh, &h&a(Q)], und dies ist nur ein anderer Ausdruck für die Substitution (q, Qa). Hierin ist Qh eine beliebige Wurzel von g{t) und das zu- gehörige Qu ist nach (9) durch ö« bestimmt. Man kann aber bei gegebenem ö« auch Qu beliebig annehmen, und das zugehörige Qh bestimmen, indem man in @h(Qa) den Index h die Werthe 0, 1, 2, . . ., (u. — 1 durchlaufen lässt, wobei jede Wurzel Qu ein- mal zum Vorschein kommt. Also: 3. Jede Substitution öa kann in der Form (Qh, Qu) dargestellt werden, worin entweder Qh oder Qu eine beliebig gegebene der fi Wurzeln q ist, während die andere durch ö„ völlig bestimmt ist. §. 154. Zusammensetzung von Substitutionen. ,511 Die Anzahl aller von einander verschiedenen Substitutionen 6a ist also, die identische Substitution mit gerechnet, gleich dem Grade des Körpers SI(q)^ den wir oben schon mit }i bezeichnet haben. Jede dieser Substitutionen führt die Gesammtheit der Grössen des Körpers SI(q) in sich selbst über, so dass jede in eine bestimmte andere übergeht, und niemals zwei verschiedene Grössen in die gleiche [Formel (7), (8)]. Wir nennen daher die öa die Substitutionen des Kör- pers ^(q)- Wenn co = cp (q) im Körper SI{q) ungeändert bleibt, wenn Q durch Qa ersetzt wird, wenn also „, p^ so aus- wählen, dass ö, ö' zwei beliebig gegebene unter den ^ Substi- tutionen des Körpers SI(q) sind; 6" ist aber dadurch völlig bestimmt. Ebenso ist aber auch, wenn ö und ö" gegeben sind, ö' eindeutig bestimmt. Denn wählen wir q beliebig, so ist Qa durch 6 völlig bestimmt und q,> durch ö", womit auch ö' = ((>„, qj^) gegeben ist. Ist endlich ö' und ö" gegeben, so ist 6 eindeutig bestimmt, da zunächst Qi durch ö" und dann Qa durch ö' be- stimmt ist. Wir haben daher: 2. Von den durch die symbolische Gleichung 66' = ö" verbundenen drei Substitutionen des Körpers SI(q) können irgend zwei beliebig gegeben sein, während die dritte dadurch eindeutig be- stimmt ist. Wir haben die Composition der Substitutionen symbolisch durch das Zeichen der ]\Iultiplication ausgedrückt. Es ist hier aber wohl auf die Reihenfolge der Factoren oder Componenten zu achten, weil ö ö' von ö'ö verschieden sein kann, d. h. bei der die Composition ausdrückenden symbolischen Multiplication gilt nicht das commutative Gesetz der gewöhnlichen Multiplication; wohl aber gilt das associative Gesetz, das sich in folgendem Satz ausspricht: 3. Sind 6, ö', ö" irgend drei der [i Substitutionen des Körpers SI(q), so ist (3) (6ö')6" = 6{6'6"). Der Beweis ist sehr einfach; denn nach dem Satze 3., §. 153 können wir ^„, qj,, Qc so bestimmen, dass (4j 6 = (q, Qa), ö' = (Qa, Qb), ö" = (Qy, Q^), und dann ist (5 6' = (q, Q,,), (6 6') 6" = (q, Qi)(Qi„ Qc) = (q, Qc), 6' 6" = (Qa, Qc), Ö (Ö' Ö") = (q, Qa) (Qa, Qc) = (Q, Qc)- Wir bezeichnen daher kurz die aus den drei Substitutionen (J, ö', ö" zusammengesetzte Substitution mit öö'ö", und können überhaupt aus beliebig vielen Componenten eine bestimmte Substitution 6 6'6"ö"' . . . §. 155. Permutationsgruppen. 513 dadurch zusammensetzen, dass wir nach einander immer zwei benachbarte unter den Oomponenten zu einer Substitution ver- einigen, bis das ganze symbolische Product sich auf eine ein- zige Substitution zusammengezogen hat. Denn wir können nach §. 153, 3. setzen und erhalten immer v(9, Qa)iQa, Qh)iQh, Qc)Qc, Qe) = (Q, Q e), was offenbar auf eine beliebige Anzahl von Componenten aus- gedehnt werden kann. Auf Grund der Eigenschaften 1., 2., 3. nennen wir die Ge- sammtheit der ft Substitutionen des Normalkörpers a(Q) eine Gruppe, und zwar eine endliche Gruppe vom Grade ^. Sie heisst auch die Gruppe der Substitutionen des Körpers Sl (9). Mit der allgemeinen Theorie der Gruppen werden wir uns in späteren Abschnitten eingehend beschäftigen. ^ §. 155. Permutationsgruppen. Im §. 152 haben wir gesehen, wie man zu einer beliebigen Gleichung in Sl vom Grade m (1) Fix) = 0, von der nur vorausgesetzt wird, dass sie keine gleichen Wurzeln hat, einen Normalkörper Sl (q) bestimmen kann, dem alle Wurzeln von (1) angehören. Wenn also die Wurzeln von (1) mit (2) a, «1, a.^, . . ., a,„_i bezeichnet werden, so ist (3) a = x{qI «1 = Xi (Qh • • o «m-i = Xm-i(Q\ und die % sind rationale Functionen in Sl. Setzen wir aber für q eine mit q conjugirte Grösse Qi, führen wir also eine Substitution ö = (q, q^) aus, so geht jede Wurzel a in eine bestimmte andere über, und niemals zwei ver- schiedene in dieselbe; denn wenn F(a) = F[x(Q)] = 0 ist, so ist nach §. 153, 1.: Weber, Algebra. I. 33 514 Dreizelinter Abschnitt. §. 155. d. h. x(Qi) ist aucli eine Wurzel der Gleichung (1). Dass aber nicht zwei verschiedene Grössen des Körpers Sl (q) durch eine Substitution 6 in die gleiche Grösse übergehen können, haben wir im §. 153 schon allgemein gezeigt. 1. Eine Substitution 6 ruft also unter den Wurzeln a eine gewisse Permutation hervor, indem jeder der Indices 0, 1, 2, . . ., w — 1 durch einen be- stimmten anderen ersetzt wird. Dies führt uns also darauf, die Permutationen von m Ziffern 0, 1, 2, . . ., m — 1 und ihre Eigenschaften im Allgemeinen genauer zu studiren. Geht die Ziffer 0 in Oo: 1 in ai, 2 in a^ u. s. f., tn — 1 in ttm-i über, so muss (4) (Iqi dl- dl') • • ., Ö5m — 1 irgend eine andere Anordnung der Ziffern 0, 1, 2, . . ., m — 1 sein. Den Uebergang von der einen zu der anderen Anordnung be- zeichnen wir durch ein Symbol, wie _ /O, 1, 2, . . ., m — r (5) ^a = [ und nennen diesen Uebergang eine Permutation Die A menten ist Die Anzahl aller möglichen Permutationen von m Ele- 77 (m) = 1 . 2 . 3 . . . w, worunter auch die identische Permutation /O, 1, 2, . . ., m - 1\ VO, 1. 2, . . ., m — 1/ die jedes Element an seiner Stelle lässt, mitgezählt ist. Das Symbol (5) ändert seine Bedeutung nicht, wenn man die einzelnen Paare 0, 1, 2, . . ., m — 1 tt05 ^l5 ^21 . . ., Cltn — 1 anders anordnet. Ist also Oo, Ol, 0.2, . . ., 0,n — i irgend eine Anordnung der Ziff"ern 0, 1, 2, . . ., m — • 1, so können wir für (5) auch setzen : §. 155. Permutationen. 5]5 ^05 ^1) ^25 • • '5 ^»n — 1 (6) -„ — , ,, was mit (5) völlig gleichbedeutend ist. Hieraus lässt sich der sehr wichtige Begriff der Zusammen- setzung von Permutationeji ableiten. Ersetzen wir einen Index a durch einen Index 6, dann h durch c, so ist der Erfolg derselbe, als wenn sogleich a durch c ersetzt wird. Wenn wir also zwei Permutationen nach einander ausführen, so ist das Ergebniss eine bestimmte Permutation, die wir in folgender Weise darstellen können. Sind 7t = (^' ^' . . ., wi — r\ ^ = (^' ^' ..., w— 1\ irgend zwei Permutationen , so können wir nach (6) die zweite auch so schreiben : \Oao5 ^ap • • -1 '^(i^i_-y/ und wenn wir also beide nach einander ausführen, zuerst TCa-, sodann ^r^, so entsteht eine dritte Permutation, die wir aus 7ia und Tii, zusammengesetzt (componirt) nennen, und die wir als symbolisches Product von 7ta und tii darstellen : (7) n,7i^ —[ \. Es ist bei dieser Zusammensetzung meist nicht die Ver- tauschung gestattet, da n.iny im Allgemeinen nicht mit Ttiitu übereinstimmt. Aber es gilt das associative Princip, was sich in der symbolischen Gleichung (8) {Tta'nh)'^c = '^ai^h^c) = ^a^b^c ausspricht. Davon überzeugt man sich durch folgende einfache Ueberlegung. Wird irgend ein Index p durch Tta in q, dieser durch 71^ in r, und r durch tCc in s verwandelt, so geht p durch TCa^Ch in r, und q durch tiitVc in s über; mithin wird jj sowohl durch (7ta7C,j)7tc als durch TCai'^b^c) in s verwandelt. Nichts anderes aber besagt die Formel (8). Zu jeder Permution Tta giebt es eine bestimmte entgegen- gesetzte (inverse) Permutation, die darin besteht, dass die durch Tta hervorgerufene Veränderung wieder rückgängig gemacht wird, die also, mit Tt^ zusammengesetzt, die identische Permutation 516 Dreizehnter Abschnitt. §. 155. hervorbrinfft. Wir bezeichnen diese Permutation mit tt—''- und wir haben, wenn TCa den Ausdruck (5) hat, ^^^ "^^ ~ Vo, 1, . . ., m - i; Denn nach der Vorschrift der Zusammensetzung in (7) ist ^ ^-1 _ /O, 1, . . ., m - Ix Vo, 1, . . ., m — i; Ebenso ist aber auch a was wieder die identische Permutation ist. Es ist also die zu n~^ entgegengesetzte Permutation wieder die ursprüng- liche Permutation jr«. Ist TtaTCj) = 7lci so ist c 0 a ' denn es ist 7ta^b^r^^~^ die identische Permutation. Bezeichnen wir die identische Permutation mit tZq, so ist also (10) ^a^~^ = ^~'^^a = ^o; und 7t 0 ist sich selbst entgegengesetzt (wodurch nicht aus- geschlossen ist, dass es noch andere sich selbst entgegengesetzte Perrautationen giebt). Durch die Composition mit der identischen Permutation wird keine andere Permutation geändert, also (11) TC^Tla ^ TtaTCff = TCa- 2. Ist Ttc aus TTa uud Ttfj Zusammengesetzt, also (12) TtaTtf) = 7t c^ so ist nicht nur 7t c aus TCa und jr^, sondern auch 7ia aus 7t,j und 7tc, und Jt^ aus ;r„ und Ttc völlig und eindeutig bestimmt. Denn es folgt aus (12) (13) 7t a = 7tc7t-^^ 7t}, = 7t -'^ Ttc. 3. Ein aus der Gesammtheit aller n{m) Permu- tationen von m Elementen herausgegriffenes System Q = TT, JT , TT , 7t" . . ., das so in sich abgeschlossen und vollendet ist, dass je zwei und folglich auch beliebig viele Permutationen von Q durch Zusammensetzung §. 156. Galois'sche Gruppe. 517 immer wieder eine Permutation desselben Systems ergeben, heisst eine Permutationsgruppe. Unter dem Grad einer Permutationsgruppe verstehen wir die Anzahl der Permutationen, die sie ent- hält. Die Gesammtheit aller J7(/w) Permutationen bildet eine solche Gruppe. Ebenso ist die einzige identische Permutation eine Gruppe für sich. Was zwischen diesen beiden extremen Fällen von Gruppen noch liegen kann, das wird uns in den folgenden Abschnitten beschäftigen. Als einfaches Beispiel möge hier nur noch die Gruppe der cyklischen Permutationen, kurz die cyklische Gruppe, angeführt werden, die man erhält, wenn man in irgend einer Anordnung von Ziffern (1, 2, 3, . . ., n) jede Ziffer durch die folgende und die letzte durch die erste ersetzt, und wenn man diese Permutation so oft wiederholt, bis man zu der ursprüng- lichen Anordnung zurückkommt. Der Grad der cyklischen Gruppe ist gleich der Anzahl der Ziffern; z. B. bei den drei Ziffern: /l, 2, 3\ /l, 2, 3\ /l, 2, 3\ V2, 3, 1/ U 1, 2/ Vi, 2, 3/ Es giebt besondere Gruppen, die uns später noch mehr beschäftigen werden, die nur aus solchen Permutationen bestehen, bei deren Zusammensetzung ausser den oben erwähnten auch noch das commutative Gesetz gilt, bei denen also immer Tt-^ n^ = Ti^Tii ist, und in Folge dessen die Analogie mit der Multi- plication eine viel vollständigere ist. Solche Gruppen, zu denen die cyklischen Gruppen gehören, heissen commutative oder Abel' sehe Gruppen. Wenn die sämmtlichen Elemente einer Permutationsgruppe ^1 in einer Ginippe Q enthalten sind, so heisst ^i ein Theiler von Q, und Q durch Qj^ theilbar. §. 156. Galois'sche Gruppe. Wenn wir in den Wurzeln «, «j, a^^ • • -5 «m-i einer Gleichung F(x) = 0, wie sie durch §. 155, (3) als Grössen des Norm.al- körpers Sl (q) vom ^^^'^ Grade ausgedrückt sind, eine der ^ Substi- 518 Dreizehnter Abschnitt. §. 156. tutionen 6 des Normalkorpers ausführen, so vollzieht sich unter diesen Wurzeln eine gewisse Permutation, wie schon oben gezeigt ist. Es entspricht also jeder Substitution ö eine gewisse Permu- tation 7t der m Zifiern 0, 1, 2, . . ., m — 1. Zwei verschiedene Substitutionen ökt öt führen auch zu zwei verschiedenen Permutationen Tth, n-k. Denn nach §. 152 ist q eine rationale Function von a, «i, .,., «„i_i, die wir durch Q =z Q{a, «1, . . ., «,„_i) bezeichnen wollen. Wenn wir hierin «« = %s{q) setzen, so folgt (1) Q = ^bJQ)^ 7a (?)••• %m-i{Q)\ und nach §. 153, 1. ist also für jeden Index h Wenn nun die Substitutionen ö/i, 6u dieselbe Permutation unter den « hervorrufen, so ist für jeden Index s = 0, 1,..., m — 1 Xs (Qh) = Xs (Qi), und daraus folgt nach (2), dass auch ö/, = ö^ sein muss. Wird durch die Substitution 6^ die Permutation tc^ unter den Wurzeln von F(x) = 0 hervorgerufen, so sagen wir, dass die Permutation Tth der Substitution ö^ entspricht. Jeder Suljstitution entspricht eine bestimmte Permutation, und die Anzahl dieser Permutationen ist also, die identische Permutation mitgerechnet, die der identischen Substitution ent- spricht, gleich fi. Wenn den Substitationen 6h und ö^ die Permutationen Tth und jTfe entsprechen, so entspricht der zusammengesetzten Substitution öh öfc die zusammengesetzte Permutation 71^ ttj;. Denn die Permu- tationen sind das Ergebuiss der entsprechenden Substitutionen auf ge-^dsse Grössen des Körpers ^{q)i und dabei ist es gleich- gültig, ob wir zwei Substitutionen nach einander oder mit einem Male die aus beiden zusammengesetzte Substitution ausführen (nach §. 154). Wir haben also den Satz: I. Es entsprechen den ^i Substitutionen des Kör- pers Sl (q) (3) Ö, 01, 02, . . ., Öu_i, ^ Permutationen von in Ziffern (4) 7C, Tti^ Tto, . . ., ^n,-i §. 156. Galois'sche Gruppe. 519 in der Weise, dass der aus zwei Substitutionen zusammengesetzten Substitution die aus den ent- sprechenden Permutationen zusammengesetzte Permutation entspricht Daraus folgt aber, dass die Permutationen (4) eine Gruppe bilden. Wir bezeichnen diese Gruppe mit P und nennen sie die Galois'sche Gruppe der Gleichung F(x) = 0, oder auch die Galois'sche Gruppe eines jeden der Körper £l{a), i^(«l), . . ., ß(a„,_i). Diese Gruppe steht zu der Gruppe der Substitutionen des Körpers SI(q) in der durch den Satz I. ausgedrückten Beziehung, weshalb die beiden Gruppen isomorph genannt werden. Um die charakteristischen Eigenschaften der Galois' sehen Gruppe zu finden, haben wir nur die Sätze §.153, 1. bis 4. etwas anders auszudrücken. Wir sagen von einer Function der m Wurzeln, die bei irgend einer Permutation ungeändert bleibt, sie gestatte diese Permutation, und erhalten so: a) Jede rationale Gleichung in ü, die zwischen den m Wurzeln von F(x) besteht, bleibt richtig, wenn die Wurzeln irgend einer Permutation der Galois'schen Gruppe unterworfen werden. b) Jede rationale Function in ü von den m Wurzeln van F(x), die sämmtliche Permutationen der Galois'schen Gruppe gestattet, ist eine Zahl in Si. Denn drücken wir die Wurzeln von F{x) als rationale Func- tionen von Q aus, so geht eine Function der Wurzeln « in eine Function (p(Q) über. Hat man zuvor eine Permutation der Ga- lois'schen Gruppe ausgeführt, so erhält man eine der conjugirten Zahlen (p(Qa)i die aus (p{Q) durch eine Substitution ö,, = (q, Qo) entsteht. Ist nun (p(Q) = 0, so sind nach dem Satz §. 153, 1. auch alle conjugirten (p (Qa) = 0, womit a) bewiesen ist ; und sind die conjugirten Grössen (p(Qa) alle einander gleich, so ist ihr gemeinsamer Werth nach §. 153, 4. in Si enthalten, wodurch b) bewiesen ist. Zu a), b) kommt noch als Drittes: c) Wenn irgend eine Permutation n der Wurzeln von F(x) auf alle rationalen Gleichungen in Sl^ die zwischen den Wurzeln bestehen, anwendbar ist, so gehört Jt der Galois'schen Gruppe an, und 520 Dreizehnter Abschnitt. §. 156. die Galois'sche Gruppe kann daher auch erklärt werden als der Inbegriff aller Permutationen, die auf sämmtliche rationale Gleichungen zwi- schen den Wurzeln anwendbar sind. Denn nach §. 43 kann man q als rationale (z. B. lineare) Function der m Grössen a, «j, «2, . . ., a^_i so annehmen, dass alle n(m) Werthe , die man durch die 11 (m) Permutationen der a daraus erhält, von einander verschieden sind. Ist dann g(t) ■= 0 die Galois'sche Resolvente von F(x) = 0, deren Wurzel dieses q ist, so ist 9(9) = 0. Hierauf können wir, wenn q durch die Wurzeln a aus- gedrückt ist, nach Voraussetzung die Permutation 7t anwenden und erhalten also, wenn dadurch q in Qa übergeht, g(Qa) = 0; d. h. Qa ist auch eine Wurzel der Resolvente, und die Permutation 7t entspricht also einer Substitution (p, Qa) des Körpers ^{q)i d. h. 7t gehört zur Galois' sehen Gruppe. Daraus schliessen wir noch auf folgenden wichtigen Satz: d) Ist P eine Gruppe von Permutationen der mWur- zeln «, der die Eigenschaften a) und b) zukommen, so ist P die Galois'sche Gruppe der Gleichung F(x) = 0. Denn zunächst gehört nach c) jede Permutation von P der Galois" sehen Gruppe an, und P ist also gewiss ein Theiler von dieser. Wenn aber P nur v Permutationen umfasst, so mögen diese mit (5) JTi, «21 . . -i ^v bezeichnet sein. Wenden wir diese Permutationen auf ^ an, so möge sich ergeben: (6) Qi, 92) • • V Qv. Wenden wir eine der Permutationen (5), etwa tc^, auf eine der Grössen (6), etwa auf Qi an, so ist der Erfolg derselbe, als ob 7ti7tk auf Q angewandt worden sei; das Ergebniss dieser Per- mutation soll Qi sein. Nun liegt aber in der Voraussetzung, dass P eine Gruppe sei, dass auch die componirte Permutation 7ti7tk zu P gehört, dass also Qi unter den Grössen (6) enthalten sei. Zugleich ist ^j- nach §. 153, 2. von q'^ verschieden, sobald Qi von Qh verschieden ist. Daraus folgt, dass die Grössen §. 156. Galois'sche Gruppe. 521 (7) q\, q'^, . . ., ^'v mit den Grössen (6), von der Ordnung abgesehen, übereinstimmen. Das Product g'{t) = (t-QO (t — Q,)...(t - 90 bleibt also durch die Permutationen der Gruppe P ungeändert, und ist folglich, da wir die Eigenschaft b) von P voraussetzen, eine rationale Function von t in £1. Zugleich ist g'{t) ein Theiler von g(t) und muss daher, da g{f) irreducibel ist, mit g{t) über- einstimmen, also ist V nicht kleiner als der Grad der Galois'- schen Gruppe und P ist mit der Galois'schen Gruppe identisch. Wählen wir, wie oben, die Grösse q als rationale Function der « so, dass die 11 (m) durch die Permutationen der a sich ergebenden Grössen alle von einander verschieden sind, so ist G(t) = {t - Q) {t — Q') (t-Q") ... eine Function in Sl. Nun ist jede von den Grössen q, q', q" . . . eine primitive Grösse des Normalkörpers iV = Sl (a, «j, .... a,„-i), und jede von ihnen ist also die ^Yurzel einer Galois'schen Resolvente fi*^° Grades. Je ^ von diesen Grössen sind die Wur- zeln von einer solchen Gleichung. Es muss also G (t)^ was keine gleichen Wurzeln hat, in lauter irreducible Factoren ju.*^° Grades zerfallen, und daraus ergiebt sich noch, dass ,u ein Theiler von n(ni) ist. Zugleich ist ft der Grad der Galois'schen Gruppe von F{x). Hat der Grad der Galois'schen Resolvente einer Gleichung ^ten Grades den grössten Werth 11 (m), so sagen wir, mit einem von Kronecker herrührenden Ausdruck, die Gleichung hat keinen Affect. Sie hat einen um so höheren Affect, je niedriger der Grad ^ der Galois'schen Resolvente ist. Den Quotienten n{m):^^ der immer eine ganze Zahl, höchstens gleich /7(m) und mindestens gleich 1 sein muss, wollen wir den Grad des Affe et es nennen, der also bei einer Gleichung ohne Afiect den Werth 1 hat. Wenn der Affect den möglichst hohen Grad J7(m_) hat, dann sind die Wurzeln der Gleichung selbst im Rationalitäts- bereich Sl enthalten, die Gleichung also gelöst. Wenn durch Adjunction einer algebraischen Grösse zu ^ die Galois'sche Resolvente reducibel wird, so entsteht eine neue Resolvente niedrigeren Grades, und der Grad des Affects der 522 Dreizehnter Abschnitt. §. 156. Gleichung F(x) = 0 vergrössert sich. Man nähert sich also dadurch der Lösung der Gleichung. Die Galois'sche Auffassung der Aufgabe, eine Gleichung F(x) = 0 zu lösen , besteht darin , dass durch auf einander folgende Adjunction von algebraischen Grössen möglichst einfacher Art die Gruppe allmählich verkleinert, oder der Affect erhöht werden soll, bis er seineu höchsten Grad erreicht hat. Die allgemeine Gleichung w*«^ Grades hat in dem Körper Sl, der aus den rationalen Func- tionen der Coefficenten a^, ctg? • • •) o,m besteht, keinen Affect. Denn die als unabhängige Variable betrachteten Coefficienten «1, a.2, . . ., a,n können auch dargestellt werden als die symme- trischen Grundfunctionen der Wurzeln a, a^, «21 • • «i «m— i- Ist dann g(t) ein rational durch die a ausgedrückter, irreducibler Factor von G(t), der für t = q verschwindet, so erhält man, wenn man a» und q durch die « darstellt, in ^(p) = 0 eine identische Gleichung. In dieser können aber die a beliebig per- mutirt werden, wodurch sich die a nicht ändern, während q in jede der Wurzeln q, q\ q" . . . von G(t) übergehen kann. Es verschwindet also g (t) für alle Wurzeln von G (t) und muss folglich mit G{t) übereinstimmen 1). ^) Evariste Galois ist im Jahre 1832, kaum 20jährig, im Duell ge- fallen. Die erste Andeutung über die Theorie, die heute seinen Namen trägt, findet sich in einer 1830 im „Bulletin des sciences mathem." von Ferussac erschienenen Abhandlung „Analyse d'un memoire sur la resolu- tion algebrique des equations". Ausführlichere Mittheilungen enthält der berühmte, am Vorabend seines Todes geschriebene Brief an Auguste Chevalier, der in der „Revue encyclopedique" vom September 1832 veröffentlicht ist. Erst im Jahre 1846 hat Liouville die sämratlichen schon veröffentlichten Arbeiten von Galois nebst einigen Untersuchungen aus dem Nachlass, darunter die wichtigste: „Mem. sur les conditions de resolubilite des equations par radicaux" in Bd. XI seines Journals ab- drucken lassen. Eine deutsche Ausgabe von Maser ist 1889 erschienen (Berlin, bei Springer). Interessante biographische Mittheilungen finden sich in der „Revue encyclopedique" vom September 1832, die Liouville nicht mit abgedruckt hat und die auch in der deutschen Ausgabe fehlen. Eine ausführliche Biographie von M. P. Dupuy findet sich in den „Annales de l'ecole normale superieure". Von weiteren Schriften, die zum Verständ- niss oder zur Weiterbildung der Galois' sehen Theorie beigetragen haben, seien noch erwähnt: J. A. Serret („Cours d'algebre superieure", IL Aus- gabe, 1854, IV. 1879); Betti („Annali di scienze fisiche e matematiche") (1853); C. Jordan, „Traite des substitutions" (1870). E. Netto, „Sub- stitutionentheorie" (Leipzig 1882). §. 157. Transitive und intransitive Gruppen. 523 §. 157. Transitive und intransitive Gruppen. Aus der Galois' sehen Gruppe P können wir ein sehr ein- faches Kennzeichen dafür herleiten, ob die Gleichung F{x) = 0 reducibel oder irreducibel ist. Nehmen wir an , es sei F {x) vom Grade m reducibel und fix) ein Factor von F{x) in Sl vom Grade n, und n sei kleiner als m. Es mögen die Wurzeln von /(ic) (1) a, «1, «2, . . ., a„_i sein, die übrigen Wurzeln von F{x) (2) «„, «„_i_i, . . ., «,„_i. Ist a' irgend eine der Grössen (1), a" eine der Grössen (2), so kann in der Gruppe P keine Permutation vorkommen, durch die «' in «" übergeführt wird; denn nach Voraussetzung ist /(«') = 0. und wenn nun in P eine Permutation vorkäme, durch die «' durch «" ersetzt würde, so müsste wegen der Eigenschaft §. 156, a) auch / («") = 0 sein, was unserer Annahme widerspricht. Es werden also durch die Permutationen von P die Wurzeln (1) von /(ic) nur unter einander permutirt. Wenn umgekehrt die Gruppe P die Eigenschaft hat, dass ihre Permutationen einen Theil der m Wurzeln a wie das System (1) nur unter einander vertauschen, so gestattet das Product [x — a) {x — «i) . . .{x — a„_i) = /(^j alle Permutationen von P, und ist also nach §. 156, b) in £1 ent- halten ; d. h. F{x) ist reducibel. Man nennt eine Permutationsgruppe transitiv, wenn sie wenigstens eine Permutation enthält, die ein beliebiges Element in ein beliebiges anderes überführt; im entgegengesetzten Falle, wenn also die Elemente so in zwei oder mehr Partien zerlegt werden können, dass durch keine Permutation der Gruppe ein Element der einen Partie in ein Element der anderen übergeht, heisst die Gruppe intransitiv. Demnach können wir das Be- wiesene in dem Satze zusammenfassen : 1. Die Gleichung F(ä;) = 0 ist reducibel oder irre- ducibel, je nachdem die Galois'sche Gruppe in- transitiv oder transitiv ist. 524 Dreizehnter Abschnitt. §. 158. Wenn ein Theil der Elemente so zusammenhängt, dass durch Permutationen aus P jedes Element dieses Theiles in jedes andere übergehen kann, so nennen wir die Elemente dieses Theiles transitiv verbunden. Die verschiedenen transitiv ver- bundenen Systeme, die durch alle Permutationen von P nur unter einander permutirt werden, heissen die Systeme der Intransitivität. §. 158. Primitive und imprimitive Gruppen. Es sei jetzt f{x) = 0 eine irreducible Gleichung n*^"^ Grades, also ihre Galois'sche Gruppe P transitiv. Die Wurzeln von f{x) seien (1) a, a^, «2, . . •, «n-i- Wenn der Körper i^(a) imprimitiv ist (§. 151), und @ = %(a) ein imprimitives Element, dessen conjugirte Werthe in s Systeme von je r unter einander gleichen zerfallen, so dass n = rs und r >> 1, s <;; w ist, so lassen sich die Werthe (1) in s Reihen von je r Elementen zerlegen, die wir mit jA. CC, OCj, . . ., CC^ j^ /o"! -^ = P, Pii . . ., Pr — 1 S = <5, Öl- . . ., ö,._i bezeichnen wollen, so dass 0 = Z(w) = x(«i) • • • = zK-i) (3-, 01 = Xiß) = Xißi) ■ ■ ■ = Xißr-l) 0,_, —xiö) = %(öi) • • • = Z((3r-i) die conjugirten Werthe von & sind. Nach §. 151 ist dann (t -&)(t-0^).,,(t- 0,_,) = q^it) eine irreducible Function in il vom Grade s in Bezug auf ^, deren Wurzeln die Werthe (3) sind. Es ergiebt sich nun aus (3), dass die Gruppe P so beschaffen sein muss, dass alle ihre Permutationen die Elemente der ein- zelnen Reihen Ä, B, . . . S nur unter einander vertauschen und ausserdem die ganzen Reihen Ä, B, . . . S mit einander ver- §. 158. Primitive und imprimitive Gruppen. 525 tauschen, so dass niemals an Stelle von zwei Elementen derselben Reihe zwei Elemente verschiedener Reihen treten. Denn wenn etwa durch eine Permutation jr von P, a und «i in ß und ö übergeführt würden, so würde folgen, da man die Permutation n [nach a), §. 156] in der Gleichung %{c() = %{u^) ausführen darf, dass auch %{ß) = %{<5) sein müsste, was der Annahme wider- spricht, dass die Werthe (3) von einander verschieden sind. Permutationsgruppen P, die diese Eigenschaft haben, dass näm- lich die permutirten Elemente sich so in Reihen A, B, ... S von gleich vielen Elementen zerlegen lassen, dass durch keine Permutation von P zw^ei Elemente derselben Reihe in Elemente verschiedener Reihen übergehen, heissen imprimitiv. Die ein- zelnen Reihen A, B . . . S heissen die Systeme der Im- primitivität. Permutationsgruppen, bei denen eine solche Zerlegung der Elemente nicht möglich ist, heissen primitive Gruppen. Es kann sehr wohl vorkommen, dass eine Gruppe in mehr- facher Art imprimitiv ist, dass sie ganz verschiedene Systeme der Imprimitivität besitzt. So ist z. ß. die Gruppe der cykli sehen Permutationen von sechs Elementen (1, 2, 3, 4, 5, 6) in doppelter Weise imprimitiv und hat die Systeme der Imprimitivität ^ = 1, 3, 5, 5 = 2, 4, 6 und J. = 1, 4, ^ = 2, 5, C = 3, 6. Nachdem also der Begriff der primitiven und imprimitiven Gruppen festgestellt ist, können wir dem oben Bewiesenen den Ausdruck geben: 1. Ein imprimitiver Körper hat eine imprimitive Gruppe. Es ergiebt sich aus der Imprimitivität der Gruppe für die imprimitiven Körper ein wichtiges Resultat. Wir wollen mit eine rationale symmetrische Function der r Veränderlichen ic, iC], . . ., Xr-i bezeichnen und setzen CO = 1^ (a, «1, . . ., «r-l) ... «1 = i' (ß, ßl, • • o ßr-l) (4) «,_i = t (ö, öl, . . ., <3r-l); 526 Dreizehnter Abschnitt. §. 158. dann ist zu beweisen, dass co rational durch 0 ausgedrückt werden kann, d. li. im Körper Sl (0) enthalten ist. Es ist nämlich ro) .©C~^ + ^ + - + ,-^"^) = ^W eine ganze rationale Function von t, deren Coefficienten rationale Functionen der «, «i, . . ., k„_i sind, die ungeändert bleiben, wenn irgend eine Permutation der Gruppe P vorgenommen wird, weil durch diese Permutationen die co entweder ungeändert bleiben, oder in derselben Weise wie die 0 mit einander permu- tirt werden. Nach §. 156, b) sind diese Coefficienten also in Sl enthalten. Setzen wir dann in (5) für das unbestimmte t den Werth 0 ein, so folgt, da cp' (0) von Null verschieden ist, Wenden wir dies an auf die Coefficienten des Productes (7) (u — a) {u — Mj) . . . {u — c/.r-i) = (p (u, 0), wo II eine Variable bedeutet, so ergiebt sich, dass diese Function r*^'' Grades, deren Wurzeln die w, «j, . . ., a^-i sind, rational durch 0 ausgedrückt werden kann. Es ist also die Grösse «, die ursprünglich Wurzel einer Gleichung n*^° Grades in Sl ist, zugleich Wurzel einer Gleichung r^"'"- Grades, deren Coefficienten rational von der Wurzel einer Gleichung s^^° Grades abhängen. Eine Gleichung /(^) := 0, deren Wurzel u diese Eigenschaft hat, nennt man eine imprimitive Gleichung. Wir können das Bewiesene auch so ausdrücken: 2. Der imprimitive Körper Sl(a) vom n^^"^ Grade geht durch Adjunction des Körpers s**" Grades Sl' = fl{&) zu Sl in einen Körper £1' (a) vom r^^" Grade über. Wir wollen noch untersuchen, ob die Imprimitivität der Gruppe ein ausreichendes Kennzeichen für die Imprimitivität des Körpers ist, ob man also in einem Körper Sl(a) mit imprimitiver Gruppe immer imprimitive Elemente finden kann. Sei also jetzt f (x) = 0 eine irreducible Gleichung »*«■* Grades mit imprimitiver Gruppe, und seien (1) die Wurzeln dieser Gleichung, die so in die Pteihen (2j zerlegt sind, dass die §. 158. Imprimitive Körper. 527 Elemente dieser Reihen durch die Permutationen der Gruppe nicht von einander getrennt werden. Wir wählen irgend eine symmetrische Function i/; (ic, a^i, . . ., Xr—i) so, dass die Werthe y = t^ (a, «1, . . ., dr-i) Vi =t (ß. ßu ' ' •, ßr-l) (8) ys-i = ^ (ö, öl, • . ., ö,._i) alle von einander verschieden sind. Um die Möglichkeit hiervon einzusehen, können wir z. B. ll^it.Ä) = (t—a) (t — U^) . . . (t—Kr-i), t{t,B) = (t-ß) {t-ßO . . . (t-ßr-,\ (9) setzen, und dann lässt sich (nach §. 43, 1.) für t ein solcher rationaler Werth finden, dass diese Grössen alle von einander verschieden ausfallen. Diese Werthe können also für die y in (8) genommen werden. Wenn wir nun unter u eine unabhängige Variable ver- stehen und (10) (p (u) = (u — y)(u — yi)... (ii — ys-i) setzen, so ist (p (n), da seine Coefficienten durch die Permutationen der Gruppe ungeändert bleiben, eine Function in Sl, deren Wur- zeln die Grössen y sind. Sie ist überdies irreducibel, denn aus der vorausgesetzten Transitivität der Gruppe folgt, dass, wenn eine rationale Function von y für einen der Werthe (8) verschwindet, sie auch für alle anderen verschwinden muss. Ist CO irgend eine symmetrische Function der «,«!,..., a^_i, so schliessen wir aus der Betrachtung des Ausdruckes (p{u) (^ " +:7^^ + --- + u — y ' u — iji ' ' u — ys-i/' der eine ganze rationale Function von m in ß ist, ganz wie oben, indem wir u = y setzen , dass w rational durch y dargestellt werden kann, und demnach kann auch die Function (11) t(t,Ä) = iP{t,y), deren Wurzeln die Grössen «, «i, , . ., a,._i sind, rational durch y ausgedrückt werden. Auch die Gleichung ^ (t, Ä) = 0 ist irrreducibel in 528 Dreizelinter Abschnitt. §. 158. dem Körper Sl(y); denn ist tpiit^y) ein rationaler Theiler von 1^ (t, 2/), und ist ^1 («, y) = 0, so können wir wegen der Transitivität der Gruppe auf diese Gleiclmng eine Permutation anwenden, durch die ce in eine beliebige Grösse der Reihe Ä übergeht, wodurch y ungeändert bleibt; es ist also jede Wurzel von t^ (t, y) zugleich Wurzel von i/^i (f, y) und also sind beide Functionen identisch. Es ist also die Gleichung n*®"^ Grades /(a;) = 0 imprimitiv in dem oben festgesetzten Sinne, d. h. eine Wurzel ex, dieser Gleichung kann betrachtet werden als Wurzel einer Gleichung r*^° Grades, deren Coefficienten von der Wurzel y einer Glei- chung s*®"* Grades abhängen. um zu beweisen, dass dann auch der Körper ß(a) (in dem Sinne des §. 151) imprimitiv ist, haben wir noch nachzuweisen, dass es in £i (a) Grössen giebt, die einer irreducibeln Gleichung 5*^^^ Grades genügen. Wir werden nachweisen, dass y selbst eine solche Grösse ist, dass also y rational durch « allein darstellbar ist. Dies ist aber sehr einfach zu schliessen. Nach (11) ist (12) rp («, y) = 0, während il^{a,y^)^ . . ., 7/^(a,2/s_i) von Null verschieden sind. Denn wäre etwa ^' (a, ^j) = 0, so wäre a eine Wurzel der Gleichung r**" Grades xp (t, y^) = 0, deren Wurzeln ja die von a verschie- denen Grössen /3, /3i, . . ., ßr—i sind. Es haben also die beiden Gleichungen (13) t («, w) = 0, (p (u) = 0 eine und nur eine gemeinsame Wurzel u = y. Der grösste gemeinschaftliche Theiler dieser beiden Functionen ist daher in Bezug auf u linear, und er giebt y rational durch die Coeffi- cienten von (p(u) und ip(a^u)^ also rational durch a. Damit ist die Umkehrung von 1. bewiesen: 3. Ein primitiver Körper hat eine primitive Gruppe. Vierzehnter Abschnitt. Anwendung- der Permutationsgruppen auf Gleichungen. • §. 159. Wirkung der Permutationsgruppen auf Functionen von unabhängigen Veränderlichen. Für ein tieferes Eindringen in die Algebra ist nach den Ergebnissen des vorigen Abschnittes ein genaueres Studium der Permutationsgruppen erforderlich. Wir stellen zunächst einige allgemeine Sätze darüber auf, die für das Folgende die Grund- lage bilden ij. Es sei (1) M|, U21 . . -, Um ein System von einander unabhängiger Zeichen (Veränderliche) und (2) rp (Wi, 1(2, . . ., Um) eine ganze rationale Function von ihnen mit Coefficienten aus einem beliebigen Körper. Als gleich sind zwei solche Functionen t/; nur dann zu betrachten , wenn in den nach Potenzen und Producten der u geordneten Ausdrücken entsprechende Glieder die gleichen Coeffi- cienten haben. ') Für die Theorie der Permutationen sind besonders hervorzuheben: Cauchy, „Journal de l'Ecole polytechn. X. cah. (1815J" (mehrere Abhand- lungen). C. Jordan, „Traite des substitutions et des equations alge- briques", Paris 1870. Netto, „Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra." Leijjzig 1882. Weber, Algebra. I. g^ 530 Yierzelinter Abschnitt. §. 159. Wenn wir die Indices der Variablen m, oder was damit gleichbedeutend ist, die u selbst einer Permutation 7t unterwerfen, so kann die Function t^ sich ändern oder sie kann ungeändert bleiben. Bleibt sie ungeändert, so sagen wir, sie gestatte die Permutation n. Gestattet sie alle n(m) überhaupt möglichen Permutationen, so ist sie symmetrisch und kann durch die sym- metrischen Grundfuuctionen ausgedrückt werden (§. 48). Der andere extreme Fall ist der, dass die Function für alle 77 (m) Anordnungen lauter verschiedene Werthe annimmt. Im All- gemeinen werden gewisse Permutationen die Function il) unge- ändert lassen, andere werden sie ändern. Wir stellen nun den Satz auf: 1. Der Inbegriff aller der Permutationen der Wi, tt2, •••1 ^mi die eine ganze Function ip(iii^ u^,..., Um) ungeändert lassen, ist eine Gruppe von Per- mutationen. Um ihn zu beweisen, nehmen wir an, es sei n eine der Per- mutationen, die t^ ungeändert lässt, was wir durch ausdrücken. Da nun die ti unabhängige Variable sind, so muss diese identische Gleichung richtig bleiben, wenn die Variablen irgend einer Permutation -n' unterworfen werden. Wenn aber %' auf Tpn angewandt wird, so ist das Ergebniss dasselbe, als wenn die zusammengesetzte Permutation %%' auf ^ angewandt wird. Es folgt also: und wenn nun ist, so folgt: d. h. wenn die Function ip durch die Permutationen it und n' ungeändert bleibt, so bleibt sie auch durch nie' ungeändert, wodurch nach der Definition der Gruppe der Satz, den wir aus- gesprochen haben, bewiesen ist. Wir haben darin ein Mittel, um Permutationsgruppen zu bilden, indem wir irgend eine Function von m Variablen nehmen, und alle Permutationen aufsuchen, die eine solche Function un- geändert lassen. Dass man auf diese Weise alle Permutations- gruppen bilden kann, wird sich nachher ergeben. §. 159. Permutationeu. 531 2. Ist eine Gruppe von Permutationen von m Ele- menten und^Tj eine beliebige unter ihnen, so stimmt das System Pl = 7t 7ti, 71 Tt^^ 71 Tti^ 71 ' 7li^ . . ., von der Reihenfolge abgesehen, vollständig mit P überein. Denn die in P^ enthaltenen Permutationen, deren Anzahl ebenso gross ist, wie die der Permutationen P, sind wegen der Gruppeneigenschaft von P (§. 155, 3.) jedenfalls alle unter den Permutationen von P enthalten. Ausserdem sind die Permu- tationen von Pj (nach §. 155, 2.) alle von einander verschieden, und also ist P mit P,, von der Reihenfolge abgesehen, identisch. Ebenso kann man auch zeigen, dass P. = TC^Tl^ 71-^71 ^ JCj 3t , 71-^71 ^ .. . mit P identisch ist. Hieraus ergeben sich die folgenden Sätze: 3. Jede Permutationsgruppe enthält die identische Permutation. Denn unter den Permutationen von P, muss auch ^r^ selbst vorkommen und wenn 71^^71-^ = 71^ ist, so ist (nach §. 155, 2.) tcq die identische Permutation. 4. Eine Permutationsgruppe P enthält zu jeder Permutation auch die entgegengesetzte. Denn in Pi muss nach 3. die identische Permutation vor- kommen. Ist aber 7C7t^ die identische Permutation, so ist 71 = 7i~'^. Hierin kann jt^ jede Permutation aus P sein. Wenn an Stelle der Variablen iti, w.2i - • 1 ^m bestimmte Grössen a^, «o, . • ., ß»i, seien es Zahlenwerthe oder Grössen irgend eines Körpers, gesetzt werden, so verliert der Satz 1. seine allgemeine Gültigkeit. Nehmen wir z. B. m = 3 und setzen zwischen den drei Grössen «i, «3, oc-^ die Relation 2 «3 = «)-]- «2 fest, indem wir sie sonst nicht weiter beschränken, so bleibt die Function «2 — «3 uugeändert nur durch die iden- tische Permutation und durch die Permutation 1, 2, 3\ 2, 3, 1/ 34 = 532 Vierzehnter Abschnitt. §. 159. Diese l)eiclen Permutationen aber bilden keine Gruppe, weil die Wiederholung der letzteren 'O /l, 2, 3\ U 1- V nicht darunter vorkommt. Für diese Functionen gilt nun der folgende Satz: 5. Ist P eine Permutationsgruppe von m Ziffern, und sind «j , «2- . . ., «», beliebige von einander verschiedene Grössen, so giebt es rationale Func- tionen der a, sogar mit rationalen Coefficienten, die sich nicht ändern, wenn auf die Indices von « eine Permutation der Gruppe P angewandt wird, und die sich ändern, wenn eine nicht zu P gehörige Permutation angewandt wird. Um ihn zu beweisen, nehmen wir eine Function wie wir sie schon im §. 156 betrachtet haben, die 17 (m) ver- schiedene Werthe erhält , wenn die a auf alle mögliche Arten vertauscht werden. Bezeichnen wir die Werthe. die q durch Anwendung der Permutationeu einer Gruppe erhält, mit (1) Q- 9i, ■ • •, Qu-u so werden nach dem Satze 2. diese Grössen nur unter einander vertauscht, wenn auf alle zugleich eine Permutation tTj aus der Gruppe P ausgeübt wird. Denn die Anwendung der Permutation TT^ auf die sämratlichen Functionen (1) hat denselben Erfolg, wie die Anwendung der in P^ enthaltenen Permutationen auf q. Nach 2. ist aber P^ mit P, von der Pteihenfolge abgesehen, identisch. Bedeutet also t eine Variable, so bleibt die Function (2) t = it — Q) (t — Q,) . . . {t — Qa-i) uugeändert, wenn irgend eine Permutation aus P angewandt wird. Wenn nun durch eine nicht in F enthaltene Permutation die Grössen (l) in (3) q', q\, . . ., q'u-1 übergehen, so kommt wenigstens q' sicher nicht unter den Grössen (1) vor, und folglich ist jp, = (t - q') (t — Q\) . . . (f - p:._i) §. 160. Transpositionen und Cyklen. 533 mit ifj nicht identisch. Man kann daher dem t einen solchen rationalen Werth geben, dass i/> von allen nach Art von i/^^ ge- bildeten Functionen verschieden ist. Selbstverständlich gelten diese Betrachtungen auch, wenn an Stelle der a unabhängige Variable treten. Eine Function, die alle Permutionen einer Gruppe P ge- stattet, während sie sich bei allen nicht zu P gehörigen Permu- tationen ändert, heisst eine zur Gruppe P gehörige Function. Zu der Gruppe Pq, die alle Permutationen von m Ziffern umfasst, gehören die symmetrischen Functionen. Man nennt diese Gruppe daher auch die symmetrische Gruppe. Eine Function ^, die zu der aus der einzigen identischen Permutation bestehenden Gruppe gehört, kann zu einer ein- deutigen Bezeichnungsweise der Permutationen dienen; denn es giebt nur eine Permutation ;r', durch die q in q' übergeht. Wir können also für diese Permutation das Symbol ^' = {q, 9') benutzen, so dass durch {q, qI (p, 9'h (q, Q") ■ • • alle Permutationen der m Ziftern eindeutig bezeichnet sind. V §. 160. Zerlegung von Permutationen in Transpos.itionen und in Cyklen. Wir haben schon im zweiten Abschnitt bei Gelegenheit der Determinanten die Zusammensetzung beliebiger Permutationen aus einer Reihe von Transpositionen, d. h. Vertauschung nur zweier Ziffern, erwähnt. Solche Transpositionen bezeichnen wir durch Nebeneinanderstellen der betreffenden Ziffern, z. B. durch (1, 2) die Vertauschung der Ziffern 1 und 2. Eine Transposition, zweimal wiederholt, führt zur Identität, so dass jede Transposition sich selbst entgegengesetzt ist. Ist nun eine beliebige Permutation von m Ziffern, so ist 71 (m, a,n) = Jt] 534 Vierzehnter Abschnitt. §. 160. eine Permutation, die m — 1 imgeändert lässt, die also durch /l, 2, . . ., m - 1\ \&1, ho, . . ., brn-l ) dargestellt werden kann und also eine Permutation von höclistens m — 1 Ziffern ist. Da nun auch ist, so folgt hieraus durch vollständige Tnduction 1. dass man jede Permutation fund zwar auf un- endlich viele verschiedene Arten) in Transposi- tionen zerlegen kann. Und daraus folgt weiter: 2. Wenn eine Permutationsgruppe von m Ziffern alle Transpositionen mit einer festen Ziffer, z.B.: (1. 2), (1, 3), . . ., (1, m) enthält, so ist sie mit der symmetrischen Gruppe identisch. Denn eine solche Gruppe enthält, wie man aus der Zu- sammensetzung (2, 3) = (1, 2) (1, 3) (1, 2) erkennt, auch alle anderen Transpositionen, und nach 1. lassen sich daraus alle Permutationen der symmetrischen Gruppe zu- sammensetzen. Eine Permutation vt heisst cyklisch, wenn sich die Ziffern so in eine Reihe ordnen lassen, dass durch ti jede Ziffer in die folgende und die letzte wieder in die erste übergeht, also z. B. /l, 2, . . ., m — 1, m\ V2, 3, . . ., m 1 /' solche cyklische Permutationen bezeichnet man einfacher, indem man die Ziffern des Cyklus neben einander setzt, durch (1, 2, 3, . . ., m). Dabei ist es gleichgültig, mit welcher Ziffer man anfängt; man könnte also auch (2, 3, . . ., w, 1) dafür setzen. Es gilt nun der folgende Satz: 3. Jede Permutation n lässt sich, und zwar nur auf eine Weise, in eine Reihe von cyklischen Permutationen zerlegen, so dass keine zwei dieser Cyklen eine Ziffer gemeinschaftlich haben. §. 160. Transpositioneu und Cyklen. 535 Ist nämlich (1) . = C' 2- •••■"'), SO fange man mit einer beliebigen Ziflfer, etwa mit 1 an, und setze die Reihe (2) 1, «1 = &, ab = c . . . so lange fort, bis man auf eine Ziffer zum zweiten Male stösst. Die zuerst wiederkehrende Ziifer muss 1 sein, da zu jeder Ziffer die in der Reihe (2) vorangehende durch (1) eindeutig bestimmt ist. Dann bilden die Ziffern (3) (1, 6, c . . 0 einen ersten Cyklus. Sind dadurch noch nicht alle m Ziffern von (1) erschöpft, so greift man aus den übrigen eine heraus und verfährt ebenso, bis alle m Ziffern von (l) in den Cyklen untergebracht sind. Da in jedem solchen Cyklus zu jeder Ziffer, die vorangehende sowohl als die nachfolgende, durch (1) völlig bestimmt ist, so sind auch die Cyklen selbst eindeutig bestimmt. Bei der Bezeichnung von 7t durch die Cyklen können aber nicht nur die verschiedenen Cyklen beliebig angeordnet, sondern man kann auch in jedem Cyklus mit einer beliebigen seiner Ziffern anfangen. Eine Ziffer, die nicht geändert wird, bildet für sich einen eingliedrigen Cyklus. Wir wählen ein ganz beliebiges Beispiel, wodurch das Ver- fahren sofort klar wird: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\ _ q 7 o o r x a^ , 6, 7, 1, 4, 5, 8, 2) - (1' ^' '' ^' '' '' '^ '^ ^i = \S n., ; 1; 3,' 6,' 7 1: 1 4) = («■ *■ '' '• «) (^' 2) (3) "' = (2: 3; 6, 5; l: i: I; d = («• -• *• »> f^- 2. •'■ 6)- Das Nebeneinandersetzen der Cyklen ist mit einer Compo- sition in dem bisherigen Sinne gleichbedeutend, nur ist zu be- merken, dass Permutationen, die gar keine gemeinschaftliche Ziffer enthalten, bei der Composition immer vertauscht werden können. Eingliedrige Cyklen, die nichts ändern, werden in der Be- zeichnung auch oft weggelassen. 536 Yierzehnter Absclinitt. §. 160. Da im Allgemeinen, wenn % und x irgend zwei Permutationen von m Ziffern sind, v. % von it, y. verschieden ist, so ist auch von X verschieden. Ist x in seine Cyklen zerlegt, so kann man x' nach dem folgenden Satze sehr einfach aus x ableiten. 4. Man erhält die Permutation ti^'^-ati dadurch, dass man in den Cyklen von x die Permutation TT ausführt. Um diese Piegel zu beweisen, sei. in Cyklen zerlegt X = («, /3, r . . .) («', /3'. y' ...).. . und es sei ^ ^ /«. /3, 7, . . ., «', /3', y\ . . .\ \K.-r, /3;r, 7^, . . .. C/4, ß'n- ri-r, • . •/ Durch 7C'~'^ geht «^ in a über, durch x geht a in /3 über und durch tt vnrd /3 in ß^ übergeführt. Durch 7i-'^7t7i geht also «^ in /3;^ über. Da dieselbe Betrachtung auf ß„, y^, . . . u. s. f. anwendbar ist; so folgt: 7t-'^y,7t = Ca-r. /3;r, 7Tt, • . •) (c4, /3^, y^, • • .) • • •' und dies ist der Inhalt des Satzes 4. Aus der gleichzeitigen Betrachtung der Zerlegung der Per- mutationen in Cyklen und in Transpositionen ergiebt sich ein Beweis für die Eintheilung der Permutationen in zwei Classen, die wir schon im zweiten Abschnitt bei den Determinanten kennen gelernt haben. Bedeutet x eine Transposition und ti eine beliebige Permu- tation, so ist in der zusammengesetzten Permutation T:;r die Anzahl der Cyklen um eins grösser oder um eins kleiner als in 7t. Die beiden Ziffern, die durch t mit einander vertauscht werden, können entweder in demselben Cyklus von tc vorkommen oder in zwei verschiedenen Cyklen. Nehmen wir an, es sei ein in rr vorkommender Cyklus y = (1, 2, . , , a, a -\- l . . . b) und es enthalte r zwei Ziffern, die in y vorkommen, etwa r == (1, a), flann ist ry = ri, a -f- 1, . . . 6j (2, 3, , , , a), d, h. y wird durch Zusammensetzung mit r in zwei Cyklen zerlegt, während die übrigen Cyklen durch t nicht berührt werden. §. 160. Permutationen erster und zweiter Art. 537 Wenn aber die beiden Ziffern von t in zwei verschiedenen Cyklen von n vorkommen, so mögen diese beiden Cyklen y = (1, 2, 3 . . . a\ y' = (1', 2', 3' . . . a') sein und r = (1, 1'). Es ist dann ryy' = (1, 2', 3' . . . «', 1', 2, 3 . . . a), d. h. die beiden Cyklen y, y' werden durch r zu einem einzigen Cyklus vereinigt, während wieder die übrigen Cyklen ungeändert bleiben. Wenn wir also eine Permutation % von m Ziffern, die aus V Cyklen besteht (wobei die eingliedrigen Cyklen mitgezählt werden), durch ft Transpositionen dargestellt haben, so kann sie durch Zusammensetzung mit diesen ft Transpositionen in umgekehrter Reihenfolge in die identische Permutation verwandelt werden, die aus m eingliedrigen Cyklen besteht. Es sind daher im Ganzen m — v Cyklen gewonnen, und da jeder Transposition ein gewonnener oder ein verlorener Cyklus entspricht, so muss ft ^ m — V (mod. 2) sein, d. h. fi ist eine gerade oder eine ungerade Zahl, je nachdem m — v gerade oder ungerade ist. Die letzte Zahl ist aber nur von der Permutation ir, nicht von der Art der Zerlegung in Transpositionen abhängig. Wir haben damit den Satz: 5. Die Permutationen von m Ziffern zerfallen in zwei Arten, von denen die erste in eine gerade, die zweite in eine ungerade Anzahl von Trans- positionen zerlegbar ist. Jede dieser beiden Arten umfasst gleich viel Permutationen, nämlich |77(w^); denn durch Hinzufügung einer festen Transposi- tion geht jede Permutation der ersten Art in eine der zweiten Art über und umgekelirt. Die Zusammensetzung zweier Permutationen von gleicher Art giebt stets eine Permutation der ersten Art, während eine Permutation erster und zweiter Art, zusammengesetzt, eine Permu- tation zweiter Art ergeben, wie aus der Zerlegung in Transposi- tionen sofort zu ersehen ist. Daraus folgt: 6. Die Permutationen der ersten Art bilden eine Grupp e. Nennen wir eine Function von m Veränderlichen Mj, u^-, . . .,u oder auch von m von einander verschiedenen Grössen «i, oc.,, ...,«; m mi 538 Vierzehnter Abschnitt. §. 160. die ihr Zeichen ändert, wenn zwei der Variablen mit einander vertauscht werden, wie z. B. das Product aller Differenzen: (t(l — «2) (Ui — U-i) . . . (Ui — Um) (U2 W3) • • • (% ^m) eine alternirende Function, so wird durch die Permu- tationen der ersten Art eine solche Function nicht verändert, während sie durch eine Permutation der zweiten Art geändert, nämlich in den entgegengesetzten Werth verwandelt wird. Die alternirenden Functionen gehören also zu der Gruppe der Permutationen der ersten Art. Wie wir früher die Gruppe, zu der die symmetrischen Func- tionen gehören, symmetrische Gruppe genannt haben, so nennen wir die Gruppe der Permutationen der ersten Art, zu der die alternirenden Functionen gehören, alternirende Gruppe. Die Gruppe, die aus der einzigen identischen Permutation be- steht, nennen wir die identische Gruppe oder auch die Einheitsgruppe. Eine cyklische Permutation von n Gliedern lässt sich in n — 1 Transpositionen zerlegen, wie man aus der Zusammen- setzung (1, 2,3 . ..«) = (!, 2) (L 3)...(1, M) erkennt, und daraus folgt, dass eine cyklische Permutation zur ersten oder zur zweiten Art gehört, je nachdem die Anzahl der Ziffern eine ungerade oder eine gerade ist. Wie man jede Permutation aus Transpositionen zusammen- setzen kann, ebenso kann man jede Permutation der ersten Art aus dreigliedrigen Cyklen zusammensetzen. Es genügt, wenn dies für jedes Paar von Transpositionen bewiesen ist, da jede Permutation der ersten Art sich aus solchen Paaren componiren lässt. Es ist aber (1, 2) (1, 3) = (1, 2, 3) (1, 4) (2, 3) = (1. 2, 3) (1, 2, 4), woraus die Pdchtigkeit der Behauptung zu ersehen ist, da die beiden Transpositionen eines Paares entweder eine oder keine Ziffer gemein haben. Also: 7. Alle Permutationen der ersten Art lassen sich (auf unendlich viele Weisen) in cyklische Per- mutationen von drei Elementen zerlegen. §. 160. Alternirende Gruppe. 539 Aus 7. folgt weiter 8. Eine Permutationsgruppe von m Ziffern, die alle dreigliedrigen cyklischen Permutationen mit zwei festen Ziffern enthält, muss die ganze alternirende Gruppe enthalten. Denn aus den Cyklen (1, 2, 3), (1, 2, 4), . . ., (1, 2, m) lassen sich alle dreigliedrigen Cyklen und also nach 7, alle Permu- tationen der ersten Art componiren, wie man aus den Zusammen- setzungen (2, 1, 3) = (1, 2, 3) (1, 2, 3), (1, 3, 4) = (1, 2, 3) (2, 1, 4) (2, 1, 3), (2, 4, 5) = (2, 1, 4) (1, 2, 5) (1, 2, 4) (3, 4, 5j = (2, 1, 3) (3, 4, 5) (1, 2, 3) ersieht. 9. Ist m grösser als 4, so ist eine Permutations- gruppe von m Ziffern, die alle aus je zwei Transpositionen ohne gemeinsame Ziffer zu- sammengesetzten Permutationen (1,2) (3,4) ent- hält, durch die alternirende Gruppe theilbar. Denn es ist (1, 2, 3) = (1, 2) (4, 5) (4, 5j (1, 3) und man kann also, wenn ausser den vier Ziffern 1, 2, 3, 4 noch eine fünfte, 5, vorhanden ist, alle dreigliedrigen Cyklen aus Trans- positionspaaren von der Form (1, 2) (4, 5) zusammensetzen. Ist dagegen m = 4, so bilden die vier Permutationen 1; (1, 2)(3, 4j; (1, 3j (2, 4); (1, 4) (2, 3) eine Gruppe, die kleiner ist als die alternirende Gruppe, in der ausserdem noch die acht dreigliedrigen Cyklen vorkommen. Hieran schliessen wir die Beweise von zwei weiteren wich- tigen Sätzen, die sich auf transitive Permutationsgruppen be- ziehen : 10. Wenn eine transitive Permutationsgruppe von m Ziffern eine einzelne Transposition enthält, so ist sie entweder die symmetrische Gruppe oder sie ist imprimitiv. Die vorgelegte Gruppe sei P, die m Ziffern, die durch sie permutirt werden, 1, 2, . . ., »», und es komme darin die Trans- position (1, 2) vor. Sie möge überhaupt die Transpositionen 540 Vierzehnter Abschnitt. §. 160. (1, 2), (1, 3), (1, 4), . . ., (1, ^), aber keine andere Transposition mit der Ziffer 1 enthalten. Ist nun ,u ^= w, so ist P nach 2. die symmetrische Gruppe. Ist aber jw < m, so enthält P nach demselben Satze alle Permu- tationen der Ziffern M— 1, 2, .". ., ft. Daraus folgt, dassP keine Transposition von einer der Ziffern 1, 2, 3, . . ., ft mit einer anderen Ziffer, etwa mit fu-]-}- 1, enthalten kann. Denn wenn (2. ^i -\- 1) m P vorkommt, so kommt auch (l,|Lt-j-l) =r (1,2) (1, (tA-j-l) (l^S) darin vor, gegen die Voraus- setzung. Wenn nun P transitiv ist, so giebt es darin eine Permu- tation 71, durch die die Ziffer 1 in eine nicht in dem System M enthaltene Ziffer, etwa in ft-f-l, übergeht, und dann kann durch jr keine der Ziffern von M in eine Ziffer von M übergehen; denn wenn z. B. 2 in r übergeht, so ist :r-i(l, 2)7t = (fi + 1, r) und (fi-[-l, r) kann, w^enn r zu 31 gehört, wie wir gesehenjhaben, nicht in P vorkommen. Durch jede Permutation von P werden also die Ziffern des Systems 31 entweder nur unter sich ver- tauscht, oder sie werden in die Ziffern eines ganz davon ver- schiedenen Systems 31' übergeführt, und in P kommen auch alle Permutationen der Ziffern 31' vor. Wenn mit 31 und 31' noch nicht alle Ziffern erschöpft sind, so giebt es eine Permutation in P, durch die 31 in ein drittes System 31" übergeführt wird, was wieder mit 31 und mit M' keine Ziffer gemein haben kann. Denn sind «, ß zwei Elemente von 31 (die auch identisch sein könnten), die durch tc und n' in dasselbe sowohl in 31' als in 31" enthaltene Element y übergehen, so wird ß durch die Permutation Tt^ = ti'ti—''- in a übergehen. Folglich kann 7C() die Ziffern von 31 nur unter sich permutiren , und da tc' = tCqTI ist, so ist JP mit M" identisch. Es zerfällt also die Gesammtheit der Ziffern 1, 2, . . ., m in Systeme 31, 31', 31" . . . von je |U. Ziffern, die durch P impri- mitiv permutirt werden, d. h. die Gruppe P ist imprimitiv. Wenn m eine Primzahl ist, so giebt es keine imprimitiven Permutationsgruppen; also ist in diesem Falle eine transitive Gruppe, die eine Transposition enthält, nur die symmetrische Gruppe. §. 160. Permutationsgruppen. 541 Ganz auf dieselbe Weise schliesseu wir aus dem Satze 8: 11. Wenn eine transitive Permutationsgruppe von m Ziffern einen dreigliedrigen Cyklus enthält, so enthält sie die ganze alternirende Gruppe, oder sie ist im primitiv. Denn enthält die Gruppe P die dreigliedrigen Cyklen (1, 2, 3), (1, 2, 4), . . . (1, 2, ^), aber keinen anderen mit den Ziffern 1, 2, so enthält sie nach 8. die ganze alternirende Gruppe der Ziffern M =1, 2, 3, . . ., m. Ist nun ^ < w«, so kann in P kein dreigliedriger Cyklus vor- kommen, der eine oder zwei der Ziffern von M mit anderen Ziffern verbindet. Denn enthält P eine Permutation (1, r, s) von der Art, dass von den Ziffern r, s wenigstens eine nicht in M vor- kommt, so wähle man a, ß aus 31 so, dass keines von ihnen mit 1, r, s übereinstimmt, und man findet dann aus der Zusammen- setzung (nach 4.) (1, ß, «) (1, r, .s) (1, «, ß) = («, r, s), dass alle («, r, s), und mithin nach 7. die ganze alternirende Gruppe der Ziffern 1, 2, 3, . . ., /tt, r, s in P enthalten ist, was der Voraussetzung widerspricht. Es zer- fallen also die m Ziffern von P, wie vorhin, in mehrere Systeme M, M\ M" . . . der Imprimitivität. Wir können noch hinzufügen, 12. dass, wenn der Fall der Imprimitivität ein- tritt, die GruppeP im Falle 10. die ganze sym- metrische Gruppe, im Falle 11. die ganze alter- nirende Gruppe für jedes einzelne System der Imprimitivität enthält. Die wiederholte Zusammensetzung einer und derselben Per- mutation mit sich selbst bezeichnet man wie Potenzen, Wenn also 3r irgend eine Permutation ist, so muss unter den auf ein- ander folgenden Potenzen ^ö, 7t^, n^, 7t^. . . ., worin ^r" == 1 die identische Permutation bedeutet, nothwendig dieselbe Permutation wiederkehren. Aus tt" = 7r" + « folgt aber jc^ = 1. Ist e der kleinste positive Exponent, für den ^r^ = 1 wird, so sind die Permutationen (4) 1, 71, n\ . . ., 7r«-i 542 ' Vierzelmter Abschnitt. §. 161. alle von einander verschieden, während sie sich bei der Fort- setzung %% ;t« + i, ..., 7r2e-i^ ... in derselben Reihenfolge periodisch wiederholen. Die Reihe (4) heisst die Periode der Permu- tation TT, und e wird der Grad von % genannt. Die Periode von % bildet eine Gruppe , da durch Zusammensetzung zweier ihrer Elemente ein Element derselben Periode entsteht. Ist TT eine cyklische Permutation 7t = (1, 2, 3, . . ., n), so ist bei geradem n 3r2 = (1, 3, . . ., n - 1) (2, 4, . . ., n), und bei ungeradem n 71^ = (1, 3, . . ., n, 2, 4, . . ., w - 1), und der Grad von tc ist in beiden Fällen gleich n. Ist 7t in mehrere Cyklen zerlegt, so ist der Grad von 7t gleich dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Glieder- zahl der einzelnen Cyklen, z. B. 7t = (1, 2) (3, 4, .5), ;r2 = (1) (2) (3, 5, 4), 7t^- = (1, 2) (3) (4) (5), Tt^ = (1) (2) (3, 4, 5), 7t5 = (1, 2) (3, 5, 4), 7t^^ = 1. Wenn 7t in irgend einer Permutationsgruppe P vorkommt, so enthält 'P die ganze Periode von 7t. §• 161. Divisoren der Gruppen. Nebengruppen und conjugirte Gruppen. Wir haben im §. 159 gesehen, dass eine Function von m unabhängigen Veränderlichen immer eine Permutationsgruppe von m Ziffern bestimmt, dass aber dies nicht immer zutrifft, wenn an Stelle der unabhängigen Veränderlichen bestimmte Grössen gesetzt werden. Durch die Galois'sche Theorie wird aber dieser Unterschied ausgeglichen, oder wenigstens auf seinen Kern zurückgeführt. Es sei jetzt F(x) = 0 irgend eine Glei- chung m^^^ Grades in einem gegebenen Körper £1 mit den von einander verschiedenen Wurzeln «i, «j, • . ., «„j. Den Normalkörper wollen wir mit N bezeichnen. §• 161- Nebengruppen. 5^3 Unter der Galois' sehen Gruppe P des Körpers N oder der Gleichung F{x) = 0 können wir (nach §. 156) entweder die Gruppe der Substitutionen des Körpers N oder auch die damit isomorphe Permutationsgruppe der Indices der a verstehen. Es sei p der Grad von P und wir wollen die Operationen von P (seien es nun Substitutionen von N oder Permutationen der «) mit (Ij P = 7t, TCi, TT^, . . ., 7tp_i bezeichnen. Wenn das System Q der in P enthaltenen Permutationen (2) X, Xi, x.,, . . ., X5_i für sich eine Gruppe ausmacht, wenn also je zwei der Elemente von Q, mit einander componirt, wieder ein Element aus Q er- geben, so heisst die Gruppe (^ ein Theiler oder Divisor von Pi). Wir leiten zunächst einen wichtigen allgemeinen Satz über die Theiler einer Gruppe her. Wenn der Grad q des Theilers kleiner ist als der Grad jj von P, so nehmen wir ein nicht in Q enthaltenes Element ti^ in P und bilden das System das wir als symbolisches Product Qn^ darstellen. Die Elemente von (3) sind sowohl unter einander als von den Elementen von Q verschieden, denn aus X; Jt^ = Xg tc^ würde Xj = Xa, und aus X = Xj JTi würde tTj = x-^ x folgen, was nicht möglich ist, wenn TTi nicht zu Q gehört. Die Elemente von Qtci bilden keine Gruppe, denn sonst müsste Xj tc^ Xg Tt-^^ =x., Tt^ oder tTj = x~^ X;, :t~^ sein, was wieder erfordern würde, dass Tt^ in Q enthalten ist. Wir nennen das System QtIi eine Nebengruppe zu Q (innerhalb P). Die Nebengruppe bleibt in ihrer Gesammtheit ungeändert, wenn Tt^ durcli irgend ein Element xn, von Qtt^ ersetzt wird, weil Qtc mit Q identisch ist. Nennen wir überhaupt jedes System Qn eine Nebengruppe, so dass Q selbst darunter mitgerechnet ist, so können wir zeigen, dass zwei Nebengruppen entweder ganz identisch sind, oder kein gemeinsames Element enthalter. Denn sind Qtt^, Q71.2 zwei Nebengruppen, und ist x^ ^r^ = Xg ^2? worin x^, x, zwei Elemente aus Q sind, so folgt, wenn x = Xg'^Xj gesetzt wird. 1) Auch Untergruppe genannt. 544 Vierzehnter Abschnitt. §. 161. :n:, = iCTCi. Da aber x zu ^ gehört, und folglich Qx = Q ist, so folgt: Q7t.2 = QxTti = QtTi. Ist durch (2) und (3) die Gruppe F noch nicht völlig er- schöpft, so können wir eine weitere Nebengruppe Q7T2 bilden und können in der Bildung der Nebengruppen so lange fort- fahren, bis P in lauter Nebengruppen zerlegt ist. Da jede dieser Nebengruppen q Elemente enthält, so folgt der wichtige Funda- mentalsatz von Cauchy: 1. Der Grrad eines Theilers einer Gruppe P ist ein Theiler des Grades von P. Als specieller Fall ist darin enthalten, dass der Grad eines Elementes der Gruppe (§.160) immer ein Theiler des Grades der Gruppe ist. Die Zerlegung von P in seine Nebengruppen können wir (nach Galois) sehr bezeichnend durch die symbolische Gleichung ausdrücken: (4) P = Q-^ Q7i,-i- Qti,-] h Q^j-i. wenn (5) p=jq ist. Den Quotienten j nennen wir den Index des Theilers Q. Diese Zahl drückt keine Eigenthümlichkeit der Gruppe Q an sich aus, sondern nur eine Beziehung von Q, zu P. Da, wie wir oben schon gesehen haben, zwei Nebengruppen zu Q entweder ganz identisch sind, oder kein gemeinschaftliches Element enthalten, so können wir noch den Satz aussprechen: 2. Ist 7t eine beliebige Permutation aus P, so ist das System der Nebengruppen Q7I, QtTiTI, Q7t2 7t, . . ., Q7lj_i7t von dem System nur durch die Anordnung unterschieden. Wir dehnen die Bezeichnung Nebengruppen auch auf Systeme von der Form 7t Q aus, und können P auch in solche Systeme zerlegen. Es folgt speciell aus der Zerlegung (4) die zweite P= Q + 7t-^Q + 7t-^Q-^ ;r-_i^ Q. Denn wenn jr^ nicht in Q vorkommt, so kommt auch 7t-^ nicht darin vor, und wir erhalten eine erste Nebengruppe 7t-''- Q. §. 161. Nebengruppen. 545 Wenn dann tIo, nicht in Qn^ vorkommt, so kommt auch n—^ nicht in n—^Q vor; denn aus tc—'^ = jr— ^ % würde Tto, = z^^x^ folgen u. s. f. Wir geben hier der Zerlegung (4) den Vorzug wegen der Bedeutung, die sie, wie ynr sogleich sehen werden, für das algebraische Problem hat. Wir nennen eine Grösse t^ des Körpers N zu der Gruppe Q gehörig (wenn nöthig mit dem Zusatz „innerhalb P"), wenn -^J sich nicht ändert, falls eine der Operationen von Q darauf angewandt wird, dagegen sich ändert, wenn irgend eine andere Operation aus P angewandt wird. Wie man sieht, ist dieser Begriff der Zugehörigkeit gegen den im §. 159 festgesetzten etwas erweitert, insofern die Permutationen, die ausserhalb P liegen, hier gar nicht in Betracht kommen. Für den Fall, dass P die symmetrische Gruppe ist, fallen aber beide Begriffsbestimmungen zusammen. Bei dieser Definition der Zugehörigkeit gelten nun die fol- genden Sätze allgemein. 3. Zu jedem Theiler Q von P gehören Grössen in JV, und jede Grösse in N gehört zu einem be- stimmten Theiler Q von P. Der erste Theil des Satzes ist bereits im §. 159, 5. bewiesen. Denn wenn eine Function der Grössen « innerhalb der symme- trischen Gruppe zu einer Gruppe Q gehört, so gehört sie auch innerhalb jeder anderen Gruppe P, von der Q ein Theiler ist, zu Q. Der zweite Theil aber folgt aus den Grundeigenschaften der Galois'schen Gruppe. Um dies einzusehen, wollen wir folgende Bezeichnung ein- führen. Wird auf eine Function xp des Körpers N irgend eine Permutation tc der Gruppe P ausgeübt, so möge ilf in t/; j Jt übergehen; wird auf t \ it eine Permutation n' ausgeübt, so ist der Erfolg derselbe, als ob auf ^ die zusammengesetzte Permu- tation %%' ausgeübt wäre, d. h. es ist (6) {xl, \ n) \ n' = jp \ n %' . Bleibt nun i/^ ungeändert durch die Permutation x, so ist und hierin kann nach §. 156, a) jede Permutation % aus der Gruppe P angewandt werden. Dadurch ergiebt sich ^ j TT = ^ I XÄ. Weber, Algebra. I. 35 546 Vierzehnter Abscbnitt. §. 161. Wenn daher i}) \ % auch gleich t^ ist, so ist auch i' \ xti ^ if, d. h. die Permutationen, die i' ungeändert lassen, bilden eine Gruppe, w. z. b. w. Ist f eine zur Gruppe Q gehörige Function in N, ist also (7j 1/; I X = t^' I Xj = • • • = ^ I Xg_l = w, und 71-^ irgend eine nicht zu Q gehörige Permutation von P, so können wir ti-^ auf die Gleichungen (7j anwenden und erhalten i< I X .Ti = i|' I Xj TTi = • • • = 1^ I Xg_i ;ri = 1/;,, und T^'i ist von j^ verschieden. Wenn umgekehrt für irgend ein 7t (8j ^'^ = 11; \ 7r^= ip \ otTti ist. so muss ;r unter der Reihe der Substitutionen (9j Qtc^ = xiTi, Xi^r,, . . ., X5_i7r| enthalten sein; denn durch Anwendung von %—'^ auf (8) folgt, dass x% -T— ^ in Q enthalten, etwa gleich x^ sein muss; daraus aber folgt 7t = X— 1 'A7ty^ was in der That in (9) enthalten ist. Wir können demnach folgenden Satz aussprechen: 4. Eine zu Q gehörige Function i> gelit durch alle Permutationen einer Nebengruppe Qti^ und durch keine andere Operation aus P in eine bestimmte von xp verschiedene Grösse ip^ über. Demnach entsprechen den j Nebengruppen ebenso viele Functionen tl\ nämlich (10) i\, i\, i'2, . . ., i'j-u und aus dem Theorem 2. ergiebt sich der Satz: 5. Die Grössen (10) erleiden eine Permutation, wenn auf alle gleichzeitig eine und dieselbe Operation 7t aus P angewandt wird. Denn wir können die Grössen (10) so darstellen t I X, 1^ I XTTi, t I ii^2, ' ■ ; i' \ X^j-l, und wenn also 7t darauf angewandt wird, 1p \ X7t, 1p \ 'A7t-y7t, 1p \ X7t27t, . . ., Ip \ X7tj^i7t, worin x und 7t beliebige Permutationen aus Q und P sind. In jeder der beiden Pieihen §. 161. Conjugirte Gruppen. 547 kommt aber aus jeder der Nebengruppen (4) eine und nur eine Permutation vor. Die Functionen (10), die, wie wir gesehen haben, alle von einander verschieden sind, heissen conjugirte Functionen. Wir können nach dem Vorhergehenden leicht die Gruppen bilden, zu denen die einzelnen Functionen (10) gehören. Es ist z. B. t^'j = ^ I jTi , und wenn nun tc eine Permutation aus P ist, durch die t^j ungeändert bleibt, so muss sein. Auf diese Gleichung können wir aber die in P enthaltene Permutation tt—'^ anwenden, wodurch sich 4' \ TT^Tl 7[—^ =- ll> ergiebt , d. h. es muss tt^ tc 7c~^ zu Q gehören. Setzen wir es gleich X, so folgt (11) 7t = JT—^X7ti. Wenn umgekehrt tt diese Form hat, so ist und il^i gestattet also diese Permutation. Demnach können wir die Gruppe, zu der i/^^ gehört, durch das Symbol darstellen, was in der That eine Gruppe ist, wie aus der Zu- sammensetzung (12) TTj^^ X^Tj :n[~l Kj^Tj =7l~^KXi7t-i zu ersehen ist. Die Gruppen, zu denen die conjugirten Functionen (10) gehören, nämlich (13) Q, 7i-^Q7iy, n-^Qr.^, . . ., 7ir}^ Q^j-i, nennen wir conjugirte Theiler von P oder kurz conjugirte Gruppen 1). Wenn die Elemente zweier Gruppen V ^^ ^1 '^H '^25 • • • V ^^^ ^ 5 '^ll ^^21 • • • 1) Auch der Name „gleichberechtigte Untergruppe" ist dafür im Gebrauch. 35* 548 Yierzelinter Abschnitt. §. 162. in der Weise eindeutig auf einander bezogen werden können, dass, wenn x, vJ und Xj, v\ zwei Paare entsprechender Elemente sind, auch die Zusammensetzungen %y.^ und x'xi entsprechende Elemente sind, so heissen die beiden Gruppen isomorph. Die in (12) ausgedrückte Regel der Zusammensetzung in der Gruppe 3r~i Q'^\ zeigt also, dass alle conjugirten Gruppen mit einander isomorph sind. Wenn jt eine beliebige Permutation aus P, also von der Form %%r ist, so ist die Gruppe n—'^Qn immer unter den conju- girten Gruppen (13; enthalten, nämlich = jr^^ x"^ ^x;r,. = n—^Qiir. Die Ableitung von it—'^Q% aus Q heisst auch eine Trans- formation der Gruppe Q durch n und ti"'^ Qn eine aus ^transformirte Gruppe. §. 162. Pteduction der Galois'schen Piesolvente durch Ad- junction. No r mal th eiler einer Gruppe. Wir haben nun die allmähliche Pteduction der Gruppe einer gegebenen Gleichung zu betrachten, die durch die Adjunction von gewissen algebraischen Grössen eintreten kann. Es sei, wie im vorigen Paragraphen, P die Galois'sche Gruppe vom Grade ^3, und Q einer ihrer Theiler vom Grade g und vom Index ^', ferner i^ eine zu Q gehörige Function der Wurzeln, und (1) 1^, t^i. t/;2, . . ., i^j-x seien die conjugirten Grössen. Wir stellen den folgenden Satz an die Spitze. 1. Die conjugirten Grössen (1) sind die Wurzeln einer irreducibeln Gleichung vom Grade j" in iß. Denn bedeutet f eine Veränderliche, so bleibt (2) qp ii) = (t — i^) (t - ip,) . . . (t — t^,_i) (nach §. 161, 5.) ungeändert, wenn eine Permutation aus P ange- wandt wird; also sind die Coefticienten der Function q)(t), deren Wurzeln die Grössen (1) sind, in Sl enthalten [§. 156, b)]. Um die Irreducibilität von q) (t) nachzuweisen , nehmen wir an, es sei 0(t) irgend eine Function in ü, die für t = ifj ver- schwindet, also 0 (i^'j = 0. Da auf diese Gleichung alle Permu- §. 162. Reduction der Galois'schen Gruppe. 549 tationen von P angewandt werden dürfen , so folgt , dass auch ^(■4^1), ^(^2)5 • • -i ^i^j-i) Niill sein müssen, dass also 0{t) durch q) (t) theilbar sein muss. Darin aber ist die Irreducibilität enthalten. Hieran schliesst sich der Satz von Lagrange^): 2. Jede Grösse des Körpers JV, die die Permu- tationen der Gruppe Q gestattet, ist in dem Körper ü(i/;) enthalten, wenn t^ eine zu Q ge- hörige Function ist. Eine die Permutationen von Q gestattende Function a geht durch die Permutationen einer Nebengruppe Qn^ in ein und dieselbe Function über. Es entsprechen also den conjugirten Werthen (3) if, 1^1, i/;2, • • • i'j-i die Werthe (4) ö, »1, «2, . . ., coj-i, die jedoch nicht nothwendig alle von einander verschieden sind. Wendet man auf die Grössenreihen (3), (4) eine der Perrau- tationen von P an , so tritt eine gewisse Permutation ein , und zwar in beiden Reihen die gleiche, da, wenn z. B, t^^ in ^'3 über- geht, auch »1 in «2 übergehen muss (§. 161, 5.). Betrachten wir nun die Summe die eine ganze Function {j — 1)*®° Grades von t ist, so finden wir, dass sie durch alle Permutationen P ungeändert bleibt und folglich in £1 enthalten ist. Setzt man dann t ^= ip und be- achtet, dass qp {t) keine gleichen Wurzeln hat, so folgt (6) »=^- (p'{'4,) Es ist also a rational durch t^ ausgedrückt, und dies ist der Inhalt des Satzes 2. 3. Wenn wir eine zu Q gehörige Function il) dem Körper Sl adjungiren, so reducirt sich die Gruppe des Körpers N auf Q. ^) Lagrange, Reflexions sur la resolution algebrique des equations. Memoires de l'Academie de Berlin, annees 1770, 1771. Oeuvres de Lagrange. Tome IIL Der Satz ist von Lagrange allerdings nur in einer specielleren Fassung gegeben. Die allgemeine Formulirung rührt von Galois her. 550 Vierzehnter Abschnitt. §. 162. Denn bezeichnen wir den Körper Si(^ilj) mit Sl\ so gestattet erstens jede Gleichung in Sl' zwischen den Wurzeln der Grund- gleichung K, «1, . . ., a,n—i die Permutationen von Q, Aveil Q in P enthalten ist, und weil ip durch ^.ungeändert bleibt; und zwei- tens ist jede Function, die durch Q ungeändert bleibt, nach dem Lagrange 'sehen Satze in Sl' enthalten. Dies sind aber [nach §. 156, a), b)] die charakteristischen Merkmale der Galois'schen Gruppe im Körper Sl'. Um also die Galois'sche Gruppe vom Grade p auf den Grad q zu reduciren, muss eine Wurzel einer Hülfsgieichung j*«'» Grades in Sl adjungirt w^erden. Den Satz 3. können wir auch so ausdrücken: Der Normalkörper i\r^ii(a, a^, ..., a„j_i) ist ein Körper p^^^ Grades über Sl und g*^° Grades über Sl' ^= Sl{-^). Der Erniedrigung der Gruppe durch Adjunction von ip ent- spricht, wie schon aus den allgemeinen Grundsätzen hervorgeht, eine Zerfällung der Galois'schen Resolvente. Nehmen wir an, es sei (wie im §. 152) g{t) = 0 die Galois'sche Resolvente und Q eine ihrer Wurzeln, und durch die Permutationen von Q gehe Q über in (6) Q; ()i, p,, • . • Qq-1^ so dass, wenn y.h irgend eine Permutation aus Q ist, nach der im §. 161 gebrauchten Bezeichnung (>;, = 9 | %h ist. Wendet man auf diese Grössen eine Permutation der Gruppe Q an, so werden sie nur unter einander permutirt, und ihre sym- metrischen Functionen, und folglich auch die Function der Va- riablen t (1) g(t, ^)^(t— Q) {t—Q,)...{t- ()5_i) sind in Sl{il)) enthalten. Zugleich ist ^(^, 1/;) em Theiler von g{f). Wendet man auf q die Substitutionen der Nebengruppe TCi Q an, so geht q in (8) Po, 15 Q\,i-, • • -1 Qq—\,i über, worin Qh,i = Q 1 ^i^h und zwei der Reihen (8) sind entweder identisch, oder sie ent- halten kein gemeinschaftliches Element. Denn ist Qh^i = Qr,si so ist jTj oCh = Ttsy.r und Tis ist folglich in der Nebengruppe tTj Q enthalten. Aber auch die Grössen (8) vertauschen sich nur unter einander, w'enn man darauf eine Substitution von Q anwendet (weil, wenn oc eine Permutation in Q ist, iCi Qy. = Tti Q). Demnach ist auch (9) gi(t, 1/;) = (i — Qo,i) {t — pi,i) . . .(t — Qq-l,i) §. 162. Reduction der Galois'schen Resolvente. 551 in ü (^) enthalten und es wird g (t) durch Adjunction von -ip in j Factoren zerlegt: (10) g (t) = go {t, t) 9, {U H>) . ■ . Uj-i (U xl^). Man kann die Zerlegung aber noch in einer anderen Weise ausführen, wobei man jedoch Factoren erhält, die nicht alle in i5i(T/>), sondern in den conjugirten Körpern iß(t/'), ü(i/^i), . . ., Si(ilfj_i) enthalten sind. Setzen wir nämlich Q'h,i = Qh I ^i, so gehen die Grössen (6) durch Anwendung der Permutation TCi in (11) Qo,h Ql,h ■ ' •■) Qq — l,i über, und die Gesammtheit dieser Grössen bleibt ungeändert durch die Permutationen der Gruppe 7t~^ Q'^i. Ist nun wie früher so geht -^ durch 7ii in t^j über, und aus (7) ergiebt sich (12) g{t, tlJi) = (t — Qo,i) (t — Qli) . . . (t — ^5_i,i). Dies ist gleichfalls ein Theiler von g{t), und weil zwei von den Grössen -Reihen (11) entweder identisch sind, oder kein gemeinschaftliches Element haben, so haben je zwei der Func- tionen g (^, i^j) keinen gemeinsamen Theiler. Daraus ergiebt sich die Zerlegung (13) g(t) = g{t, ^) g{U t^i) . • . y{U ^,-i), die im Allgemeinen von der Zerlegung (10) verschieden ist. Uebereinstimmung findet nur dann statt, wenn man zu jeder Permutation % aus P eine zugehörige n' so finden kann, dass n Q = Qn' ist. Sind Q und Q' zwei verschiedene Theiler der Gruppe P, so werden Q und Q' gewisse Permutationen gemein haben, unter denen sich immer die identische Permutation findet. Es ist möglich, dass dies die einzige gemeinsame Permutation von Q und Q' ist, und dann heissen diese beiden Gruppen theilerfremd. Es können aber noch mehr gemeinsame Elemente vorhanden sein. Den Inbegriff R aller gemeinsamen Permutationen von Q und Q' nennen wir den grössten gemeinschaftlichen Theiler, oder auch den Durchschnitt von Q und Q'^). ') Der kürzere Ausdruck „Durchschnitt" statt „gemeinschaftlicher Theiler" ist von Study vorgeschlagen. 552 Vierzehnter Abschnitt. §. 162. Dies it ist immer eine Gruppe , denn wenn Tt^ und 7C2 beide sowohl in Q als in Q' vorkommen, so muss auch jr^ :r2 in Q und in Q\ also auch in R vorkommen. Der Begriff ist sofort übertragbar auf mehrere Gruppen Q, Q\ Q" . . . Ist ip eine zu Q und ^' eine zu Q' gehörige Function, so können wir die rationalen Zahlen x, x' (nach §. 43, 1.) so be- stimmen, dass G) = xip -j- x'i)' eine zu JR, gehörige Function wird. Denn jedenfalls gestattet co die Permutationen von jR, da il) und 1/;' sie gestatten. Ist dann % eine nicht in li enthaltene Permutation aus P, so ist sicher nicht zugleich ii) =z ip \ n und xl)' =^ i^i \ 71^ also können wir rr, x' so bestimmen, dass auch nicht o = o I Ä wird. Wenn wdr also gleichzeitig ip und ^', und folg- lich a adjungiren, so reducirt sich die Gruppe des Körpers JV nach 3. auf R. Ebenso können wir bei mehr als zwei Gruppen Q schliessen, und erhalten den Satz: 4. Sind g, Q\ Q" . . . Theiler von P, R ihr Durch- schnitt, ^ji/'^t^" ... Functionen, die zu Q, Q\ Q".., gehören, so reducirt sich die Gruppe des Kör- pers N durch gleichzeitige Adjunction von t^, t/;', 1/;" ... auf R. Wenn wir nicht bloss eine Wurzel ip der Hülfsgieichung ^(^)=^0 adjungiren, sondern alle mit ip conjugirten Grössen ^} ^11 ^2i • • ■•> i'j—u wenn wir also aus Sl den Körper ableiten, so ist nach diesem Satze der Erfolg der, dass die Gruppe von N in i2" der grösste gemeinschaftliche Theiler R aller mit Q conjugirten Gruppen wird, so dass (nach §. 161) R der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Gruppen n—'^ Qtc ist, wenn 71 die Permutationen von P durchläuft. Von besonderem Interesse ist nun der Fall, dass alle conjugirten Gruppen 71— ^ Qtc mit einander identisch sind. In diesem Falle ist nach dem Theorem 2. jede der con- jugirten Grössen ip, t^^ , ^^i • - -i ^j — i ^^ ^0-') enthalten, die Körper ii(^), Si{i\), ..., Sl(i^j_i) und ß(t/', t^^, . . ., ipj^i) sind identisch, und Sl {ip) ist ein Normalkörper über Sl. In diesem Falle sind die Zerlegungen (10) und (13) mit einander identisch. Wir nennen daher einen Theiler Q der Gruppe P, der §. 163. Gruppe der Kesolventen. 553 diese Eigenschaft hat, einen Normaltheiler (oder normalen Theiler) i). Ist aber Q ein Normaltheiler, so ist die Adjuuction einer einzigen Wurzel t^ der Hülfsgieichung gleichbedeutend mit der gleichzeitigen Adjunction aller dieser Wurzeln. 5. Ist Q selbst nicht normal, so ist der gröss'te gemeinschaftliche Theiler li aller conjugirten Theiler tc — '^Qtc gewiss normal. Denn ist eine Permutation % in R. also in allen Gruppen n^'^Qn enthalten, so gilt das Gleiche auch von jedem jr-^x^r, d. h. n—'^ÜTi ist Theiler von i?, und folglich, da es von gleichem Grade ist, = B. Eine Gruppe, die ausser sich selbst und der identischen Gruppe keinen Normaltheiler hat, heisst eine einfache Gruppe. Der Durchschnitt aller mit einer einfachen Gruppe conjugirten Gruppen ist entweder die Gruppe selbst oder die identische Gruppe, je nachdem diese einfache Gruppe Normaltheiler von P ist oder nicht. Ist Q ein Normaltheiler von P. und R ein Normaltheiler von Q, so ist zwar R ein Theiler von P, aber keineswegs immer normal. Dagegen ist, wenn R ein Normaltheiler von P ist, R auch Normaltheiler von jedem Theiler Q von P, von dem R Theiler ist. §. 163. Die Gruppe der -Resolventen. Die Hülfsgieichung (p{t) = 0, von der die Bestimmung der Function i) abhängt, geht in die Galois'sche Resolvente über, wenn der Theiler Q^ zu dem xi) gehört, die identische Grujipe ist. Denn dann kann nach dem Satze von Lagrange (§. 1G2, 2.) jede Function des Körpers JV, also auch die Wurzeln « selbst rational durch -ip ausgedrückt werden, und N ist mit Sl {i)) identisch. Wir wollen diese Gleichungen (p{t) = Q daher in einem all- gemeineren Sinne Resolventen nennen. Es sind aber hier zwei Fälle zu unterscheiden. ^) Galois spricht, von der eigentlichen Zerlegung (decomposition propre) einer Gruppe; daher der Ausdruck „eigentliche Theiler", der auch im Gebrauch ist; neuere Schriftsteller bezeichnen die Normaltheiler als „ausgezeichnete oder invariante Untergruppen". 554 Vierzehnter Abschnitt. §. 163. 1. Wenn die conjugirten Gruppen 7t~'^ Q ti th eiler fremd sind, so ist die gleichzeitige Adjunction sämmtlicher Wurzeln der Resolvente q)(t) =^ 0 (nach Satz 4., §. 162) gleichbedeutend mit der Adjunction einer zur Einheitsgruppe gehörigen Function, und die Lösung der gegebenen Gleichung ist auf die vollständige Lösung der Resolvente zurückgeführt. Es ist und eine Galois"sche Resolvente der Gleichung q) (t) =0 ist zugleich eine Galois'sche Resolvente der ursprünglichen Gleichung. In diesem Falle nennen wir (p (t) = 0 eine Totalresolvente der gegebenen Gleichung. 2. Haben die conjugirten Gruppen 7r~^ Q n einen von der Einheitsgruppe verschiedenen Theiler R vom Grade r, der dann ein Normaltheiler von P ist, so ist die gleichzeitige Adjunction von sämmtlichen zu %> conjugirten Functionen gleichbedeutend mit der Adjunction einer zu R gehörigen Grösse. Die Galois'sche Resolvente der gegebenen Gleichung ist durch diese Adjunction noch nicht vollständig gelöst, sondern sie ist nur in Factoren vom Grade r zerlegt. In diesem Falle heisst go (f) =^ 0 eine Partial resolvente. Ist P eine einfache Gruppe, so existiren nur Total- resolventen, während, wenn P Normaltheiler hat, zu jedem solchen Normaltheiler eine Partialresolvente gefunden werden kann. Derselbe Unterschied tritt auch hervor, wenn wir die Galois'sche Gruppe der Resolvente (p{i) untersuchen. Diese Gruppe besteht aus allen Vertauschungen, die in der Reihe der Grössen (1) ^, i^'i, ^'o, . . ., i^j-i durch Anwendung der sämmtlichen Operationen n von P hervor- gerufen werden; denn jede Gleichung in ß zwischen den Grössen (1) bleibt richtig, wenn eine dieser Permutationen vorgenommen wird, da man die Operationen tt auf jede Gleichung zwischen den «, also auch zwischen den i/^, anwenden kann; und wenn eine Func- tion in £1 der Grössen (1) alle diese Permutationen gestattet, so gestattet sie auch alle Permutationen n und ist also gleich einer Grösse in iß. Es ist nun der Grad dieser Gruppe zu bestimmen. Unter den Operationen von P werden die und nur die unter den §. 164. Adjunction beliebiger Irrationalitäten. 555 Grössen (1) keine Veränderung hervorrufen, die gleichzeitig in den Gruppen tc—'^ Qn aller dieser Functionen, also auch in ihrem grössten gemeinsamen Theiler R vorkommen. Die Operationen von J2 mögen mit 6 bezeichnet sein. Sind dann ;r und 7t' zwei Operationen, die unter den Grössen (1) dieselbe Permutation hervorrufen, so wird n' n—'^ die ursprüngliche Anordnung der ii) wieder herstellen, also gleich einer der Grössen 6 sein, oder 7t' = ÖTf. Wir haben daher das Ergebniss: Die Permutationen der Nebengruppe Bn und nur diese rufen unter den Grössen (1) eine und dieselbe P e r m u t a t i 0 n hervor. Der Grad der Galois'schen Gruppe der Resolvente (p{t) = 0 ist also gleich der Anzahl dieser Neben gruppen, d. h. gleich dem Quotienten p : r oder dem Index des Theilers B von P. Ist R die identische Gruppe, also r= 1, und folglich (p(t) = 0 eine Totalresolvente, so ist der Grad ihrer Gruppe ebenso hoch, wie der Grad der Gruppe der ursprünglichen Gleichung, und beide Gruppen sind überdies isomorph. In Bezug auf die Gruppe ist also nichts gewonnen. Die gegebene Gleichung ist mit der Pte- solvente, so verschieden auch ihre Grade sein mögen, äquivalent. Ist auf der anderen Seite Q ein Normaltheiler, also R mit Q identisch, so ist (p(t) = 0 eine Partialresolvente und der Grad ihrer Gruppe ist gleich dem Index j des Theilers Q von P. Nach der Adjunction einer Wurzel dieser Resolvente reducirt sich die Gruppe der ursprünglichen Gleichung auf Q. also auf den Grad q. Es ist also eine Spaltung der Gruppe erfolgt. Wenn man Resolventen bilden will von möglichst niedrigem Grade, so hat man Theiler der Gruppe P aufzusuchen von mög- lichst kleinem Index, also von möglichst hohem Grade. Will man aber eine Reduction der Gruppe herbeiführen, so hat man einen Normaltheiler von P aufzusuchen. §. 164. Reduction der Galois'schen Gruppe durch Adjunction beliebiger Irrationalitäten. Die Aufgabe der Lösung einer algebraischen Gleichung wird nach der Galois'schen Auffassung durch eine andere ersetzt, 556 Vierzehnter Abschnitt. §, 164. nämlich durch Adjunction von algebraischen Grössen möglichst einfacher Natur eine Zerfällung der Galois' sehen ßesolvente, also eine Erniedrigung des Grades der Gruppe herbeizuführen. "Wir stellen jetzt die Frage so. In dem ursprünglichen Körper £1 ist die Galois'sche Resolvente g{t) irreducibel. Der Körper Sl soll zu einem anderen Körper Sl' so erweitert werden, dass g(t) reducibel wird. Si' soll dabei ein algebraischer Körper über Sl sein, und es muss also nach §. 150 eine algebraische Grösse s geben, so dass Sl' = Sl(6) wird. Die Grösse s wird Wurzel einer gewissen irreducibeln Gleichung in Si sein , die wir mit (1) X{s) = 0 bezeichnen wollen. Nehmen wir an, in dem Körper £i(£) sondere sich von g(t) der irreducible Factor (2) g, (t) = 9, (t, e) ab, der die Wurzel t == q hat. Den Grad von g-^ (t, s) wollen wir mit q bezeichnen und die W^urzeln mit (3) (), Qii Q2, • . ., Qq— 11 so dass (4) g\ (t, a) = (t — Q) (t — Qi) . . . {t — Qq-i). Zunächst ist nun nachzuweisen, dass die in der Gruppe P enthaltenen Substitutionen (q, Q), (P, Qi), (9, Q2) • ■ . (Q: Qq-l) eine Gruppe Q bilden. Um dies zu zeigen, setzen wir wie früher (§• 153) Qi=&i{Q), und bedenken, dass dann die Gleichung g,[0,(t),e] = O eine Wurzel, nämlich t = q, mit ^i(^), gemein hat, und mithin, da g^ (t) in £1 (e) irreducibel ist, durch g-^ (t) theilbar ist. Daraus folgt, dass, wenn q^ und ^2 ii'gend zwei der Wurzeln (3) sind, auch 01 {Q.2) = 93 unter diesen Wurzeln enthalten ist. Es ist aber die Substitution ((>, q^) aus (q, Qi) und (9, ^2) zusammengesetzt, und damit ist die Gruppeneigenschaft von Q nachgewiesen. Wir bezeichnen den Index von Q mit j und setzen (ö) P = j g. §. 164. Adjuaction beliebiger Irrationalitäten. 557 DasProduct (4) gestattet mm die Substitutionen der Gruppe Q, und wenn also i/; wie oben eine zu dieser Gruppe gehörige Func- tion in N bedeutet, so lässt sich nach §, 162, 2. die Function gi (i, e) rational durch i^ ausdrücken, d. h. g^ (t, e) ist eine Function von t im Körper j^^^ Grades Sl(^)^ und soll demnach durch g(t, ^) bezeichnet werden. Die Grösse il^ ist eine der Wurzeln einer irreducibeln Glei- chung vom Grade j (6) (p (u) = 0, deren übrige Wurzeln ifj^, i^'g, ..., i'j_-^ sind, und nach §. 162, (13) ist g(t) in die Factoren zerlegbar (7) 9(t) = 9(t, tl^) g(t, t/^i) . . . g{t, ^y_i). Nun ist und aus (7) folgt, dass diese Gleichung nicht bestehen bleibt, wenn auf der linken Seite für i> eine der anderen Wurzeln von (6) gesetzt wird. Denn sonst müsste g{t^ tl;) mit einem der übrigen Factoren auf der rechten Seite von (7) identisch sein. Man kann also für t einen solchen rationalen Werth setzen, dass die Gleichung (8) g (f, u) - g, (t, 8) = 0 nur die eine Wurzel u = ip mit der Gleichung (6) gemein hat. Der grösste gemeinschaftliche Theiler von (6) und (8) ist dann in Bezug auf ii linear, und wenn man darin u = ip setzt, so ergiebt sich, dass i/; rational durch f ausdrückbar ist. Der Körper Sl(ip) ist also sicher ein Theiler des Körpers Sl{8). Der Grad des Körpers iß(£), d. h. der Grad der Hülfsgieichung j(^{£) = 0, ist daher ein Vielfaches von j und niemals niedriger als j. Wenn der Grad der Hülfsgieichung gleich j ist, was z. B. dann immer eintritt, wenn der Grad von x eine Primzahl ist, so ist Sl{£) mit Si(ip) identisch, d. h. e ist auch rational durch i^ ausdrückbar. In diesem Falle sind die conjugirten Werthe £, £i, , . ., £j_i die sämmtlichen Wurzeln von ;^ = 0, und man erhält sie, wenn man in dem rationalen Ausdruck von e durch i) die Function xj; durch jede der conjugirten Functionen ip, ^i,. . ., ^y-i ersetzt. Es kann also s selbst für ip genommen werden, und man findet eine Zerlegung g{t) = g{t, £) git, £i) . . . g{t, Ej^,). 558 Vierzehnter Abschnitt. §. 165. Die Grössen £, a^, £95 • • -i ^j—i gehören sämmtlich dem Körper SI{q) an. Diese Resultate sind von grosser Wichtigkeit und verdienen besonders hervorgehoben zu werden. Nach Kronecker heissen, wenn F(x) = 0 die gegebene Gleichung ist, und N der zugehörige Galois'sche Körper, die Grössen von N die der Gleichung F(x) = 0 natürlichen Irrati on alitäten. Wir haben dann den Satz : Jede mögliche Reduction der Galois'schen Gruppe wird herbeigeführt durch Adjunction einer natürlichen Irrationalität. Ist j der Index der reducirten Gruppe in Bezug auf die ur- sprüngliche, so kann die Reduction nicht ein- treten durch Adjunction eines Körpers von niedrigerem als dem j*®'^ Grade. Der Grad kann aber gleich^' sein, und dann ist die adjungirte Irrationalität eine natürliche. Ist der Grad des adjungirten Körpers grösser als j, so ist er ein Vielfaches vonj. §. 165. I ui p r i m i t i V e Gruppen. Wir machen von unseren allgemeinen Sätzen Anwendung auf Gruppen von besonderer Natur. Zunächst nehmen wir die imprimitiven Gruppen. Wir haben im §. 158 gesehen, elass, wenn f(x)=^0 eine irreducibele Gleichung w**^° Grades mit im- primitiver Gruppe ist, sich n so in zwei Factoren r, s zerlegen lässt, dass die Wurzeln in s Reilien von je r Gliedern zerfallen: A. = a, Ctj, . . ., CKr — ii S = 6. öl, . . ., ö^-i, und dass durch die Permutationen der Gruppe P die Grössen der einzelnen Reihen nicht von einander getrennt, sondern nur unter einander permutirt werden, während andererseits die Reihen wieder unter sich permutirt werden. §. 165. Imprimitive Gruppen. 559 S Unter den Permutationen der Galois' sehen Gruppe P von f{x) wird es nun gewisse geben, deren Inbegriff wir mit Q bezeichnen, die die einzelnen Reihen J, i?, . . ., S an ihrer Stelle lassen, und nur die Indices in jeder Reihe permutiren. Diese Permutationen bilden für sich eine Gruppe, da durch die Zu- sammensetzung von zweien unter ihnen die Reihen Ä, JJ^ . . ., S nicht vertauscht werden können. Diese Gruppe Q ist ein Normal- theiler von P. Denn ist % eine Permutation von Q, und n eine aus P, so gehört die zusammengesetzte Permutation 7t~''-7i7c wieder zu Q, weil die Permutation unter den A, B, . . ., S, die durch JT"^ hervorgerufen ist, durch x nicht geändert und durch n: wieder rückgängig gemacht wird. Die Gruppe Q ist intransitiv, und durch Adjunction einer zu Q gehörigen Function i-' wird nicht nur die Galois' sehe Resolvente reducibel, sondern die Function f{x) selbst zerfällt in s Factoren vom r*®'' Grade, (2) fix) = /« (X, t^) /, (X, IP) ...fa {X, t). Die Wurzeln von /„ (x, t^) = 0 sind die Grössen «, und die Galois' sehe Gruppe dieser Gleichung besteht aus allen Permu- tationen, die durch Q unter den a hervorgerufen werden. Denn das Product fu = {x — a) (x — Ui) . . . (x — «,._i) gestattet die Permutationen von Q. und kann daher rational durch t/> ausgedrückt werden. In jeder in Si(^) rationalen (jleichung zwischen den Grössen Ä können die a so permutirt werden, wie es die Gruppe Q verlangt, und wenn eine Function der « diese Permutationen gestattet, so ist sie in Sl(ii)) enthalten. Die Grösse t/; ist, wenn j der Index des Theilers Q von P ist, Wurzel einer Partialresolvente j/*^° Grades % (u) = 0, die eine Normalgleichung und also ihre eigene Galois'sche Resolvente ist (§, 162). Bezeichnen wir ihre Wurzeln mit (3) T^, ^1, 1/^2, . . ., 4'j-h so besteht die Galois'sche Gruppe dieser Resolvente aus den Substitutionen (4) (T^, t^), (t^, i\\ ii', t2) . • . (t^, tj-i), die durch die Permutationen der Nebengruppen (5) Q, QtIi, Qtt^, . . ., Q^j-i hervorgerufen werden. Jede dieser Nebengruppen bringt eine gewisse Permutation unter den Reihen Ä^ JB, . . .^ S hervor, und 560 Vierzehnter Abschnitt. §. 165. zwar sind diese Permutationen alle von einander verschieden; denn wenn etwa durch tci und Xj dieselbe Permutation unter den Reihen hervorgerufen wird, so gehört tTj^tj"^ zu Q^ und Q^i, Q7T2 sind nicht verschiedene Nebengruppen. Die Permutations- gruppe der Partialresolvente y^(u) = 0 ist also mit der Gruppe der Permutationen, die durch P unter den Reihen Ä. JB, . . ., S hervorgerufen werden, isomorph. Verstehen wir unter Qu den Inbegriff der Permutationen von P, durch die die Reihe Ä nicht verschoben wird, so ist Qa gewiss eine Gruppe. Ist 7t ^ eine Permutation, durch die die Reihe Ä in die Reihe B übergeht, die nach der Voraussetzung der Transitivität in P existiren muss, so ist Qa^ß eine Neben- gruppe zu Qa. durch die A in B übergeht, nj'^ Qa^.^ = Qß ist eine zu Qa conjugirte Gruppe, und zwar die, durch deren Permu- tation die Reihe £ nicht verschoben wird. Auf diese Weise erhalten wir die conjugirten Gruppen V«' ^,?) • • -1 ^"• deren grösster gemeinschaftlicher Theiler die vorhin betrachtete Gruppe Q vom Index j ist. Eine zu Qu gehörige Function ?/„ ist die Wurzel einer Glei- chung vom s**^"" Grade in ^, cp (y) = 0, und die übrigen W^urzeln y^, . . ., ya gehen aus ^„ hervor durch Anwendung der Permu- tationen der Nebengruppen Qa^^, ■ . ., Qa^a- Die vorhin gefun- dene Gleichung x{u) = 0 vom Grade j ist die Galois'sche Resolvente der Gleichung (p (y) = 0. Wir haben oben bemerkt, dass die Gruppe der Gleichung x (w) = 0 vom Grade j isomorph ist mit der Gruppe der Permutationen, die durch P unter den Systemen der Ä, B, ..., S hervorgerufen werden. Da aber wegen der Transitivität von P auch diese Systeme transitiv in einander übergehen, und da den Vertauschungen der A^ B, . . ., S die Vertauschnngen der t/«, ?/^, . . .. ya entsprechen, so ist q) [y) in Sl irreducibel. Die gleichzeitige Adjunction sämmtlicher Wurzeln von (p (y) hat denselben Erfolg wie die Adjunction der Function ip, näm- lich den, die Gruppe der Gleichung f{x) = 0 von P auf Q zu reduciren. Durch Adjunction von y« sondert sich von f{x) ein rationaler Factor f(x, yu) ab, dessen Wurzeln die Grössen der Reihe A sind, und durch Adjunction der übrigen y erhält man die Zerlegung (6) f(x) = f{x, ya) f(x, y^) . . . f{x, y^), §, 165. Imprimitive Gruppen. 561 und diese Functionen f{x, «/„), f{x, y,i), . . ., f(x, ya) stimmen überein mit den Factoren in (2), /« (x, ip), f^^ (x, xIj), . . ., /« (x, i)). Zu bemerken ist hierbei noch, dass f(x, ya) im Körper Sl {y^) irreducibel ist. Denn wegen der vorausgesetzten Irreducibilität von /(a;) giebt es in P Permutationen, durch die a in jedes «j übergeführt wird, und diese Permutationen gehören zu Qa. Wenn also eine rationale Function cp (x, ya) für x =: oc verschwindet, so muss jedes (p(ui,ya) gleich Null sein, d. h. (p{x,ya) muss durch /(rc, 2/a) theilbar sein. Es folgt aber hieraus nicht, dass f{x, ya) =r fa{x, ip) auch im Körper ü(t^) irreducibel ist. Dies sind dieselben Sätze, wie im §. 158. Es ist dort noch gezeigt, dass man für ya eine Function von a allein nehmen kann, worauf wir nicht nochmals eingehen wollen. Von Interesse ist es aber, den Zusammenhang der Galois'- schen Gruppen der einzelnen P'actoren f{x, ya), f{x, y^i\ • . ., f{x, ya) zu verfolgen. Wir haben schon oben gesehen, dass man die Gruppe des Factors /(a;, ya) im Körper Sl{ii^) erhält, wenn man alle Permutationen der a aufsucht, die durch Q hervorgerufen werden. Wir wollen diese Gruppe mit P„ bezeichnen, und ebenso für die anderen Factoren die Zeichen P^, . . . , P^ gebrauchen. Wir greifen aus P irgend s — 1 Permutationen :;r,^, . . ., tCo von der Art heraus, dass durch 7t -^ die Reihe Ä in B etc., durch TCa die Pteihe Ä in S übergeht, und wir wollen nun der Einfach- heit halber, was offenbar noch vollkommen freisteht, die Bezeich- nung der /3, . . ., ö so gewählt annehmen, dass 7t^, . . ., iia fol- gende Vertauschungen hervorrufen: %, «1, . . ., a,--l\ . . /^O) «1, . • •, «r ,/3o, /3i, . . ., ßr~J' \öü, öl, . . ., Ö^_i, Es sei nun jc irgend ein Element von Q, das unter den « die Vertauschung («) = r- "■• • • •• "•-' ) bewirkt, dann ist ebenfalls in Q enthalten, und es wird durch x^^ unter den ß die Vertauschung /^Oi ßi, ■ • ■■, ßr—l C also unter den Indices der ß genau dieselbe Permutation her- vorgerufen, wie durch x unter den Indices von «. Nehmen wir Weber, Algebra. I. 36 562 Vierzehnter Abschnitt. §. 165. (ß) und ein zugehöriges x^ als gegeben an, so ergiebt jr^xj7r7^ wieder x, so dass also die durch Q hervorgerufenen Permu- tationen der ß genau übereinstimmen mit denen, die unter den a hervorgerufen werden; und dasselbe gilt für die übrigen Reihen. Damit ist aber der folgende Satz bewiesen: 1. Bei einer irreducibeln imprimitiven Gleichung können in den einzelnen Reihen die Wurzeln so bezeichnet werden, dass die Theilgleichungen f(x, ija) = 0, f(x, y^) = 0, . . .fix, ya) = 0 im Körper Sl(il.'') alle dieselbe Gruppe bekommen. Will man die Bezeichnung der Wurzeln nicht in der an- gegebenen Weise wählen, so werden die Gruppen wenigstens isomorph. Wir stellen noch die Frage, die gewissermaassen dnrch die Umkehrung dieses Satzes beantwortet wird: Wann hat eine transitive Gruppe einen intransitiven Normaltheiler? Ist P eine transitive Permutationsgruppe, und Q ein intran- sitiver Normaltheiler von P, so möge eines der Systeme sein, deren Elemente durch Q nur unter ein- ander vertauscht werden, so jedoch, dass die Elemente von A durch Q transitiv verbunden sind, d. h. dass durch Permutationen aus Q jedes « in jedes andere « übergehen kann. Wenn nun durch ein Element tt aus P die Grössen Ä in P = /3, /3„ . . ., ßr-, übergehen, so müssen diese Elemente entweder alle mit den a übereinstimmen, oder alle von den u verschieden sein; denn durch die Gruppe ;r— ^ Qn, die nach Voraussetzung mit Q iden- tisch ist, werden die ß nur unter einander vertauscht, und zwar ebenso wie die a, also transitiv. Wenn also in P nur ein Theil der « vorkäme, so würden gegen die Voraussetzung durch Q diese « mit anderen nicht in Ä vorkommenden Grössen ver- tauscht werden. Sind durch die Ä nicht alle Elemente erschöpft , auf die sich die Permutationen von P erstrecken, so giebt es, da P transitiv ist, eine Permutation :r, durch die A in ein ganz davon verschiedenes System P übergeführt wird. Ist x eine Permu- tation aus Q, so wird durch die gleichfalls zu Q gehörige Per- mutation 7t—''^iC7i dieselbe Vertauschung unter den Indices der ß §. 165. Imprimitive Gruppen. 563 hervorgerufen, wie clurcli x unter den Indices der «. Daraus folgt , dass durch Q auch die ß nur unter einander permutirt werden. Wenn mit Ä und B die Elemente noch nicht erschöpft sind, so kann man in derselben Weise ein drittes System C bilden, das durch tc' aus Ä und durch n—'^n' aus B entsteht, und das weder mit A noch mit B ein Element gemein hat. So fährt man fort, bis alle Elemente erschöpft sind, und kommt zu folgendem Satze: 2, Eine transitive Gruppe hat nur, wenn sie im- primitiv ist, einen von der identischen Gruppe verschiedenen intransitiven Normaltheiler. Die Systeme der Intransitivität des Normaltheilers sind Systeme der Imprimitivität der gegebenen Gruppe. In Bezug auf die Gleichungen können wir mit Rücksicht auf 1. den Satz 2. auch so aussprechen: 3, Eine irreducible Gleichung f(x) = 0 zerfällt, wenn sie durch Adjunction aller Wurzeln einer Resolvente reducibelwird, in mehrere irredu- cible Factoren von gleichem Grade und von gleicher Gruppe. Wenn also eine irreducible primitive Gleichung durch Ad- junction der Wurzeln einer Resolvente reducirt wird, so zerfällt sie in lineare Factoren, d. h. sie ist vollständig gelöst. Dieser Fall tritt immer ein, wenn der Grad der Gleichung /{x) = 0 eine Primzahl ist, weil eine solche Gleichung nicht imprimitiv sein kann. 36* Fünfzehnter Abschnitt. Cyklische Gleicliungen. §. 166. Cubische Gleichungen. Wir wollen von dem jetzt gewonnenen Standpunkte aus zu- nächst die Auflösung der Gleichungen dritten und vierten Grades betrachten. Die Gruppe der Permutationen von drei Ziffern besteht aus sechs Elementen, nämlich aus der identischen Permutation 1, aus zwei dreigliedrigen Cyklen und drei Transpositionen: ... 1 (0,1,2) (0,2,1) ^ ^ (1, 2) (2, 0) (0, 1). Die drei ersten 1, (0, 1, 2) (0, 2, 1) bilden die alternirende Gruppe, sie besteht aus den Potenzen der cyklischen Permutation jr = (0, 1, 2): (2) Jt" = 1, ;r, ;r2, und ist also eine cyklische Gruppe. Es seien nun « , «i , «g die drei Wurzeln der cubischen Gleichung : (3) f(x) =z x'i — ax"^ -{-hx — c ^= 0. Legen wir den Körper il zu Grunde, der aus allen rationalen Functionen der unabhängigen Veränderlichen a, ö, c besteht, so ist (1) die Gruppe dieser Gleichung; wenn wir aber (4) Vi> = {a — a^) (« — a^) («i — a^) §. 166. Cubische Gleichungen. 565 adjungiren, worin (5) D = a^b^ -{- 18 alc ~ 4: a^c — Ab^ — 21 c^ die Discriminaute der Gleichung (3) ist, so reducirt sich die Gruppe auf (2). In dem Körper £l\ der durch diese Adjunction aus Sl ent- steht, kann jede Wurzel rational durch jede andere ausgedrückt werden, denn es ist üc, -|- «2 = « — « _ v^ also und hierin können die Vertauschungen tc, 7t^ ausgeführt werden. Die cubische Gleichung ist also nach Adjunction von VD ihre eigene Galois'sche Resolvente. Alles dies bleibt gültig, wenn der Rationalitätsbereich irgend ein specieller Körper Sl ist, in dem a^ b, c und VD enthalten sind, wenn nicht f(x) selbst in Sl reducibel ist, also eine ratio- nale Wurzel hat. Denn ausser sich selbst und der cyklischen Gruppe (2) hat die Gruppe (1) nur noch intransitive Theiler, nämlich die Einheitsgruppe und drei Gruppen vom Typus 1,(1,2). Wollen wir die cubische Gleichung nun auflösen, d. h. auf eine reine cubische Gleichung zurückführen, so müssen wir eine Function v der Wurzeln suchen, die zwar nicht selbst, deren Cubus aber die cyklische Permutation tc gestattet. Eine solche Function kann aber nur existiren, wenn die dritten Einheits- wurzeln, oder, was dasselbe ist, V — 3, dem Körper ß adjungirt wird; denn v muss durch Anwendung von 7t eine dritte Einheits- wurzel als Factor erhalten. Durch diese Adjunction kann eine Reduction der Gruppe nicht eintreten, weil die Gruppe (2) ausser der Einheitsgruppe keinen Theiler hat und die Reduction auf die Einheitsgruppe nicht durch eine quadratische, sondern nur durch eine cubische Gleichung geschehen kann (§. 164). Wir setzen also — 1 + V^ , _ — 1 — V^J_ 5G6 Fünfzehnter Absclinitt. §. 167. luid ^ ^ v' = c -Lf-«! -|- £«,; dann ist der Erfolg von ti der, dass v in c^t,^ t;' jn £t;' über- geht, während v^. v'-' und vv' ungeändert bleiben, also in dem Körper W enthalten sind. Es hat keine Schwierigkeit, diese Grössen zu berechnen. Setzen wir zur Abkürzung A = VßKi -\- «f «2 + «,-'«, Ä' = al a -\- K^' «1 -{- a- «o , so ist A-{- Ä' = ah — Sc A — Ä' = VB, und für v^ erhält man v-i = «3 -f- «f + a^ -f 6 « Ml «2 + 3 £ ^ 4- 3 £2 A\ also (8) ^3 = «3 _ iaj _|_ ^c -r I V=^ii>, und ebenso (9^ y'z = «:-. _ |.a& ^ ^c — -| V- 3i). Es ist aber auch (lOj vv' = uP- -{- v^l -\- u?- — ««1 — ««2 — ^-1 <^-2 = ö2 — 3 6, und aus (8j, (9), flO) erhält man in Uebereinstimmuug mit einer früheren Formel [§. 52, (8)] 21D = 4:(a^ — 3 bp — (2 «^ — 9 ab -\- 21 c)^. Fügt man zu (7) noch die Gleichung a = CK -\- Kl -f- «2, so findet man in Uebereinstimmung mit der Gar danischen Formel: Sei = a -\- V -L v' P,a2= a -\- £V ^ 8^-v'. o §. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen. Ein gutes Beispiel für die Galois'sche Theorie bieten die Gleichungen vierten Grades, wo die Verhältnisse so einfach §. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen. 567 liegen, dass sich Alles leicht übersehen lässt, und doch die Tvich- tigsten Erscheinungen der Gruppenbildung zu Tage treten. Aus vier Ziffern, 0, 1, 2, 3, lassen sich 24 Permutationen bilden, und so hoch ist also der Grad der Galois' sehen Gruppe der allgemeinen Gleichung vierten Grades im Körper der rationalen Functionen der Coefficienten (vgl. den Schluss von §. 156). Wir stellen diese Permutationen durch ihre Cyklen in folgender Weise dar, wobei 1 die identische Permutation bedeutet : (1) P = 1, (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) (0,1) (2, 3), (0,2) (1,3), (0,3) (1,2) (0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 2, 3), (1, 2, 3) (0, 2, 1), (0, 3, 1), (0, 3, 2), (1, 3, 2) (0, 1, 2, 3), (0, 1, 3, 2), (0, 2, 3, 1) (0, 2, 1, 3), (0, 3, 1, 2), (0, 3, 2, 1). Wir haben also in P ausser der identischen Permutation sechs Transpositionen, acht dreigliedrige, sechs viergliedrige Cyklen und drei Permutationen von der Form (0, 1) (2, 3), die wir Transpositionspaare nennen wollen. In P ist die alternirende Gruppe vom Grade 12 als Normal- th eiler enthalten. Diese Gruppe kann keine einzelne Transposi- tion und keine viergliedrige cyklische Permutation enthalten, und es blei])en also folgende übrig: (2) (?=1, (0,1) (2, 3), (0,2) (1.3), (0,3) (1,2) (0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 2, 3), (1, 2, 3) (0, 2, 1), (0, 3, 1), (0, 3, 2), (1, 3, 2). Wir wollen nun alle vorhandenen Theiler der Gruppe P aufsuchen. Dabei lassen wir die intransitiven Gruppen beiseite, die alle entweder aus drei oder aus sechs Permutationen von nur drei Elementen, oder aus den Permutationen von zwei Paaren von zwei Elementen bestehen. Wir suchen also nur die transi- tiven Theiler von P auf. Ausserdem beschränken wir uns bei einem System conjugirter Theiler auf einen Repräsentanten, aus dem die anderen ja durch Zitfernvertauschung hergeleitet werden können (§. 160, 4.). Eine wesentliche Vereinfachung wird durch folgende beiden Sätze herbeigeführt: 1. Wenn eine transitive Permutationsgruppe von vier Ziffern einen dreigliedrigen Cyklus enthält, 568 Fünfzehnter Abschnitt. §. 176. SO ist sie die symmetrische oder die alternirende Gruppe, und 2. wenn sie zwei Transpositionen mit einem gemein- samen Element enthält, so ist sie die symme- trische Gruppe. Wenn nämlich in einer Gruppe des Cyklus (0, 1, 2) vor- kommt, und die Gruppe ausserdem transitiv ist, so enthält sie eine Permutation jr, durch die 0 in 3 übergeführt wird. In dem dreigliedrigen Cyklus 7c-'^{0, 1, 2)jr kommt also gewiss die Ziffer 3 vor; er ist also etwa (0, 1, 3j, und demnach haben wir in der Gruppe (0, 1, 2), fO, 1, 2)2 = (0, 2, 1) (0. 1,3), fO, 1,3)2 = (0,3, 1) (0, 1, 2j(0, 3, 1) =(1,2,3) (1, 2, 3)2 = (1, 3, 2) (0. 3, 1)(0, 1, 2) = (0, 3, 2) (0, 3, 2)'^ = (0, 2, 3j, d. h. alle überhaupt vorhandenen dreigliedrigen Cyklen. Dem- nach kommen alle Permutationen der alternirenden Gruppe in der fraglichen Gruppe vor (§. 160), und sie ist also entweder damit erschöpft, oder sie enthält noch eine Permutation der zweiten Art und ist dann die symmetrische Gruppe. Enthält aber eine transitive Gruppe die beiden Transposi- tionen (0, 1), (0, 2j, so enthält sie auch (0, 1) (0, 2) = fO, 1, 2), und damit die ganze alternirende Gruppe, und da sie auch eine Transposition enthält, so ist es die symmetrische Gruppe. Wenn also nun eine von P und Q verschiedene Gruppe zunächst eine Transposition (0, Ij enthält, so muss sie, wenn sie transitiv ist, auch (2, 3j enthalten, und demnach die ganze in- transitive Gruppe vierten Grades: (3) 1, (0. 1), (2, 3), (0, 1) (2, 3). Soll also die Gruppe transitiv sein , so müssen noch weitere Permutationen dazu kommen. Diese können nach 1. und 2. nur unter den viergliedrigen Cyklen oder unter den Transpositionspaaren gesucht werden. Ein viergliedriger Cyklus aber, in dem 0 und 1 cyklisch an einander stossen, kann nicht vorkommen, weil er, mit (0, 1) combinirt, einen dreigliedrigen Cyklus geben würde, wie: (0, 1, 2, 3j(0, 1) = (1, 2, 3). §. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen. 569 Ebenso können nicht 2 und 3 cyklisch an einander stossen, und es bleiben also nur folgende übrig: (4) (0, 2, 1, 3), (0, 3, 1, 2), (0, 3) (1, 2), (0, 2) (1, 3). Wenn aber von diesen Permutationen eine zu (3) hinzu- tritt, so müssen auch alle anderen aufgenommen werden, denn es ist (0, 1) (0, 2, 1, 3) = (0, 3) (1, 2) (2, 3) (0, 2, 1, 3) = (0, 2) (1, 3) (0, 1) (2, 3) (0, 2, 1, 3) = (0, 3, 1, 2), und man kann also durch Vermittelung der Transpositionen (0, 1) und (2, 3) jede der Permutationen (4) aus jeder anderen her- leiten. Aus der Voraussetzung also, dass überhaupt in einem von P und Q verschiedenen transitiven Theiler von P eine Trans- position vorkommt, folgt, dass dies die Gruppe achten Grades (5) P, = 1, (0, 1), (2, 3), (0, 2)(1, 3j, (0, 1)(2, 3), (0, 3)(1, 2) (0, 2, 1, 3), (0, 3, 1, 2) oder wenigstens eine damit conjugirte sein muss. Dass Pi wirklich eine Gruppe ist, erkennt man leicht, wenn man je zwei seiner Permutationen zusammensetzt. Es giebt drei verschiedene mit P^ conjugirte Gruppen, die man erhält, wenn man statt von (0, 1), (2, 3) von den Trans- positionen (0, 2), (1, 3) oder (0, 3), (1, 2) ausgeht. Der Durch- schnitt dieser drei Gruppen ist ein Normaltheiler von P und zugleich von Q, nämlich (6) ^, = 1, (0, 2)(1, 3), (0, 1)(2, 3), (0, 3)(1, 2). Wenn eine transitive, von P und Q verschiedene Gruppe keine Transposition enthält, so enthält sie entweder keinen vier- gliedrigen Cyklus, und ist dann mit (6) identisch, oder sie ent- hält einen viergliedrigen Cyklus und enthält dann auch die ganze cykllsche Gruppe, wie (7) P, = 1, (0, 1, 2, 3), (0, 2) (1, 3), (0, 3, 2, 1). Enthält eine solche Gruppe noch einen zweiten viergliedrigen Cyklus, etwa (0, 1, 3, 2), so ist sie wegen (0, 1, 2, 3) (0, 1, 3, 2) = (0, 3, 1) die symmetrische Gruppe. Enthält sie aber ausser Pa noch eine der Permutationen von (6), etwa (0, 1) (2, 3), so ist wegen (0, 1, 2, 3) (0, 1) (2, 3) = (1, 3) Pj in ihr enthalten. 570 Fünfzehnter Abschnitt. §. 168. x\us P2 gehen ebenfalls drei conjugirte Gruppen hervor, die aber ausser 1 keinen gemeinschaftlichen Theiler haben. Es giebt also ausser P, Q^ Pi, Q^^ P^ und den mit P^ und P2 conjugirten Theilern von P keine transitiven Permutationsgruppen von vier Elementen. Unter den intransitiven Gruppen verdient noch die Gruppe (3): P3 =3 1, (0, 1), (2, 3), (0, 1) (2, 3), hervorgehoben zu werden, die gleichfalls zu einem System von drei conjugirten Gruppen Anlass giebt. Ausserdem giebt es von intransitiven Gruppen nur noch die Permutationsgruppen von nur zwei oder drei Elementen. §. 168. Auflösung der biquadratischen Gleichungen. Die verschiedenen Methoden der Auflösung der biquadratischen Gleichungen unterscheiden sich von einander durch die Reihenfolge, in der die verschiedenen Divisoren der Gruppe P benutzt werden. Es seien a, a^, «2, «3 die Wurzeln der biquadratischen Gleichung (1) f{x) =: x^ — a^x^ -\- «2 ^^ — US X -\- tti = 0. Wir bezeichnen mit D die Discriminante und setzen (2) VD = (a — «i) (a — «2) (a — «3) («i — «2) («1 — «3) («2 — «s)- Ausserdem erinnern wir noch an die Ausdrücke für die In- varianten (§. 77j: (3) A = «I — 3aia3 -|- 12% (4) B = 27 «1^ «4 -\- 27 a| -\- 2 a| — 72 «2 «i — 9 «1^2 «31 durch die man D in der Form ausdrückt: (5) 27D = 4^3_^2. Adjungirt man zunächst V-D, so reducirt sich die Gruppe der Gleichung auf Q, und wenn man weiter eine zu Qi gehörige Function sucht, so wird durch diese die Gruppe auf Q^ reducirt. Da Qi innerhalb Q den Index 3 hat, so wird eine solche Func- tion von einer cubischen Gleichung abhängen, und zwar, da ^1 ein Normaltheiler von Q ist, von einer Normalgleichung. Nehmen wir z. B. (6) !/ = (« — «i) («2 — «3) §. 163. Biquadratische Gleichungen. 571 als eine zu Q^ gehörige Function, so sind die beiden dazu con- jugirten Werthe .^N !/!=(« — «2) («^ — «1) ^ ^ 2/2 = (« — «3) («1 — «2). Diese drei Grössen sind die Wurzeln einer cubischen Partial- resolvente, deren Coefficienten als Invarianten von / leicht zu bilden sind (vergl. §. 70, 71, wo die Grössen y, 1/1, i/2 mit U, F, W bezeichnet waren). Die Gleichung wird [§. 70, (7)] (8) y^ — Äy-^Vn = 0. Ihre Discriminante ist B'^, und für das Product der Wurzel- differenzen kann man das Vorzeichen leicht (durch Vergleichung der Glieder höchster Ordnung nach der Gauss' sehen Definition, §. 49, oder auch aus §. 70) bestimmen. So erhält man: (9) (2/ — 2/1) (y — 2/2) (^1 — y-2) = B. Die Gleichung (8) ist, wie schon bemerkt, eine Normal- gleichung, und es ist leicht, ?/i, 1/2 durch y wirklich darzustellen. Wenn man (9) mit (?/i — y.2) multiplicirt , so findet man durch Benutzung der Formeln {y — Vi) (y — 2/2) = 3 2/2 — Ä, (y, — y^y = y'^ — 4.yiij, = 4.A — Siß (2/1 - 2/2)^ = — 9 y^ 4- \'^Aiß — 4.A^- (10) = 6 J.^2 _j_ 9^ yX> — 4^2 yi-{- y2 = — y. wodurch y^, y^ bestimmt sind. Adjungirt man also ferner- hin i/, so reducirt sich die Gruppe der l)iquadratischen Glei- chung auf Q, = 1, (0, 2) (1, 3), (0, 1) (2, 3), (0, 3j (1, 2). Diese Gruppe ist imprimitiv (und zwar nach drei Arten), und die Gleichung kann jetzt durch zwei Quadratwurzeln gelöst werden. Am besten gelangt mau dazu auf folgendem Wege. Die drei Grössen v^ = (« -\- «1 — «2 — «;,,)2 (11) V2 = (« — «1 + «2 — «3)^ V3 = (« — «1 — «2 + «3)- gestatten alle die Permutationen der Gruppe Q^ und sind daher rational durch y darstellbar. Man erhält diese Darstellung folgendermaassen : Es ist 572 Fünfzehnter Abschnitt. §. 168. ^1 = al — 4: (a + «i) («2 + c^s) ^1 — 2/2 = (« + «i) («2 + «s) — 2(ac«i -f «2 «3) «2 = (« + C«l) («2 + «3) + « «1 + «2 «3, also, wenn man 1^25 "^z ebenso bildet: 3 Vi =r 3 «f — 8 «2 — 4 2/1 + 4 2/2 (12) 3^2 = 3af - 8a2 - 4^/2 + 4^/ 3^3 = 3 öf — 8 «2 — 4:2/ + 4 2/i. Es kommt aber noch eine Relation hinzu, die sich daraus ergiebt, dass das Produet (a -|- «1 — «2 — «3)(c« — «1 + «2 — «3) (a — «1 — «2 + "3) eine symmetrische Function der « ist, die man leicht gleich — af -1-4 0102 — 8 «3 findet. Wir machen also die Vorzeichen der drei Wurzelgrössen durch die Relation (13) — Vv^VvzVv's = af — 4% «2 + Sag von einander abhängig und setzen: y Vj = a -|- «1 — «2 — «3 Vv^ = « — «1 -f «2 — «3 yt)3 = a — «1 — «2 -f~ «3 a^ = a -j- «1 -}- «2 -j- «3. Daraus ergiebt sich dann: 4 a = «1 4- VV + Vv2 + Vvs (15) 4 «1 = «1 -|- Vv7 — Vt^2 — Vvg 4 «2 = «1 — Vvi -)- yv2 — v^ 4 «3 = «1 — V-Ui — 1/^2 + Vvj. Wenn man der VD in (8) das entgegengesetzte Zeichen giebt, und ?/ durch — y ersetzt, so muss man nach (10) 1/1, y^ mit — ^21 — Vi vertauschen. Es bleibt also v-^ ungeändert und ^2 und V3 werden mit einander vertauscht. Nimmt man für y eine andere Wurzel der Gleichung (8), etwa ?/i, so muss wegen (9) ?/i, y.2 durch y.2, y ersetzt werden und die Grössen v^, v^-, v^ erleiden eine cyklische Permutation, wodurch auch die Grössen «1, «21 c% iii (15) cyklisch vertauscht werden. Wenn man endlich die Vorzeichen von Vvi, Vv2i Vv^ anders wählt, aber so, dass §. 168. Biquadratische Gleichungen. 573 immer (13) erfüllt bleibt, so treten unter den Grössen (15) gleich- falls gewisse Permutationen ein. Welche Werthe man den mehrwerthigen algebrai- schen Grössen, die bei der Auflösung auftreten, auch beilegen mag, die Ausdrücke (15) stellen also immer die Wurzeln unserer biquadratischen Gleichung in irgend einer Reihenfolge dar. In Bezug auf die übrigen Wege zur Auflösung der biquadra- tischen Gleichung können wir uns kürzer fassen. Wenn wir zunächst nicht VZ) adjungiren, sondern eine zu der Gruppe Pj gehörige Function, so erhalten wir eine cubische Resolvente, die nicht Normalgleichung ist. Wir können für diese Function etwa y''- wählen, was der cubischen Gleichung (16) y'> — 2 Atj^ -f ^2^2 _ D = 0 genügt. Besser noch nimmt man als Wurzeln der cubischen Resolvente (17) 2 = iji — 2/2, '^1 = y-i — y^ ^■2 = y — Vv Es gehört dann 2 zur Gruppe P^, wie schon aus der zweiten Gleichung (10) hervorgeht. Aus (8) und (9) erhält man für s die cubische Gleichung (18) z^ — SÄ2 -{- B = 0. Man erhält ferner, wenn man (19) u = ««1 -|- «2 «3 setzt, ^ = tta — 3 it, und daraus die Resolvente für u: (20) ii-' — a^u"^ -{- (a-^tti — 4tai)u -\- Aa^a^ — a^a^ — a.^ = 0. Wenn man aber von der Gleichung (18) oder (20) nicht eine, sondern alle Wurzeln adjungirt, so gelangt man wieder zu der Gruppe Q^. Die Grössen Vi, V2, v^ sind nach (12) unmittelbar durch ^, Zi, ^2 ausgedrückt, und man kann also die Formeln (15) zur Darstellung der a auch nach diesem Verfahren anwenden. Man kann ferner zur Lösung der biquadratischen Gleichung dadurch gelangen, dass man zuerst eine zu der cyklischen Gruppe P2 gehörige (eine cyklische) Function der Wurzeln adjungirt, wie z. B. (21) IV = WKj- -|- «1«! -|- «2^3' + «sO'-- 574 Fünfzehnter Abschnitt. §. 168. Diese Function ist sechswerthig und ist also die Wurzel einer Gleichung sechsten Grades. Diese Gleichung sechsten Grades ist aber, wie man leicht sieht, imprimitiv, und kann auf eine Gleichung dritten Grades und auf zwei Quadratwurzeln zurückgeführt werden. Diese Gleichung sechsten Grades ist eine Totalresolvente , und zwei ihrer Wurzeln genügen zur rationalen Darstellung der Wurzeln a. Die Form dieser Piesolventen wird nicht einfach. ]\Ian kann endlich noch darauf ausgehen, durch Adjunction einer zur Gruppe P. gehörigen Function | die Function f{x) direct reducibel zu machen und in zwei quadratische Factoren zu zerlegen . Eine solche Function 'S, ist gleichfalls die Wurzel einer Gleichung sechsten Grades, die sich aber auch durch Im- primitivität auf den dritten und zweiten Grad reducirt. Nimmt man z. B. (22) I = « -f «1 - \a^ = i W7, so sind von den sechs Wurzeln je zwei entgegengesetzt gleich, so dass eine cubische Gleichung für |2 resultirt. Durch eine dieser Grössen | lassen sich dann die quadratischen Factoren von f{x) rational darstellen. Nehmen wir zur Vereinfachung der Formeln aj = 0 an und (23) f{x) x^ -}- axß -{- hx -j- so wird also {au^ — «2 «3)1 — ^ ««1 -j- «2% t^ -\~ <^i 7 (24) 2««! = = . -{- t' + a, 2 «1 «3 = - 1 + r^ + a, so dass die beiden quadratischen Factoren \onf(x) folgende werden (•2b) ^ ^^ + l^ + i(-j+^^ + «) = o, und für |2 ergiebt sich aus (24) durch Multiplication die cubische Gleichung 46-=:(|2 4-a)2_|, oder (26) |6 -|- 2 a|4 -f (a2 — 4 cj |2 _ ^2 = 0. §. 169. Abel'sche Gleichungen, 575 Nimmt man für | irgend eine Wurzel dieser Gleichung sechsten Grades, so giebt jede der Gleichungen (25) ein Paar Wurzeln von / (x) = 0. §. 169. Abel'sche Gleichungen. Der Grad einer transitiven Permutationsgruppe von m Ziffern ist immer durch m theilbar und also niemals kleiner als m. Denn ist P eine solche Gruppe, und ^0 der Inbegriff der Per- mutationen von P, die die Ziffer 0 ungeändert lassen, so ist auch ^0 eine Gruppe und also ein Theiler von P. Nun kann man wegen der vorausgesetzten Transitivität in P ein System von Permutationen jTj, Tt.^, . . ., jr„i_i finden, die 0 in 1, 0 in 2, . . . 0 in m — 1 überführen, und dann ist ^0 7t ^ das System aller der Permutationen von P, die 0 in 1 verwandeln. Danach ist (1) P = Qi, -\- Qo^l + Qo^2 -] • + ^0 ^m-l, also der Grad von P gleich dem Producte aus m und dem Grade von ^0. Die Galois'sche Gruppe einer irreducibeln Gleichung ist also niemals von niedrigerem Grade, als die Gleichung selbst. Eine Normalgleichung haben wir früher durch die Be- stimmung erklärt, dass sie irreducibel sei, und dass jede ihrer Wurzeln rational durch jede andere ausdrückbar sein sollte (§. 152). Daraus ergiebt sich, dass die Gruppe einer Normal- gleichung sich auf die identische Gruppe reduciren muss, wenn man eine Wurzel adjungirt; und umgekehrt ist eine Gleichung, deren Gruppe so beschaffen ist, wenn sie zugleich irreducibel ist, immer eine Normalgleichung. Nun reducirt sich P durch Adjunction der Wurzel «o auf ^0, durch «1 auf n-'^ QqTCi etc. und wenn also P die Gruppe einer Normalgleichung sein soll, so ist nothwendig und hin- reichend, dass ^0 die Einheitsgruppe ist, dass also durch TT, Äi, ^Tg, . . ., 3r,„_i die Gruppe erschöpft sei. Wir haben also: Damit eine irreducible Gleichung eine Normal- gleichung sei, ist nothwendig und hinreichend, dass der Grad der Gruppe mit dem Grade der Gleichung übereinstimme. 576 Fünfzehnter Abschnitt. §. 169. Wir betrachten hier zunächst die specielle Art von Gleichun- gen, zu denen die von Gauss zuerst aufgelösten Kreistheilungs- gleichungen gehören, die Abel allgemein auflösen gelehrt hat, und die wir also nach ihm AbeTsche Gleichungen nennen wollen 1). Eine Gleichung w*^^ Grades F(x) = 0 mit den Wurzeln a. a^, «2, . . ., ccm—i heisst eine Abel'sche Gleichung, wenn jede Wurzel rational durch eine von ihnen, «, ausdrückbar ist, und wenn, falls (2) «1 = 01 (a), «2 = 02(«) • • . «m-l = 6>,n-l(«) diese rationalen Ausdrücke sind, die Bedingung (3) @^@j,{a) = 0fe%(a) für je zwei dieser Functionen besteht. Es bedeutet hierin das Zeichen &h 0^ («) , dass die Function @h(^) für das Argument x = &k{oO gebildet werden soll. Selbst- verständlich bezieht sich diese ganze Definition auf einen be- stimmten als rational angenommenen Körper iß. Zu diesen Gleichungen gehören gewiss, wenn Sl der Körper der rationalen Zahlen ist, die Gleichungen, durch die die Einheitswurzeln be- stimmt sind. Denn jede wi*^ Einheitswurzel ist, wenn r eine primitive unter ihnen ist, in der Form 0h{r) = r'' enthalten, und es ist Ebenso gehört, wenn der Körper Si die m^^^ Einheitswurzeln r enthält, die reine Gleichung x"^ — a = 0, in der a dem Körper Sl angehört, zu den Abel' sehen Gleichungen. Denn ist u eine ihrer Wurzeln, ^so sind alle Wurzeln' in der Form enthalten; es ist also &h{x) = r^'x und daher ©;, 0fc {x) = 0k 0h (x) = r'' + '^ X. Wenn die Function F(x) nicht irreducibel ist, so hat sie einen bestimmten irreducibeln Factor g) (x) , der die Wurzel a hat, und unter den Wurzeln von q)(x) ^= 0 bestehen gleichfalls 1) Abel, Memoire sur une classe d'equations resolubles algebriquement. Crelle's Journal f. Mathematik, Bd. 4, 1829. Oeuvres completes , nouvelle edition, 1881, Bd. 1, S. 418. §. 169. Abel'sche Gleichungen. 577 die durch (2j und (3) ausgesprochenen Relationen. Es ist daher cp(x) ^= 0 nach §. 152 eine Galois'sche Resolvente von F(x) = 0, und wenn (p(x) = 0 gelöst ist, so sind damit alle Wurzeln von F{x) bekannt. Es genügt also, wenn wir uns auf die Betrachtung irreducibler Abel'scher Gleichungen beschränken. Die Galois'sche Gruppe einer Abel'schen Gleichung, sei sie irreducibel oder nicht (wenn nur ihre Wurzeln von einander verschieden sind), hat die Eigenschaft, dass bei der Zusammen- setzung ihrer Permutationen das commutative Gesetz gilt; sie ist also eine commutative Gruppe. Es seien nämlich (4) M, «1 = 01 (a), «2 = 02 («), . . ., K,„_i = 0„,_i(«) die Wurzeln von F{x) und (6) M, a' = 0'(«), «" = 0" (a), . . . die darunter enthaltenen Wurzeln des irredücibeln Factors (p(x) von F(x). Da, wie schon bemerkt, (p(x) = 0 eine Galois'sche Resol- vente ist, so besteht die Gruppe der Gleichung aus den Substitu- tionen des Körpers ß(a), also aus den Substitutionen (6) ö = («, «), ö' = («, a'j, ö" = (a, a") . . . Diese Gruppe befolgt aber das commutative Gesetz; denn es sei 6' = («, «' ) = [«, 0' («)] ö"= («,«") = [a,0"(a)]; dann ist nach §. 154 ö' ö" = [«, 0' (a)] [0' f«), 0' 0"(«)] = [«, 0' 0"(«)] ö" ö' = [«, 0"('a)] [0"(«), 0" &' («)] = [«, <9" & («)]. Wegen (3) ist daher ö'ö" = ö"ö', worin ö', ö" zwei beliebige der Substitutionen 6 sein können. Folglich ist die Gruppe der Substitutionen des Körpers Sl(a) und damit auch die isomorphe Permutationsgruppe der Gleichung F(x) = 0 commutativ. Es gilt nun auch das Umgekehrte, wobei aber die Irre- ducibilität vorausgesetzt sein muss. Eine irreducible Gleichung (p (x) = 0 mit commu- tativer Gruppe ist eine Abel'sche Gleichung. Es seien «, Wj, k^, ..., «,n_i die Wurzeln von cp (x) = 0, und P die Gruppe dieser Gleichung, die wegen der Irreducilnlität von Weber, Algebra. I. 37 578 Fünfzehnter Abschnitt. §. 169. (p(x) transitiv ist, und die wir jetzt ausserdem als commutativ annehmen. Es sei Q der Theiler von P, der das Element 0 in Ruhe lässt. Ist dann Ttj eine Permutation, die die Ziffer 0 in i überführt, so ist jrri^:nr. die Gruppe der Permutation in P, die die Ziffer i nicht ändern. Da nun aber in jeder Zusammen- setzung von Permutationen aus P die Componenten vertauscht werden können, so ist d. h. die Gruppe Q lässt auch die Ziffer i ungeändert. Wegen der Transitivität von P kann aber i jede der Ziffern 1, 2, ..., m — 1 bedeuten, folglich besteht Q aus der einzigen identischen Permu- tation, und es giebt in P ausser der identischen keine Permu- tation, die eine Ziffer ungeändert lässt. Adjungirt man aber eine Wurzel «, so reducirt sich die Gruppe P auf eine Gruppe, die a ungeändert lässt, also auf die Einheitsgruppe, und die Gleichung ist gelöst, d. h. jede Wurzel von (p{x) kann durch eine beliebige unter ihnen, a, rational ausgedrückt werden. Demnach ist (p{x) = 0 eine Normalgleichung und somit ihre eigene Galois'sche Resolvente. Ist «t = 0k(y-)i so besteht die Galois'sche Gruppe dieser Gleichung aus den Substitutionen öj, = [«, 0t(«)], und es ist (3h<^k = [«, &h&k(cc)], G^öu = [«, e)fc0/.(«)]. Da die Gruppe commutativ sein soll, so muss sein, d. h. (p {x) = 0 ist eine Abel'sche Gleichung. Dies ist der Grund, weshalb die commutativen Gruppen auch Abel'sche Gruppen genannt werden (§. 155). Es folgt also noch aus dem oben gegebenen Satze über die Gruppe von Normalgleichungen, dass bei einer transitiven Abel" sehen Permutationsgruppe die Zahl der Permutationen mit der Zahl der vertauschten Ziffern übereinstimmt. Hier haben wir die Irreducil)ilität der gegebenen Gleichung vorausgesetzt. Wollen wir auch reducible Gleichungen F(x) = 0 mit commutativer Gruppe P berücksichtigen, so betrachten wir einen irreduciblen Theiler (p (x) von F{x). Die Gruppe P' der Gleichung -i) 7s-l= (ö, öl, Ö2, . . ., Ö,_l) wird. 37* 580 Fünfzehnter Abschnitt. §. 170. Ist 71 1 irgend eine Permutation von P, so ist wegen der Vertauschbarkeit (3) 7T-^7T7Ti = 7t. Nach dem Satze über die Bildung der Permutationen ^r-^irrTTi (§. 160, 4.) darf also tc nicht geändert werden, wenn die Permu- tationen TTj^ in den Cyklen von 7t ausgeführt werden. Da aber die Cvklen vollständig bestimmt sind, abgesehen von ihrer An- ordnung und von ihrem Anfangselement, so ergiebt sich, dass durch Anwendung irgend einer Permutation Zi aus P die Ele- mente der einzelnen Cjklen y nicht von einander getrennt, sondern nur unter einander (cyklisch) vertauscht und ausserdem die Cyklen mit einander vertauscht werden können. Die Gruppe ist also, wenn s > 1 ist, im primitiv. Eine rationale Function der Argumente «, a^, . . ., a,._i, die ihren Werth nicht ändert, wenn die « der cyklischen Permu- tation y und ihren Wiederholungen unterworfen werden, heisst eine cy kusche Function der «. Bezeichnet man mit (4) 03 = i'(ci, «1, . . ., «,._i) eine solche cyklische Function und mit (5) oj. ojp 0x21 . . ., ojg-i die conjugirten Werthe von oj, setzt also z. B. (6) Wl = t{ß, ßl, . . ., ßr-l), so sind diese Grössen nach §. 165 die Wurzeln einer irreducibeln Gleichung s*^" Grades: ^ (0 = 0, deren Gruppe man erhält, wenn man die durch P hervorgerufenen Permutatiouen der Grössen (b) aufsucht. Man erhält aber die durch ^r^ tTo unter den Grössen (.5) bewirkte Permutation, wenn man die beiden durch tt^ und 7T2 einzeln hervorgerufenen Permutationen zusammensetzt, und die Gruppe der Permutationen von (5j ist daher auch commutativ. Daher ist ^(t) = 0 eine AbeTsche Gleichung s*"' Grades. Adjungirt man to, so zerfällt F(x) in s Factoren r^^'^ Grades: F(oc) = F(x,o})F(x,cJi) . . . F(x,as-i)-, von denen der erste, F(x^co), die Wurzeln a, a^, . . ., «,.-1 h^t, und die Gruppe der Gleichung Fix.a) = 0 besteht allein aus der Periode der cyklischen Permutation y. Wir wollen eine Gleichung, deren Gruppe aus einem einzigen Cyklus und seinen Wiederholungen besteht, eine cyklische §. 170. Cyklische Gleichungen. 581 Gleichung nennen, so dass die cyklisclien Gleicliungeu der einfachste Specialfall der Abel' sehen Gleichungen sind. Wir haben dann also bewiesen, dass die Lösung jeder Abel' sehen Gleichung zurückgeführt wird auf die Lösung einer Abel'schen Gleichung niedrigeren Grades und auf die Lösung einer Reihe cyklischer Gleichungen. Diesen Satz kann man wieder auf die Hülfsgieichung s*'''' Grades anwenden, und damit so lange fort- fahren, bis diese Hülfsgieichung sich auf den ersten Grad redu- cirt. Damit erhält man also das Resultat: Die Lösung einer Abel'schen Gleichung lässt sich immer auf die li ö s u n g einer Reihe von c y k 1 i s c h e n Gleichungen zurückführen, deren Grade Theiler des Grades der gegebenen Gleichung sind. Es ist nicht nothwendig, in die Definition der cyklischen Gleichungen die Irreducibilität mit aafzunehmen. Wir können daher allgemein die Definition so fassen: Eine Gleichung )h<«° Grades F(x) = 0 mit m verschiedenen Wurzeln heisst eine cyklische Gleichung im Körper ß, wenn ihre Wurzeln «, «j, «2, • • ., «m— 1 nicht rational sind, aber sich so anordnen lassen, dass die cyklischen Functionen der Wurzeln in Sl rational sind. Wenn also (7) 71 = («, «1, «2, . . ., a,„_i) ist, so muss jede Function in Sl enthalten sein, die die Permu- tationen der cyklischen Gruppe (8) (7 = 1, :r, 7C^, 7C\ . . ., :i"'-'^ gestattet. Die Galois"sche Gruppe einer cyklischen Gleichung ist entweder die Periode C selbst und dann ist die Gleichung irreducibel, oder sie ist ein Theiler von C; sie besteht dann, wenn e und / zwei ganzzahlige Factoren von m sind und m = ef ist, aus den Permutationen (9) Ce = 1, 71% 7t^% . . ., ^^^-'K und die cyklische Gleichung zerfällt in e Factoren /*"* Grades. Denn nehmen wir eine zu der Gruppe C gehörige Function i^(a, «1, . . ., a,„_i), so ist diese nach Voraussetzung gleich einer Grösse in Sl, die wir mit a bezeichnen. Auf die rationale Gleichung ^ = a ist dann keine nicht in C enthaltene Permu- 582 Fünfzehnter Abschnitt. §. 170. tation anwendbar, und folglich kann die Gruppe der Gleichung keine anderen Substitutionen enthalten als solche, die in C vor- kommen. Wenn nun tt in der Grupi)e der Gleichung vorkommt, so ist sie mit C identisch, und da C transitiv ist, ist die Gleichung irreducihel. Ist aber n*" die niedrigste Potenz von tt^ die in der Gruppe der Gleichung vorkommt, so ist C^ diese Gruppe. Ce ist aber, wenn e > 1 ist, intransitiv, und die Gleichung ist reducibel. Die cyklischen Gleichungen haben, wie alle Abel'schen Gleichungen, die Eigenschaft, dass jede Wurzel rational durch jede andere ausdrückbar ist. Hier lassen sich diese Ausdrücke folgendermaassen cyklisch anordnen. Sind «, «i, «g? • • •■, «m— i die Wurzeln der cyklischen Gleichung F(x) = 0, so ist die ganze Function (in — 1)*^" Grades von x F(x) f-^^ -f -^^ J \ ''- ) = W(x) ungeändert durch die Permutation ti und also in Sl enthalten. Wenn wir darin x = a. a^. . . ., u,n—i setzen und das Zeichen — ^ = 0 (X) F (x) ^ ^ einführen, so folgt (10) «1 = 0(«), «2 = ©(«i), . . .. «„,_i = 0(a,„_2), « = 0(«„,_i), und dies gilt, mag F(x) reducibel oder irreducihel sein, wenn nur F{x) und F'(x) keinen gemeinsamen Theiler haben. W^enn der Grad der cyklischen Gleichung keine Primzahl ist, so lässt sie sich durch das oben auf Abel' sehe Gleichungen im Allgemeinen angewandte Verfahren noch weiter reduciren. Wenn nämlich rn = ef irgend eine Zerlegung von m in zwei Factoren ist, so zerfällt die Permutation n" in e Cyklen y von je / Gliedern : y = (") ^ei «2e- • • ••; «(/-l)Oi Qj\ Tl = (^'1^ «e + 1, «2<-l-l) • • -5 C'-C/ — 1) t+l), Nun bestimmen wir eine zu dem ersten dieser Cyklen ge- hörige Function t/; und setzen i] = li;(a, «e, «2^, . . ., «(/_i)e), §. 170. Cyklische Gleichungen. 583 Diese Grössen sind alle von einander verschieden, aber bei einer cyklischen Permutation ihrer Argumente bleiben sie un- geändert. Durch Anwendung der Permutation % gehen die Grössen cyklisch in einander über, und nach der Voraussetzung sind also ihre cyklischen Functionen, und folglich auch ihre symmetrischen Functionen rational. Sie sind also die Wurzeln einer cyklischen Gleichung e*«° Grades, während F{x) in e Factoren /'^° Grades F{x) = F(x, rj)F{x, rji) • - • F{x, )je-i) zerfällt, deren jeder eine cyklische Gleichung f^'^^ Grades für die Wurzeln eines der Cyklen y ergiebt. Denn setzen wir etwa Fl = (x — a) (x — «,,) . . . (x — «(/•__ De), so gestattet diese Function die Permutationen der Periode von y. Also gestattet sie auch die Permutationen der Gruppe, die nach Adjunction von rj zur Galois' sehen Gruppe unserer Gleichung wird, die ja nur aus Potenzen von 7, y^, . . ., y<.-i bestehen kann. Es ist daher nach dem Satze von Lagrange (§, 162, 2.) Fi rational durch r} darstellbar, also Fi = F{x, rj). Die Gleichung F{x, Tj) ■= 0 ist aber wieder cyklisch in ^(r])^ da die cyklischen Functionen ihrer Wurzeln diesem Körper angehören. Die Auflösung der cyklischen Gleichungen »»*^° Grades ist hierdurch abhängig gemacht von der Lösung cyklischer Glei- chungen, deren Grade die Primfactoren von in sind. Ist also z. B. m eine Potenz von 2, so wird die Lösung durch eine Reihe von Quadratwurzeln bewerkstelligt. Auf diesem Wege hat Gauss zuerst die Kreistheilungsgleichungen l)ehandelt i). Wir knüpfen endlich noch die für die Folge wichtige Be- merkung hier an, dass für einen Primzahlgrad die Begriffe der Normalgleichung und der cyklischen Gleichung zu- sammenfallen. Denn jedenfalls ist eine cyklische Gleichung vom Primzahlgrad, da sie irreducibel ist, eine Normalgleichung. Und wenn umgekehrt der Grad n einer Normalgleichung, der zu- gleich der Grad der Gruppe dieser Gleichung ist, eine Primzahl ist, und :t eine nicht identische Permutation dieser Gruppe, so ist der Grad von .-, der ja ein Theiler von n sein muss, gleich w, und die Gruppe der Gleichung ist 1, ;r, ^r^, . . ., jr"^^, also cvklisch. ^) Gauss, Disquisitiones arithmeticae, Sectio VII. 584 Fünfzehnter Abschnitt. §. 171. §. 171. Ptesolventen von Lagrange. Die Methode der Autlösang cyklischer Gleichungen, die wir jetzt kennen lernen wollen, ist gleichmässig auf Primzahlgrade und zusammengesetzte Grade anwendbar. Man bedient sich dazu gewisser Ausdrücke, die unter dem Namen der Ptesolventen von Lagrange bekannt sindi), die bei allen Untersuchungen über die algebraische Auflösung von Gleichungen von grossem Nutzen sind. Es sei F{x) = 0 eine Gleichung mit den Wurzeln «, a^, a.^, . . .. «,„—!. Wir bezeichnen mit £ irgend eine m^^ Einheits- wurzel und führen die Bezeichnung ein (1) (f, «j = « 4- £ «i -f £2«^ _|_ . . . _j_ £»»-1 «„,_!. Die so definirten Summen sind es, die man die Lagrange'- schen Resolventen nennt. Wenn diese Functionen für alle m^^^ Einheitswurzeln s bekannt sind, so ist auch die Gleichung selbst gelöst, denn es ist nach §. 141 (6) (2) E 8^ = m oder = 0, je nachdem 7j durch m theilbar ist oder nicht, und daraus folgt .(3) i>ia = 2;(£, CK), worin sich die Summen über alle w*^"^ Einheitswurzeln a er- strecken. Man kann auch die anderen Wurzeln in gleicher Weise ausdrücken : i (4) mu,, = 2: £-'••(£, a), so dass in der That Alles auf die Kenntniss von £ und der Functionen (£, u) zurückgeführt ist. Die Summen (2) und (3) lassen sich noch in etwas anderer Weise darstellen, da die sämmtlichen w^^'^Einheits würz ein Potenzen einer primitiven unter ihnen sind. Versteht man also unter £ eine festgehaltene primitive jn^e Einheitswurzel und unter A einen Index, der ein volles Picstsystem nach dem Modul ju, etwa die 1) Lagrange, Eeüexions etc., s. S. 508. Früher haben wir unter Kesolventen auflösende Gleichungen verstanden, hier sind es auflösende Functionen. §. 171. Resolventen von Lagrange. 585 Zahlenreihe 0, 1, . . ., ni — 1 durchläuft, so können wir für die Gleichungen (2), (3) setzen /. /. ma = Z (e'; «), mc/.k = Z:a^'-^{8\ «). Wir untersuchen diese Resolventen (f, a) zunächst als Functionen der ni unabhängigen Veränderlichen a, und wollen wegen der einfacheren Darstellungsweise der Formeln übereinkommen, dass «,„ = «(, = « und überhaupt «;, = «^ sein soll, wenn h ^ /.; (mod m) ist. Wir erhalten dann das ganze System der Variablen a, wenn wir in u^ den Index ein volles Restsystem nach dem Modul »i durchlaufen lassen. Für diese Resolventen gelten nun die folgenden Sätze. 1. Wenn man auf die Indices der « die cyklische Permutation jt = (0, 1, . . ., ;h — 1) anwendet, so geht (f , «) in «-^(f, aj über, und durch die Permu- tation TT* geht (e, u) in e~^(s, «) über. Dies zeigt die Definition (l) der Resolventen unmittelbar. Wir verstehen ferner unter v einen beliebigen positiven Exponenten und bilden nach dem polynomischen Lehrsatze (£,«)*. In der entwickelten Potenz setzen wir £'" = 1 und ordnen dann nach Potenzen von f. Es ergiebt sich dann ein Ausdruck von der Form (5) (£, ay = Ä\:^ + £ .4^;) + £2.4^) H h «"-' 4?-i 0, m — 1 worin die A\p., A^*\ . . ., ^|,f_i Formen v*«'^ Grades mit ganz- zahligen Coefficienten und den Variablen a sind, aber von £ un- abhängig. Auch hier möge Ah = Äk sein, so oft h^Jc (mod ni). Danach beweisen wir den Satz: 2, W^enn man auf die Indices der a die cyklische Permutation jt anwendet, so erleiden die Indices der Coefficienten von (£,«)" die cyklische Permu- tation 7t\ d. h. A\p geht in A\l\^ über. Um dies nachzuweisen, bemerken wir, dass die Formel (5) für jede beliebige m^'' Einheitswurzel £, einschliesslich 1, richtig bleibt, und hiernach folgt aus (2) (6) m A\;^ = i t-^ (£, «)". 586 Fünfzehnter Abschnitt. §. 171. Macht man auf der rechten Seite dieser Formel in den Indices der u die Permutation jr, so ergiebt sich nach 1. i; £-'-—'■(£, «/)'■. d. h. ^[') geht in J^l'l ülier, wie im Satz 2. behauptet ist. Der Satz 2. ist ein specieller Fall eines allgemeinen Theo- rems. Entwickeln wir ein Product von beliebig vielen Factoren (£, «j' {t'-\ a)'i {b\ «)'2 . . ., worin v , Vi . Vg ... positive , l^ , U . . . beliebige ganze Zahlen sind, und ordnen es. wie vorher (e. «)', nach Potenzen von £, so mag sich ergeben (7) (f, «)'■ (£^S «)'i (S'^-. «)'•. . . . = i £"J5/„ 0, J(i — 1 worin die Bh von £ unabhängige Formen von der Variablen u sind. Da auch diese Entwickelung für alle ij^*"^ Einheitswurzeln s gilt, so kann man die Formel (2) anwenden und erhält mB^; = Z:a-^(e, «)' (t'i. «)'i (s'k a,y^ . . .. woraus man nach 1. schliessen kann, dass Bj; durch die Sub- stitution 71 in Übergeht. Wir haben also: 3. Die Permutation tt . auf die Indices der « an- gewandt, ruft unter den Indices der Coeffi- cienten des nach e geordneten Productes (8) (f. «)' (£'•", aj'i (£^2, «)'2 . . . die Permutation 71' +^i'i + ^-2''^- ■ ■ hervor. In diesen Theoremen kann die Permutation tt wiederholt werden ; sie bleiben richtig , wenn n durch irgend eine Potenz von 71 ersetzt wird und sie gelten, was auch £ für eine jh*^ Ein- heitswurzel sein mag. Ist aber £ eine imprimitive Einheitswurzel, so treten gewisse Vereinfachungen ein, die wir noch kennen lernen müssen. Ist e ein Theiler von 1». m = ef. und £ irgend eine e*^ Einheitswurzel, so wird der Ausdruck (1) (£,«) = « -h ^"1 "h ■ • • H" £^~^«e-l -f- «e + £«e+i + . • . -f- £''-l«oe_i + «e(/-l)+ £«e(/-l) + l + • • • 4~ ^'' ^«m-l- §. 171. Resolventen von Lagrange. 587 Wir führen mm die Bezeichnung ein: n = « + «e + «2e + • • • + «(/^l)e /Q> Vi = «1 -{' CCe^i -\- U2eJrl -\~ • ■ • -{- «(/_i)e+i Ve — 1 = C*e — 1 -p «2e — 1 -f~ <^3c — 1 "1 ' ' ' "T '^m — lt und nennen diese Grössen, wie es Gauss in dem si^eciellen Falle der Kreistheilung gethan hat, die /-gliedrigen Perioden der Grössen a. Es wird dann (10) (s^a) = rj-}-et],-^t'-rj2^ [- a'^'^rje-u wofür wir auch ff, tj) schreiben können. Die Anwendung der Permutation tt auf die Indices von a bringt unter den nach dem Modul e zu nehmenden Indices der Grössen rj die cyklische Permutation (11) 7 = (0, 1, 2, . . ., e — 1) hervor. Entsprechend der Formel (10) können wir die Formeln (5) und (7) nun auch so schreiben: (£, ^i/ = E^p + ^ ^^i"^ + ^' E'2' H — b^'-' m, (£, 7j)'' (f'i, rjyi (£'2, rjy^ . . . = Avorin dann fc k ' e + k ' I (/ — e)e + k Gk = Bk -\- Bc + k -\- • • ■ -{- B^f-l)e + k ist, und E^') und Gk ganze homogene Functionen der « sind, die sich auch als Functionen der 7] darstellen lassen. Die Grössen »j^, E'j^\ Gk bleiben ungeändert, wenn die Permu- tation 71'' auf ihre Indices angewandt wird, d. h. wenn der Index um ein Vielfaches von e verändert wird, und wir können also jetzt die Sätze 2. und 3. so vervollständigen: 4. Ist f eine beliebige e*'' Einheitswurzel, und e ein Theiler von w, so erleiden, wenn auf die Indices von a die Permutation Jt ausgeübt wird, die Indices k der Coefficienten E"^'^ von (f, t;)' die Permutation y'\ und die Indices der Coeffi- cienten G des Productes (5, r])'' {e\ »?)'' (eS ^)''^ • • • die Permutation j^' +^i'i + ^2''2-- 588 Fünfzehnter Abschnitt. §. 172. §• 172. Auflösung der cyklischen Gleichungen. Die Lagrange"schen Resolventen führen durch Anwendung der jetzt bewiesenen Sätze zu der Auflösung der cyklischen Gleichungen, genauer gesagt, zur Reduction auf reine Glei- chungen, Wir verstehen jetzt unter den a nicht mehr Ijeliehige Variable, sondern die Wurzeln einer cyklischen Gleichung, so dass die cyklischen Functionen der a als bekannte Grössen zu betrachten sind. Nach dem Theorem §. 171, 2. sind die Coefficienten von (f,«)'" cykliscbe Functionen der «. Verstehen wir unter ao, «i, . . ., «m— i Grössen in ii und setzen (IJ ^, = ao -f Ch £'• + «2 1-'- H h «m-i «^""-'^S so folgt aus diesem Theorem 'O^ (2) (£^ «j = V^;.. Bezeichnet darin £ eine primitive m'^^ Einheitswurzel, so sind in der Form {i'-. a) alle Piesolventen enthalten. Bemerken wir noch, dass (1, a) = a als die Summe der Wurzeln zu den bekannten Grössen gehört , so haben wir nach und damit also « durch Radicale m^^^ Grades ausgedrückt, die unter den Wurzelzeichen ausser den Grössen, die von Hause aus in iß vorkommen, noch m^^ Einheitswurzeln enthalten. Jedes dieser Radicale hat, für sich betrachtet, m verschie- dene Werthe, die sich um »»*« Einheitswurzeln als Factoren von einander unterscheiden. Geben wir jeder m^^^ Wurzel alle ihre Werthe, so erhalten wir aus (3) viele verschiedene Werthe von «, unter denen nach §. 171, (4j die sämmtlichen Wurzeln a, «i, «2, . . •, «m— 1 vorkommen. Aber die Zahl der so aus (3) abgelei- teten Ausdrücke ist viel grösser, und es handelt sich noch darum, die beizubehaltenden von den abzusondernden zu unterscheiden. Am einfachsten führt dazu folgender Weg. §. 172. Auflösung cyklischer Gleichungen. 589 Wenden wir das Theorem §. 171, 3. auf nur zwei Factoren an, so ergiebt sich, dass eine Function in Sl (f) ist, wenn v -}- A ^ ^ 0 (mod m). Setzen wir also ji = 1, v = »i — A, so folgt, wenn X, = l'^ 4- 6? £ H h ^m-l ^"'-' eine Grösse in ü (a) bedeutet, (£, ay—''- (£^ a) = X,, also nach (2): Xi (V^) X). (4) Vt/^;. {vrr *' und dadurch sind, wenn £ eine festgehaltene primitive »t*^ Ein- heitswurzel bedeutet, die sämmtlichen in (3) vorkommenden Radi- m cale rational durch eines von ihnen, V^, ausgedrückt. Giebt man diesem einen seine m verschiedenen Werthe, so erhält man aus (3) gerade die m verschiedenen Werthe a. Es ist nur ein Ausnahmefall, in dem dieses Verfahren nicht anwendbar ist, das ist der, wenn tl-\ = 0 ist. Wir können aber durch eine kleine Modification des Verfahrens uns von einem solchen Ausnahmefall frei machen. Dem schicken wir Folgendes voraus. Es sei p eine in m aufgehende Primzahl und m = ijn; wie oben sei s irgend eine festgehaltene primitive wi*® Einheits- wurzel. Dann giebt es immer ein durch ^j nicht theilbares A, so dass (£^ a) von Null verschieden ist. Denn bilden wir nach der Formel §. 171, (4) die Differenz a„ — «,„ so erhalten wir /. m(a„ — «„) = :i (£-"'•— 1) (a\ a). 0, m— 1 Nun ist al)er £-"^- — 1 immer = 0, so oft A durch p theilbar ist, und wenn (£\ a) in allen anderen Fällen, wo also A nicht durch p> theilbar ist , verschwindet , so ist a« = «d i gegen die Voraussetzung, dass die a alle verschieden sein sollen. Es giebt also wenigstens ein durch p nicht theilbares A, so dass (£'•, «) von Null verschieden ist. Nun zerlegen wir m in seine Primfactoren und setzen m = P1P2 . . •, 590 Fünfzehnter Abschnitt. §. 172. worin pn P2 . • • Potenzen von verschiedenen Primzahlen sind. Wir setzen noch m = pi nii = P2 m.2 . . ., und wählen, was nach dem soeben Bewiesenen stets möglich ist, X^ relativ prim zu p^^ X^ relativ prim zu p^ etc., so dass (f'i, «), (£'-2, aj . . . von Null verschieden sind. Dann ist nach dem Theorem §.171, 3.: (5) {b\ a) {a\ aj"*!" {a\ (x)"*'" ••• = %/. eine in Sl{s) enthaltene Grösse, wenn (6) X ^ — v(Xi »Hj -\- X2 m^ -f- • • •) (mod m). Es ist aber (£'1, a)*"! eine Wurzel p^^^^^- Grades einer Func- tion g)i in ü(£), und wir setzen also Vi Vi in (7) U'\ «)'»i = y^i, (fS a)'"2 = V9J2 . . ., {b\ «) = Vi/^a- Dann wird nach (5) m y (8) Vr. / pi pi Y VVqpi V(p2 • • ./ Nun ist Ai m^ -\- X^ m^ -(-••• relativ prim zu «t, da m^ . . . durch p^ theilbar, X^m^ zu p^ relativ prim ist, und also erhält man aus (6) für jedes X eine nach dem Modul m völlig bestimmte Zahl V. Wenn wir also die Ausdrücke (8) in (3) einsetzen und den P\ P-2 Ptadicalen Vg^i, V9>2 • • • ^l^e i^n'e Werthe beilegen, so erhalten wir für « genau m verschiedene Werthe und nicht mehr. Die letzten Resultate können wir benutzen, um eine Form der Darstellung der Wurzeln « in etwas verallgemeinerter Gestalt abzuleiten, die Abel an der angeführten Stelle mittheilt, und die sich auf den Fall bezieht, wo der Körper Sl reell ist, d. h. aus lauter reellen Zahlen besteht. Die Functionen 9p, 1^', x^ wie wir sie oben benutzt haben, sind dann zusammengesetzt aus reellen Zahlen und aus der Einheitswurzel f , die man durch die Theilung der Kreisperipherie in m gleiche Theile findet; man kann etwa £ =r e '» = cos h * sin — m ' ni setzen. Die Function g)^ geht, wenn b in f^ verwandelt wird, in den conjugirt imaginären Werth über, den wir mit cp'i bezeichnen. §. 172. Auflösung cyklischer Gleichungen. 591 Wir wollen eine positive Grösse q^ und einen Winkel &i so annehmen, dass (9) g?j = Pie'^i, , a) (b-\ oc) = ±a, eine Grösse des Körpers Sl(£) (nach §. 171, 3.), und zwar ist es, da sie sich beim Uebergang zum conjugirt imaginären Werth, d. h. bei der Vertauschung von s mit «-^ nicht ändert, eine reelle Grösse. Das Vorzeichen wollen wir so bestimmen, dass a^ positiv ist. Es ist also nach (11), da q^ positiv ist, Pr = (±«i)'"=-«iN und es ergiebt sich daraus, dass bei ungeradem m jedenfalls das obere Zeichen gilt; bei geradem m kann auch das untere ein- treten. Es ist also (13) Q, = V^S wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Ferner sind ,14) S^ = 0,, 2^ = 0. reelle Grössen in >ß(£), und es ergiebt sich aus (10) b c (15) cos ©1 = -^, sin ©1 --= -^ , \/a'j" Va'{' woraus noch die Relation folgt: a'n = jji ^ d. Demnach ergiebt sich iH _ i2i V(pi = Va/"' ei>^ ; und nun verfahrt man mit den Functionen gjj u. s. f. ebenso. Man bestimmt also ©2 • • • ^^^s einem System von Gleichungen wie (15j und erhält, wenn man noch (16) mi©iH-m2©, H = 0 setzt, nach (8) gl öl __ _± — ■ - e'-2 592 Fünfzehnter Abschnitt. §. 172. (17) V^ = [Va'l'^ap . . .) e "' ' 5^;.. Nach (15) können wir setzen und wenn wir also durch Zerlegung in den reellen und imagi- nären Bestandtheil (18) (6i 4- ?Ci)-i {h, -f ic,)'"^ . . . = B + iC erhalten und (19) a'^^ap . ' ■ := Ä setzen, so folgt nach (16) e«^ = B-^iC also (20) VI'" cos 0 = B, VI'" sin 0 = (7, und (21) V^ = V^ (cos — - t sm — j Z, . Der Winkel 0 ist durch (20) nur his auf ein Vielfaches von 2 7t bestimmt, und wenn man also 0 -j- 2h7C für 0 setzt und h von 0 bis m — 1 gehen lässt, so erhält man aus (21) die m ver- 0v schiedenen Werthe der "Wurzelgrösse. Die Functionen cos — 0V . 0.0 und sin — können noch rational durch cos — , sin — aus- ni tn tu gedrückt werden. Die Auflösung der cyklischen Gleichungen in dem reellen Körper Sl ist also auf Folgendes zurückgeführt. Man adjungirt zunächst dem Körper ii die m*® Ein- heitswurzel c (Theilung der Kreisperipherie in vi gleiche Theile). Hierauf sind Ä. B, C bekannt. Man adjungirt ferner die positive Quadratwurzel \ A. dann sind cos 0 und sin© durch (20) bekannt. Endlich adjungirt man 0 0 cos — , sin — (Theilung des Winkels 0 in vi Theile). m m Dann ist die cyklische Gleichung durch (21) gelöst. Diese Betrachtungen führen noch zu einem interessanten Resultat über die Realitätsverhältnisse der Wurzeln cyklischer Gleichungen. §. 173. Theilun^ des Winkels. 593 Stellen wir, wie in §. 170, (lOj, in der Reihe der Wurzeln «, «1, . . ., «w — 1 jede rational durch die vorangehende dar: «1 = &(a), «2 = 0(«i). • • M «m-i = 0 («„,_,), a = 0(«,„_i), worin, da hier Sl reell vorausgesetzt ist, &(x) eine reelle ratio- nale Function von x bedeutet, so folgt zunächst, dass, wenn eine der Wurzeln reell ist, auch alle übrigen reell sein müssen. Dies findet immer bei ungeradem 7n statt, da eine reelle Glei- chung ungeraden Grades immer wenigstens eine reelle Wurzel haben muss. Bei geradem m können auch imaginäre Wurzeln vorhanden sein, und wenn eine Wurzel imaginär ist, so müssen es alle sein, da, wenn eine reelle Wurzel vorkommt, alle anderen auch reell sind. Bezeichnen wir mit ©'' (x) die v malige Wiederholung der Function 0, so ist a,+fc = ©"(%). Ist also a = «y mit «fc conjugirt imaginär, so sind auch für jedes V die Functionen 0' («o) und 0'(ofc), d. h. «, und a,.-(-fc conjugirt imaginär. Daraus folgt, dass 2h = m sein muss, und Avir schliessen, dass im Falle imaginärer Wurzeln «fc und a „i für jeden Index h ein Paar conjugirt imaginärer Wurzeln bilden. • Die cubischen Gleichungen werden durch Adjunction der Quadratwurzel aus der Discriminante cyklische Gleichungen. Wenn die Discriminante positiv ist, so sind die W^urzeln in Uebereinstimmung mit diesem Satze reell. §. 173. Theilung des Winkels. Zu den cyklischen Gleichungen gehören auch die Gleichungen, von denen die Theilung eines Winkels in m gleiche Theile ab- hängt, auf die wir die allgemeinen cyklischen Gleichungen in einem reellen Körper zurückgeführt haben. Die Aufgabe kann so formulirt werden: W e n n cos m (p und sin wi 9) gegeben sind, so sollen daraus cosg? und sing? gefunden werden. Weber, Algebra. I. 33 594 Fünfzehnter Abschnitt. * §. 173. Die Werthe von cos m cp und sin m qp denken wir uns kleiner als 1 und so, dass ihre Quadratsumme = 1 ist, gegeben. Wir adjungiren noch >m*® Einheitswurzeln, mit denen wir uns im nächsten Abschnitte noch eingehender beschäftigen werden, die aber jedenfalls von Gleichungen abhängen, deren Grad nie- driger als m ist. Um aber den Körper reell zu behalten, wollen wir nicht die Einheitswurzeln selbst, sondern .2 7t 2 TT. (1) sm — , cos — adjungiren. Es möge also der Körper Sl aus allen rationalen Zahlen und aus den rationalen Functionen von cos «top, sinmqp, cos — , sin ^^ m m bestehen. Die Gleichung w*®" Grades, von der x = 2cos(p abhängt, haben wir in §. 144 aufgestellt in der Form (2) 2 cos mcp = Ä,n{x), worin A,n{x) eine ganze Function m^^^ Grades von x ist; wir haben aber dort auch noch die Gleichung sin m cp gefunden, durch die sin ^ rational durch x ausgedrückt ist. In diesen Formeln sind die Einheitswurzeln noch nicht enthalten. Die m Wurzeln von (2) haben nun folgende Bedeutung: x,> = 2 cos qp, Xi = 2 cos (^cp -f- -^j, . . . , / I 2 (m — 1) ;r \ x,n-i = 2 cos [(p + ^ — ^^^ j , und mit Hülfe von (2) und (3) und unter Adjunction der Grössen (1) kann jede von ihnen als rationale Function einer anderen dargestellt werden, und zwar so: Irgend eine Function der Xq, x^, . . ., x,u-i kann also dar- gestellt werden als rationale Function F{Xq), und bei einer cykli- schen Permutation geht F(xo) in F(x^), F{Xi) in F(x.;,), . . ., F{x,„.y) in F(xq) über. Für eine cyklische Function ist also §, 173. Theilung des Winkels. 595 F{x,) = F(x,) ...= F{x„,^,) = i [F{x,) 4- Fix,) • • • + F(x^_,)] , und es ist folglich F(Xo) rational, da es als symmetrische Func- tion der Wurzeln dargestellt ist. Die Theilung des Winkels hängt also von einer cyklischen Gleichung ab. Diese cyklische Gleichung ist irreducibel; denn ersetzt man in irgend einer rationalen Gleichung ^{Xq, cos in q), smmq)) ^= 0, (p durch g) -\ -, so geht sie in 0 (X]c, cos m g), sin m(p) = 0 über, und ist also für alle Wurzeln von (2) befriedigt. Wollten wir nur cos mg) adjungiren, nicht zugleich sin »ig?, dann würde die Gleichung keine cyklische mehr sein, was man leicht an dem Beispiel der Dreitheilung bestätigt, wo eben sinw(5p die Quadratwurzel aus der Discriminante wird (§. 120j. 38^ Sechzehnter Abschnitt. Kreistheilung-. §• 174. Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung. Die wichtigsten unter den Ab eP sehen Gleichungen sind die, von denen die Bestimmung der Einheitswurzeln abhängt, deren elementare Eigenschaften wir schon im zwölften Abschnitt kennen gelernt haben. Wegen der Beziehung zu der geometrischen Auf- gabe, die Kreisperipherie in eine bestimmte Anzahl gleicher Theile zu theilen, heissen alle damit zusammenhängenden Gleichungen auch die Kreistheilungsgleichungen. Der Körper iß, der die als bekannt angesehenen Grössen enthält, ist hier nur der Körper der rationalen Zahlen, den wir den Körper R nennen wollen. Ist n eine beliebige natürliche Zahl, Primzahl oder zusammen- gesetzte, so giebt es, wie wir in §. 140, 141 gesehen haben, (p (n) = v primitive n^'^ Einheitswurzeln, die einer ganzzahligen Gleichung (1) Xn = X'' -f ai x'-'^ -f- . . . + a, = 0 genügen. Die nächste Frage, die nun zu beantworten ist, ist die nach der Irreducibilität dieser Gleichung. Die Irreducibilität von Xn ist, für den Fall, dass n eine Primzahl ist, zuerst von Gauss bewiesen (Disq. arithmeticae art. 341). Später sind noch viele andere Beweise gegeben worden (von Kronecker, Schönemann, Eisenstein, Arndt, Dede- kind), die sich zum Theil auf denselben einfachen Fall oder den ebenso zu behandelnden Fall, wo n eine Potenz einer Primzahl §. 174. Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung. 597 ist, beziehen, zum Theil den allgemeinen Fall eines beliebig zu- sammengesetzten u bebandeln. Wir wollen hier einem besonders einfachen Beweise für die Irreducibilität von X„ folgen, den Dedekind gegeben hat, der sich gleich auf den allgemeinen Fall eines ganz beliebigen n bezieht. Wir haben schon im §. 12 gezeigt, dass die Polynomial- coefiicienten für einen Primzahlexponenten p alle durch ]) theilbar sind, mit Ausnahme derer, die den p^^^ Potenzen entsprechen und die bei der Theilung durch j) den Rest 1 lassen. Diesem Satze können wir, wenn h, v, iv, . . . Variable bedeuten, und wenn sich die Congruenz nur auf die Coefficienten der Potenzen und Producte der Variablen bezieht, den Ausdruck geben: (2) (u -\- V -\- lü -\- ' ■ -y ^ tit' -f- vi' -{- ivP -{- ■ ' • (mod p). Hieraus ergiebt sich nun ein HüKssatz, auf den wir unseren Beweis stützen wollen. Es sei (3) f(x) = rc« + «1 a;'»-i -f aj x'"-^ + • • • + «m irgend eine ganze Function von x mit ganzzahligen rationalen Coefficienten aj, «2' • • •? ^m und die Wurzeln dieser Gleichung seien «, /3, y, . . ., so dass (§. 1) (4 j — a^ = Z! tt, (1-2 == 2J a ß, — Us = Z! a ßy, . . . Wir setzen nun, wenn jp eine beliebige Primzahl ist, (5) F{x) = (X - «0 (x — ß") (^ — /) • • . worin die Coefficienten J.j , A^, . . .-, -4,„ als ganzzahlige sym- metrische Functionen der a, /3, y, . . . nach dem Fundamental- satz von den symmetrischen Functionen (§. 48) ganze ganzzahlige Functionen der a^, a.^, . . ., a,« und also auch ganze rationale Zahlen sind. Zugleich ist -Ä, == Zc^, Ä, = 2JK''ß'\ -Ä, = Ua^ß"/', . . . und folglich nach dem Satze (2) Ai = a\\ A2 = aij, . . ., A„, = a^ (mod p), und nach dem Fermat' sehen Satze (§. 143) (6) Ai = tti, A2 = tta, . . ., A,„ = a,n (mod p), was wir auch so ausdrücken können, wenn wir wieder die Con- gruenz nur auf die Coefficienten entsprechender Potenzen von x beziehen: (7) f{x) = F{x) (mod p). 508 Sechzehnter Abschnitt. §. 174. Die Ableitung der Function F(x) aus f(x) ist ein specieller Fall der Tscbirnhausen- Transformation; denn man erhält die Gleichung F(y) = 0, wenn man x aus y = x^ und /(a?) = 0 eliminirt. Zur Berechnung von F{x) kann auch die Darstellung dienen: (8) Fix) = nf{e{/x), worin das Product über alle p^"^ Einheitswurzeln e zu nehmen ist. Wir fügen noch hinzu, dass, wenn f(x) im Körper R irre- ducibel ist, und wenn die 5 die in n nicht aufgeht, /(a^') ^= 0 ist. Denn ist /(a^) = 0, so hat f(xP) mit f(x) eine gemeinsame Wurzel « und folg- lich ist f{xP) wegen der vorausgesetzten Irreducibilität von f(x) durch f(x) theilbar. Wenn also für eine zweite in n nicht auf- gehende Primzahl g, die auch mit p identisch sein kann, f{ai) = 0 ist, so folgt, dass auch f(cci'^) =0 ist, und wenn man diesen Schluss wiederholt, so erkennt man, dass, wenn /(a^) für § 174. Irreducibilität der Kreistheilungsgleichuug-. 599 jede nicht in n aufgehende Primzahl verschwindet, auch /(«") verschwinden muss, wenn ^ irgend ein Product von Primzahlen ist, die in n nicht aufgehen. Ist nun p eine in )i nicht aufgehende Primzahl, und sind « und ß zwei von einander verschiedene Wurzeln von X„, so sind auch o^ und ß^ von einander verschiedene primitive n^^ Einheits- wurzeln, denn bestimmt man p' aus der Congruenz ^j'jj ^ 1 (mod w), so folgt aus worin (p, i\ y, & ganze ganzzahlige Functionen sind. Wenn wir die erste dieser Gleichungen mit — «, die zweite mit x multi- pliciren und addiren, so ergiebt sich eine Gleichung, die wir als Congruenz so darstellen können: (9) n ^f{x)0{x\ fmod p), worin

-, für welches fp{r,cc) = 0 ist. Daraus ergiebt sich aber nach (10) (11) • 95 (^''^ ()»J') = 0. Nun aber haben wir die Irreducibilität der Gleichung für die primitiven nä^^'^ Einheitswurzeln im Körper R bewiesen. Es folgt daher aus (11) für jede zu aw theilerfremde Zahl h (12j 95(9''°^, 9'""-') = 0, und wenn nun s eine beliebige zu n theilerfremde Zahl ist, so können wir h so bestimmen, dass h ^ s (mod n), h ^ l (mod a). Dann folgt aber aus (12) 9P (r^ «) = 0, und folglich ist (p {x, a) durch X„ theilbar. Darin liegt aber die Irreducibilität von X„ im Körper R{a). Dieser Satz rührt von Kronecker her, der gewissermaassen den umgekehrten Weg geht, indem er zunächst die Irreduci- §. 175. Kreistheilung. 601 bilität von X„ in R{a) unter der Voraussetzung beweist, dass n nur durch eine Primzahl theilbar ist, und daraus dann die Irreducibilität von X„ allgemein ableitet i). §. 175. Die Kreistheilungs-Perioden und die Periode n- gleichungen. Wir bescliäftigen uns nun zunächst mit den n*^" Einheits- wurzeln, unter der Voraussetzung, dass n eine ungerade Prim- zahl ist (die Primzahl 2 bietet zu keinen weiteren Fragen Anlass, da die einzigen zweiten Einheitswurzeln, +1, in it enthalten sind). Ausser der rationalen w*«^ Einheitswurzel 1 existiren noch n — 1 primitive, die durch die transcendenten Ausdrücke 2 TT I ini 6 7Ti 2 (n — 1) « i p n . fi n p n p n dargestellt werden können. Wenn wir eine von ihnen mit r bezeichnen, so ist das ganze System auch durch (1) r, r2, r-\ . . ., r^-^ darzustellen. Im Exponenten von r kommt es nur auf den Rest nach dem Modul n an, da immer und nur dann r'* = r^ ist, wenn h „-^ li (mod w) ist. Die Grössen (1) sind, wie wir schon im §. 140 gesehen haben, die Wurzeln der Gleichung (w — 1)*'''' Grades (2) X = ÄT—i 4- a:"-2 -f a;»-3 -f . . • -f a; + 1 = 0, deren Irreducibilität im vorigen Paragraphen bewiesen ist. Wir wollen jetzt zunächst nachweisen, dass diese Gleichung cyklisch ist. Diese Eigenschaft ergiebt sich aus der Existenz primitiver Wur- zeln der Primzahl w, mit denen wir uns im §. 143 beschäftigt haben. Es wurde dort nachgewiesen, dass es für jede Primzahl n gewisse Zahlen g giebt, die man primitive Wurzeln von n nennt, die durch die Eigenschaft charakterisirt sind, dass unter den Resten der Potenzen 1, g. 9\ ^^..., r-' 5 1) Kronecker, Mem. sur les facteurs irreducibles de l'expression j-n — 1). Lioaville's Journal, Bd. 19 (1854). 602 Sechzehnter Abschnitt. §. 175. bei der Theilung durch n jede der Zahlen 1, 2, ...,«— 1 ein und nur einmal vorkommt. Der Rest einer Potenz g^' bleibt derselbe, wenn h um ein Vielfaches von n — 1 verändert wird. Ist g" ^ a (mod n). so heisst a der Index von a (a = inda) und a die Zahl oder der Numerus. Der Index wird nach dem Modul n — 1 genom- men, der Numerus nach dem Modul n (§. 143). Nehmen wir also eine solche primitive Wurzel von n an, so können wir, von der Reihenfolge abgesehen, die Grössen (1) so darstellen : r, r3, r9\ . . ., rff"~^ oder, wenn wir (3) r^'' = n setzen, (4) r, )\, ra, . . ., r„_2. Jede Zahl des Körpers B(r), d. h. jede rationale Function von r lässt sich in die Form Ijringen: (5) cp (;•) = ho'^h,r^b,r^^ h bn-2r"-^ oder, da nach (2) l -{- r -{- r- -] • -f r"-i = 0 ist, (6 ) (p (r) = {b, - h,) r + {h, — h,) r2 H + (hn-2 - W)r"-'- — hor''-\ oder da die Potenzen r, r^, . . ., r"-^, von der Reihenfolge ab- gesehen, mit r. r^, ra, • . ., y„_2 übereinstimmen, in die Form (7) (p[r) = ar -{- a^}\ + «2'"2 + • • • + an-2»*„-2, worin die Coefficienten b und a rationale Zahlen sind. Wenn von den Zahlensystemen a, b das eine ganzzahlig ist, so ist es auch das andere. I. Eine solche Function qp (r) kann nur dann gleich Null sein, wenn alle ihre Coefficienten a, «1, . . ., a„_2 verschwinden; denn der Ausdruck (5) zeigt, dass q) (r) nicht anders verschwinden kann, als wenn die 6o5 ^n • • -i ^n— 2 Null sind. Sind aber diese Null, so zeigt (6j, dass auch die Coefficienten a alle Null sein müssen. Es kann also cp (r) nur auf eine Weise in die Form (7) gebracht werden. §. 175. Kreistheilungsperioden. 603 Treffen wir die Festsetzung, rlass sich an und Vu nicht ändern sollen, wenn der Index h um ein Vielfaches von ti — 1 wächst, so können wir auch (8) 9>(r) = io„r, setzen, und darin Ji ein volles Restsystem nach dem Modul n — 1 durchlaufen lassen. Wir haben nun nachzuweisen, dass die Gruppe der Glei- chung X =: 0 keine andere ist, als die Periode der cyklischen Permutation 71 = (r. Vi, ro, . . ., r„_2). Diese Periode oder cyklische Gruppe bezeichnen wir mit (9) C == 1. 7t, 7t\ . . ., :jr"-2. Die Gleichung X = 0 ist jedenfalls eine Xormalgleichung, weil sie irreducibel ist, und weil alle ihre Wurzeln nach (3) rational durch eine unter ihnen ausdrückbar sind; sie ist also ihre eigene Galois'sche Ptesolvente (§. 152). Ihre Substitutionen sind (10) (r, r), (r, )\), (r, r.^j, . . ., (r, r„_2), und nach (3) ist (r, n) — (j-fc, n + fc). Daraus folgt, dass (r, ri) unter den Wurzeln (4) die cyklische Permutation tt hervorruft, und dass also die Substitutionsgruppe (lOj mit der Permutationsgruppe C isomorph ist. Also ist C die Galois'sche Gruppe von X = 0. Nach §. 170 lässt sich die Gleichung X = 0 auf eine Reihe von cyklischen Gleichungen niedrigeren Grades zurückführen, wenn man Functionen aufsucht, die zu denTheilern der Gruppe C gehören. Die Theiler von C sind aber, wenn n — 1 in zwei Factoren J = r -j- Te + r.2e H h '"(/-De >Jl = >"l + ^e + 1 + »*-2e + l + • h »-(/-Ije + l die aus der ersten von ihnen durch die Substitutionen fr, r), (r, rjj, (r, rg), . . ., (r, Ve-i) hervorgehen. Wir bezeichnen die Grössen (12) auch als ein System conjugirter Perioden. Jede dieser Functionen bleibt durch die Substitution (>•, r«) ungeändert, und sie sind alle von einander verschieden, da sich eine Gleichung rju — >?;.- = 0, wenn h und /; verschieden ist, in der Form a >• -f- «1 >-i + • • • -|- a„_2 r„-2 = 0 schreiben Hesse, wo die a. a^, . . ,, «„_2 nicht alle zugleich ver- schwindende ganze Zahlen sind (-\- 1, 0 oder — 1), was nach dem Theorem I. nicht möglich ist. Jede der Perioden (12) ist also eine zu der Gruppe Ce gehörige Function, und diese Grössen sind daher die Wurzeln einer irreducibeln ganzzahligen Gleichung e^®° Grades. Adjungirt man eine dieser Grössen, so hängt die Bestimmung von /• noch von einer Gleichung vom Grade / ab. Xach den allgemeinen Sätzen des vierzehnten Abschnittes kann jede Function der r, die die Substitutionen der Gruppe C'e gestattet, rational durch jede der Grössen rj dargestellt werden. Hier können wir aber noch den folgenden Satz aufstellen: II. Jede Zahl in It(r), die die Substitution (r, Yg) gestattet, also auch jede Zahl des Körpers Pt(r]), lässt sich als homogene lineare Function der Perioden rj, rj-i, . . ., 7]e-i darstellen. Denn nach I. können wir jede Zahl von R(r) auf eine Weise in die Form (13) tpir) = lanrh setzen, wo die Coefficienten üh rationale Zahlen sind, und h ein volles Pestsystem nach dem Modul n — 1 durchläuft. Es ist aber qP(>"e) = lühru + e = ^«/.-e»Ä, und daher muss, wenn ?e-i, worin die «o.ä, «i,;.? • • -5 tte-i,h ganze Zahlen sind, über deren Berechnung später das Nähere folgen wird. Stellt man diese (ileichung für 7i = 0, 1, . . ,, e — 1 in der Form auf: («0,0 — V)V -^ «1,0^1 + + ae-ir}e-i = 0 «0,1^ + («1,1 — ^)^/l + + «e-l^e-l = 0 «0,e-l»? + «l,e-l^l + • • • (ae-i,e-l — V)Ve-l = 0, SO sieht man, da die rj, rji, . . ., rje-i nicht verschwinden, dass die Determinante dieses Systems Null sein muss, also «0,0 Vi «1.0) • • "1 «e — 1,0 «0,11 «1,1 Vi ' • -1 «e — 1, 1 (17) = 0, «0,e — li «l,e — 1? • • •> «e — l,e— 1 V was, wenn man x für v schreibt, vom Vorzeichen abgesehen, mit Fe{x) übereinstimmen muss. Die Function Fe{x) hat also nicht bloss rationale, sondern ganzzahlige Coefficienten. 606 Sechzehnter Abschnitt. §. 176. Man kann nun auch die Gleichung /''■'^ Grades biklen, deren Wurzeln r, ^e, r2e, . . ., »V-»« sind; denn es ist für ein unbe- stimmtes X (18) ^e{x) = (x —- r) (X — r,) . . . (x — r(/_i)e) eine Function im Körper R(rj). Ihre Coefficienten sind in der Form 9)(r)i (5)i mit ganzzahligen h enthalten und lassen sich also in der Form (14) mit ganzzahligen a darstellen. Sie lassen sich leicht aus den Newton'schen Formeln berechnen, durch die die Coefficienten einer Gleichung mittelst der Potenzsummen der Wurzeln ausgedrückt werden (§. 4G). Denn es ist nach (12 j und (.3) also geradezu einer der Potenzsummen gleich, und jede Potenz- summe ist einer der Perioden gleich. Man sieht daher aus den Newton'schen Formeln zwar unmittelbar, dass die Coefficienten a rational sind, nicht aber, dass es ganze Zahlen sind. Die Gleichung (18) lässt sich aber ebenso behandeln, wie die Gleichung (2); denn die Gruppe von Oe(x) = 0 ist eben C«, und wenn e' ein Theiler von/ ist, etwa / = e'/', so ist Cee' ein Theiler von Cg. Zu Ceen gehört aber die Periode rj' = r -\- Tee' -{- r^ee' + * ' " + ^/'-Dce', die also von einer Gleichung des Grades e' im Körper R (rj) abhängt. Wenn man die Zahlen e, e' . . . als Primzahlen annimmt, so besteht die Pteihe der Ptesolventen aus einer Reihe von Glei- chungen, deren Grade die Primfactoren von n — 1 sind. Was die Gruppe der Gleichung e*^"^ Grades betrifft, deren Wurzeln die e Grössen rj sind, so finden wir diese sehr einfach aus der Bemerkung, dass die Substitution (r, Th) unter den rjk die Substitution (rju, Vk+n) hervorruft, wenn der Index von r] nach dem Modul e genommen wird. Die Gruppe von Fe(x) = U besteht daher aus den Potenzen der cyklischen Permutation (f?, ^1, V-i, . . ., r?e-i)- §. 176. Die Gauss'sche ]\Iethode zur Berechnung der Pi e s 0 1 V e n 1 6 n. Um in concreten Fällen die Auflösung der Kreistheilungs- gleichung wirklich durchzuführen, kommt es nach dem, was wir §. 176. Producte von Perioden. 607 im vorigen Paragraphen entwickelt haben, nur darauf an, die Producte je zweier conjugirter Perioden als lineare Functionen derselben Perioden darzustellen. Dafür hat Gauss ein einfaches Verfahren angegeben, das wir jetzt kennen lernen wollen. Wir müssen dazu die Bezeichnung der Perioden ein wenig verändern. Wir schreiben zwei beliebige der Perioden §. 175, (12) in der Weise «('•) = r^- -L r'-' 4- r'-" -!-••• (1) / I I ^ ^ ?jC") z=z ;•." -\- r"' -J- r"" -h • • • so dass, wenn X ^=^ g^ (mod n) ist, tj^') = riu oder auch ^{/.) __ -jjjjj^; j es ist dann k' = lg\ l" = Ig^' ... , , (2) , , (mod n); lassen wir also die Zeichen .s und t je ein volles Restsystem nach dem Modul / durchlaufen, so ist s t Das Product davon ist s t Halten wir bei der Bildung dieser Summe zunächst .s- fest, und Summiren in Bezug auf f, so dürfen wir t durch i -j- s er- setzen , weil beide gleichzeitig ein volles Restsystem nach dem Modul / durchlaufen. Demnach wird st ^ . yjO-) ^00 = V V ri'- + ," g* «) 3* *. Hierin aber darf die Reihenfolge der Summation vertauscht werden, so dass auch ist. Die nach .•^ genommene Summe ist aber selbst eine der Perioden, nämlich nach der Bezeich- nung (1) die Periode 7^U+.«ff'*). Es ergiebt sich also aus (2) und (3) (4) ?^(^) r](-"> = ?;('• + ."> -\- ■>j(^ + ."'J -j- 7j('*- + ,"") -[-... Die rechte Seite dieses Ausdruckes enthält / Glieder; dar- unter kann natürlich auch dieselbe Periode mehrmals auftreten; 608 Seclizelinter Abschnitt. §. 17G. auch kann darunter die uneigentliche Periode ?j(o> vorkommen, die gleich der ganzen Zahl / zu setzen ist. Will man die homo- gene Form des Ausdruckes wieder herstellen, so henutzt man die Relation ^ + '?! -f- ^2 H + Ve-1 = — 1, die ja nur eine andere Schreibweise der Gleichung §. 175, (2) ist. Wenn mau nach (4) den Ausdruck für ein Product 7}i]h berechnet hat, dem wir oben schon die Form gegeben haben, (5) i]r]h = ao,nV + «i,A^h + • • ' + «e-i,;i^e-:, so erhält man das Product von zwei beliebigen der Perioden durch die Substitution {r], rjj;), Um an einem einfachen Beispiele diese Piegeln zu erläutern, nehmen war n = 13. Für 13 ist 2 eine primitive Wurzel, und wir können die im §. 143 gegebene Indextabelle anwenden: (") Wenn wir zuerst e = 3, / = 4 annehmen , so erhalten wir eine cubische Resolvente, deren Wurzeln 7? = r + i\ + r^ + »"9 (8) ^1 ^ y\ + Vi + ^"7 + »"10 n2 = »*-2 + '".0 -|- »*S + »"U sind. Aus der Tabelle (7) ergiebt sich dafür auch ri = r -\- f-'" -\- r-'^ -\- r'> = r^'^^ (9) ?ji = r2 + r3 -f r-2 -f r-^ = rj(2) Wendet man die Formel (4) an, so erhält man z. B.: ^ri = ?j(2) _j_ ^(-4) _|_ ^(0) _L_ ^(c) = 4 -f 7j(2) 4- 2 TjW = — 4?? — 3 7ji — 2>;2, und so ergeben sich die Formeln: r/2 = — 4f? — 3>;i — 2^2> ^^2 = 2?? 4- »h + ^^2, woraus nach §. 175, (17), die Gleichung für ?; I 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 N 1, 2, 4, 8, 3, 6: 12, 11, 9, 5, 10, 7 §• 176. Kreistheilungsperiodeo. 609 4 — 72, — 3, — 2 1, 2 - 7J. 1 2, h l -Tj = 0, oder (10) r?3 _|_ ^2 _ 4^ _^ 1 =3 0 folgt. Die Discriminante dieser Gleichung ergiebt sich gleich 169 = 132, also positiv. Die Gleichung hat folglich drei reelle, und zwar, da das letzte Glied positiv und das vorletzte negativ ist, zwei positive und eine negative Wurzel. 27t t Setzen wir r = e ^^ ^ gQ wird o 2:r lOjr t] = 2 cos — + 2 cos ^j^ = 4jr 6n 7^1 = 2 cos — -f 2 cos -j^ = ??2 = 2 cos — -{- 2 cos -^ == K'"'l3 2 TT 13 4:7t COS 2(coSj3 3 jr 6 :r^ + cos -j3 j, _2(coSjJ3 +COS-J, oder auch 4 JC 671 , :;r 5 :r 7? = 4 COS — COS — , ??i = 4 COS — cos — , V2 27r 3:r 4C0S-C0S-. Es ist also 7^2 die negative, tjj die grössere, tj die kleinere der beiden positiven Wurzeln. Die Gleichung 4*^'' Grades, deren Wurzeln r, t — ^, r'\ r~^ sind, lässt sich nun leicht bilden, wenn man j. 1 1 r, 2:t:,, ., Kr> 10 jr I = r -)- r-^ = 2 cos —- , |' = r» -j- r"^ = 2 cos —— - setzt. Es ist nämlich also (11) t'-vt + V2=0 die quadratische Gleichung für |, aus der man die biquadratische Gleichung für r erhält, (12) r+ — 7; r^ -f- (7/.. -f 2) r2 — 72 r + 1 = 0. Die quadratische Gleichung (11) hat eine positive und eine 2 71 negative Wurzel. Die positive Wurzel ist 2 cos y^- Anstatt r Weber Algebra. I. 39 610 Sechzehnter Abschnitt. §, 177. 2 jr selbst zu berechnen, berechnet man noch 2 sin --^, was man als lo die positive Quadratwurzel V4 — ^^ erhält. An Stelle der drei viergliedrigen Perioden y] hätte man auch zuerst zwei Perioden von sechs Gliedern betrachten können: Für das Product ^^^ findet man nach der Formel (4) den Werth 3 (^ -|- ^i) oder — 3, so dass ^, ^^ die Wurzeln der qua- dratischen Gleichung (14) ^2 ^ g _ 3 3= 0 sind, woraus, da aus dem Ausdruck durch die Cosinus leicht zu sehen ist, dass ^ positiv ist: .... ^ _ - 1 + Vl3 , _ - 1 - VT3 Nach Adjunction der Werthe ^, ^i kann man eine cubische Gleichung für die zweigliedrigen Perioden bilden. Setzt man nämlich ^ =r + r-\ Ix = r2 + r-% ^4 = y'^ 4- *"~^ 15 = ***^ + »'~^ so folgt ^ = 1 + I, + |„ ?i = li T- ^3 + ^5, e + ^: = - 1, ferner 112 = 13 + ^4. ll4 = ll + ^"2, I2l4 = l + l5, II2I. = 2 + ^1 = 1 -e, also sind |, ^21 I4 ^lie Wurzeln der cubischen Gleichung (16) X- — ix-2 — X — l -{- t = 0. §• 177. Zurückf ührung der Kr eis theilun gsgl eichung auf reine Gleichungen. Gauss hat schon in seiner ersten Darstellung in den disq. arithm. die Kreistheilungsgleichungen durch Benutzung der Resol- §. 177. Zurückführung auf reine Gleichungen. 611 venten direct auf reine Gleichungen zurückgeführt i). Um dies durchzuführen, setzen wir n — 1 = «», und bezeichnen, wie im vorigen Abschnitt, mit e eine primitive Einheitswurzel m}^^ Grades, mit r, y\, »"2,. .., r,„_i die n^'^'^ Einheits- wurzeln in der oben festgesetzten Reihenfolge. Die Lagrange '- sehen Resolventen sind dann h h , 0,n — 2 0, n — 2 worin A ein beliebiger, nach dem Modul m genommener Expo- nent ist. Setzen wir ^'' = s, also h ^ inds (mod m), so können wir auch setzen s (1) (e'-, r) = ^ £/-masys^ l,n — 1 Als Grundlage für die weitere Reduction dieser Ausdrücke dient die Berechnung des Productes zweier solcher Resolventen. Wir bezeichnen mit /i eine zweite Zahl wie l und verstehen unter s und t zwei Zeichen, die von einander unabhängig je ein Restsystem nach dem Modul « durchlaufen, mit Ausschluss der Null. Dann ist .V t Wenn die Summation in Bezug auf t zuerst ausgeführ t wird so kann s^ an Stelle von t gesetzt werden, da s von Null ver- schieden ist, und also st und t zugleich ein volles Restsystem nach dem Modul n durchlaufen. Also wird s t ^2) ({'• r) (f" r) ■= V V j-s(t + l) £(/• + , ")inds £,uindt_ Wir erledigen zuerst den speciellen Fall ft = — A, den 1) Gauss, disq. arithm. art. 359, 360; disq. circa aequationes puras ulterior evolutio, Werke Bd. II. Lagrange, res. des equations nume- riques. Jacobi, „Ueber die Kreistheilung und ihre Anwendung in der Zahlentheorie". Werke Bd. 6. Kummer, Crelle's Journal, Bd. 35 und Abhandl. d. Berl. Akademie 1856. Zu erwähnen sind noch Eisenstein und Cauchy. Die Lehre von der Kreistheilung ist im Zusammenhange dargestellt und von den historischen Nachweisen begleitet in dem Buche von Bachmann, „Die Lehre von der Kreistheilung". Leipzig 1872. 39* 612 Sechzehnter Abschnitt. §. 177. wir aus (2) erhalten, wenn wir die Summation nach s zuerst ausführen : t s (£'; r) (e-\ r) = ^ g-Ämdi v ys(t + i)^ Hierin ist V y^(t + i) — — 1^ wenn i = 1, 2, . . ., w — 2 = 11 — 1, wenn t = n — 1, also, da (nach §. 143) ind(w — 1) = \'o(m — 1) und n — 1 £ 2 = _ 1 ist, t (£'-, r) (a-\ r) = — ^ £-/.mdi j^ (_ ly^^ l,n — l In der nach t genommenen Summe durchläuft ind^ ein volles Restsystem nach dem Modul n — 1, und also ist, wenn ?. durch n — 1 nicht theilbar angenommen wird, 1, n — 1 und daher (3) (8\ r) (e-^ r) = {- ly-n, während, wenn X durch n — 1 theilbar ist, (8\ r) = (1, r) = — 1 wird. Wir behandeln also nun die Summe (2) weiter unter der Voraussetzung, dass l -]- (i nicht durch (n — 1) theilbar ist. s Dann ist 2 £('+/^)""is = 0, und es können in der Summe auf der rechten Seite von (2) die dem Werthe t = n — 1 entsprechenden Glieder weggelassen werden. Man erhält so t s (4) (£'-, *■) (f'*^, r) =r V f.uind« ^ sO- + Ninds ^s{t + 1) 1, n — 2 1, n — 1 t 8 V gUiadt — (/. + u)md(t + l) V £a + ,u)iiids(< + 1) y«(f + 1)^ l,n — 2 Nun durchläuft s(t -\- 1) bei feststehendem t zugleich mit s ein volles Restsystem nach dem Modul n, und es ist also » s V £(^. + ,")inds(e + l) j.s(f + 1) —— V £(/. 4 ,u)inds^s __ C£^- + ." f) und die Formel (4) ergiebt wenn zur Abkürzung t (6) V £^mdf-(;. + ,.Omd(t + l) _ :i^; „(a) l,n — 2 §. 177. Auflösung durch die Resolventen. 613 gesetzt und ^ -\- ^ durch n — 1 = m nicht theilbar angenommen wird. Diese Functionen t^ sind dann aus den (n — l)*^"^ Einheits- wurzeln £ mit ganzzahligen Coefficienten zusammengesetzt, und sind also bekannt, wenn die (n — ly^'^ Einheitswurzeln als be- kannt vorausgesetzt werden. Es sind Zahlen des Körpers R{8). Wir nehmen jetzt A durch ft theilbar an, ersetzen also A durch ftA und setzen (7) « = £", so dass a auch eine nicht primitive (n — 1)*^ Einheitswurzel, z. B. eine e*^ Einheitswurzel sein kann (wenn, wie oben, m = ef ist und ju. durch / theilbar, etwa =/ genommen wird), wobei jedoch der Fall « = 1, also e = l auszuschliessen ist. Dann setzen wir t (8) 2 «i^'i « - 0. + 1) ind « + 1) ^ ^ . (c^) . 1, n — 2 darin ist i-'/Xc/.) eine Zahl des Körpers -R(a), die mit Hülfe einer Indextabelle leicht berechnet werden kann; A kann dabei nach dem Modul e genommen werden. Die Formel (5) giebt für diese Annahme (9) (k\ r) («, r) = (a^+\ r) ^^ («), und diese Formel gilt, so lange /i(A -|- 1) nicht durch n — 1 theilbar ist, also, wenn ^ und m theilerfremd, und daher a eine primitive m*® Einheitswurzel ist, für A = 1, 2, . . ., n — 3, und wenn / der grösste gemeinschaftliche Theiler von ^ und m und m = ef ist, für A = 1, 2, . . ., e — 2. Die Formel (3) giebt jetzt, wenn a' nicht = 1 ist, (10) « r) {a-\ r) = (— lyhi. Die Formeln (9), (10) genügen, um nicht nur die r selbst, sondern auch die sämmtlichen Perioden tj durch Radicale zu bestimmen, deren Grade die in m aufgehenden Primzahlen sind, und unter denen die Functionen i/>;. als die bekannten Grössen vorkommen. Da die /-gliedrigen Perioden (für / = 1) die Grössen r mit umfassen, so wollen wir gleich zur Bestimmung dieser Perioden übergehen. Wir wollen also unter « eine primitive e*® Einheitswurzel verstehen und (i ^ f setzen. Dann ist («'•; r) = r -}- a'Yy + a'^'-rj + • • • -(- «("-2)^- rH_2, 614 Sechzehnter Abschnitt. §. 177. oder nach §. 175, (12) (11) (a\ r) = (a\ t;) = >; -f a'-^i -f c/ß'r], U af''-i)'rj,_i, und die Formeln (9) und (10) ergeben (12) (< fj) («, 72) = (a^ + i, 7J) i^,(«) ; _ 1 9 . _ 9 , (13) (o'/,r?)(a--,7?) = (-l)/^-.^ A_i, ^, ..., ^e ^;, Die Gleichung (13) zeigt, dass keine der Zahlen («', 7;) ver- schwindet, und nach (12) sind auch die ip?.(^) von Null verschie- den, und wenn wir die Gleichung (12) für A = 1, 2, , . ., A — 1 bilden, so lolgt («, rj) (a, 7]) = («2, rj) ^^ (a) («2, ^) (a, 7?) = («3, rj) 1/^2 («) (a'-i, i]) (a, ?j) = («'-,??) i/;;._i(«). Daraus erhalten wir durch Multiplication und Wegheben des Factors («2, rj) . . . («//"^ ?j) (14) (a, rjY = (< 7?) ti^i («) t^2 («)... ^;.-i («). Dadurch ist («^ ■»;) rational durch («, t^) ausgedrückt. Setzen wir aber in (14) k = e — 1, so ergiebt sich («, rjy-'^ = (u-\ 7])^lJi (c«)t/;2(«) . . . t^e-2(«), und durch ^Multiplication mit (w, rj), wenn (13) in der Form (a, rj) («-1, »?) = (— lyn benutzt wird, (15) («, rjY = (— 1)/m tP, («) ^0 («) . . . l^e-2 («), wodurch die Bildung von («, tj) auf eine e** Wurzel zurückgeführt ist. Setzen wir e = m, so erhalten wir (f, r). Wir wollen dies Verfahren auf den interessanten Fall w = 17 anwenden, der zu dem geometrisch merkwürdigen, vcn Gauss gefundenen Resultat führt, dass die Theilung der Kreisperipherie in 17 Theile von einer Reihe quadratischer Gleichungen abhängt, und dass daher das reguläre Siebzehneck mit Zirkel und Lineal construirt werden kann. Für die Primzahl 17 ist 3 eine primitive Wurzel, und man findet die Indextabelle J| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 iV' 1 3 9 10 13 5 15 11 16 14 8 7 4 12 2 6 §• 177. Siebzehn-Tlieiluno-, 615 2 7ti Die zweigliedrigen Perioden sind, wenn wir r = e ^'^ setzen, ij = 2 cos rj.^ = 2 cos (16) 2jr TT ISjt tjj^ = 2 cos 67C TT — 2 cos 7C 17 t^3 = 2 cos ^y- = — 2 cos — , O 26 TT ^4 = 2C0S-y^r= i^g = 2 cos 30 jr ~I7~ 2cos — , ?;j=2cos-Yjr- = — 2cos— , 2cos — , Tj; = 2 cos — p=— = — 2 cos 5jr Zur Berechnung der Functionen tl< wendet man am ein- fachsten folgende Tabelle an: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ind t 0 14 1 12 5 15 11 10 2 3 7 13 4 9 6, ind (t + 1) 14 1 12 5 15 11 10 2 3 7 13 4 9 6 8 woraus man, wenn « eine 8*^ Einheitswurzel bedeutet, nach der Formel (8) findet: t/^i (et) = 1^6 («) = 2 « + 2 «--^ 4" 3 «^ + 4 «•• -|- 2 «'■■ + 2 a" (17) ^2(«)=^5(«) = 2 +3«+ «:'+ a*+3a' + 4a';4-a' 1/^3 (a) =z t^4 (a) = 3 -)-3a -f 2a2+3a3-f- «■>4-2«';-|-a". Nimmt man 1 + «■ a = — ^, ci^ = u «^ = — 1, V2 so ergiebt sich ^1 (a) = ^6 («) = _ 3 — e VS t/;2 (a) = 1^5 («) = 1 — 4 ?■ _ ^3 (a) = 1/;^ (a) = 3 -L i V8 t^i(i) = — 1 + 4?, also nach (15) (19) («, 7?)^ = 17 (3 + i Vsy (1 — 4 /)-'. Aus (13) und (14) aber erhält man (- 1, ri)^ = 17, (20) (i, 7?)2 =(_ 1, ^)(_1 +4i), («, ny = - (i, fi) (3 + ^ Vs) ; ausserdem hat man (l,t;) = — 1, (18) 616 Sechzehnter Abschnitt. §. 177. (i, 7j){— i, rjj = 17, (21) (a, >2)(«-i, 7?) =17, («3,^) («-3, i?)=17, und nach (9) (22) («, ri) («3, rj) = (- 1, rj) (.3 + * Vs), wodurch (1, i?), (— 1, rj), (± i, tj), (a, ij), («-i, t^), («3^ rj), («-3, tj) durch Quadratwurzeln bestimmt sind. Bei der Bestimmung, die wir über r und a getroffen haben, ergiebt sich leicht aus der Betrachtung der Werthe der Cosinus (16), dass ( — !,■>?) positiv, also gleich der positiven Quadrat- wurzel Vi 7 ist, und dass ferner (i, rj) und (a, tj) positive reelle Theile haben, wodurch auch diese Grössen völlig bestimmt sind. Es ist also (- \^) = Vn, _ wenn alle Wurzeln positiv genommen werden, und nach der letzten Gleichung (20) lässt sich durch eine, wenn auch etwas lange Formel («, tj) durch Quadratwurzeln aus reellen Grössen darstellen. Auf die geometrischen Constructionen, die sich hier anknüpfen, gehen wir nicht ein^). Die benutzte Vorzeichenbestimmung erhält man einfach, wenn man nach (16) setzt 1 . , , 2^ 71 , 87t . 4:71 - (— 1, ri) = cos p^ — cos — + cos — + cos — 6:r , 3:r , 1 tc , öti — cos — -f cos — -f cos — -f cos yy- Nach einer bekannten trigonometrischen Formel ist aber 2 TT 7C ^ . 7t . ?}7t cos —=- — cos — =- =: — 2 sm -— - sm 17 17 34 34 6;r , OTT ^ . 7t . Wti -cos— + cos- = 2sm-sm— , und da sin — :- grösser ist als sin -;r— , so ist die Summe dieser 34 o4 beiden Ausdrücke und damit die ganze Summe ( — 1, ri) positiv. ^) Vgl. hierüber v. Staudt, Construction des regulären Siebzehnecks. Crelle's Journ. Bd. 24, 1842. §. 178. Die Zahlen i/'- 617 Es ergiebt sich ferner für den reellen Theil von (/, rj) I o 2jr 7C 87t 4:7r I? — t?2 + ^;4 — ^?6 = 2 cos — + 2 cos — -j- 2 cos — — 2 cos — , was unmittelbar als positiv erkannt wird; endlich für den reellen Theil von («, tj) V — Vi ^ T7^ (Vi — V-i — »?.-. + ^7) = 2cos — — 2cos — 4-y2^^cos — -f cos— + C0S — — cos— j, was sich gleichfalls als positiv erweist. §. 178. Eigenschaften der Zahlen t^. Die im vorigen Paragraphen abgeleiteten Formeln für die Resolventen gestatten eine Fülle von Anwendungen, auch ohne eine nähere Bestimmung dar Primzahl w, für specielle Annahmen über die Zahl e; sie geben also zahlentheoretische Sätze für ganze Kategorien von Primzahlen. Für die Algebra liefern sie uns die Lösungen cyklischer Gleichungen von vorgeschriebenem Grade in beliebiger Menge. Der Ableitung der für die Algebra wichtigsten dieser An- wendungen schicken wir einige allgemeine Betrachtungen über die im vorigen Paragraphen deflnirten Functionen t^ voraus. Zur Berechnung der Zahlen il}i^a{s) [§. 177, (5)] bedient man sich, wie wir im Falle n == 17 gesehen haben, einer Indextabelle. Es bestehen aber zwischen diesen Functionen Relationen, durch die sie sich auf eine geringere Zahl zurückführen lassen, worüber Jacob i merkwürdige Untersuchungen angestellt hati). Die Function il^?.^^{e) ändert sich nach ihrer Definition nicht, wenn l, /u. vertauscht werden, obwohl ihr Ausdruck [§. 177, (6j] dadurch eine andere Gestalt erhält. Wir bekommen also dieselbe Function i^/(«)i wenn wir A, ^ durch A/,/ oder durch /, Xf ersetzen, also [§. 177, (8)] f t lb (u) = ^ cx,^iiit — 0. + l)ind(t + l) ^— V ß^Aindt — (/. + l)md(i + l)^ ^) Vergl. Kronecker, Zur Theorie der Abel' sehen Gleichungen. Journ. f. Mathem. ßd. 93. 618 Sechzehnter Abschnitt. §. 178. Hängen also zwei Zahlen A, A' durch die Congruenz (1) AA' = 1 (mod e) mit einander zusammen, so ergieht sich t t ^. (a/') = V £,//.' ind * — (/./.' + /.') ind« + l) ^^ V ßindi — (/.' + l)inda + 1) also die Formel (2) ^;. («'■') = ^>'(«)- Wenn wir sodann in §. 177, (5) für A setzen — A — u und also — A für A -f- ft (wobei dann vorausgesetzt sein muss, dass A durch )n nicht theilbar ist), so folgt (£->7r) -^-/-."„"W- Die linke Seite multipliciren wir mit (t^- + .^\ r){E\ r) _ (£'• + .", rj(£%r)"" ' und wenden im Zähler und Nenner die Formel (£^ r){£-\ r) = (— ly-n [§. 177, (3)] an, dann folgt oder und wenn wir A, ^ durch A/, / ersetzen und A" aus der Congruenz (3) A + A" + 1 = 0 (mod e) bestimmen, (4) t/^;.(«) = (— iyi>,"(a). Diese Formel kann man dann wieder mit der Formel (2) verbinden, und so die Anzahl der für ein bestimmtes e zu berechnenden Functionen auf eine geringere zurückführen. Ist e eine ungerade Primzahl, so ist nach Jacob i die Zahl der Func- tionen ip/_, durch die sämmtliche e — 2 auf diese Weise aus- gedrückt werden können, gleich der zunächst über |e gelegenen ganzen Zahl. Eine dritte Formel ergiebt sich, wenn man in §. 177, (5) für £ setzt £~^ und dann multiplicirt, also {e'\ r) {e-\ 0-) (f", r) (£-■", r) ^i. ,,(£jt^;.,,«(£-i) (£^ + .", r) (e-'-f, r) §. 178. Die Zahlen \p. 619 bildet. Und mit Hülfe von §. 177. (3) findet man so die Formel (5) t^;,,u(«)^/„a(£-^) = «, die nun wieder durch die Substitution A/,/ für A,ft specialisirt wird: (6) t^';.(a)T/;;.(a-i) = n. Schliesslich wollen wir noch eine Eigenschaft der Func- tionen il) erwähnen, die sich auch unmittelbar aus ihrer Defini- tion §. 177, (5) ablesen lässt. Danach ist nämlich, wenn A, ft, v drei solche Zahlen sind, dass X-\-fi, X-{-^-\-v nicht durch m theilbar ist d. h. das Product t^;.^„(£) t/;;.4.„^v(£) bleibt ungeändert, wenn die drei Zahlen A, ^^ v beliebig vertauscht werden (falls auch A -j- v und ft -{- v durch m nicht theilbar sind). Danach ergiebt sich z. B und wenn man darin A, ^, v durch llf^f^f ersetzt, und beachtet, dass 1^2/, 2/./ (f) = i^/.(«2) ist, (8) j^2 /. («) t^2 /. + 1 f «) = ^i (a) i'?. («2) , vorausgesetzt, dass 2, 2A-|-1, 2A-(-2 nicht durch e theilbar sind. Jacobi hat den Versuch gemacht, mit Hülfe dieser Formeln für ein gegebenes, als Primzahl vorausgesetztes e die sämmtlichen e — 2 Functionen i/^;. (a) durch die conjugirten Werthe einer einzigen, d. h. durch z/^j (a), t^-j («-), t/^i («•'), . . . auszudrücken, und hat die Rechnung bis e = 23 durchgeführt. Dass eine solche Darstellung allgemein möglich sei, wie Jacobi vermuthet zu haben scheint, ist jedoch nach den Unter- suchungen von Kronecker nicht wahrscheinlich. Wir wollen als Beispiel den Fall e = 1 durchführen. Für diesen Fall ist A = 1, 2, 3, 4, b ?.' = 1, 4, 5, 2, 3 A" = 5, 4, 3, 2, 1, also ergeben die Formeln (2) und (4) ifi (a) = t^., («4), ^, (a) = ii,.^ (u-) 1^1 (a) = t^5 («), t^., («) =• 1^-4 («) und daraus noch i^'i (a) = T/^3 («••) 7^'3(a) =r j/;ifa'j. 620 Sechzehnte!" Abschnitt. §. 178. und wenn man in (8j A = 1 setzt ^2 («) ^3 (a) = ^'i («) ^'i («^) ; endlich nach (6) n = i)^ (a) t^3 (a^^) = ^^ («) ^i («*)■ Berechnet man liiernach die Formel §. 177, (15) (a, rj)' = n i\ {a) ^^ (a) 1/^3 (a) t^^ («) ^5 (a) , so ergiebt sich (9) («, 7j)- = ip^ {ay t^'i («2)2 ^^ («4). Durch diese Formel lässt sich unmittelbar die Relation aus §• 177, (14) (a, 1^)14 = («2, ri)- t^i («)' verificiren. Wir wollen diese Betrachtungen über die Functionen ^ mit dem Beweise eines Satzes beschliessen , der uns später nützlich sein wird. Bestimmen wir eine positive ganze Zahl v < m aus der Congruenz (10) A -j- ^ -f- V = 0 (mod m), so können wir die Function t/^';.^u(f), wie sie durch §. 177, (6) delinirt ist, so darstellen (IIJ |/,. /gl __ V g,umd«4- vincl« + l)_ l,n — 2 Hierin wollen wir nun die w*® Einheitswurzel £ durch die primitive Congruenzwurzel g der Primzahl n, die dem Index- system zu Grunde liegt, ersetzen, d. h. wir wollen die ganze Zahl (12) ^).,u((j) = ^ gUinAt + viuMt + l) = V pc (^ J^ J^v ^^^^ ^^) 1, n — 2 1, n — 2 bilden. Betrachten wir diese Zahl nach dem Modul n, so können wir die Sunimation bis t=^n — 1 ausdehnen, da für diesen Werth (t -}- 1) congruent mit Null ist. Wir erhalten also (13) i%u{9) = ":!. t-{t-^ \y (mod n). 1, »i— 1 Auf die Potenz (t -L 1)* können wir den binomischen Lehr- satz anwenden und erhalten, wenn, wie früher, B^P die Binomial- coefficienten bedeuten, (14) ' t^;,„C7) = i Sh^ 1 ^"^" (mod n). l,n — 1 0,v §. 179. Die Gauss'schen Summen. 621 Setzen wir t ^ g^ (mod w), so durchläuft s ein Restsystem nach dem Modul m, und wir erhalten t s l,n — 1 0, m — 1 Es ist aber nach der Summenformel für die geometrische Reihe s (g^' + h — 1) V gsiu + h) -- gm(u + h) _ 1 ^ 0 (mod w), 0, ni — 1 und folglich ist (15) v.9«(" + ''> = 0 (mod «)i 0,m — i ausser wenn ft -j- /» ^ 0 (mod m) ist, und in diesem Falle ist (16) 2 ^**^" + ''^ = w^ = — 1 (mod n). 0,m — 1 Nehmen wir A, fi zwischen 0 und w an, so ist 1) wenn l -\- ^ < m ist, v = m — A — ^, 2) „ A -f- ju. > m ist, V = 2m — A — fi. Der Exponent (i -\- h in der Summe (14) durchläuft also im Falle 1) die Werthe ^ -\- h = fi^ ^ -\- 1^ . . .^ ni — A, „ 2) „ „ ;i, ^ + 1, . . ., 2w — A. Im Falle 1) kommt also der in (16) vorausgesetzte Fall (i -\- h ^ Q (mod m) gar nicht vor, im Falle 2) kommt er ein- mal vor, für h = m — fi. Demnach haben wir aus (14) mit Rücksicht auf (15) und (16), wenn für den Binomialcoefficienten Bh^ der Werth 1) ^^," (ö') = Ol A -f ^ < m ^^'^K. : r. 77(2m-A-^) , , ^"^''^^ §. 179. Die Gauss'schen Summen. Im §. 175 ist gezeigt, dass, wenn n — l = ef ist, die Perioden rj^ i^n • • -i Ve-i einer ganzzahligen Gleichung e'^° Grades 622 Sechzehnter Abschnitt. §. 179. genügen. Diese Gleichung hat nur reelle Wurzeln, wenn / gerade ist, weil dann V2 (** — 1) ^i^^ Vielfaches von e ist, und folglich r und r-^ in derselben Periode vorkommen. Ist aber/ ungerade, so sind alle Wurzeln imaginär. Es ist nun vom höchsten Interesse , diese Gleichung e*^*» Grades für einzelne besondere Werthe von e ohne eine specielle Annahme über die Primzahl i?, ausser der, dass n — 1 durch e theilbar sein soll, zu untersuchen. Wir betrachten die ersten speciellen Fälle und nehmen zu- nächst e ::= 2 an, was bei jeder ungeraden Primzahl n zulässig ist; t\^ 7]i sind hier also die zwei Perioden von V2 0^ — 1) Glie- dern, die wir jetzt mit J., B bezeichnen wollen, so dass A = r -|- r, -j- >-4 4- • • • -f- r„-3 B = Ti -\- r-, -f r-, + • • • + rn-2- Die r, r^, r^, . . . haben die Exponenten g'^, g^, . . ., ^"~^ d. h. die Exponenten von g sind gerade Zahlen. Die Exponenten von r sind also die quadratischen Reste von n (§. 145). Ebenso sind die Exponenten von r in der Summe B die Nichtreste. Bezeichnen wir also die Reste mit a, die Nichtreste mit 6, so ist (1) Ä = 2Jr'', B = Er\ und es ist ( — \, r) ^= A — B. Diese Ausdrücke A, B, werden die Gauss'schen Summen genannt. Machen wir in der Formel §. 177, (10) die Annahme e = 2, a =f= —^, A = 1, a = — 1, so ergiebt sich (2) A — B = ± V{— l)~^ n, während andererseits A-^B = -1, also I (3) 2A = — 1 ±V(— Ij ' n, 2^ = — 1 + V{— 1) 2 n. Das Vorzeichen, das man der Wurzel zu geben hat, hängt von der Wahl von r ab. Ist aber über r verfügt, so ist das Vorzeichen völlig bestimmt. Seine Ermittelung bietet eigen- thümliche Schwierigkeiten, die zu einer eigenen Abhandlung von Gauss Anlass gegeben habend). 1) Summatio quarundam serierum singularium. Gauss Werke, Bd. II. Auf andere Weise, mit Anwendung der höheren Analysis, ist das Zeichen v^- 179. Die Gauss'schen Summen. 623 Setzen wir (4) r = e " 1 so wird das Zeichen in den Formeln (2) und (3) ein bestimmtes, und die Formel (2) lässt sich mit Benutzung des Legren dre'- schen Zeichens (§. 145) so darstellen: V (h\r^ = ±\ r n — \ (5) ^ \-)r^ = ±. \ (— 1) -' n. l,n — 1 \ W/ Nach §. 145 ist aber, wenn v die Reihe der Zahlen 1,2 ' 2 0* — 1) durchläuft, IVTt (6J n{r — r-') = (2i) 2 TT sin ^-^^ = i 2 y„ n worin ]/» positiv zu nehmen ist. Vergleichen wir dies mit (5), so ergiebt sich, wenn £ = ^i^ 1 gesetzt wird (7) V /^V-fc ^,TT(r^-i-0, l,n — 1 \ '« ,/ und hieraus soll das Vorzeichen f bestimmt werden. Die ganze Function der Variablen x (8) f il{x' _ :r"-') — V O^x^ verschwindet für :r = r, und ist also, wegen der Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung durch X„ = (a;" — 1) : (x — 1) theil- bar. Da die Function (8) aber auch für rc = 1 verschwindet, weil es ebenso viel quadratische Reste wie Nichtrestc giebt, so ist sie auch durch {x — \) und folglich durch {x^ — 1) theilbar, und wenn wir also mit f{x) eine ganze und ganzzahlige Function von X bezeichnen, so ist identisch (9) f U{x' — a;"- • j = V 0^ x^ -|- {x^ — 1) f{x). von Dirichlet, Cauchy, Kronecker bestimmt worden. Der Weg, den Gau8s einschlägt, benutzt nur algebraische Hülfsmitlel. Kronecker hat in Liouville's Journal Ser. 2, Bd. 1 einen Weg für die Vorzeichenbestim- mung angegeben, der mit Benutzung einer Bemerkung von Dedekind (Schlömilch's Ztschr. Bd. 15, Literaturzeitung S. 21) gleichfalls zu einem rein algebraischen wird. Einen Weg, der durch sehr einfache Hülfsmittel, durch Benutzung elementarer goniometrischer Formeln zum Ziele führt, hat neuerdings Mertens eingeschlagen (Sitzungsber. d. Berliner Akademie, 27. Febr. 189G). Wir folgen im Text dem durch Dedekind vereinfachten Kronecker'schen Weg. 624 Sechzehnter Abschnitt. §. 179. Wenn wir in dieser identischen Gleichung x = 1 -]- y setzen, und nach Potenzen von y ordnen, so giebt ein Factor der linken Seite (1 + yy — (1 + yr-'' = (2v — n)y 11—1 lind die linke Seite fängt also mit der Potenz y ^ an, deren Coefficienten (10) £ n(2 V — ir) = £ 2 2 .1.2.... — ^ (mod n). Ti— 1 Der Coefficient von y ^ auf der rechten Seite von (9) muss nun diesem Ausdrucke gleich sein, und wir setzen die Reste nach dem Modul n einander gleich. In der Entwickelung von a:" — 1 = (1 + yY — 1 sind aber alle Coefficienten, mit Ausnahme des letzten, durch n theilbar, also ist in dem Product (:r" — l)/(^) der Coefficient von y 2 ganz durch n theilbar, da/(Ä;) ganzzahlige Coefficienten hat. n — 1 Der Coefficient von y '^ in x^ ist aber nach dem binomischen Satze 'kQi-\)...k- ^"^^ <11) n-l 1 2 n — i und ist gleich Null, wenn h <. \ (n — 1) ist. Da aber der Aus- druck (11) für diese Werthe von k gleichfalls verschwindet, so können wir die kleineren Werthe von Ic trotzdem stehen lassen und erhalten durch Multiplication mit 1 w — 1 / 1 n — 1 ^ ,N— 7^ . ,- r ^N /n — 1 1. 2. ...—- = (-1) 2 (n-r)(n-2)---(-^-^l^ nach (10) und (11) <^°^°^ *^)' n — 1 n — 1 (12) (— 1) ' 2 2 . 1. 2. . . . (h — 1) . £ = V j^l^ /, (7, - 1) ... (fc - ^-^) (mod n), worin h ein beliebiges volles Restsystem nach dem Modul n durchlaufen kann. Nach dem Euler'schen Satze [§. 145, (13), 6.] ist aber {^) = Tc^ , 2 2 ^ (^-) ^ (- 1) s (mod n), un( i da W2 8 1 n — 2 1 _ ist, so ergi lebt sich aus (12) (^ — l)(n — 3) §. 179. Die Gauss'schen Summen. 625 und nach dem Wilson'schen Satze (§. 143) 1. 2 . . . (« — 1) = — 1 (mod m), '-/^^^ (mod 2) (13) _£ = (-l) 8 2fc ^ (Ä;-l)(Ä;-2)...(^^'-*^j (mod w). Ordnen wir den unter dem Summenzeichen stehenden Aus- druck nach Potenzen von fc, so erhält die Summe die Gestalt 2 worin die Coefficienten «j, a2, . . ., a„_3 ganze Zahlen sind. Nach 2 den Sätzen §. 143, (22), (23) ist dies aber nach dem Modul n mit — 1 congruent und wir erhalten aus (12) (n — l)(n — 3) £ ^ ( — 1) ^ (mod n). Daraus ergiebt sich, da £ nur r= + 1 sein kann, und n nicht = 2 ist, (n— 1) (w— 3) (14) £ = (— 1) 8 Setzen wir diesen Werth in (7) ein, so folgt nach (6) (15) ^O^r^=i^^^ Vn. Ist s irgend eine durch n nicht theilbare Zahl, so durch- läuft .s/c gleichzeitig mit li ein volles Restsystem nach dem Modul w, und wir können daher in der Summe (15) den Summationsbuchstaben Ä* durch s fc ersetzen. Dadurch ergiebt sich die allgemeinere Formel (16) v(i)r.> = (l),("Wv«, wodurch das Vorzeichen in (2) und (3) allgemein bestimmt ist, 1 nia nämlich, wenn r = e " gesetzt wird Weber, Algebra. I. 40 626 Sechzehnter Abschnitt. §. 179. (17) yj A — B = i(—) Yn, w ^ 3 (mod 4). Nach §.175, (18) sind nun die V2 (** — 1) (grossen r' und die 1/2 (w — 1) Grössen r'' die Wurzeln je einer Gleichung V2 (** — 1)*^*^ Grades, deren Coefficienten ganz und ganzzahlig, und zwar linear, durch A und B ausdrückhar sind. Wenn wir also mit Y {x)^ ^{^) zwei ganze Functionen von x mit ganzen rationalen Coefficienten bezeichnen, von denen die erste den Grad V2 ('^ — Iji di^ zweite den Grad ^ 2 ( " — Ij — 1 l^^-ti so haben wir 2A(x)= 2n{x — r«j = Y{x) — Z{x) l(^)r^, 2B(x)= 2 n(x — }'') = Y(x) + Z(x) ^ (^)^^ und die Coefficienten der Functionen Y{x), Z(x) können nach §. 175 berechnet werden, und ergeben sich als rationale ganze Zahlen. Multiplicirt man die beiden Formeln (18) mit einander, und gebraucht X in derselben Bedeutung wie in §. 175, (2), so folgt die Identität n — 1 (19) 4rX = Y{xy^ — (— Ij^" nZ(xy. Es lässt sich nun noch zeigen, dass die beiden in (18) ent- haltenen Functionen ^U ]/(— 1) ^n) = Y(x) 4: Z{x) \ (— 1) ' n in dem Körper jR, y ( — 1) ^ w, der aus dem Körper der ratio- nalen Zahlen durch Adjunction von )/+ n entsteht, irreducibel sind. Denn ist 0^ ein Theiler von ^, so erhalten wir, wenn wir das Product 0i ^i bilden , wo Q'i aus 0i durch Aenderung des Vorzeichens der Wurzel Vi w entsteht, eine ganze Function von X mit rationalen Coefficienten , die mit X eine Wurzel gemein hat, und folglich durch X theilbar ist. Der Grad dieses Productes kann also nicht kleiner als n — 1 sein, und folglich kann der Grad von Oj nicht kleiner als 1/2 (w — 1). d. h. nicht §. 179. Die Gauss'schen Summen. ' 627 kleiner als der Grad von Q sein, und folglich ist (&i, von einem etwaigen constanten Factor abgesehen, mit O identisch. D. h. 0 ist irreducibel. Nehmen wir an, es seien die Functionen Y,Z irgendwie mit ganzzahligen Coefficienten so bestimmt, dass die Gleichung (19) 1 / n— 1 befriedigt ist, so hat Y — Z \ ( — 1) - n bei passender Ver- fügung über das Vorzeichen der Quadratwurzel mit Ä{x) einen Theiler gemein und ist also, da der Grad derselbe ist. mit Ä(x) bis auf einen Zahlenfactor identisch. Dieser Zahlenfactor ist aber dann bestimmt, wenn wir annehmen, dass Y von höherem Grade ist als Z, und dass der Coefficient von a;V2(»— d in Y gleich -f- 2 ist. Dann können bei geeigneter Vorzeichenbestim- mung für Z diese Functionen in (18) eingesetzt werden, und es folgt J5' 2Ä{x)= Y(x) — Z{x) V (!^) r^ 2B{x)= Y{x) -f Z(x) ^(-1)^' L*ft Das Vorzeichen von Z lässt sich aber in folgender Weise bestimmen. Setzen wir a; = 1, so folgt J7(l _ r^) — mi — r") r= Z(\) ':i(-\r\ und es ergiebt sich also wie oben, dass die ganze Function von x (21) /7(1 — x'') — 77(1 — a;«) — Z(l) ^ {-\x^ = (x"— 1) f(x) durch x^ — 1 theilbar ist, so dass f(x) eine ganze Function von X mit ganzzahligen Coefficienten bedeutet. Setzt man hierin wieder x = l -^ y und vergleicht beiderseits die Coefficienten von t/VäCn-i)^ so folgt wie vorhin (^(-1)2 i7(6) + (_l) 2 /7(a)JL2...-^~ = -Z(l)(modn), woraus nach §. 145, (17) (22) Z(l) = — 2. 1. 2 2~ (^^^ **) entsteht, und hierdurch ist von zwei entgegengesetzten Func- tionen Z{x) eine bestimmte gekennzeichnet '). *) Nach einer brieflichen Mittheilung von Dedekind. 40^ 628 Sechzehnter Abschnitt. §. 180. So findet man z. ß. für n = 13, wenn man Y, Z zunächst mit unbestimmten Coefficienten ansetzt, durch einige Versuche die nachträglich leicht zu verificirende Lösung der Gleichung (19) 4X = r^ — uz^ r = 2 ic« -|- a:-^ + 4 a;* — a;-' _|_ 4 a;2 _^ a; _|_ 2 Z =1 x-' -\- x'^ -J- X, also Z(l) = 3, und da 3 = — 2. 1. 2. 3. 4. 5. 6 fmod 13) ist, so ist das Zeichen von Z nach (22) richtig gewählt. Hieraus erhält man nach (15) die Gleichung, deren Wur- zeln sind: ,'ini , + 4 a;2 _ -L(l— Vl3)a; + 2 = 0, worin Vi 3 positiv zu nehmen ist. Nehmen wir die Wurzel mit entgegengesetzten Zeichen, so ergiebt sich eine Gleichung, deren Wurzeln sind: ,i7ti ,\fini I lini f^h ___ p 13 p 13 p 13 §. 180. Die Perioden von i ^(n — 1) und V* 0^ — 1) Gliedern. Wir gehen jetzt zu dem Falle e = 3 über, wobei n — 1 durch 3 theilbar angenommen werden muss, also n = 7, 13, 19, 31, 37, 43 . . . Wir bezeichnen mit q eine imaginäre dritte Einheitswurzel : 1+V: 3 Q = und bestimmen die drei Perioden i;, -»jj, r}2 von je Vs 0^ — 1) Gliedern, die. -^-ie wir in §. 175 gesehen haben, die Wurzeln einer cyklischen cubischen Gleichung sind. Nach §. 177 ist ^^(q) = V pindf-2mda + l)^ l,»i — 2 wofür, da — 2^1 (mod 3), auch §. 180. Specielle Perioden. 629 (1) iP^{q) = V Qinä(t^ + t) l,n — 2 gesetzt werden kann. Diese Zahl tpi (q) kann in einer der beiden Formen (2) ^i((>) a ^ ÖQ = ^-"2 — 3 dargestellt werden, worin a, 6, A ganze Zahlen sind und A := 2 a — b ist. Es ist dann (3) Mq') = a-{-bQ-^ = — — /=^, und die Formeln (10), (15) des §. 177 ergehen (4) ^ + ^1 + ^2 = — 1 (5) (9, fiy = n ti (q), {q', V)' = " ^1 {q') (6) ((), fj) (p2, rj) = n, ip, (q) ^, (q'^) = n, worin (7) (Q,ri) = rj -\- Qtji -|- 92^2, (92, ^) = ^ _^ ^2^^ _|_ p rj,. Beispielsweise erhält man für « = 7, 13, wenn man die primitiven Wurzeln 3, 2 zu Grunde legt und die Indextabellen anwendet: n — 1 u — 13 N 1 0 2 2 3 1 4 4 5 5 6 3 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6 für w = 7, a H- 6 9 = — (1 -j- 3 9), ■für M = 13, « -f i ^ = _ (4 4- 3 9). Aus diesen Formeln können wir leicht die cubische Glei- chung herleiten, deren Wurzeln die rj, 7^1, rj2 sind. Sie hat wegen (4) die Form und die ganzen Zahlen /3, y sind zu bestimmen. Führen wir die Multiplication in (6) aus, so ergiebt sich n = Tj'i -\- ril -\- vi — V^i — n % — *?i *?2 = (^ + ^1 +^2/-'- 3^, also (9) 3ß — — {u — 1). 030 Sechzehnter Abschnitt. §. 180. Die AusführuDg der CiiLeii in (5) ergiebt, wenn wir für den Allgenblick ss = 7]^ -^ v! + Vi^ ^ = n^nv + »?i'»?2 + ^1% setzen nipiiQ) = s-^ — 67 + 359 + 3 s' p2. Aus (8) nnd (9) erhält man aber s^ = — n — 3 y [§. 46, (9)], also (10) «[^i(?) + 1] = - 9r + oSQ -^ 3s' p^ und ebenso (11) n[MQ')-^ 1] :^ - 9y + 3sq^^3s'q, wozu noch, wenn man (4) in den Cubus erhebt, n — 1 =— 9y + 3s + 3 s' kommt. Addirt man die drei letzten Gleichungen, so folgt n[t,(Q) + ^i(p2j] _L 3m - 1 = — 27y, oder endlich nach (2) und (3) (12) — 27/ = «J. + 3« — 1. Aus dieser Relation folgt, da y eine ganze Zahl ist, (13) Ä=l (mod 3). Nun ist nach (2), (3) und (6) (14) n = a^ — ab -^ h\ oder (15) 4w = ^2_|_352^ und wenn wir diesen Werth in (12) substituiren, — 4 . 27 y = J.3 + 3 ^ 62 _j_ 3 j^2 _^ 9 ^,2 _ 4. Setzen wir nach (13) für den Augenblick A = \ -{- 3 m, so folgt J.'' + 3 J.2 — 4 = 0 (mod 27) und mithin 3&2(^ -f 3) = 0 rmod 27), und daraus 3 62 = 0 (mod 27). Es ist also h durch 3 theilbar, und wenn wir & = 3 J5 setzen, so folgt aus dS) (16) 47» = J.2 + 27^2, Wir können auch leicht die Quadratwurzel aus der Dis- criminante bilden, nämlich (17) V^ = (tj — Y],) (r] — rjo) (r]i - V2) = s — s', §. 180. . Perioden gl eich ungen. 631 S wenn wir (10) und (11) von einander subtrahiren. Man erhält daraus (18) VB = nB. Die cubische Gleichung, deren Wurzeln die drei Grössen t^ sind, hat also, was übrigens schon aus dem am Anfang von §. 179 Bemerkten folgt, drei reelle Wurzeln. Sie vereinfacht sich, wenn man 3>?-f i = e setzt, und ergiebt dann (19) t,-^ — %nl — nA = ^. Substituirt man auf der linken Seite für ^ der Reihe nach (20) -2Vw, -Vw, +V'H, +2 1/«, so ergeben sich die Werthe — w (2 Vm -^ A\ + n (2 Mn — A\ — n (2 Vn -\- Ä), + n{2Vn — A), die, weil nach (16) A absolut kleiner als 2]/« ist, abwechselnde Vorzeichen haben. Es liegt also in jedem der drei durch die Werthe (20) begrenzten Intervalle eine Wurzel der Gleichung (19). Ueber die Frage, welche der drei Wurzeln der cubischen Gleichung (19) für ^ = 3t/ -|~ 1, welche für 3r]i -j- 1 oder für Srj2 -\- 1 zu setzen ist, lässt sich allgemein so viel sagen, dass das Vorzeichen des Productes (17) mit dem Vorzeichen von (18), das durch die Definition (1), (2) bestimmt ist, freilich aber noch von der Wahl der primitiven Wurzel g abhängt, übereinstimmen muss. Dadurch sind von den sechs möglichen Zuordnungen drei ausgeschlossen. Welche Zuordnung unter den drei übrigen zu treffen ist, hängt von der Wahl von r ab, und würde zu ähnlichen Untersuchungen Anlass geben, wie sie im vorigen Paragraphen zur Bestimmung des Zeichens der Quadratwurzel durchgeführt sind 1). Wir heben noch den durch die Formeln (14), (16) bewiesenen Satz hervor: Ist n eine Primzahl von der Form HJc -\- 1, so ist n durch die Form a^ — ab -\- b^ und An durch die Form A^ -\- 21 B^ darstellbar, wo a, 6, A, B ganze Zahlen sind. ') Kummer, Journ. f. Mathematik, Bd. 32. 632 Sechzehnter Abschnitt. §. 180. Daraus ergiebt sich noch, dass n auch in der Form x'^ -\- d y- darstellbar ist. Denn wenn von den beiden Zahlen a, b eine, etwa a, gerade ist, so ist n = (f-0'+^-- und wenn a und b beide ungerade sind, so ist n = i{a-^by^^,{a-by. Auch die zweigliedrigen Perioden der 9*'^° Einheitswurzeln genügen einer cubischen Gleichung, und weil diese Gleichung bei der später zu behandelnden allgemeinen Theorie der cubi- schen Kreistheilungskörper eine wichtige Rolle spielt, wollen wir sie der Vollständigkeit halber hier betrachten, obwohl sie eigent- lich in ein allgemeineres Gebiet gehört, in dem die Grade der Einheitswurzeln keine Primzahlen mehr sind. Eine 9*® Einheitswurzel r genügt der Gleichung 6*^'^ Grades: (21) r« -f r3 + 1 = 0, und wir haben drei conjugirte zweigliedrige Perioden (22) 7] =r -{- )-\ rf = r^ + r-^ tj" = r* + /-*, die die Wurzeln der cubischen Gleichung (23) t?3 _ 3 7? + 1 = 0 sind. Ist Q eine dritte Einheitswurzel, so können wir q = r-' setzen, und erhalten die Resolventen (24) ((), 7i) = n^Q '/ + Q'i\ {q-\ n) = ri^-9-'n' + Q-' n'\ für die man nach (22) mit Benutzung von (21) erhält (9, 7;) = 3r, (Q-\r}) = Sr-\ also (25) (?, 7]y = 27 9, (26) (p, V) (9-S V) = 9, was den Formeln (5) und (0) ganz analog ist. Wir gehen noch in der Kürze auf den Fall e = 4 ein, der bei den Primzahlen n von der Form 4/ -|- 1 (/ eine ganze Zahl) eintritt, also bei n = 5, 13, 17, 29, 37, 41 . . . Die vier Perioden von je / Gliedern seien wieder rj, rji, n2, ^3- §. 180. Periodeugleichungeu. 633 Für a in §. 177 haben wir i zu setzen, erhalten also (*, V) = ^1 -^ i ^l — ^]2 — i ^i , (27) (- 1, n) = n - Vi + v-2 - >?3, (—2, Yj) = ri — i t]i — >?2 + < »^3, und nach §.177 (8), da — 2 =: + 2 (mod 4) ist. t^l(^■) = 2:«i>ide + 2md« + i) ^ ^ ^2(0 = Z^'i-^da^+o ^ ^^ j^ ^^^ worin a und b ganze Zahlen sind, t^j (i) hat dieselbe Form wie t/^2 (^)- Wir werden aber sogleich die eine Function auf die andere zurückführen. Da nun t] -{- ri^i Vi "4" *Ii ^^^ beiden 2/-gliedrigen Perioden sind, so ist nach den Resultaten von §.179 (29) (_ 1, ,;) = ,^ -^ ,^, _ rj^ _ ,;., = yVi^ und also, dsi rj -{- rji -\- r^^ -\- r}i = — 1 ist, (30) 2 {rj + nd = - 1 + V«, 2 (rj, + ru) = - 1 - V « , wo das Vorzeichen von V« nach §. 179 zu bestimmen ist und bei passender Annahme über r positiv genommen werden darf. Wir haben ferner nach §. 177, (10), (14; .gj 0', *?) (— i v) = {— ^yn also nach (29) und §. 177, (15j: (30-) *^*' ^^' "^ ^'' ^^^ ^*^' '~ *' ^^' "^ ^' ^~ ^^ ^'* (i, ^)4 = (_ l)fn t^ (i) 4-2 (i) = n ^, {i)\ woraus folgt: (33) ti (i) = (— \y^P, Ü) = (- iy{a + b /), und hieraus nach (31): (34) ^, (i) i^j (- /) = j^, (e) T/;^ (— i) = a^ -{- &-' = n. Um die bi(iuadratische Gleichung zu bilden, deren Wurzeln ?/, Vn V21 Vi sind, suchen wir zunächst die quadratische Gleichung mit den Wurzeln >j, rj2 und erhalten sie aus 2{ri — f]^) = {i,ri) -f (— i,r}). Quadriren wir diese beiden Gleichungen und subtrahiren die zweite von der ersten, so folgt wegen (31) und (32) (35) 16 r] rya = 1 + « — 2 V«" — 2 w(— 1)/ — 2 «(— 1)/ V'w. 034 Sechzehnter Abschnitt. §. 180. Durch (30) und (35) sind aber die Coefficienten der ge- suchten quadratischen Gleichung bestimmt. Sie lautet: ,. + !+'+" -|" (- '>- ^ (I + "i^^-l)V^, und die biquadratische Gleichung für die vier Perioden erhält man, wenn man beiderseits quadrirt: (36) (.r^+|+'+"-/;(-^7-»(|+^^)=o. Suchen wir den Coefficienten der ersten Potenz von tj, der eine ganze Zahl sein muss, so finden wir dafür 1+^- 2 n(-iy a(-l)/+l . (37) --jg ^ n g , / ist gerade, wenn w ^ 1, ungerade, wenn w ^ 5 (mod 8) ist, demnach ist 1 ^ n — 2 n (— 1) ^' = 0 (mod 8). Daraus aber folgt wegen (37), dass a( — 1)^ -|- 1 durch 4 theilbar sein muss, also (38) a = — (— 1)/ (mod 4), und daraus ist nach (34) weiter zu schliessen. dass h gerade sein muss, also (39) & = 0 (mod 2). Die biquadratische Gleichung nimmt eine einfachere Gestalt an, wenn wir (40) 47? + 1 = e setzen. Sie erhält dann nach (36) die Gestalt: (41) [l^ + ,i(l _ 2(- l)/)]-^ - 4w[e + (- l)/a]2 = 0, oder wenn wir die beiden Fälle w^l oder ^5 fmodS) trennen: (e^-7r)2-4n(e + a)'-' = 0 (^24-371)2 — 4w(e — a)2 = 0. Wir wollen auch hier den in der Formel (34) ausgedrückten Satz hervorheben: Jede Primzahl von der Form 4/ -|- 1 lässt sich in die Summe zweier Quadrate zerlegen. §. 181. Complexe Zahlen. 635 §. 181. Die c o m p 1 e X e n Zahlen von Gauss. Der zuletzt bewiesene Satz bildet die Grundlage für die Theorie des Zahlkörpers, der durch Adjunction der imaginären Einheit i = V — 1 aus dem Körper der rationalen Zahlen ent- steht, den wir nach unserer Festsetzung mit B, (i) zu bezeichnen haben i). Wir haben hier die Primzahlen von der Form 4/ -j- 1 zu unterscheiden von denen der Form 4/ -j- 3, und wir wollen der Kürze wegen die ersten mit der Primzahl 2 zusammenfassen und mit j), die zweiten mit q bezeichnen, also iJ = 4/+l, 2; 3 = 4/ +3 setzen. Es gelten dann folgende Sätze: 1. Für jedes ^ giebt es zwei ganze Zahlen a und h. so dass 2) = a'^ -\- &2 ist. Dies ist für die Primzahlen von der Form 4/-|- 1 im Schluss- satze des letzten Paragraphen ausgesprochen und ist für jj = 2 aus 2 = P -f- 12 unmittelbar ersichtlich. Dem steht ein zweiter Satz gegenüber: 2. Eine Primzahl q ist niemals in der Form a^ -\- 6» darstellbar, oder der noch allgemeinere: 3. Die Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen a^-{-h'^ ist nur dann durch eine Primzahl q theilbar, wenn a und b durch q theilbar sind. Der Satz 2. ergiebt sich einfach daraus, dass, Avenn a^ -f- b^ ungerade ist, die eine der beiden Zahlen a, b gerade, also ihr Quadrat durch 4 theilbar, die andere ungerade, also ihr Quadrat ^ 1 (mod 4), also a^ -f- b- ^ 1 (mod 4) sein muss. Der Satz 3., der übrigens den zweiten in sich schliesst, wird so bewiesen. Angenommen, es sei a'^ -\- b^, aber nicht b, durch q theilbar, so bestimmen wir b' aus der Congruenz bb' ^ 1 (mod q) und erhalten aus a^ -}- b- ^ 0 (mod q) (a b'y = — I (mod q). ') Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum, comraentatio secunda. Werke, Bd. II. 636 Sechzehnter Abschnitt. §. 181. Dies ist aber unmöglich, da nach §. 145, 4. für jede Primzahl in dieser Form dargestellt, so erhält man daraus die complexen Factoren von p) ,, = (d.±M + 3pij)(^^-S.ij). Die complexen Primzahlen, deren Norm unter 200 ist, sind hier 1 — 9, 1 + 3 9, 4 + 3 p, 5 + 3 9, 5 + 6 9, 7 ^ 3 9, 7 + G p, 5 + 9p, 7-f-9p, 8-|-9p, 10-[-3(), ll + 3p, 11 + 9 9, 7 -f 12 p, 13 4- 6 p, 13 + ?jQ, 14-f-9p, 13 + 12 p, 14 + 3 p, 11 + 15 p, 16 -f 9 p, 13 -^ 15 p. 41 = Siebzehnter Abschnitt. Algebraische Auflösungen von Gleichungen. §. 183. Reduction der Gruppe durch reine Gleichungen. Eine der ältesten Fragen, an der sich vorzugsweise die neuere Algebra entwickelt hat, ist die nach der sogenannten algebraischen Auflösung der Gleichungen, worunter man eine Darstellung der Wurzeln einer Gleichung durch eine Reihe von Ptadicalen, oder die Berechnung durch eine endliche Kette von Wurzelziehungen versteht. Auf diese Frage fällt von der Gruppen- theorie das hellste Licht. Präcisiren wir zunächst die Frage, um die es sich handelt, so ist es offenbar die, ob und wie man den Körper Sl durch successive Adjunction von Wurzelgrössen (Radicalen) so erweitern kann, dass entweder alle oder wenigstens ein Theil der Wurzeln im erweiterten Körper enthalten sind. Eine Wurzelgrösse ist aber eine solche, die zwar nicht selbst, von der aber irgend eine ganze Potenz in £1 enthalten ist, also, wenn a eine Grösse in £1 ist, die Wurzel einer Gleichung von der Form i/« — a = 0, d. h. einer reinen Gleichung. Soll eine irreducible Gleichung algebraisch auflösbar sein, oder wenigstens eine oder einige algebraisch darstellbare Wurzeln haben, so muss nach einer successiven Adjunction von Wurzeln reiner Gleichungen in endlicher Anzahl die gegebene Gleichung reducibel werden, da ein Theil ihrer Wurzeln in dem erweiterten Körper enthalten sein soll. Da die anfängliche Gruppe P transitiv ist, so muss diese Gruppe schliesslich intransitiv werden, oder §. 183. Reduction der Gruppe durch reine Gleichungen, 645 sich auf die Einheitsgruppe reduciren. Es muss also jedenfalls einmal der Fall eintreten, dass die Gruppe P durch Adjunction einer Wurzel einer reinen Gleichung reducirt wird. Die Untersuchung dieser Frage wird ausserordentlich ver- einfacht, wenn man sie noch etwas umformt i). Wir haben im §. 169 gesehen, dass die reinen Gleichungen zu den Abel' sehen gehören, dass alle Abel' sehen Gleichungen durch eine Kette von cyklischen Gleichungen vom Primzahlgrad und diese letzteren durch Radicale lösbar sind. Wir ersetzen also die Frage nach der Lösbarkeit durch Piadi- cale durch die damit gleichbedeutende der Lösbarkeit durch Wurzeln Abel' scher Gleichungen. Ersetzen wir die Abel' sehe Gleichung durch eine Kette von cyklischen Gleichungen von Primzahlgrad , so wird die erste Reduction der Gruppe durch Adjunction der Wurzel einer solchen Gleichung eintreten, und wir stehen also zunächst vor der Frage: Unter welchen Bedingungen wird die Gruppe P einer Gleichung n*^° Grades /(a;) = 0 durch Adjunction einer Wurzel einer cyklischen Gleichung von Prim- zahlgrad m reducirt? Wir beschränken uns hierbei nicht auf irreducible Gleichungen f{x) = 0, sondern erörtern die Frage allgemein, immer unter der selbstverständlichen Voraussetzung, dass f{x) keine mehr- fachen Wurzeln hat. Es ist denkbar, dass es nöthig ist, dem Körper Sl zunächst verschiedene Wurzeln cyklischer Gleichungen (z. B. Einheits- wurzeln) zu adjungiren, die die Gruppe P nicht verändern. Da es sich aber jetzt nur um die Ermittelung der nothwendigen Eigenschaften der Gruppe P handelt, so nehmen wir an, es seien alle nothigen Vorbereitungen getroffen und der Körper Sl so beschaffen , dass durch Adjunction einer Wurzel der cyklischen Gleichung (p (x) = 0, vom Primzahlgrad ««, die Gruppe P sich auf einen ihrer Theiler, Q, reducirt. Bezeichnen wir die Wurzeln von (p (x) = 0 mit so sind alle diese Grössen rational (in ß) durch eine beliebige unter ihnen ausdrückbar, und wenn P die Gruppe von f{x) = 0 *) Auf diese Form der Fragestellung hat zuerst C. Jordan hin- gewiesen (Traite des substitutions p. 380). 646 Siebzehnter Abschnitt. §. 184. in £1 ist. so ist ^ die Gruppe derselben Gleichung in Sl{s), oder was dasselbe ist, in Sl{£i), ^(£0)1 • • r ^(^m-i)- Nun können wir aber den Schlusssatz in §.164 anwenden. Nach diesem Satze niuss der Index j des Theilers Q von P ein Theiler von m sein, und da m als Primzahl vorausgesetzt ist, so ist m^=j. Ausserdem ist nach demselben Satze s rational durch die Wurzeln der Gleichung f(x)^=0 darstellbar: c 1^(3^0, ^1, . . ., Xm — l)- Diese Function gehört zur Grujipe Q, und wenn wir darauf sämmtliche Permutationen der Gruppe P anwenden, so erhalten wir die Functionen £, fj, £.,, . . ., £«1—1 und keine anderen. Diese Functionen gehören zu den conjugirten Gruppen Tf'^QTt. Da aber jede dieser Functionen rational durch jede andere aus- drückbar ist, so müssen sie alle zu derselben Gruppe gehören, d. h. Q ist ein Normaltheiler von P. "Wir haben also hiermit den ersten Satz bewiesen: I. Wenn die Gruppe einer Gleichung P durch Adjunction der Wurzeln einer Abel'schen Glei- chung reducirt wird, so hat P einen Normal- theiler Q von Primzahlindex. Dieser Satz lässt sich auch umkehren. Wenn nämlich die Gruppe P einen Normaltheiler Q vom Index m hat, so können wir eine zu Q gehörige Function ^ wählen, und die damit conjugirten Functionen ^^i'i^i'-ii • • •ri'm-i gehören alle zu derselben Gruppe. Der Körper SI(iIj) ist ein Normalkörper, und xp die Wurzel einer Normalgleichung. Im Körper Sl(t) ist Q die Gruppe von f{x) = 0 (§. 162). Wenn aber in eine Primzahl ist, so ist t^ nach §. 170 die Wurzel einer cyklischen Gleichung, und damit ist also bewiesen: II. Wenn die Gruppe P von /(x) = 0 einen Normal- theiler Q von Primzahlindex ni besitzt, so wird durch Adjunction der Wurzel einer cyklischen Gleichung ?» *«" Grades die Gruppe P auf Q reducirt. §. 184. M e t a c y k 1 i s c h e Gleichungen. Wir wollen eine Gleichung, deren vollständige Lösung sich auf eine Kette von cyklischen Gleichungen zurückführen lässt, 1 §. 184. Metacyklische Gleichungen. 647 eine metacyklische Gleichung nennen. Die cyklischen Gleichungen selbst sind als specieller Fall darunter mit enthalten, und nach dem im §. 183 Bemerkten sind die metacyklischen Gleichungen dieselben, wie die durch Radicale lösbaren Glei- chungen. Ist P die Gruppe einer solchen Gleichung, so muss sie nach dem vorigen Paragraphen einen Normaltheiler von Prim- zahlindex ji, den wir jetzt mit P, bezeichnen wollen, besitzen. Besteht P, aus der einzigen identischen Permutation , so ist P selbst cyklisch und von Primzahlgrad. Ist P^ nicht die Einheits- gruppe, so muss P| wieder einen Normaltheiler P^ von Prim- zahlindex _;, enthalten u. s. f., bis wir endlich zur Einheitsgruppe gelangen, Dass es auch die für eine metacyklische Gleichung aus- reichende Bedingung ist, wenn ihre Gruppe P diese Zusammen- setzung hat, ergiebt sich aus dem .origen Paragraphen. AVir sprechen also den Satz aus: III. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für eine metacyklische Gleichung ist die, dass es eine Reihe von Gruppen ^ 5 -^ii P21 P3 • • • giebt, deren erste die Galois'sche Gruppe der Gleichung, deren letzte die Einheitsgruppe ist, von denen jede folgende ein normaler Theiler der nächst vorangehenden von Primzahlindex ist. Hiernach nennen wir eine Permutationsgruppe P, die diese Eigenschaft hat, zu der sich also eine Kette von Gruppen J^ 1 Pll -^ 21 • • •■, -Lu — ll 1 so bestimmen lässt, dass jedes Glied Normaltheiler des voran- gehenden von Primzahlindex ist, eine metacyklische Gruppe 1), Wir haben hier die Bedingung für die vollständige Auf- lösbarkeit einer Gleichung durch eine Kette von cyklischen Gleichungen erhalten. Es handelt sich aber noch um die Frage, ob eine oder einige der Wurzeln auf diese Weise dargestellt werden können, während andere eine solche Darstellung nicht ') Der Ausdruck „metacyklische Gruppen" ist zuerst vou Kronecker, wenn auch in beschränkterem Sinne, gebraucht. Ich möchte hier diese leichte Verallgemeinerung eines schon bekannten Ausdruckes an Stelle des von Frobenius und Holder benutzten Ausdruckes „auflösbare Gruppen" vorschlagen. 648 Siebzehnter Abschnitt. §. 18i. gestatten. Diese Frage ist nur berechtigt bei irreduciblen Glei- chungen, da bei reduciblen Gleichungen alle denkbaren Com- binationen vorkommen können, und hier gilt nun der Satz: IV. Wenn eine Wurzel einer, irreduciblen Glei- chung durch Lösung cyklischer Gleichungen be- stimmbar ist, so ist die Gleichung metacyklisch^). Wenn eine irreducible Gleichung n*^"^ Grades f{x) = 0 auch nur eine Wurzel hat, die durch successive Adjunction von Wurzeln cyklischer Gleichungen rational wird, so muss sie nothwendig durch diese Adjunction reducibel werden, da sich ja schliesslich ein linearer Factor absondern muss. Es sei also P die Gruppe unserer Gleichung, nachdem alles Nöthige so weit adjungirt ist, dass zwar f{x) noch nicht reducibel ist, aber durch die nächste Adjunction der Wurzel a einer cyklischen Gleichung von Prim- zahlgrad m in Factoren zerfällt. Es muss dann P nach §. 183 einen Normaltheiler Q vom Index m haben, auf den sich die Gruppe der Gleichung nach Adjunction von « reducirt, und die Permutationsgruppe Q muss intransitiv sein. Wenn Q die Ein- heitsgruppe ist, so ist /(a;) = 0 durch Adjunction von s voll- ständig gelöst. Ist aber Q noch von der Einheitsgruppe ver- schieden, so treten die Sätze des §. 165 in Kraft. Danach zerfällt f{x) nach Adjunction von £, da ja hier der Index m von Q eine Primzahl ist, in m Factoren, (p{x, «), (pi{x^ f), , . ., g),„_i(a:, £j, vom gleichen Grade ju. und es ist ^m = n. Ist z. B. n eine Primzahl , so muss ^ = \ sein ; die Func- tionen (p sind linear, und die Gleichung f(x)= 0 ist vollständig gelöst; also ist der Satz IV. für Gleichungen von Primzahlgrad richtig. Im allgemeinen Falle muss einer der Factoren /i*^° Grades q)(x, f), (pi (x, £), . . ., (p,n—i(x, f) etwa (p(x, s) eine Wurzel haben, die durch Adjunction der Wurzeln cyklischer Gleichungen rational wird, und wenn wir also annehmen, dass unser Satz für Gleichungen fi*^° Grades schon bewiesen sei, so folgt, dass (p (x. s) = 0 selbst und also auch ihre Gruppe meta- cyklisch ist. Da aber nach §. 165 die verschiedenen Gleichungen ^ = 0, gjj = 0, . . ., q)m~i = 0 dieselbe Gruppe haben, so sind sie alle und mithin auch f{x) = 0 metacyklisch. 1) Dieser Satz rührt von Abel her. Neuerdings ist ein Beweis von Seiivanoff gegeben (Acta mathematica, Bd. 19, 1895). §. 185. Einfachheit der alternirenden Gruppe. (349 Unter der Voraussetzung also, dass der Satz IV. für Glei- chungen fi.*'^'^ Grades richtig ist, folgt seine Richtigkeit für Glei- chungen jiim*^" Grades; und da er für Gleichungen von Prim- zahlgrad gilt, so ist er allgemein nachgewiesen. §. 185. Einfachheit der alternirenden Gruppe. Wir haben früher gesehen (§. 156), dass, wenn wir die Coefficienten einer Gleichung w*®"^ Grades als unabhängige Variable und den Körper aller rationalen Functionen dieser Coefficienten als Rationalitätsbereich betrachten, die Galois'sche Gruppe der Gleichung die symmetrische Gruppe ist. In der symmetrischen Gruppe ist immer ein Normaltheiler vom Index 2 enthalten, die alternirende Gruppe, auf die sich die Gruppe der Gleichung reducirt, wenn die Quadratwurzel aus der Discriminante adjun- girt wird. Bei vier Ziffern hat die alternirende Gruppe, die aus der identischen Permutation, acht dreigliedrigen Cyklen und drei Paaren von Transpositionen besteht, den Normaltheiler vom Index 3 : 1, (0,1) (2, 3), (0,2) (1,3), (0,3) (1,2). Diese Gruppe hat drei verschiedene Normaltheiler vom Index 2, von denen wir einen 1, (0, 1) (2. 3) bevorzugen, von dem wieder die Einheitsgruppe ein Normaltheiler vom Index 2 ist. Die Gruppe der 24 Permutationen von vier Ziffern ist also metacyklisch , und darauf beruht jede Aufiösungsmethode der biquadratischen Gleichung (§. 167, 168). Wir wollen nun nachweisen, dass, wenn n grösser als 4 ist, die alternirende Gruppe ausser der Einheitsgruppe überhaupt keine normalen Theiler hat, oder nach der früher eingeführten Bezeichnung einfach ist. Daraus folgt dann, dass die Bedingung, die wir für die algebraische Auflösbarkeit einer Gleichung als nothwendig gefunden haben, für die Gleichungen von höherem als dem vierten Grade, deren Gruppe die symmetrische oder die alternirende ist, nicht erfüllt ist, und dass also Gleichungen von höherem als dem vierten Grade, so lange die Coeffi- cienten unabhängige Variable sind, nicht mehr alge- braisch lösbar sind. 650 Siebzehnter Al)schnitt. 8. 185. Der Beweis, dass die alternirende Gruppe einfach ist, lässt sich so führen: Sei Ä die alternirende Gruppe der Permutationen von n Ziffern 1, 2, 3, . . ., w und Q ein normaler Theiler von A. Wir haben im §. 160, 7. und 4. gesehen, dass sich alle Permuta- tionen von Ä aus dreigliedrigen Cyklen zusammensetzen lassen, und dass man, wenn n und ti irgend welche Permutationen sind, die transformirte Permutation zu x, tt—'^ v.% erhält, wenn man in den Cyklen von v. die Vertauschungen % vornimmt. Ist nun V. ein dreigliedriger Cyklus, etwa (1, 2, 3), so kann man n aus A so wählen, dass jr-^XTr jeden beliebigen dreigliedrigen Cyklus der n Ziffern darstellt; denn man kann in 12 3 die drei ersten Ziffern «i, «2, «3 beliebig wählen, und, wenn es nöthig ist, damit :;r zu ^ gehöre, noch «i und a^ vertauschen. Dadurch geht aus v, einer der beiden Cyklen (a^, «2? «3)1 (^'21 c^n 0^3) hervor, von denen jeder die zweite Potenz des anderen ist. Wenn nun Q ein Normaltheiler von A ist, und x eine Permu- tation aus ^, so ist ■K—'^v.TC auch in Q enthalten, wenn n in A enthalten ist, und daraus folgt, dass, wenn in Q ein drei- gliedriger Cyklus vorkommt, Q mit A identisch ist. Unser Beweis beruht nun darauf, dass, wenn v. irgend eine Permutation in Q ist, auch ■ji—'^'ü-k und folglich auch (Ij A = v.—'^ 71-'^ v.% in Q vorkommen muss, und es ist dann zu zeigen, dass man, wenn % irgend eine nicht identische Permutation ist, % immer so aus A wählen kann, dass die Permutation 1 ein dreigliedriger Cyklus, und folglich Q mit A identisch wird. Wir nehmen zu diesem Zwecke sowohl x als n in ihre Cyklen zerlegt an und bemerken, dass man bei der Bildung von A solche Cyklen von v, gar nicht zu berücksichtigen braucht, deren Ziffern durch % ungeändert bleiben, weil sie sich in v.~^ und x gegen- seitig aufheben. Wir müssen nun die verschiedenen mögliclien Formen von v. einzeln betrachten. 1. Es enthalte x einen Cyklus von mehr als drei Ziffern etwa (1, 2. 3, ..., w), wir nehmen % =: (1,2,3) an und erhalten, indem wir v. — ^Ti~'^y. zuerst (nach §. 160, 4.) bilden, }. = x-^Ti-^y.TT = (2, 4. 3)(1, 2, 3) = (1, 2, 4). §. 185. Einfachheit der alternirenden Gruppe. 651 In Q kommt also ein dreigliedriger Cyklus vor. 2. Es enthalte % zwei dreigliedrige Cyklen (1, 2, 3) (4, 5, 6). Wir nehmen % = (1, 3, 4) an und erhalten A = (2, 5, 1)(1, 3, 4) = (1, 2, 5, 3, 4). Diese Permutation A, die in Q enthalten ist, fällt aber unter den Fall 1. 3. Es enthalte tc einen dreigliedrigen und einen zwei- gliedrigen Cyklus (1, 2, 3) (4, 5). (Dass in x, wenn es zu A gehört, noch ein zweiter Cyklus von gerader Gliederzahl vorkommen muss, ist hier gleichgültig.) Für % = (1, 2, 4) ergiebt sich A = (2, .5, 3j(l, 2, 4) = (1, 2, 5, 3, 4j, was wieder unter den Fall 1. fällt. 4. Es enthalte x drei Transpositionen, (1, 2) (3, 4) (5, 6). Für 71 = (1, 3, 5) folgt A = (2, 6, 4)(1, 3, 5), was unter den Fall 2. fällt. 5. Es enthalte x zwei Transpositionen und ein unverändertes Element (1, 2) (3, 4) (.5). Man setzt % = (1, 2, 5) und erhält A = (l, 2, 5)0,2, .5) = (1,. 5, 2). Damit sind alle Fälle erschöpft, wenn n > 4 ist. Für n = 4: bleibt der eine Fall noch übrig, dass n aus zwei Trans- positionen besteht, der eben das l)esondere Verhalten bei n = 4 herbeiführt, wodurch die algebraische Auflösung der Gleichung 4ten Grades ermögliclit wird i). Es folgt aus diesem Satze weiter, dass die symmetrische Gruppe keine anderen normalen Theiler hat, als sich selbst, die altern irende Gruppe und die Einheitsgruppe. Denn ist S die symmetrische, A die alternirende Gruppe, und Q ein normaler Theiler von S^ so ist der grösste gemeinschaftliche Theiler Q' von A und Q ein normaler Theiler von A , ist also gleich A 1) Der erste vollständige Beweis, dass die allgemeine Gleichung von höherem als dem 4ten Grade durch Radicale nicht lösbar ist, rührt von Abel her (Crelle's Journal, Bd. I, 1826). Ueber die älteren Beweisversuche von Ruffini (1799 bis 1806) und ihr Verhältniss zum Abel'schen Beweis vergleiche man die Aljhandluug von Burkhardt, „Die Anfänge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini" (Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik VI. Supplement zu Schlömilch's Zeitschrift. Leipzig 1892). 652 Siebzehnter Abschnitt. §. 186. oder gleich 1. Denn ist v! ein Element in Q also auch in A^ 71 ein beliebiges Element in »S, so ist n—'^vlit zunächst in ^ ent- halten, weil Q Normaltheiler von S ist. Es ist aber zugleich ■n.-'^v! 71 in A^ also auch in Q' enthalten. Ist (^ gleich A, so ist Q entweder auch gleich A oder gleich S. Ist Q' aber = 1, so enthält Q ausser der Einheit keine Permutation der ersten Art. Sind also x und A zwei verschiedene und von der Einheit verschiedene Permutationen von Q^ so müssen '/P- und x A als von der ersten Art = 1 sein, d. h. A muss = X sein. Es kann also Q höchstens eine von der identischen verschiedene Permutation x enthalten. Da aber Q ein Normal- theiler von S sein soll, so muss für jede Permutation % aus der symmetrischen Gruppe ■k—'^v.ti = x sein, d. h. x darf sich nicht ändern, wenn in seinen Cyklen irgend eine Permutation ausgeführt wird. Dies ist aber nur dann möglich, wenn überhaupt nur zwei Ziftern 1, 2 vorhanden sind und x = (1, 2) ist. Da.nn aber ist 1, (1, 2) die ganze Gruppe S. §. 186. Nicht metacyklische Gleichungen im Körper der rationalen Zahlen. Durch den Satz des vorigen Paragraphen ist der Nachweis geführt, dass eine Gleichung n^^^ Grades, wenn n grösser als 4 ist, nicht mehr algebraisch gelöst werden kann, wenn die Coeffi- cienten als unabhängige Veränderliche betrachtet werden. Von grösserem Interesse noch ist aber die Frage, ob es in dem Körper der rationalen Zahlen Gleichungen n**^"^ Grades giebt, die nicht algebraisch lösbar sind. Die Frage lässt sich noch etwas all- gemeiner stellen, nämlich so, ob es ganzzahlige Gleichungen giebt, deren Gruppe die symmetrische Gruppe ist, die also nach einer früher erklärten Ausdrucksweise keinen Aifect haben. Bildet man die Galois'sche Resolvente G(t) = 0 vom Grade 77 (w) einer allgemeinen Gleichung w^^° Grades /(ä;) = 0 mit un- bestimmten Coefficienten a, so ist G(t) eine ganze Function der Veränderlichen f und a, welche sich nicht in Factoren zerlegen lässt, die wieder rationale Functionen von t und a sind. Sub- stituirt man für die Variablen a Grössen irgend eines Körpers ß, und wird dann G{t) in diesem Körper reducibel, so hat die §. 186. Nicht metacyklische Gleichungen. 653 Gleichung f{x) = 0 im Rationalitätsbereich il einen Affect. Unsere Frage kommt also darauf hinaus, ob man in G(t) für die Variablen a solche rationale Zahlen setzen kann, dass G(t) im Körper der rationalen Zahlen irreducibel bleibt. Diese Frage hat eine ganz allgemeine Beantwortung ge- funden in einer Abhandlung von Hilberth), wo der allgemeine Satz bewiesen ist, dass man in einer irreduciblen Function beliebig vieler Variablen für einen beliebigen Theil der Variablen solche rationale Zahlen setzen kann, dass eine irreducible Function der übrigen Variablen entsteht. Auf diesen allgemeinen Satz können wir hier nicht eingehen. Wir werden aber die gestellte Frage viel einfacher, wenn auch bei Weitem nicht so allgemein beantworten, indem wir zeigen, dass sich für jeden Primzahlgrad Gleichungen ohne Afi'ect finden lassen. Wir haben in §. 160, 10. bewiesen, dass eine transitive Permutationsgruppe von n Ziffern, die nicht die symmetrische Gruppe ist, wenn n eine Primzahl ist, keine einzelne Transposition enthalten kann. Unter einer Gleichung mit einem Affect haben wir eine solche verstanden, deren Gruppe nicht die symmetrische ist. Hat also die irreducible Gleichung /(x) = 0 einen Affect und ist ihr Grad eine Primzahl, so muss ihre Gruppe P transitiv sein, und sie kann keine Transposition zweier Wurzeln enthalten. Wenn wir also irgend n — 2 der Wurzeln dem Rationalitätsbereich adjun- giren, so muss sie sich auf die Einheitsgruppe reduciren, da ja ausserdem nur noch die Vertauschung der beiden letzten Wurzeln übrig bleiben könnte, die in P nicht vorkommt. Daraus folgt also, dass die beiden letzten Wurzeln in dem erweiterten Körper Sl enthalten sind, oder der Satz: 1. Wenn eine irreducible Gleichung, deren Grad n eine Primzahl ist, einen Affect hat, so können zwei beliebige von ihren Wurzeln rational durch die übrigen ausgedrückt werden. Daraus folgt als Corollar: 2. Wenn der Körper Sl nur reelle Zahlen enthält, so kann eine irreducible Gleichung von Prim- 1) Ueber die Irreducibilität ganzer rationaler Functionen mit ganz- zahligen Coefficienten. JourDal für Mathematik, Ud. 110. 654 • Siebzehnter Abschnitt. §. 186. zahlgrad n mit einem Affect in ü nicht zwei imaginäre und n — 2 reelle Wurzeln haben. Nun giebt es aber unzählige Gleichungen von jedem be- liebigen Grade n. mit reellen Coefficienten , die zwei conjugirt imaginäre und n — 2 reelle Wurzeln haben; man kann ja in f{x) = (x — «i) (x — U2) . - . {x — a„) = a;" -|- tti ic"-i -|- «2 a;"-2 -|- ...-(.- a« «1, «2 beliebig conjugirt imaginär und die übrigen « reell an- nehmen. Die Anzahl der reellen und imaginären Wurzeln von f{x) ändert sich aber nicht, w'enn die Coefficienten innerhalb gewisser endlicher Grenzen stetig verändert werden (vergl. den siebenten Abschnitt), und folglich giebt es auch solche Gleichungen, deren Coefficienten rationale Zahlen sind, da man in beliebiger Nähe von irgend welchen gegebenen reellen Zahlen immer ratio- nale Zahlen finden kann. Es ist also nur noch nachzuweisen, dass man diese rationalen Coefficienten so wählen kann, dass /(a;) irreducibel wird. Dies ergiebt sich aber aus folgendem Satze : 3. Ist p eine Primzahl, Cq , Ci, c.2, . . ., c„ eine Reihe ganzer Zahlen, von denen Co durch p nicht theil- bar, Ci, C2, . . ., c„ durch p theilbar, aber c« nicht durch p^ theilbar ist, so ist die Function (f {x) = Co X" 4- Ci a;"-i + •••-[- c„ irreducibel 1). Denn wenn q) (x) in zwei Factoren mit rationalen Coeffi- cienten zerfällt, so können (nach §. 2) die Factoren auch ganz- zahlig angenommen werden. Sei also g) (x) = {a, x^ + «: x'^~' H h «ä) (^0 x^ + ^1 ^'"' H h ^0, ]t und h beide grösser als Null und ihre Summe gleich n. Da M/j /3fc = Cn ist, so muss einer der beiden Factoren a^, ßy, durch p theilbar sein, der andere nicht. Es möge ß^, durch p theilbar, u^ nicht theilbar sein, und da nicht alle ß durch p theilbar sein können, weil sonst auch Cq durch p theilbar wäre, so sei ßv nicht durch p theilbar, /3v + i, ßy + i-, • • ., ßk durch p theilbar. Der Coefficient von x^—'^ in dem Product der beiden ^) Auf diesen Satz hat Eisenstein den Beweis der Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung und noch höherer Gleichungen gegründet. Crelle's Journal, Bd. 39 (1850). I §. 187. Reelle Radicale. tj55 Factoren ist dann «/. /3,. -j- au-ißy + i + • • -, also durch p nicht theilbar. Es müsste also U — v = n sein, was nicht möglich ist, da schon Tc < n sein muss. Setzt man also für die Coefficienten von f(x): Ci 0.2 Cn «1 — — . «2 — — 5 • • •' «n = — , Co oq Co so ist f(x) irreducibel , nnd man hat in der Wahl der ganzen Zahlen c noch Freiheit genug, um die rationalen Brüche % «2. • • •• «n einem beliebig gegebenen Werthsystem beliebig nahe zu bringen. Damit ist aber der Satz bewiesen: 4. Es giebt von jedem beliebigen Primzahlgrade un- endlich viele Gleichungen mit rationalen Coeffi- cienten ohne Affect. Der Beweis, der hier geführt ist, zeigt, dass solche affect- freie Gleichungen gefunden werden können, deren Coefficienten ein endliches Gebiet überall dicht erfüllen, das Gebiet nämlich, in dem die reellen Coefficienten der Gleichungen mit nur zwei conjugirt imaginären Wurzeln liegen. Der Beweis ist also, ab- gesehen davon, dass er sich nur auf Primzahlgrade beschränkt, auch insofern nicht erschöpfend, als er uns keinen Aufschluss giebt über die übrigen Gebiete, in denen aller Wahrscheinlichkeit nach die Sache sich ebenso verhält. §. 187. Auflösung durch reelle Radicale. Bei der Auflösung der cubischen Gleichungen mit reellen Coefficienten hat man von Alters her die zwei Falle unterschieden, in denen die Discriminante negativ oder positiv ist. Im zweiten Falle hat man, obwohl die Gleichung dann gerade drei reelle Wurzeln hat, bei der Anwendung der Cardanischen Formel die dritte Wurzel aus einem imaginären Ausdruck zu ziehen, und der Versuch, die Wurzeln in reeller Form darzustellen, führt immer wieder auf eine cubische Gleichung von derselben Beschaffenheit. Darum liat man diesen Fall den casus irreducibilis genannt. Die cubischen Gleichungen des casus irreducibilis sind ein specieller Fall der cyklischen Gleichungen mit reellen Wurzeln, die wir im §. 172 kennen gelernt haben, bei deren 656 Siebzehnter Abschnitt. §. 187. Lösung gleichfalls Wurzeln aus imaginären Grössen, oder was auf dasselbe hinauskommt, Winkeltheilungen, vorkommen. Dass diese W^urzeln aus imaginären Grössen oder W^inkeltheilungen auf keine Weise zu vermeiden sind, können wir jetzt beweisen i). Wir setzen einen reellen Rationalitätsbereich Sl vor- aus, und nehmen in ihm eine Normalgleichung g{t) =0 an, d. h. eine irreducible Gleichung, deren Wurzeln alle rational durch eine beliebige von ihnen, q, ausdrückbar sind. Wenn eine von den W^urzeln reell ist, so müssen auch alle anderen reell sein, und g (t) hat also entweder lauter reelle oder lauter paarweise conjugirte imaginäre Wurzeln, g (t) = 0 kann die Galois'sche Resolvente irgend einer gegebenen, sei es irreduciblen, sei es reduciblen Gleichung F(x) = 0 sein, und wenn also g(t) nur reelle Wurzeln hat, so kann auch F(x) nur reelle Wurzeln haben, weil die Wurzeln von F{x) rational durch eine Wurzel von g(t) darstellbar sind. Wenn unter den W^urzeln von F(x) imaginäre sind, so hat g(t) nur imaginäre Wurzeln. Hat aber F{x) lauter reelle Wurzeln, so sind auch die Wurzeln von g(t) reell, weil sie ja rational durch die Wurzeln von F{x) ausgedrückt werden können. Wenn nun g(t) durch Adjunction einer Wurzel e einer irreduciblen Gleichung ;^ = 0, deren Grad eine Primzahl ist, reducirt wird, so sind, wie wir im §. 164 gesehen haben, die sämmtlichen W^urzeln von x in SI(q) enthalten, und wenn also Q reell ist. so sind alle Wurzeln von % reell. 1. Eine Normalgleichung mit reellen Wurzeln kann also nur durch solche irreducible Gleichungen von Primzahlgrad reducirt werden, die lauter reelle Wurzeln haben. Wir fragen nun, ob eine Reduction der Normalgleichung durch Adjunction eines reellen Radicales Va bewirkt werden kann. Wir dürfen dabei annehmen, dass der Grad p des Radicales eine Primzahl sei, weil jedes Radical sich auf eine Reihe von W^urzelziehungen von Primzahlgrad reduciren lässt. Auch können wir voraussetzen, dass a nicht die jj*® Potenz einer rationalen Grösse sei, weil sonst die reelle Wurzel ya rational wäre. 1) Vergl. Holder, Mathematische Annalen, Bd. 38; Kneser, ebendas., Bd. 41. §. 187. Reelle Radicale. 657 Unter dieser Voraussetzung ist, wie wir jetzt beweisen wollen, x"^ — a irreducibel. Denn bezeichnen wir einen, z. B. den reellen v_ Werth y a mit cc und eine imaginäre j;*'' Einheitswurzel mit £, so sind (1) «, £«, h'^a^ . . ., £^~^a die Wurzeln der Gleichung (2) xT? — a = 0. Ist diese Gleichung reducibel, so ist (3) XV — a ^f,{x)f^{xl und /i, /a sind Functionen in ^ von niedrigerem als dem p^^^ Grade. Ein Theil der Wurzel (1) wird auf /j = 0, ein anderer Theil auf /g = 0 fallen. Ist also ft der Grad von /, , so muss für irgend einen Exponenten A £^ a" = h eine Grösse in Sl sein [das von x unabhängige Glied in /^ {x)\ also, wenn man in die p^^ Potenz erhebt, (4) o." = hv. Nun ist 0 < ft < |), und daher fi und p relativ prim, so dass sich zwei ganze Zahlen h und h aus der Gleichung ^h -{- ph = 1 bestimmen lassen. Es ist dann also nach (4) a = tt"'' aP^ = (6'' a'')^; also wäre, gegen die Voraussetzung, a die p^^ Potenz einer Grösse in Sl. Dieser Satz ist, wie man sieht, unabhängig von der Voraus- setzung, dass ü ein reeller Körper sei. Nehmen wir ihn aber reell an, so hat die Gleichung (2), wenn p nicht gleich 2 ist, ima- ginäre Wurzeln, und kann nach 1. eine Normal gleichung (/(t) = 0 nicht reduciren. Wenn aber p = 2 ist^ so kann g{t) nur dann durch die Gleichung (2) reducirt werden, wenn a positiv und der Grad von g(t) eine gerade Zahl ist (§. 164); also: 2. Eine Normalgleichung ungeraden Grades kann nicht durch Adjunction eines reellen Radicals reducirt werden. Adjungirt man im Falle einer reellen cubischen Gleichung mit positiver Discriminante die Quadratwurzel aus dieser Discri- minante, so geht die Gleichung in eine Normalgleichung über^ und der Ptationalitätsbereich bleibt reell; er bleibt auch reell, Weber, Algebra. I. 42 658 Siebzehnter Abschnitt. §. 188. wenn man noch so viele reelle Iladicale adjuugirt. Soll die Gleichung also durch reelle Radicale löshar sein, so muss sie bei solchen Adjunctionen endlich zerfallen, was nach 2. unmöglich ist. Dies ist der casus irreducihilis der cubischen Gleichungen. In demselben Falle finden sich die cyklischen und überhaupt alle irreduciblen Abel' sehen Gleichungen von ungeradem Grade, die also niemals durch reelle Radicale lösbar sind. Hiernach können wir z. B. die cubischen Gleichungen im Körper der rationalen Zahlen in drei oder vier Arten unter- scheiden, die alle in gewissen von Alters her berühmten geo- metrischen Problemen auftreten. Wir sehen dabei von den reduciblen Gleichungen ab. Der Grad der Galois' sehen Gruppe muss dann immer durch 3 theilbar sein f§. 169) und ist also entweder gleich 3 oder gleich 6. Die Gruppe kann also nach §. 164 niemals durch Adjunction von blossen Quadratwurzeln auf einen niedrigeren als den dritten Grad reducirt werden; also kann auch die Gleichung nicht durch Quadratwurzeln gelöst Averden. Die entsprechenden geometrischen Probleme sind nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen. Ist die Gruppe vom Grade 3, so haben wir eine cyklische Gleichung. Hierher gehören die aus der Kreistheilung stammen- den Gleichungen, z. B. die, von der die Construction des regel- mässigen Siebenecks abhängt. Die drei Wurzeln einer solchen Gleichung sind reell und können nicht durch reelle Radicale ausgedrückt werden. Unter den cubischen Gleichungen mit einer Gruppe 6'^"^ Grades sind zu unterscheiden die mit positiver und mit negativer Discriminante. Die ersten gehören zum casus irreducihilis und lassen sich zurückführen auf die Gleichung, von der die Dreitheilung eines beliebigen Winkels abhängt. Zu den Gleichungen mit negativer Discriminante gehören als specielle Fälle auch die reinen cubischen Gleichungen a;^ = a, wenn a keine Cubikzahl ist. Für « ^ 2 ergiebt sich die Gleichung, von der das Delische Problem der Würfelverdoppelung abhängt. §. 188. Metacyklische Gleichungen von Primzahlgrad. Die allgemeinen Bedingungen, die wir im §. 184 gefunden haben, sind noch nicht einfach genug, um eine unmittelbare An- §. 188. Gleichungen von Primzahlgrad. 659 Wendung auf die Ermittelung von metacykliscben Gleichungen oder auf die Entscheidung über die Löslichkeit einer vorgelegten Gleichung durch Radicale zu gestatten. Wir leiten also, zunächst unter der Voraussetzung, dass der Grad n der Gleichung eine Primzahl sei, ein anderes von Galois aufgestelltes Kriterium her. Es sei jetzt /(a;) = 0 eine irreducible Gleichung vom Grade w, und n eine Primzahl und grösser als 2. Soll f(x) = 0 alge- braisch lösbar sein, so muss ihre Gruppe P nach §. 184 meta- cyklisch sein, d. h. es muss eine Kette von Gruppen (1} -c, ^1, -r2i • • •> Pu—i-i 1 geben, deren jede ein Normaltheiler der nächst vorangehenden mit Primzahlindex ist. Durch successive Adjunction von Wur- zeln cyklischer Gleichungen von Primzahlgrad wird die Gruppe der Gleichung von P auf Pi, P.j, . . ., Pu-i, 1 reducirt. Die Function f(x) selbst kann, wi« schon im §. 184 gezeigt ist, nicht reducirt werden, ehe die letzte Adjunction gemacht ist, worauf sie in n lineare P'actoren zerfällt. Der Grad der letzten cyklischen Gleichung und mithin der Grad der vorletzten Gruppe Pu— 1 muss also nach §. 1G5, 3. gleich n sein. Der Grad eines Elementes einer Gruppe ist immer ein Theiler vom Grade der Gruppe und daher kann Pu— i ausser der identischen nur Permutationen von der Ordnung n enthalten. Sie ist also mit der Periode 1, n, itt^, . .., n:"-^ eines ihrer Elemente identisch. Daraus folgt nach §. 160, dass n eine cyklische Permu- tation von sämmtlichen n Ziffern sein muss, und wir können die Bezeichnung der Wurzeln von f{x) so wählen, dass 71 = (0, 1, 2, . . ., n — Ij wird. Bezeichnen wir die Wurzeln mit x^, und setzen fest, dass ^afz = Xi' sein soll, wenn z ^ z' (mod n) ist, so geht durch n [jedes z in z -\- \ über, durch n'^ in ^ -[- 2 u. s. f., und 'wir können also sagen, dass die Gruppe Pa-i aus den Sub- stitutionen für z f(2) {z, z ^h\ & = 0, 1, 2, . . ., w — 1 besteht. Jede irreducible metacyklische Gleichung von Primzahl- grad kann also durch Adjunction von Radicalen in eine cyklische Gleichung verwandelt werden. Die Substitutionen {z, z A^ V) bilden einen speciellen Fall der allgemeineren linearen Substitution (3) (^, «^ + 6), 42* 660 Siebzehnter Abschnitt. §. 188. worin a und h feste Zahlen sind, die auch nach dem Modul n reducirt werden können, wo aber für a der Werth 0 natürlich auszuschliessen ist, weil sonst ja durch (3) alle verschiedenen z in dasselbe h übergehen, also gar keine Permutation der Grössen Xz ausgedrückt wäre. Ist aber a von 0 verschieden (mod w), so wird durch (3) immer eine Permutation dargestellt sein, weil dann nur, wenn s ^ z' ist, az-\-h^az'-{-h sein kann. Wir nennen (3) eine Substitution für ^, die unter den x eine Permu- tation hervorbringt. Die Anzahl der verschiedenen linearen Sub- stitutionen von der Form (3) ist n (n — 1). Ihnen entsprechen ebenso viele verschiedene Permutationen unter den x; denn es kann nur dann für jedes z az -\- b ^ a's -|- h' (mod n) sein, wenn h ^^V (aus ^ = 0 zu schliessen) und a ^ a' (aus ^ = 1 zu schliessen). Die Gesammtheit der Permutationen, die durch (3) dar- gestellt sind, bildet eine Gruppe; denn es seien X = {z,az -{- &), l' = {z, a'z -\- V) zwei von diesen Permutationen, so ist 00^ ^Xaz + h/ \Xa'z + b'/ \^a' (az + b} + h' also (4) kk' = k" = {z,aa'Z'\-a'h^ h'), was wieder von der Form (z, a" z -j- h") ist. Die durch alle Substitutionen von der Form (3) gebildete Gruppe, die eine Verallgemeinerung der cyklischen Gruppe (2) ist, wollen wir eine lineare Gruppe nennen^); die in ihr ent- haltenen Permutationen sollen lineare Permutationen heissen. In der linearen Gruppe sind verschiedene Divisoren ent- halten. Wir finden darunter eine Gruppe vom Grade n — 1, nämlich (z, az), die selbst wieder Divisoren haben kann. Die Compositionsregel (4) zeigt, wie wir alle Divisoren der linearen Gruppe bilden können. Ist k = (z, az -\- b) eine lineare Substitution, so ergiebt sich nach (4) durch Wiederholung für jeden Exponenten h (5) kh = [^, «Ä^r -|- (1 4- a H h a^^^)b], ^) Kronecker nennt nur diese Gruppe metacyklisch. §. 188. Gleichungen von Primzahlgrad. 661 und für a ^ 1 A'* = (^, ^ -f h b). Wenn also in einer Gruppe L eine Substitution k vorkommt, in der a = 1 und b von Null verschieden ist, so enthält hiernach L die ganze cyklische Gruppe (^, ^-|-&) (& = 0, 1, . . ., n — 1). Ist a nicht gleich 1, so setzen wir nh 1 und schliessen daraus, dass, wenn e der kleinste positive Expo- nent ist, für den a* ^ 1 (mod n) ist, A vom Grade e ist. Die Periode der Substitution A giebt, wenn nicht a = 1 ist, eine intransitive Permutationsgruppe. Es giebt eine Ziffer ^, die durch X und seine Wiederholungen nicht geändert wird, die aus der Congruenz 3 ^^ az -\- b (mod n) bestimmt wird, und mit Zn ^ ;- (mod n) a — 1 ^ -^ bezeichnet werden kann, wenn unter — oder ^ : v (mod n) eine ganze Zahl verstanden wird, die durch Multiplication mit dem Factor v nach dem Modul n mit ft congruent wird. Die cyklische Gruppe (z, z -j- b) ist transitiv und vom Grade n. Wir beweisen zunächst den Satz: I. Jede transitive lineare Gruppe (mod n) enthält die cyklische Gruppe. Es sei g eine primitive Wurzel von w, und a der Index von a, d. h. ^f" ^ a (mod n) (§. 143). Der Kürze wegen nennen wir für den Augenblick « zugleich den Index der Substitution l. ■=^ {z^ az -\- b). Der Index kann kleiner als n — 1 und gleich oder grösser als Null angenommen werden. Ist er gleich Null, so ist A entweder die identische Substitution, oder sie gehört der cyklischen Gruppe an. Nach (4) gilt die Regel, dass der Index einer zusammengesetzten Substitution gleich der Summe der Indices der Componenten ist. Daraus folgt, dass alle Indices der Substitutionen einer linearen Gruppe L Vielfache des kleinsten positiven unter ihnen sind, und dass folglich, wenn «o dieser kleinste positive Index ist, und g"o = Uq gesetzt wird, alle Substitutionen von L in der Form X = {z,alz^ b) 662 Siebzehnter Abschnitt. §. 188. dargestellt werden können, worin Uq festgehalten wird, und nur h und h gewisse Zahlenreihen durchlaufen. Eine Substitution von der Form Ao = (^ , «0 ^ + h) muss in der Gruppe L vorkommen. Wenn nun in der Gruppe L eine Substitution A vorkommt, in der mit h = 0 ein von Null verschiedenes b verbunden ist, so gehört dieses A der cyklischen Gruppe an, und L enthält die ganze cj'klische Gruppe. Wenn aber h von Null verschieden ist, so bilden wir nach (4) und (5) die Zusammensetzung A A-'' = (^, , -f a-" h + ^'::^ &o)- Diese giebt dann und nur dann die identische Substitution, wenn h, _ h (mod w). «0 — 1 «0 — 1 Wenn diese Congruenz für alle von Null verschiedenen h befriedigt ist, und wenn dem Index /i = 0 nur die identische Substitution entspricht, so bleibt das Element — h^ : {a^ — 1) durch die ganze Gruppe ungeändert, und L ist intransitiv. Folg- lich giebt es in einer transitiven Gruppe L immer ein Ele- ment A, für das AA-'' nicht die identische Substitution ist, ob- wohl der Index Null ist, und L enthält also die ganze cyklische Gruppe. Bildet man die verschiedenen Potenzen von Aq, so ergiebt sich, dass der Exponent h in den Substitutionen A der Gruppe L jeden Werth annehmen kann. Ist e der kleinste positive Exponent, der der Bedingung a^^^ ^ 1 (mod n) genügt, so kommen also die Werthe A = 0, 1, 2, . . ., e — 1 vor, und darin ist e ein Theiler von n — 1. Aus der zusammengesetzten Sub- stitution (s", a\z -]rh) {s, ^ -f l) = {s, a\z -^ h ^ 1), die nach I. in einer transitiven Gruppe L ja auch vorkommen muss, sieht man weiter, dass mit jedem Werthe von h jeder der Werthe 6 = 0, 1, 2, . . ., n — 1 verbunden vorkommt, und die ganze Gruppe L besteht daher aus den Substitutionen (6) A=(.,«5.+*), \zl:\\:::iz\' I I §. 188. Gleichungen von Primzahlgrad. 663 und ist vom Grade ew. Umgekehrt bildet jedes System von Substitutionen dieser Form eine Gruppe. Von den linearen Gruppen gilt nun der folgende Satz: IL Ist eine transitive lineare Gruppe L Normal- theiler einer anderen Permutationsgruppe P derselben n Ziffern, so ist auch P eine lineare G r u p p e. Der Satz lässt sich so beweisen: Wenn n eine beliebige Permutation ist: /O, 1, 2, ...,«— 1 jr = I die auch durch {z, üz) dargestellt werden kann, so kann man eine ganze Function (p {z) von z mit rationalen Coefticienten, deren Grad nicht höher als n — 1 ist, so bestimmen, dass az^=(p{z) gesetzt werden kann. Man braucht nur die n Coefficienten in (p (z) aus den n linearen Gleichungen «0 = 9(0), «1 = {z) q)(z) = —aQ — «, '- «„_i 7— r- ^ ^ z ^ z — 1 z — n-\-\ Wenn, wie in unserer Aufgabe, die Zahlen «o, ^ii • • -, « n — 1, von der Ordnung abgesehen, mit den Zahlen 0, 1, 2, . . ., w — 1 übereinstimmen, so ist, wenn n > 2 ist, «o -|- «i -| h ^n—i ^ 0 664 Siebzehnter Abschnitt. §. 188. fmod n) und also 93 (^) höchstens vom Grade n — 2, was aber für unseren Beweis nicht von Bedeutung ist. Hiernach lässt sich also jede beliebige Permutation ;r durch eine Substitution [z. (p {z)] darstellen. Ist nun L eine transitive lineare Gruppe und zugleich Normaltheiler von einer anderen Gruppe P, ist A eine beliebige Permutation von L, % eine gleichfalls beliebige Permutation von P, so ist w'^Xtc = A' in L enthalten, und }.7t = ztW Setzen wir nach dem. was eben bewiesen ist, n =^\z^ ^) {z)\ und wählen für A die cyklische Substitution f^, 3 -f- 1), die nach der Voraussetzung der Transitivität in L vorkommt, so muss sich a' und a so bestimmen lassen, dass {s,z-^ 1) [^~, 9) {zj\ = \z, (p {z)] (z, a' z -{- a), oder, wenn man die Zusammensetzung ausführt, (7 j ^(^ -\- l) ^ a' 1 , so sei p eine in e aufgehende Primzahl, und e = pe'. Die lineare Gruppe L' vom Grade ne\ die aus den Substitutionen besteht: , TS fe = 0, 1, 2, . . ., e' — 1 A' = (., «r-- + 6), ^=o;i,2;...,„-i' ist gewiss ein Theiler von L vom Index p. Dieser Theiler ist aber auch normal, wie man aus der Compositionsregel (4) ohne Mühe erkennt. Die Begriffe der transitiven linearen und der metacyklischen Gruppen decken sich also bei den Gleichungen von Primzahl- grad vollständig, und wir können daher auch in der Folge beide Ausdrücke synonym gebrauchen. Wenn wir von einer Gruppe p zu einer conjugirten Gruppe P' = ti-^Ptc übergehen wollen, so geschieht dieser Uebergang dadurch, dass bei allen Permutationen von P in den Cyklen die Vertauschung jr vorgenommen wird. P' wird also mit P bis auf die Bezeichnung der Wurzeln übereinstimmen, und ist daher, wenn P linear ist, auch als linear zu bezeichnen, wenn auch eine Aenderung in der Numerirung der Wurzeln nöthig ist, um sie durch lineare Substitutionen darzustellen. 666 Siebzehnter Abschnitt. §. 188. Zur Verein facliimg der Anwendung bemerke man noch, dass man die volle lineare Gruppe durch Wiederholung und Zusammensetzung der beiden Substitutionen (9) s = (^, ^ + 1), t = (2,ge), und jeden transitiven Theiler L der vollen linearen Gruppe ebenso aus (10) s = (^, ^-fl). f«o = (^, a^^) ableiten kann. Man nennt daher die beiden Substitutionen (9) oder (10) die erzeugenden Substitutionen dieser Gruppen. Setzen vrir «o =ö'^ so erhalten wir eine häufig vorkommende lineare Gruppe f^, a^ -)- &), in der a nur die quadratischen Reste von n durchläuft, die von Kronecker die halbmeta- cyklische Gruppe genannt worden ist. Diese Darstellung durch die erzeugenden Substitutionen gestattet einen einfachen Schluss auf die Beziehung der meta- cyklischen Gruppen zu der symmetrischen und der alternirenden Gruppe. Die aus s hervorgehende Permutation besteht aus einem einzigen Cyklus mit einer ungeraden Gliederzahl (0, 1, 2, ...,n — 1), und gehört daher zu der alternirenden Gruppe. Die Substitu- tion t lässt den Index 0 ungeändert und liefert für die übrigen Zifiern wieder einen einzigen Cyklus. Denn durch t geht 1 in y. g in g-, g^ in g'^ etc. über und da die Potenzen 1, g, g^, . . ., ^"~^, von der Reihenfolge abgesehen, mit den Ziffern 1, 2, . . ., n — 1 übereinstimmen, so entspricht t dem Cyklus (1, g, g^, . . ., g"^^)-, der aus einer geraden Gliederzahl besteht und folglich zu den Permutationen zweiter Art gehört, also nicht in der alternirenden Gruppe enthalten ist. Dagegen ist P wieder darin enthalten. Daraus ergiebt sich das Resultat: V. Die volle lineare Gruppe ist kein Theiler der alternirenden Gruppe. Der grösste gemeinschaft- liche Theiler beider Gruppen ist die halbmeta- cyklische Gruppe. Man kann der Bedingung für die metacyklischen Gleichungen verschiedene Formen geben, die sich aus dem Bisherigen ableiten lassen. Die volle lineare Gruppe ist als Theiler vom Index V = 1 . 2 . 3 . . . (w — 2) in der symmetrischen Gruppe ent- halten. Eine zu der vollen linearen Gruppe gehörige Function y §.188. 'Metacyklische Gruppen. 667 der n Variablen Xo-, oc^^ . . ., Xn~ii die wir eine metacyklische Function nennen können, genügt daher einer Resolvente F(y) = 0 vom Grade v, deren Coefficienten symmetrische Functionen der X sind. Substituirt man nun für x die Wurzeln einer metacyklischen Gleichung f{x) = 0, so wird y rational. Wenn umgekehrt die Function y durch die Substitution der Wurzeln einer irreduciblen Gleichung /(a;) = 0 für die x rational wird, während F' (y) von Null verschieden bleibt, so ist f{x) metacyklisch ; denn dann ist die Gruppe von f{x) = 0 gewiss ein Theiler der vollen linearen Gruppe, und daher selbst linear; und da f(x) irreducibel ist, so ist die Gleichung /(a;) = 0 meta- cyklisch. Es genügt aber auch für die algebraische Auflösbar- keit von f{x) = 0, wenn die Resolvente F(y) = 0 nur über- haupt eine rationale Wurzel hat, die nicht Doppelwurzel ist. Denn die verschiedenen Wurzeln dieser Resolvente gehören zu conjugirten Gruppen, und wenn daher eine von diesen Wurzeln rational ist, so ist eine der conjugirten Gruppen metacyklisch. Wir haben also den Satz: VI. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung f(x) = 0 durch Radicale ist die, dass die Resolvente a/*®"» Grades F(y) = 0, die man durch passende Wahl der Func- tion y so eingerichtet hat, dass sie keine Doppel- wurzeln erhält, eine rationale Wurzel hat. Eine andere Form dieser Bedingung ergiebt sich auf folgende Weise. Unter den Permutationen einer linearen Gruppe ist nur die identische, die irgend zwei Ziffern ungeändert lässt. Denn wenn (.0, a^ -f- b) zwei Ziffern nicht ändert, so muss die Congruenz az -\- b ^ s (mod n) zwei verschiedene Lösungen haben. Das ist aber nur möglich, wenn a zz 1, & ^ 0 (mod n) ist. Ist also die Gruppe P yon f{x) linear, so reducirt sie sich durch Adjunction von zwei beliebigen Wurzeln auf die Einheit, und folglich sind alle W^urzeln rational durch zwei beliebige unter ihnen ausdrückbar. Also: VIL Ist eine irreducible Gleichung von Primzahlgrad metacyklisch, so sind alle Wurzeln rational durch zwei beliebige unter ihnen ausdrückbar. 668 Siebzehnter Absclinitt. • §. 188, Aber dieser Satz gilt auch umgekehrt, was wir folgender- maassen einfach beweisen können. Es habe eine irreducible Gleichung vom Primzahlgrad n die Eigenschaft, dass alle Wurzeln rational durch zwei beliebige unter ihnen ausdrückbar sind. Ist etwa Xv = iP^Xq^x^) eine solche Darstellung, so können auf diese Relation alle Permu- tationen der Gruppe P unserer Gleichung angewandt werden, und wenn also eine von diesen Permutationen Xq und x^ un- geändert lässt, so lässt sie auch alle Xv ungeändert, d. h. es ist die identische Permutation. Also enthält P ausser der identischen Permutation keine, die zwei Ziffern nicht ändert. Enthält nun eine der Permutationen n = cc^ . . . von P zwei oder mehr verschiedene Cyklen c, Cj ... und ist c vom Grade h, Ci aber von einem höheren Grade, so ist :;r'' = d* . . ., und jt'* lässt die Ziffern von c ungeändert, während sie doch nicht die iden- tische Substitution ist, weil c\ nicht alle Ziffern ungeändert lässt. Dies ist aber nicht möglich, wenn h > l ist. Es muss also ent- weder TT eine Ziffer ungeändert lassen, oder es muss aus Cyklen von gleichem Grade bestehen. Da aber n Primzahl ist, so kann 71 in diesem Falle nur einen Cyklus vom w*^° Grade bilden. Es enthält also P ausser der identischen nur cyklische Permutationen n^^^ Grades, die wir mit y bezeichnen wollen, und Permutationen x, die eine Ziffer ungeändert lassen und ausser- dem aus Cyklen von gleichem Grade bestehen. Jede der Permutationen x, durch die die Ziffer 0 ungeändert Ijleibt, wollen wir mit Xq bezeichnen. Ebenso bedeuten x^, X2, . . ., Jf„_i die Permutationen x, die die Ziffern 1, 2, . . ., « — 1 ungeändert lassen. Da P transitiv ist, so müssen ebensoviel Xq , wie x^ , wie X2 etc. vorhanden sein. Denn ist n eine Permutation, die 0 in 1 überführt, so ist jedes :7:— ^XoJr ein x^, und umgekehrt jedes 71x^71-'^ ein Xq, und ebenso für die ül)rigen Ziffern. Ist also ^ die Anzahl der Xq, V die Anzahl der j', m der Grad von P, so ist, da noch die identische Permutation hinzukommt, (11) m = [in -\~ V -^ l. Nun bilden die x^ mit der identischen Permutation zusammen eine Gruppe Q vom Grade (u. -j- 1, und zwar einen Theiler von P, nämlich den Inbegriff aller Permutationen von P, die 0 un- §. 188. Metacyklische Gruppen. 669 geändert lassen. Sind also tt^, tc.^, . . ., :r„_i Permutationen in P, die 0inl,2,...,w — 1 überführen , so ist Q tt^ der Inbegriff aller der Permutationen von P, die 0 in 1 überführen u. s. f. Wir erhalten also die Zerlegung von P in die Nebengruppen woraus folgt (12j m = w(ft + 1), also aus (11) und (12) v ^ n — 1. Es giebt also n — 1 und nicht mehr cyklische Permutationen n^^'^ Grades in P und diese bilden folglich wieder mit der Ein- heit zusammen eine cyklische Gruppe C = l,y, Y\ . . ., r~s da mit y zugleich alle Potenzen von 7 in P vorkommen. Wenn nun y eine cyklische Permutation n^^^ Grades ist, so ist auch jedes n—''^y^7i cyklisch und muss also, wenn n zu P gehört, auch in C enthalten sein. C ist also ein Normaltheiler von P, und folglich muss nach dem Theorem II. die Gruppe P linear sein. VIII. Eine irreducible Gleichung von Primzahlgrad, bei der alle Wurzeln rational durch zwei be- liebige von ihnen ausdrückbar sind, ist meta- cyklisch. Wir schliessen aus diesen Sätzen noch auf eine merkwürdige, zuerst von Kronecker bemerkte Eigenschaft der metacyklischen Gleichungen für den Fall eines reellen Rationalitätsbereichs 1). Wenn bei einer solchen Gleichung zwei Wurzeln reell sind, so folgt aus VII., dass alle ihre Wurzeln reell sind. Eine reelle Wurzel muss aber eine solche Gleichung, da sie ungeraden Grades ist, immer haben. Also folgt IX. Eine irreducible metacyklische Gleichung von un- geradem Primzahlgrad mit reellen Coefficienten hat entweder lauter reelle Wurzeln oder nur eine. Sind alle Wurzeln reell, so ist die Discriminante als Product von lauter Quadraten reeller Grössen {Xh — x^^"^ positiv. Ist nur eine Wurzel reell, so entspricht jedem complexen Factor der Discriminante {Xh — x^^Y ein conjugirter, und deren Product ist ^) lieber algebraisch auflösbare Gleichungen. Monatsbericht der Ber- liner Akademie, 14. April 1856. 670 Siebzehnter Abschnitt. §. 189.. positiv. Nur wenn Xh und x^. conjugirt imaginär, also Xk — Xt rein imaginär ist, so ist (x^ — x^)^ negativ und die Discriminante erhält also für jedes Paar conjugirt imaginärer Wurzeln den Factor — 1. Das Vorzeichen der Discriminante ist also ( — 1) ^ . Daraus folgt: X. Wenn m ^ 1 (mod 4) ist, so ist die Discriminante immer positiv, ist aber n ^ 3 (mod 4j, so ent- scheidet das Vorzeichen der Discriminante, wel- cher der beiden Fälle des Theorems IX. eintritt. §. 189. Anwendung auf die metacyklischen Gleichungen 5^«=^ Grades. Wir machen noch eine Anwendung der allgemeinen Sätze auf die Gleichungen b^^^ Grades. Ist n = 5, so hat die cyklische Gruppe 5, die halbmetacyklische 10 und die volle lineare Gruppe 20 Permutationen. Eine metacyklische Function genügt bei einer allgemeinen Gleichung 5*^"^ Grades einer Resolvente 6*«^ Grades, und wenn diese Gleichung 6*^^^ Grades eine rationale Wurzel hat, so ist die gegebene Gleichung S**^"^ Grades meta- cyklisch. Die halbmetacyklischen Functionen, d. h. die Func- tionen, die die Permutationen der halbmetacyklischen Gruppe gestatten, genügen einer Resolvente 12*^'' Grades, die aber nach Adjunction der Quadratwurzel aus der Discriminante in zwei Factoren 6*^^^ Grades zerfällt. Wenn man die erzeugenden Substitutionen für den Modul 5 s = (z; ^ + 1), t = (z, 2 4 P = (^, Az) auf die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 anwendet, so ergeben sich die Ver- tauschungen (1) und es ist also, durch Cyklen dargestellt, s = (0, 1, 2, 3, 4), t = ri, 2, 4, 3), P = fl, 4) (2, 3). Wenden wir die Substitutionen s, t-^ t auf die Paare von Ziffern (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 0) an, so folgt 0, 1, 2, 3, 4 (s) 1, 2, 3, 4, 0 (0 0, 2, 4, 1, 3 (P) 0, 4, 3, 2, 1, §. 189. Gleichungen öte" Grades, 671 (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 0) (2) (s) (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 0), (0, 1) (P) (0,4), (4,3), (3,2), (2, 1), (1,0); diese Paare bleiben also in ihrer Gesammtheit durch s und durch P, und folglich durch die halbmetacyklische Gruppe un- geändert, und eine symmetrische Function der entsprechenden Wurzelpaare ist halbmetacyklisch. Die Substitution t bewirkt die Vertauschungen ,„. (0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,0) ^^^ (0 (0,2), (2,4), (4,1), (1,3), (3,0), führt also die fünf Paare in fünf andere über; und da es nur zehn Paare von fünf Dingen giebt, so kommen in den beiden Reihen (3) alle Paare vor. Man kann nun auf sehr verschiedene Arten halbmeta- cyklische Functionen bilden. Die einfachste ist (4) U =z Xt^Xi -|- Xi X-i -Y X^X^^ X^i Xi -\- XiXo^ die durch t in (5) U' = Xo X.2 -f ^2 ^4 + ^4 Xy -{- OC^ X3 -^ X^ Xq Übergeht, und u' gehört selbst zu den halbmetacyklischen Func- tionen, Ist (6) f{x) = x-' — ax* -{- bx-^ — cx'^ -{- clx — e = 0 die Gleichung, deren Wurzeln Xq, x^, x^^ a^g, x,^ sind, so ist also (7) M -f- tt' = h. Die Function (8) y = w — u' ist gleichfalls halbmetacyklisch, das Quadrat \ß aber ist voll- metacyklisch und also die Wurzel einer Resolvente 6*®" Grades, wie schon Lagrange gefunden hat, Ist ^^d das Product der zehn Wurzeldififerenzen {x^ — x^^ (a;o — Xi) , , ., also A die Discriminante von /(a?), so ist ebenfalls vollmetacyklisch und Wurzel einer Gleichung 6*^° Grades i). 1) Jacobi, „observatiunculae ad theoriam aequationum pertinentes", Crelle's Journ. Bd. 13. Jacobi's Werke, Bd. 3. Cayley, philos, transac- tioDB 1861, Collected math. papers, Vol. IV, p. 309. 672 Siebzehnter Abschnitt. §. 189. Um die conjugirten Functionen zu u zu bilden, bezeichnen wir mit 31 die vollmetacyklische, mit N die halbmetacyklische, mit Ä die alternirende Gruppe und zerlegen A in die Neben- gruppen : (10) ^ = ^■^ 4- ^"^ ri, 2) (3, 4) + Nt (0, 1) -)- m (0, 2) -^ Nt (0, 3) + Nt (0, 4). Diese Nebengruppen sind in der That alle von einander verschieden. Denn wäre z. B. N= N (l^ 2) (3, 4), so müsste (1, 2) (3, 4) in N, also (1, 2) (3, i)t = ri, 2) (3, 4) (1, 2, 4, 3) = (1, 4) in M vorkommen und dies ist nicht möglich, weil in M keine Permutation auftritt, die zwei Ziffern ungeändert lässt; und in ähnlicher Weise zeigt man, dass keine zwei anderen dieser Nebengruppen einander gleich sind. Hiernach ergeben sich für u die innerhalb Ä conjugirten Werthe durch Anwendung der Permutationen (1, 2) (3, 4), ^(0, 1) = ro, 1, 2, 4, 3), f (0, 2) = (0, 2, 4, 3, 1) t(0, 3) = (0, 3, 1, 2, 4), t(0, 4) = (0, 4, 3, 1, 2): ili — Xq Xi -j— Xi X2 —j- X2 x^ — ]— X^ X^ — j— X^ Xq^ Mj — Xq X2 [ X2 Xj^ — [— X-^^ X^ I X^ X^ — — X^ ü/Qi W4 X2 Xq I Xq X^ I X^ Xy — |— Xy X^ —T— X^ »^25 M5 ^3 X2 ~Y~ X2 X^ —j— X^ X-y — j— Xi Xq — j— Xq 3^35 Mg =: X4 3:^2 |~ '^a '^O "I '^0 '''l ~| '^l -^3 ~l '^S -^ii und die entsprechenden wi, u'2, W3, «(4, ^(5, We findet man, wenn man auf Ui die Permutation t anwendet, und dann mit u'i ebenso verfährt, wie eben mit ztj, oder auch einfach, indem man die in jedem u fehlenden Paare zu dem entsprechenden u' ver- einigt, so dass für alle diese u die Bedingung (7) befriedigt ist. ^2 «^0 "^l — I *^0 *^4 — I *^1 '^S — *^2 *^Z — I — *^2 "^4? W3 r=: O^Q^j -|- XqX2 -\- X^X^ -\- X^X^ ~\~ X^X^^ vi^ Xq X-^ I Xq X^ Xj^ X2 ~ f " X^ X^ U/3 x^^ U^ = Xq X2 -p ^0 ^^4 I Xi X2 — f- ^1 x^ —\- X^ 3^4, ^^6 •*'0 ^3 — — Xq X^ — j — Xy X2 — j X'i X^ —\ — X2 X-^* Die sechs Grössen (8): i/i,?/2,^3,y4iy.-,,!/G sind die Wurzeln einer Gleichung 6*'^'^ Grades, deren Coefficienten rational von a, 6, c, d^ e §. 189. Gleichungen 5ten Grades. 673 und yÄ abhängen. Da die y alle ihr Vorzeichen ändern, wenn y^ das Vorzeichen ändert, so hat diese Gleichung die Form \f + «22/* + «4 2/' + «6 — V^(«i2/-^ + «32/^ + «5 2/) = 0. worin die a rationale Functionen der Coefficienten von fix) sind. Es müssen aber auch ganze Functionen dieser Coefficienten sein; denn a,, a^, «ei «i V^, «3 V^, «5 V^ sind ganze Functionen der rK, die ja hier als unabhängige Variable gelten können, und es müssen also die drei letzteren durch das Differenzenproduct V^ theilbar sein, und dann müssen sich «21 «41 ö^e» «n «3^ «5 ^^Is ganze symmetrische Functionen der x erweisen. Bestimmt man die Grade in Bezug auf die a;, so ergeben sich, da die y vom zweiten Grade sind, für die Grade 2 4 6 8 10 12. i V^ ist aber vom 10*^° Grade in den a:, und folglich muss a^ = 0, «3 = 0 und ci-, eine Zahl sein. Die Functionen «21 (^ii <^6 sind in Bezug auf die Variablen x homogen, und wenn wir daher den Coefficienten a, &, c, c?, e die Gewichte 1, 2, 3, 4, 5 beilegen, so sind die «21 «41 ^e isobarische Functionen dieser Grössen mit den Gewichten 4, 8, 12 (§. 53). Man kann die Coefficienten ag, «4, a^, «e durch wirkliche Bildung der Ausdrücke nach den Vorschriften über die Darstel- lung der symmetrischen Functionen berechnen, was von Cayley geschehen ist. Rechnung und Formeln sind aber sehr weitläufig. Wir wollen uns hier damit begnügen, die Resolvente für einen besonderen Fall zu bilden. Der dabei gefundene Werth für die Zahl a-, ist dann natürlich allgemein gültig. Die Gleichung 5*^° Grades habe die Bring-Jerrard'sche Form 1) (13) x-> -\- ax ^ ß = 0. Dann sind «2, a^, a^ ganze rationale Functionen von « und ß. Von den Coefficienten der allgemeinen Gleichung (6) ist d vom Gewicht 4, e vom Gewicht. 5, und daraus folgt, dass der Coeffi- cient e in «2 g^^ nicht, in «4, «g aber nur mit einem der Coeffi- (Cienten a, &, c multiplicirt vorkommen kann, und dass also, wenn ja, 6, c Null gesetzt werden, e aus diesen Ausdrücken herausgehen ') Runge, Acta mathematica, Bd. 7. Weber, Algebra. I. 43 674 Siebzehnter Abschnitt. §. 189. muss. Für die Gleichung (13) können also «2? ^^4? ^e nicht von ß abhängen, und man erhält mit Rücksicht auf das Gewicht, wenn m. m^, Wg, m^ Zahlen bedeuten (14) «2 = »?i «; a^ = m.2 «-, «ö = Wg a-'^ a^ = m. Die Zahlen m, jh^, wigi '^'>h lassen sich aus einer speciellen Annahme bestimmen. Setzen wir /3 = 0, so wird flö) Xf) 0. a^i T/ «, 0^2 ^ ]/ — K, % — und daraus ergiebt sich 1^ «, • 14/ (16) V ^ \Xq Xi) [Xq X-j) [Xq X^j (X(j — X^J (Xi — x^) [Xi — a^-j) [Xi — x^) yX2 — x^j (x^ — Xi) \X^ — x^) = 16 iV— ay' r= — IG Vu- A = 256 «•'. Da hier & = 0 ist, so wird nach (7) und (8) y z= 2u^ und aus (11) und (15) ergeben sich die Werthe der y: yi = y-2 = Vz = yr, = — 2 V« y, = U- 2i) y«, ^, = (4 -f- 2i) V«. Danach erhält man für /3 = 0 die folgende in y identische Gleichung : (17) y>' 4- «2«* + «4!/' — «6 - «ö V^y = (y — 2 V«)^ (y'- — 8yVä -}- 20 «) — ^y.; _ 20 ayi -f- 240 «2 7/2 -f 512 Vä'>y -f 320 «s. Daraus findet man aber die allgemeine Resolvente für die Gleichung (13). wenn man nach (16) für — 16 V«-^ setzt Vz/, also (18) y-' — 20 ay* -}- 240 «2^/2 _ 32 V'Z^/ -f 320 «s = 0. Die Discriminante zJ hat hier, wie sich aus der Formel (3) im §. 80 ergiebt, den Ausdruck (19) ^ = b-' ß' -]- 2' u\ Einfacher noch wird die Gleichung für «, nämlich (20) ti'' — 5 « H^ -f 15 «2 «2 _ yju 4- 5 «3 = 0, und wenn man u- = i- setzt, so ergiebt sich für v die rationale Gleichung 6*™ Grades (21) (U3 _ 5 K i;2 _|_ 15 «2 i, _|_ 5 a?,jo _ ^ i; §. 189. Gleichungen 5ten Grades. 675 Eine andere Form dieser Gleichung erhält man aus (17), wenn man den zweiten der drei Ausdrücke mit dem multiplicirt, den man daraus erhält, wenn man Vo« in — Va verwandelt. Dadurch bekommt man (v — ay (v^ — ßav -\- 25a2j =^ o, und in diesen muss (21) übergehen, wenn ß = 0 gesetzt wird. Da aber in (21) der von ß abhängige Theil durch (19) bestimmt ist, so folgt die gesuchte Form der Resolvente (22) (v — ay {v^ — 6kv -\- 25 «2) = 6''ß*v. Man kann noch die Frage aufwerfen, ob die hier eingeführte Function v immer wirklich metacyklisch ist, ob sie nicht viel- leicht bei besonderen Gleichungen noch andere Permutationen gestattet. Wenn dieser Fall eintreten sollte, so müsste die Gleichung (21) oder (22) gleiche Wurzeln oder (20) gleiche oder entgegen- gesetzte Wurzeln haben. Der Werth m = 0 oder v = 0 tritt nur dann ein, wenn a =r 0 ist. Dann haben wir in der That in (13) die wohl- bekannte metacyklische Gleichung x'> -\- ß = 0; diesen Fall also lassen wir jetzt bei Seite. Die Gleichung (20) kann nur dann zwei entgegengesetzte Wurzeln haben, wenn z/ = 0 ist, wenn also die Gleichung (13) gleiche Wurzeln hat. Auch dies ist auszuschliessen, da wir (13) als irreducibel vorausgesetzt haben. Es bleibt also nur die Frage übrig, ob (20) gleiche Wurzeln haben kann. Es müsste dann mit (20) zugleich die abgeleitete Gleichung G u'^ — 20 « m3 -j- 30 «2 ^t _ y^ — Q befriedigt sein, und wenn wir V^ aus dieser und aus (20) eliminiren, 5w« — 15aM^ 4- 1.5«2tt2 _ 5«;) = 5(^2 — a)a = 0. Es müsste also v = u sein und also nach (22) ß := 0. Dann wäre aber die Gleichung 5*®° Grades wieder reducibel, da sie den Factor x hat. Will man also eine gegebene Gleichung von der Form (13) in Bezug auf ihre Auflösbarkeit prüfen, so hat man zuerst die Irreducibilität festzustellen, und dann zu untersuchen, ob (21) oder (22) eine rationale Wurzel hat. Sind « und ß ganze Zahlen, so muss auch ein rationales v eine ganze Zahl sein, die unter den Factoren von 25 «'' zu suchen ist. 43* 676 Siebzelinter Abschnitt. §. 190. Ist z, B. a = 5, /3 = 5 f, SO ist, wenn t eine durcli 5 nicht theilbare ganze Zahl ist, x'^ ~\~ ux -\- ß nach §. 186, 3. irredu- cibel. Für v hat man Potenzen von 5, mit positivem oder negativem Vorzeichen einzusetzen, aber für keine solche Zahl kann (22) erfüllt sein, weil auf der linken Seite die Potenz von 5 nicht hoch genug wird. Es ist also keine Gleichung von der Form x'" -\- 6x -J- ot = 0 metacyklisch. Will man metacyklische Gleichungen ermitteln, so setze man in (22) wodurch man erhält: _ 6'-^*l .23^ "^ a-iy{?.^-- 6A + 25J ' (k — iy(^-- — 6/1 + 2.5)' und w£nn man hierin für ?. und ^ rationale Grössen setzt (aus einem beliebigen Ptationalitätsbereich, z. B. auch aus dem Körper der rationalen Functionen von A und ft), so ist die Gleichung 5*^° Grades (24) x'^ -\- Kx ^ ß = 0 algebraisch lösbar, da ja der Fall, dass diese Gleichung redu- cibel wird, auch auf algebraisch lösbare Gleichungen führt. Umgekehrt können wir sagen, dass keine irreducible Glei- chung 5^^° Grades von der Form (24j algebraisch lösbar ist, in der die Coefficienten «, ß nicht in der Form (23) darstellbar sind. Setzen wir z. B. ?. =^ 3, |u= 1, so erhalten wir 2^« = 3.5^ 2^/3 = 3..5'\ Die Gleichung (24) vereinfacht sich, wenn wir für x eine neue Unbekannte | einführen, durch die Gleichung 4a; = 5|. Wir erhalten so die Gleichung |'+ 15|4-f 12 = 0 als Beispiel einer algebraisch lösbaren Gleichung, die über- dies nach dem vorhin erwähnten Satze (§.186,3.) irreducibel ist. §. 190. Die Gruppe der Pie solvente. Die Sätze, die wir im vorigen Paragraphen abgeleitet haben, gestatten einen merkwürdigen Schluss über die Gleichungen 6*^° Grades. §. 190. Gruppe der Resolvente. 677 Wir nehmen jetzt wieder die x^^, ^r^, Xo,^ x^^ x^ des vorigen Paragraphen als unabhängige Variable an. Dann sind die sechs Grössen Vi = (««1 — Mi)^ V.2 = (?(2 — «2)-, V-i = {Uo — «3)2 Vi = {ih — ^1)2, «5 = (u; — u'^y, V^ = (U^ — tt;)2 die Wurzeln einer Gleichung e*«'^ Grades, F{v) = 0, deren Coefficienten rational durch die symmetrischen Grundfunctionen a, &, c, fZ, e der x ausdrückbar sind, und die in dem Körper der rationalen Functionen dieser Grössen irreducibel ist. Diese Gleichung ist eine Resolvente der Gleichung 5*«" Grades f(x) = 0, deren Wurzeln die x sind. Ist JI die volle lineare Gruppe der x, so haben die zu 3/ conjugirten Gruppen n—^Mn keinen anderen gemeinschaft- lichen Theiler, als die identische Permutation. Denn jeder gemeinsame Theiler aller dieser Gruppen müsste ein Normal- theiler der symmetrischen und folglich auch der alternirenden Gruppe sein; da er aber nicht die alternirende Gruppe selbst sein kann, so muss er sich nach §. 185 auf die Einheitsgruppe reduciren. Die Ptesolvente F{v) = 0 ist also nach der in §. 163 ein- geführten Bezeichnung eine Totalresolvente von f(x) = 0, und ihre Gruppe muss von gleichem Grade sein, wie die Gruppe von f{x) = 0, deren Grad 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 ist. Da F{2) auch irreducibel ist, so ist die Permutationsgruppe unter den Indices der sechs Grössen v transitiv. Sie ist vom Grade 120, während der Grad der symmetrischen Gruppe der Permutationen von sechs Ziffern 6 . 120 ist. Damit haben wir den Satz: Die symmetrische Permutationsgruppe von sechs Ziffern hat einen transitiven Divisor vom Index 6. Um diese merkwürdige Gruppe, die wir mit C bezeichnen wollen, zu finden, haben wir nur den Einfiuss zu untersuchen, den die sämmtlichen 120 Permutationen der x auf die v oder auf die Grössen (11) des vorigen Paragraphen ausüben. Wir haben nun früher gesehen (§. 160, 2.j, dass die Trans- positionen (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) durch wiederholte Zusammen- setzung die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen von fünf Ziffern erzeugen. Es genügt also, den Einfluss dieser vier Transpositionen auf die Indices der v zu ermitteln. Durch An- wendung einer Transposition (0, 1) geht jeder der Ausdrücke 678 Siebzehnter Abschnitt. §. 190. (11), §. 189 in einen der Ausdrücke (12) über und umgekehrt, und wenn man für die vier genannten Transpositionen diese Aenderung ermittelt, so erhält man die folgenden vier erzeugen- den Permutationen tc-^, Ttg, n^, tt^ der Gruppe C (0, 1): TT, = (L 3) (2, 5) (4, 6) (0,2): 7t, = (h4){2, 3) (5, 6) (0, 3): :r3 = (1, 5j (2, 6) (3, 4) (0, 4): TT, = (1. 6) (2, 4) (3, 5), wo sich die in den ti vorkommenden Transpositionen (1, 3) . . . auf die Indices der u und der v beziehen. Unter den 120 Permutationen der Gruppe C kommen unter anderen auch vor 71, jt, = (1, 2, 6) (3, 4, 5) Tii n^ TTj = (1, 6, .5, 4j jTi Tta 71; Tti = (2, 4, 6, 3, 5) {7t,7C,7to,n,y= (2, 3, 4, 5, G). Hiernach lässt sich leicht eine zur Gruppe C gehörige Func- tion der sechs Grössen v bilden. Eine Function, wie V1V3 + V.2V4 + V5V6, bleibt durch tt^ und durch :Ti :;r2 ungeändert; wenden wir darauf aber die Potenzen der cyklischen Permutation (2, 3, 4, 5, 6) an, so gehen daraus fünf Functionen hervor, die wir so be- zeichnen wollen: Wo = t\ Vo + Vi V; -{- Vs Vg IV, = ^"1 Vi -\- V-i V,- -{- V3 v-^ (2) iv^ = Vi v^ -\- V2 V; -f- Vs Vi Ws = V, V3 + V.2 Vi + Vr, iv- Wi = V^ V-, -\- V2 V?, + ^4 'Vf,- "Wenn wir auf die Functionen (2) die Permutationen ^Tj, jTj, jTg, Tti anwenden, so gehen diese Functionen nur in einander über, und zwar in folgender Weise: ^1 = ('fo, IV,), 7C.2 = («ro, 1V.2), ^3 = (iVq, ifg), 7ti = (ivo, u'i), d. h. die 71,, Tt^-, ti-^, Tii entsprechen den Transpositionen (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) unter den Indices der u\ und also entspricht nach §. 160, 2. der ganzen Gruppe C die symmetrische Gruppe §. 190. Permutationsgruppe von sechs Ziffern. 679 der Indices der iv. Eine symmetrische Function der fünf Grössen u\ die nicht zugleich eine symmetrische Function der v ist, wie die Summe der «<;, ist also eine zu C gehörige Function. Man kann z. B. die Summe der Quadrate dafür nehmen W = ivi + W^ + H'l + «•! + Iff , oder eine Function a — ivo) (A — n\) (A — iv^) (A — iv^) (A — ir^) für ein beliebiges rationales A. Eine solche Grösse W ist die Wurzel einer irreduciblen Gleichung 6*®'' Grades, deren Coefticienten symmetrische Func- tionen der sechs Grössen v sind. I Achtzehnter Abschnitt. Wurzeln metacyklisclier Gleichungen. §. 191. Stellung der Aufgabe. Hülfssatz. Wir haben im vorigen Abschnitte allgemeine Kennzeichen gefunden, durch die man entscheiden kann, ob eine vorgelegte Gleichung von Primzahlgrad metacyklisch ist oder nicht. Damit ist aber der Gegenstand noch bei Weitem nicht erschöpft. Es handelt sich vielmehr nach der Form der Problemstellung, wie sie von Abel herrührt, darum, ein Verfahren anzugeben, nach dem man alle metacyklischen Gleichungen finden kann. In dieser Form ist das Problem, über das Abel nur kurze Andeu- tungen ohne Beweise hinterlassen hat, von Kronecker auf- genommen worden, und in der Weise vollständig gelöst, dass zu- nächst nicht die Gleichungen selbst, sondern ihre Wurzeln gefunden werden i). So hat Kronecker für jede Primzahl n einen Ausdruck angegeben, der aus einem gegebenen Körper ü durch wiederholtes Wurzelziehen abgeleitet ist, und der die doppelte 1) Abel, Sur la resolution algebrique des equations (Oeuvres completes, ed. Sylow, tome II, p. 217), Brief an Grelle am 14. März 1826 (Oeuvres tome II, p. 266). — Kronecker, Ueber die algebraisch auflösbaren Glei- chungen. Monatsberichte der Berl. Akademie 1853, 1856. — Cayley, on a theorem of Abel's etc. (1880, Math, papers t. XI, p. 132). — H. Weber, Ueber algebraisch auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad. Sitzungs- berichte der, Gesellschaft zur Beförderung der Naturwissenschaften zu Mar- burg 1892. Die folgende Darstellung ist gegen die dort gegebene verein- facht und in einem Punkte berichtigt. §. 191. Die Resolventen. 681 Eigenschaft hat, dass jede Wurzel einer irreduciblen meta- cyklischen Gleichung «*«" Grades in Si in diesem Ausdruck ent- halten ist, und dass auch umgekehrt jeder solche Ausdruck einer irreduciblen Gleichung n**^" Grades in Sl genügt. Die Grundlage für diese Untersuchung liefern uns die Resol- venten von Lagrange. Es sei jetzt n eine Primzahl, X(^, x^, x^, . . . , Xn—i sei ein System unabhängiger Variablen, und die Bezeichnung so gewählt, dass Xn ^ x^y Xn + i = Xi . . . ist. Endlich sei s eine w*° Ein- heitswurzel. Wir setzen dann (1) (£, x) = Xi) -{- EXi -\- s^X2 + • • • + £"-^a;„_i = v ^^^^^ 0,n — 1 Diese Ausdrücke haben wir schon im vierzehnten Abschnitte unter dem Namen der Resolventen von Lagrange kennen gelernt, und wir haben dort (§. 171) ihr Verhalten gegenüber den cyklischen Permutationen untersucht. Es kommt jetzt darauf an, den Einfluss linearer Permu- tationen von der im §. 188 betrachteten Art auf diese Functionen festzustellen. Wir schicken einen Hülfssatz voraus, den wir eigentlich nur aus dem Früheren zu reproduciren brauchen. Die imaginären ^ten Einheitswurzeln s sind die Wurzeln einer Gleichung X= 0, wenn (2) X = I"-' + f" + h I + 1 gesetzt ist, und | eine Variable bedeutet. Die Function X ist, wie wir früher gesehen haben (§. 174), irreducibel im Körper K der rationalen Zahlen. Legen wir irgend einen Körper Sl zu Grande, in dem X irreducibel ist, und leiten daraus den Körper Sl(s) ab, der aus allen rationalen Functionen von e mit Coefficienten in ü besteht, so ergiebt sich nach §. 149, dass jede Grösse dieses Körpers auf eine und nur auf eine Weise in die Form (3) Co + Ci £ + C, £^ H h C„_2 £"-' gesetzt werden kann, worin die c Grössen in Sl sind. Der Kürze wegen wollen wir diese Form der Grössen in Sl(a) die Normalform nennen und wollen also den Satz aus- sprechen : L Ist Sl ein Körper, in dem die Kreistheilungs- gleichung X = 0 irreducibel ist, so kann jede 682 Achtzehnter Abschnitt. §. 191. Grösse des Körpers Sl{a) nur auf eine Weise in die Normalform ^ (f) = Co + Ci £ -|- Ca £- + • • • + Cn-2 «""^ gebracht werden, worin die Coefficienten c in Sl enthalten sind. Wir können in diesem Satze für Sl den Körper nehmen, der aus R durch Adjunction von w unabhängigen Variablen Xq, rci, X.2, . . ., Xn-i entsteht; denn wäre X in diesem Körper redu- cibel. also X = Xi X21 wo Xj, X2 ganze Functionen von s und rationale Functionen der X sind, so könnte man für die Variablen iCo, x^, . . ., a;„_i solche rationale Zahlen setzen, dass X^, X2, ohne ihren Grad in Bezug auf s zu ändern, in Functionen in R übergehen (§. 43), und dieses widerspricht der Irreducibilität von X in B. Dieser Körper Sl hat verschiedene Divisoren, in denen X gleichfalls irreducibel ist, und die also alle im Theorem 1. für Sl genommen werden können. Solche Divisoren erhält man, wenn man irgend eine Permutationsgruppe P der n Ziffern 0, 1, 2, . . ., 7i — 1 festsetzt und den Inbegriff aller rationalen Functionen der Xq, x^, . . ., Xn-i in R betrachtet, die die Permu- tationen dieser Gruppe gestatten. Der Inbegriff aller dieser Functionen bildet offenbar einen Körper, und so bekommt man zu jeder Permutationsgruppe der n Ziffern einen bestimmten zugehörigen Körper Sl. Man kann die Grössen eines solchen Körpers rational darstellen durch die symmetrischen Functionen der x und durch eine zu der Gruppe P gehörige Function. Wir nennen den so bestimmten Körper Sl den zu der Gruppe P gehörigen Körper. Jeder solche Körper kann in 1. die Stelle von Sl vertreten (vergl. §. 159). Wir können also den zweiten Satz aufstellen: 2. Wenn eine rationale Function O(xo^ iCj, ..., Xn-ii «) des Körpers Sl(e) ungeändert bleibt, wenn auf die Indices der x die Permutationen einer Gruppe P angewandt werden, so gestatten auch die Coeffi- cienten Tq, Ci, c,, . . ., Cn—2 der Normalform von 0 die Permutationen von P. §. 192. Sätze über die Resolventen. 683 Ist ^(f) irgend ein Element des Körpers ^(e), so erhält man die conjugirten Grössen, wenn man für s irgend eine andere Wurzel von X = 0 setzt, also die Substitution (f, e^) für /t = 1, 2, . . ., w — 1 ausführt. Alle diese Körper sind wieder in Sl{e) enthalten; sie sind also mit einander identisch, d. h. Sl(e) ist ein Normalkörper über Sl (§§. 149, 152). Wenn eine Orösse 0(a) die Eigenschaft hat, ungeändert zu bleiben, wenn e durch alle e^ ersetzt wird, so ist sie selbst in Sl enthalten. Dies folgt schon aus den allgemeinen Sätzen des §. 151. Wir sehen aber die Richtigkeit sofort ein, wenn wir unter der Voraussetzung 0 (eh) = O (s) 'W = .T^S^(^-) = o,--'+^+_-,- 4- Cn-2 0(e) = t ^ ^ -^^-^^ - -I ^ -2 -T T -»-2 W — 1, , l,n — 1 setzen, woraus dann nach 1. zu schliessen ist, dass c^, Cg, . . ., c«_2 gleich Null sind. Also: 3. W^enn eine Grösse in ß(f) die sämmtlichen Sub- stitutionen (£, t^) gestattet, so ist sie in Sl ent- halten. §. 192. Sätze über die Resolventen. Wir betrachten jetzt die Lagrange' sehen Resolventen (f, ic) unter der Voraussetzung, dass t eine imaginäre n^^ Einheits- wurzel und die x unabhängige Variable sind, und wenden darauf die Sätze des vorigen Paragraphen an. Wir untersuchen zunächst den Einfluss der linearen Per- mutationen auf (£, o;); dazu genügt es, wenn wir den Einfluss der beiden erzeugenden Substitutionen (1) s = {h,h-^ 1), t = {h,gh) feststellen, worin das nach dem Modul n genommene h die Indices von X durchläuft und g eine primitive Wurzel der Primzahl n bedeutet (§. 188). Wenden wir aber auf (2) (e, X) = Xf^ -{- i x^ -\- i'^Xi 4- • • • + £"-^ic„_i die Substitution s an, so geht diese Function über in x^ -\- ax^-\- a'^x-i + • • • + f"~^^o = «~H^» ^)- Der Einfluss der Substitution s ist also, dass ... , , (£, x) in B-^{£, x) übergeht. v ' / \ ■> ^ 684 Achtzehnter Abschnitt. §. 192. Gehen wir nun zur Substitution t über und setzen in h (£, x) = Xq -{- ^ 8^ Xh l,n — 1 Xgh für Xh^ so geht diese Function über in h (3) a^o + 2 8^ Xgh. 1,«— 1 In dieser Summe kann li ein beliebiges Restsystem nach dem Modul n durchlaufen mit Ausschluss von 0, und wir können also h durch g~'^li ersetzen; dadurch wird die Summe (3) h iCo + S £^ ^ '' Xh = (£» , x). Wendet man die Permutationen s und t wiederholt an, so ergiebt sich der Einüuss von s^ V., der in den Vertauschungen (£, x\ £~^(£, x) (£, X), (8^~\ X) besteht, speciell also für A = — 1 (£, X), £ (f, X) (£, X), (f^ X), und wir bekommen den folgenden Satz: 4. Die erzeugenden Permutationen s, i der line- aren Gruppe bewirken die Vertauschungen (s): (£, x), £-!(£, a;); (s-i): (s, x\ 8{e, x) (t): (8,xl (89-\x); {t--'): (8, x), (89, x). Aus 2. und 4. aber ergiebt sich, weil s die erzeugende Per- mutation der cyklischen Gruppe ist, die Folgerung: 5. Stellt man die Functionen (4) (8, Xf = 0 (£), {8\ X) (£, X)-'^- = F{8) in der Normalform [§. 191, (3)] dar, so sind die Coefficienten cyklische Functionen von x^^ Xi, . . ., Xn-i (§. 170). Hierin kann k jede beliebige ganze Zahl, die nicht durch n theilbar ist, bedeuten. Aus der Function F{8) entspringen, wenn wir l = g an- nehmen und für 8 seine n — 1 verschiedenen Werthe setzen, n — l Functionen, die alle durch s ungeändert bleiben, und die wir folgendermaassen bezeichnen wollen: §. 192. Metacyklische Functionen. 685 (83, x) (s,x)-3=f, (£^^ X) (S9, x)-9 = /, (a9^-\x)(s9--',x)-'=f„-,, so dass also, wenn (c^, x)(s,x)-3 =f{e) gesetzt wird, (6) /. = /(^^'•) ist. Wendet man auf (5) die Permutation t—^ an, so erleiden, wie nach dem Theorem 4. zu sehen ist, die Functionen foifli fii • • •ijn — i eine cyklische Permutation (0, 1, 2, . . ., n — 2). Ausserdem sind die Functionen /» , so lange die x variabel sind, wie man aus (5) ersieht, alle von einander verschieden, da sie in verschiedene lineare Factoren zerlegt sind. Bilden wir also eine cyklische Function dieser n — 1 Grössen (7) C'(/o, /i, /2, • . ., fn-i)-, so bleibt diese sowohl durch s als durch #— i, also durch t und folglich durch die ganze lineare Gruppe ungeändert, und wir erhalten das Theorem: 6. Stellt man eine cyklische Function der Grössen /oi/n • • -i/n— 2 in der Normalform dar, so sind die Coefficienten metacyklische Functionen der Variablen a^o, x^^ . . ., Xn—x. Hierbei ist unter einer metacyklischen Function jede Func- tion zu verstehen, die durch die Permutationen der linearen Gruppe ungeändert bleibt. Die Functionen /o, /i, . . ., /„_2 gehen aber auch cyklisch in einander über, wenn man die x ungeändert lässt, und für s die Substitution (£, £?) macht. Wenn also die cyklische Function C der Grössen / in ihren Coefficienten £ nicht enthält, so bleibt C durch sämmtliche Substitutionen (c, e^) ungeändert, und wir er- halten aus 3. das Theorem: 7. Ist C(/o, /i, . . ., /„-2) eine cyklische Function der Grössen /o, /i, . . ., /„-a mit rationalen Coeffi- cienten, so ist C eine metacyklische Function der Variablen x^, x^, . . ., Xn-i mit rationalen Coefficienten. Wenn wir die Functionen /o, /i, . . ., /n-2, wie sie durch (5) gegeben sind, der Reihe nach zu den Potenzen g^-\ g""-^ ... 1 686 Aditzehnter Abschnitt. §. 192. erheben und dann alles multipliciren , und wenn wir noch be- achten, dass a'j'^~^ = a ist, so heben sich im Product der linken Seite der Gleichungen (5) alle Resolventen mit Ausnahme von (s, x) heraus, und es folgt n— 2 „„n — Z (8) {,,xr-^'-' = fi fi .../, n — 2- 2- Bezeichnen wir nun mit l einen noch unbestimmten ganz- zahligen Exponenten, so leiten wir aus (8) die folgende Rela- tion her: r9) (^^ xY = [(f, xf^^~{e\ x)\ ff" fC' • • •/- Verstehen wir unter ^^ irgend eine feste primitive Wurzel von w, so können wir g = g^ -\- l n setzen, worin l eine beliebige ganze Zahl bedeutet, da ja die primitiven Wurzeln nur bis auf Vielfache von n definirt sind. Dann ist ^„_i ^ ^„_i _|_ ^^^,^ — Y)}gn-2 (mod n"^), woraus yn-l _ 1 _ yn-r _ 1 n n und l lässt sich so bestimmen, dass gn-l _ 1 — Z^"~^ (mod w). ^ 1 (modn) n ^ ^ wird. In (9) setzen wir nun unter dieser Voraussetzung (10) k = — ^" ' ~- = 1 (mod w), und wie in (4) (11) F{e) = (£% x) (£, x)-'- = (£, x)-\ worin e^- = t und 1 — A, was durch n theilbar ist, = n h gesetzt ist. Daraus erhalten wir (12) (6, xY = [F(o]"/r~ Vf "' ■ . • /»-2. Diese Formeln lassen sich verallgemeinern, wenn man be- achtet, dass die Functionen /o, /j, . . ., /n-2 eine cyklische Permu- tation erleiden, wenn die Substitution (f, a^) ausgeführt wird. Setzen wir also fest, dass fn = fk sein soll, wenn h^Ti (mod n — 1) ist, und setzen (13) F(69^) = Fr = K^)"', so ergiebt die Substitution (f, £»') in (12) (14J (eo^ , xY = F^.fr'ff;'^ . . ./v+n-2. §. 192. Die Darstellung der Resolventen. 687 Diese Formeln gelten für jedes v, wenn wir auch noch in Bezug auf die Fv festsetzen, dass Fn = F^ sein soll, wenn h ^ Je (mod n — 1) ist. Es ergiebt sich dann aus 4., dass die Functionen Fq, F^, . . ., Fn—z durch die Substitution s ungeändert bleiben, und durch t-''- eine cyklische Permutation erfahren. Wenn wir hier die Exponenten auf ihre kleinsten positiven Reste nach dem Modul n reduciren wollen, so setzen wir (15) g" = nqy -j- »•,■, 0 < »v < m, Tq = 1, und die Zahlen 7\ fallen in irgend einer Reihenfolge mit den Zahlen 1, 2, . . ., m — 1 zusammen, so dass Tq immer = 1 ist. Dann wird nach (5) (16) /v_i = (£'■^ x) (e'-^-\ x)-', und wir setzen noch n?^ O =F f^n-ifln-Z rll \^*) ^r ^vJv Jv + 1 .../i+H-3, und erhalten aus (14) (18) V« , ^) == ^yfy Jv + l . . ./v + n_2- Die Exponenten r,. bleiben ungeändert. wenn g durch g — In ersetzt wird, sind also von der Bedingung (10) unabhängig und können aus einer beliebigen primitiven Wurzel g abgeleitet werden. Die charakteristischen Eigenschaften der in diesen Formeln vorkommenden Functionen /», /%, O,., deren Gesammtheit wir mit coy bezeichnen wollen, sind, um es nochmals zu wiederholen^ folgende : a) Durch die cyklische Permutation s = (hJi-\-l) unter den Indices von x ändern sich die Func- tionen «,. nicht. ß) Durch die lineare Permutation t-^ = (li^ g~'^h} unter den Indices der a; wird unter den Indices der w die cyklische Permutation (0, 1, 2,..., n — 2) hervorgerufen. y) Durch die Substitution 6 = (f, £») wird unter den Indices von w dieselbe cyklische Permutation (0, 1, 2, . . ., n — 2) bewirkt. d) Die cyklischen Functionen von a, sind meta- cyklische Functionen der x und von e frei. 688 Achtzehnter Abschnitt. §. 193. Nach dem Satze von Lagrange (§. 162) kann man jede Function 0,, der die vier Eigenschaften «j, /3), y), d) zukommen, rational im Körper Sl der metacyklischen Functionen von x durch eine von ihnen, «v, ausdrücken, wenn nur die «oi 'i'i,--'» c^n— 2 von einander verschieden sind; man kann also für diese Functionen die fr wählen. Denn bedeutet 11 eine Variable, und ist (19) (u — ü3o) {u — «i) . . . (u — w„_2) = g)(tO, so gestattet die Function (p (u) die Permutationen s, t und auch die Substitution ö = (f, g^j, und ist also nach dem Satze 3. des §. 191 eine ganze Function von « mit in Bezug auf x meta- cyklischen Coefficienten und unabhängig von e. Ist nun also &q^ O^, . . ., 0„_2 ein Functionensystem , dem die Eigenschaften «), /3), 7), d) zukommen, so ist die Summe &v (p (il) U 03, (20J ^^^±^ = Xin) 0, n — 2 eine ganze Function (n — 2)**^° Grades von u. die gleichfalls die Substitutionen s, f, ö gestattet und die also Coefficienten in Sl hat. Setzt man (21) #S = ®W und setzt dann in (20) u = «,, so folgt &v = &(ch), worin 0 eine rationale Function bedeutet, deren Coefficienten metacyklische Functionen der x sind, und s nicht mehr enthalten. §. 193. "Wurzeln metacyklischer Gleichungen. Es sollen jetzt in den Formeln des vorigen Paragraphen für die Variablen Xq, x^, . . ., Xn — i die Wurzeln |o, |i, . . ,, |„_i einer in irgend einem Körper ü irreduciblen metacyklischen Gleichung vom Grade n eingeführt werden, und zwar in der Reihenfolge, dass die metacyklischen Functionen der | rational (in Ü) sind, was nach den Sätzen des vorigen Abschnittes immer möglich ist. Wir machen aber dabei zunächst noch zwei beschränkende Vor- §. 193. ^Yurzeln metacyklischer Gleichungen. 689 aussetzungen , von denen wir nachträglich das Resultat wieder befreien werden. Diese Voraussetzungen sind: 1. dass durch diese Substitution der ^ für die x keine der Resolventen (f, |), in der £ eine imaginäre n*® Einheits- wurzel ist, verschwindet. Nach (13), (IG), (17), §. 192 bekommen dann die Functionen /, , Fr, 0y bestimmte von Null verschiedene Werthe und wir Brachen die zweite Voraussetzung, 2. dass durch dieselbe Substitution nicht zwei der Func- tionen/o, /i, . . ., /„_2 einander gleich werden. Wir nehmen an, es gehe durch die Substitution der | für die X /üi /l5 • • •) Jn — 2 in Über, so dass also die li^, /."i, . . ., /.'„-o von einander verschieden sind, und in wo aber unter den K auch gleiche vorkommen können. Wegen der Eigenschaft 8) der Functionen fy sind die Grössen fen, Jci, .... Tin-i die Wurzeln einer cyklischen Gleichung {n — 1)*«» (also geraden) Grades ii){iC) = 0, so dass, wenn u eine Variable bedeutet, (1) -^(u) = {u — Ico) (w — ^i) . . . (u — kn-2) eine Function (11 — l)**^"» Grades von u mit rationalen Coeffi- cienten ist. Die Grössen /i'o, /i'i, . . ., A'n— 2 können rational durch einander ausgedrückt werden in der Form (2) l\ = 0(/Co), h = 0(/m), . . ., /.•n-2 = &ßn-zl K = ©(A'.-a) (§• 1^0). Ebenso können die Grössen Ky nach dem Schlusssatze des §. 192 durch die Äv ausgedrückt werden, und zwar in der Form worin 0 eine rationale Function (in ü) bedeutet. Danach liefert uns die Formel (18), §. 192 folgendes Resultat: Wir setzen zur Abkürzung (4) ty = Vh, Weber, Algebra. I. 44 690 Achtzehnter Abschnitt. §. 193. und erhalten (5 ) U''% I) = K. r''"-2 t'"«-3 . . . t'" ,. und wenn man diese Formeln alle addirt, und noch die rationale Grösse (1, x) =^ Ä setzt: 0, n— 2 >• + 1 ■ • • v + n — 2' Nach §. 192, (16j und (17) sind die Grössen Ky. und Av alle von Null verschieden. Durch (6) ist eine der Wurzeln ^ dargestellt. Setzen wir zur Abkürzung V V + i y + n — 2 und schreiben (6) in der Form (7) n lo = ^ + ^. VBo + Zi ViA + . . . + Ä-„_2 Vi2„_2, so ist also lo durch n — 1 Radicale «*^° Grades ausgedrückt, von denen jedes an sich n verschiedene Werthe haben kann. Diese Werthe können aber nicht von einander unabhängig sein, weil sonst die Anzahl der Werthe von ^, die sich aus (7) er- geben, zu gross wäre. Man erhält in der That aus (5), wenn man nach §. 192, (IG) (f^-v, I) (£'>-!, |)-ry = /,,,_^ setzt, (8) K, VBr = m_, ]:,._,( v~ezi)\ und kann also hiernach alle diese Radicale rational durch eines von ihnen und durch kv ausdrücken. Der Ausdruck (6) hat aber vor (7) den grossen Vorzug, n dass er, wie man auch die n — 1 Radicale Vky be- stimmen mag, doch nur n verschiedene Werthe, näm- lich die n Wurzeln |, darstellt. Um dies nachzuweisen, bezeichnen wir mit Eq, f^, . . ., £„_2 irgend ein beliebiges System m*" Einheitswurzeln, und ersetzen in (5) n n n V/Kq, Vlh, • • -5 Vkn — 2 durch n n n fo V ^0, ci l/'i'i, • . •• £,1 — 2 Vk„-2- §• I9i. Verallgemeinerung des Resultates. G91 Dann geht (6) in eine andere Form über, die wir so dar- stellen: worin Ey eine n^^ Einheitswurzel ist, die durch £ so ausgedrückt wird : (10) Ey = e''"-' f'^T^ . . . e\ „. Nun ist nach der Definition von r,- [§. 192, (15)] (11) fy ^gry_i (mod n), und nach (10), da der Index von r nach dem Modul n — 1 zu nehmen ist, E , ^ £'»-2 f''«-3. . . f^-o V — 1 »■ — 1 !■ V + n — 3 ■^v-1 ■ "v y + 1 • • ' »'-1' also (12) E. = E^^, = El^'. Sind also die t irgendwie bestimmt, so ergiebt sich (13) Eo = el"-^e["-^...e';:_^^, und dadurch sind nach (12) die übrigen Ey vollkommen bestimmt. Also ergeben sich in der That nur n Werthe aus (6j, die man z. B. dadurch erhalten kann, dass man einem der Radicale Zy seine verschiedenen Werthe beilegt. (Man vergleiche hiermit die Cayley'sche Auflösung der cubischen Gleichungen §. 39.) Will man die Grössen |o) li» • • -i In — i in der Reihenfolge bestimmen, die der Bildung der cyklischen und metacyklischen Gruppe zu Grunde liegt, so muss man in (5) vor derSummation mit £-'"v multipliciren und findet (§. 17 Ij V — 2 t''» — 3 -r^o X (U) n|, = ^+ v,-.,-,^^,;«-2^^^^ .•■-.+ ._-., worin eine veränderte Bestimmung der Radicale nur eine cyklische Vertauschung der |;. bedingt. §• 194. Befreiung von den beschränkenden Voraussetzungen. Es wäre eine wesentliche Beschränkung dieser Unter- suchungen über auflösbare Gleichungen, wenn die Voraussetzungen 1., 2. des vorigen Paragraphen aufrecht erhalten werden müssten. 44* 692 Aclitzelmter Abschnitt. §• 194. Das ist aber nicM nothweudig, wie wir jetzt nachweisen wollen. Es seien jetzt 7;^, ?ji, . . ., y]„—i die n Wurzeln irgend einer irreduciblen metacyklischen Gleichung n^^"^ Grades. Wir führen die neuen Unbekannten |o, |i, . . ., |„_i durch ein System von Gleichungen ein. worin ijj (y) eine ganze Function (n — 1)*'^'' Grades (2) ti^iy) = «0 + aiV + «2?/' H h «,i-ir~' mit unbestimmten Coefficienten aus dem Körper ^ bedeuten soll. Wir nehmen aber an, dass die n Grössen |o5 ^i^ • • -i |n-i von einander verschieden sind; dann sind auch die | die Wurzeln einer irreduciblen metacyklischen Gleichung, und durch (1) ist eine Tschirnhausen-Transformation ausgedrückt (§. 58); |o ist ein primitives Element des Körpers Ä(>/o); folglich sind die Körper .^(|o) ^^^^^ ^(Vo) und ebenso die conjugirten Körper ü (Ir) und 9: (Tir) luit einander identisch. Es ist also auch, wenn gesetzt wird, worin die Coefficienten h gleichfalls Grössen in ^ sind, (4) no = Xito); Vi = /A^l): ' • ; Vn-1 = 7A^n-l)' Es ist nun leicht einzusehen, dass man über die Coeffi- cienten «0, %, . . . a,i— 1 in (1) so verfügen kann, dass die Voraus- setzungen 1. und 2. des vorigen Paragraphen für die | erfüllt sind. Denn betrachten wir die a als imabhängige Variable, so werden die durch (1) bestimmten | gleichfalls Variable, die mit den a durch eine lineare Substitution mit nicht verschwindender Determinante zusammenhängen. Die Determinante dieser Sub- stitution ist nämlich 1, ??„_i, 72,?_i, . . ., 7j": d. h. gleich dem Difierenzproduct der ?^, das nach der Voraus- setzung von Null verschieden ist. Die Functionen (£, x) und die Differenzen /„ — /^ , die nach S. 192 nicht verschwindende Functionen der Variablen §. 194. VerallgemeineruDg des Resultates. 693 Xo, Xi, ..., Xn-i sind, gehen also, wenn für die x die Substitution Xu = 1^' (rjji) gemacht wird, in Functionen der Variablen a über, die auch nicht identisch verschwinden können. Nach dem Satze §. 43, 1. kann man also für die Grössen ciq, a^, . . ., a,j_i solche rationale Zahlen setzen, dass die Functionen (f, x) und die Differenzen /« — f^^ die dann also in (f, |) und in ha — Jc^ über- gehen, von Null verschieden werden, und dass auch die ^h von einander verschieden bleiben, was zu beweisen war. Nachdem also dies festgestellt ist, führen wir das System der Variablen a^o, Xi, . . ., Xn-i und ein davon abhängiges System von Variablen y (5) yo = xi^ol Vi = xi^i), ■ • •. Vn-i = z(^»-i) ein, worin % die Function (3) bedeutet, und setzen (0) (^' = e... Wird auf die Indices der x irgend eine Permutation an- gewandt, so erleiden die Indices der y die gleiche Permutation. Wenn wir also auf (6) die cyklische Permutation s anwenden, so ändert sich 0v nicht (nach §. 192, 4.). Wenn wir also 0v in der Normalform des §. 191 darstellen, so sind seine Coefficienten cyklische Functionen von Xq^x^,.. .^ Xn-i. Wendet man auf 0y die Permutation t~^ =(Ji^g~^h) an, so geht &y nach §. 192, 4. in &v + i über, und die &y erleiden also eine cyklische Permutation. Denselben Erfolg hat aber auch die Substitution ö = (f, £^), und also hat das System der Functionen &^, 0i, . . ., &n-2 die Eigenschaften a) ß)y) d) (§. 192). Nach dem am Ende des §. 192 bewiesenen Satze geht also, wenn wir die x durch die ^ und folglich die y durch die t] ersetzen, 0^ in eine rationale Function von l\ (7) Q, == Q(h) ül)er, und aus (6) ergiebt sich (8) {8rr^rj) = Q,(ar.^ |). Wenn man hierin für (fv, |) den Ausdruck (5), §. 193 substi- tuirt, so erhält man für (£'»', ri) einen Ausdruck von ganz der- selben Form, nur mit dem Unterschiede, dass an Stelle von Kv getreten ist Q, K,.. Die Functionen Qy Ky haben im Wesentlichen dieselben Eigenschaften, wie die Function Ky, nur dass sie auch 694 Achtzehnter Abschnitt. §. 194. zum Theil Null sein können. Durch dieselbe Veränderung er- giebt dann §. 193 (6) den Werth von t^q. Damit sind also die beschränkenden Voraussetzungen des §. 190 beseitigt, und wir haben das allgemeine Theorem: I. Jede Wurzel ^ einer metacyklischen Gleichung vom Primzahlgrad n kann in der Form dargestellt werden T )' + 1 • • ■ r + n — 2 ' (9) I = ^ _4- V z'„r;:"-2T;:«-3 0, n — 2 worin A eine rationale Grösse, A'o, ki, . . ., fc„ _2 die von einander und von Null verschiedenen Wur- zeln einer cyklischen Gleichung (n — l)*^^"^ Grades, lu eine rationale Function von kv ist, deren Form für alle v dieselbe ist. Die Exponenten ro^ »*!, . . ., r„_2 sind die kleinsten positiven Reste der Zahlen 1, g, g^, . . ., ^"~^, wenn g eine primitive Wurzel von n ist. Die n Werthe, die man aus (9j n erhält, wenn man den Radicalen Tv^=V/^v ihre ver- schiedenen Werthe beilegt, sind die n Wurzeln einer und derselben rationalen Gleichung. Die Formel (9) ergiebt sich aus §. 193 (6), wenn A und K, durch nA und n K, ersetzt wird, was zur Vereinfachung ge- schehen ist. Das Theorem I. lässt sich nun aber auch umkehren. Um das nachzuweisen, bezeichnen wir mit s irgend eine imaojinäre n^^ Einheitswurzel und setzen r t, = ^ + V 6'-i Krx';- 2t'''^-3 . . . t''° \ (10) ^" ~ Vn-^2 ' '■ + ' ■•'"r + n-o oder abgekürzt /i = 0, 1, 2, . . . w — 1, o^ (11) I, =^ + V f/-vJCl/E., 0, n — 2 worin wie früher 'r''»-3 . . . r'"» (12) Vf = T;- .„^, .. ..,^„_, gesetzt ist. Wir haben nun die Aenderungen zu untersuchen, die sich für |;, ergeben, wenn wir n 1. eines der Radicale r, ^= Vl'y anders bestimmen und 2. die /.'o, /t'i, . . ., l'n-o cyklisch vertauschen. §. 194. Wurzeln metacyklischer Gleichungen. 695 Wir wollen einem der Radicale, etwa dem t„, ein anderes Vorzeichen geben, also die Vertauschung (13) (r„, &*r„) machen, wo ß ein beliebiger Exponent sein kann, und a einer der Indices 0, 1, . . ., w — 2 ist. In (12) hat, da der Index von r nach dem Modul n — l zu nehmen ist, das Radical t^ den Exponenten r„4.v_a_2 = »'r— «-i, und also entspricht der Vertauschung (13) die Vertauschung (14) (VB,, sß'-r-a-lVBX Nun ist nach der Bedeutung der Zahlen r allgemein Ta+'s ^VaTi (mod m), und wenn man also die Vertauschung (13) in (11) einführt, so geht h in li -|- /3 r_„^i über. 1. Es ruft also die Vertauschung (13) unter den Indices von ^ die cyklische Permutation hervor. Machen wir zweitens die cyklische Permutation (lO) (Tq, Tj, . . ., T,j_2), so entspricht diese den Vertauschungen (16) (V^. V^), (Ä^., Kr+0, T^ = 0, 1, 2, . . ., « — 2, und l/j geht über in n 2. Demnach erleiden die Indices von ^ durch die Permu- tation (15) die Permutation Betrachten wir nun irgend eine rationale symmetrische (oder auch nur metacyklische) Function der | : ^(lo> In • • •? In — l), so erhalten wir, wenn wir die Werthe (10) einführen, daraus eine rationale Function der Piadicale Diese Function ändert sich aber nicht, wenn man einem dieser Radicale einen anderen seiner n Werthe giebt, und folglich muss die Function rational von /.-o, l\, ..., Jcn-o abhängen. Wegen 696 ■ Achtzehnter Abschnitt. §, 194. 2. ändert sich diese Function aber auch nicht, wenn unter den ky die cyklische Permutation (A-q, l\, . . ., lin-2) vorgenommen wird, und weil nun die Grössen Jcy die Wurzeln einer cyklischen Glei- chung im Körper ^ sind, so ist die Function Si^o-, li, • . •, l^-i) eine Grösse in ^, d. h, rational. Wendet man dies auf die Coefficienten der Gleichung an, deren Wurzeln die Grössen (10) sind, so folgt, dass diese Grössen die Wurzeln einer Gleichung 91^^"^ Grades in ^ sind. Was die Irreducibilität dieser Gleichung betrifft, so ist dar- über Folgendes zu bemerken: »i Wenn das Radical VBq nicht rational durch ko ausdrückbar ist, so ist nach §. 187 die Function (17) X- — B, im Körper .^(/lo), der aus ^ durch Adjunction von Jcq entsteht, irreducibeh Mach §. 193 (8) kann man jede der Wurzeln §, In etwa ^0- rational durch eine der Wurzeln dieser Function, V^, ausdrücken, und die übrigen Wurzeln | erhält man, wenn man n für Vi^o die verschiedenen Wurzeln von (17) setzt. Wenn also 0(|o) ^ 0 eine in 5^ (Z-'o) rationale Gleichung ist, der eine der Wurzeln | genügt, so folgt aus der Irreducibilität von (17), dass dieser Gleichung auch alle anderen | genügen müssen, und dass folglich die Gleichung m*«° Grades, deren Wurzeln die | sind, im Körper Ä (ä;^), und um so mehr also im Körper 9: irre- ducibel ist. n Wenn aber Viio in ^ (ä^q) enthalten ist, so sind auch die n sämmtlichen Vii',. in diesem Körper enthalten, wie aus §. 193, (8) hervorgeht. Es sind also zunächst alle ^ in dem Körper ^(^g, «) enthalten. Durch die Substitution (/.•(,, /ij) geht i?v_i in Ry über, und folglich \/i?v— 1 in £>. Vitv, wenn f,. eine w*^ Einheitswurzel ist. Es ergiebt sich aber, wenn man auf die Gleichung §. 193, (8) die Substitution (A-q, \) anwendet, (18) ey = ,l_^ = 6f. Hier muss nun £0 dem Körper Si (ko) angehören, und die Sy=e9jyB: §. 195. Realitätsverhältnisse. 697 gehören gleichfalls dem Körper ^(Jcq) an; zugleich geht Sy durch die Substitution (Jcq, fcj) in Sy^i über. Diö Summe Ä^ E, So + ^1 Äi -J K,-2 Sy-o ist daher eine Grösse in dem ursprünglichen Rationalitäts- bereich ^, und nach (11) ist diese gleich einer der Grössen ^. Wir können also das Theorem I. so umkehren: II. Jede in der Form (9) enthaltene Grösse ^ ist die Wurzel einer Gleichung w^^° Grades in ^, und diese Gleichung ist irreducibel, wenn nicht eine der n conjugirten Grössen | selbst in Ä ent- halten ist. §. 19.5. Realitätsverhältnisse. Wenn der Körper ü ein reeller ist, so giebt es, wie wir im §. 188 gesehen ha))en, zwei Arten von metacyklischen Glei- chungen von Primzahlgrad «, solche mit einer reellen und n — 1 imaginären Wurzeln und solche mit lauter reellen Wurzeln. Ebenso haben wir im §. 172 gesehen, dass es zwei Arten von cyklischen Gleichungen eines geraden Grades giebt, nämlich solche mit lauter reellen und solche mit lauter imaginären Wurzeln. Wenn nun die cyklische Gleichung, deren Wurzeln die Grössen fco, fci, . . ., K-2 sind, zur ersten Art gehört, wenn also fco, K, . • ., ^'»1-2 reell sind, und die Iladicale Tq, ti, . . ., t„_2 auch reell genommen werden, so zeigt die Formel (10) §. 194, dass lo reell, In und ^_;, conjugirt imaginär sind. Wenn andererseits die k imaginär sind, so ist nach §. 172 Jcy und h „_i conjugirt imaginär, und nach der Formel (8) in §. 193 können wir setzen, wenn 0 eine rationale Function be- deutet. oder auch VFo „_i = 0{h){VJiJ' n — 1 . 2 n — 1 ^ + —ir- 698 Achtzehnter Abschnitt. §, 196. n — 1 Weil nun g eine primitive Wurzel von n ist, so ist ^ 2 __l 1 durch n theilbar, und die rechte Seite wird daher rational. Be- deutet also W eine rationale Function, so ist VR ,n-iVR. = ^(Z;..), 2 und diese Formel zeigt, dass \ '■+ 2 also dass ^(Icv) reell ist. Daraus folgt, dass n — l\i VB n-l und VRr '' + -T- conjugirt imaginär sind; denn erstens sind ihre n^^^ Potenzen conjugirt imaginär, sie selbst also zunächst bis auf eine n^^ Ein- heitswurzel als Factor. Da aber ihr Product reell ist, so muss diese w*" Einheitswurzel = 1 sein. Da nun ausserdem ry ^ — r „_i (mod n) 2 ist, so zeigt die Formel (11), dass in diesem Falle die Wurzeln |, alle reell sind. Damit ist also der Satz für einen reellen Körper ^ be- wiesen: Hat die cyklische Gleichung, deren Wurzeln die fco, fci,. .., fcn— 2 sind, reelle Wurzeln, so ist von den Wurzeln | eine reell, die übrigen imaginär; hat diese cyklische Gleichung imaginäre Wurzeln, so sind alle | reell. §. 196. Metacyklische Gleichungen fünften Grades. Durch die Sätze der vorangehenden Paragraphen sind die Wurzeln einer metacyklischen Gleichung von Primzahlgrad in eine allgemein gültige Form gebracht, die es gestattet, alle diese Grössen wirklich zu bilden, wenn man die Kenntniss der Wurzeln cyklischer Gleichungen voraussetzt. Ganze Systeme cyklischer Gleichungen jeden Grades liefert uns z. ß. die Kreistheilungs- theorie, deren Wurzeln die Kreistheilungsperioden sind. So §. 196. Metacyklische Gleichungen 5ten Grades. 699 können wir also beispielsweise für den Körper der rationalen Zahlen beliebig viele metacyklische Gleichungen bilden. Dass darin alle diese Gleichungen im Körper der rationalen Zahlen enthalten sind, ist ein sehr merkwürdiger, von Krön ecke r her- rührender Satz, den wir im zweiten Bande kennen lernen werden. Hier wollen wir als Anwendung und Veranschaulichung des Vor- hergehenden noch die specielle Aufgabe behandeln, in einem be- liebigen Körper ü die Wurzeln aller metacyklischen Gleichungen fünften Grades zu finden. Dazu ist erforderlich und liinreichend, dass wir die Wurzeln Icq, hl, k.2, Zjg einer cyklischen Gleichung vierten Grades allgemein bestimmen, und zwar unter der Voraussetzung, dass fcoi ^ii ^''2? K unter einander verschieden und keine von ihnen Null sei. Als Grundlage dient uns dabei die Function (1) w = (h — h) {K — A-3), die von Null verschieden sein muss, und die für einen reellen Körper 5? immer reell ist, da entweder A^o, k^, h^, IC3 reell sind oder kf), Ic^ und /jj, k^ zwei conjugirt imaginäre Paare bilden. Bei der cyklischen Permutation (0. 1, 2, 3) ändert iv sein Vorzeichen. Also ist das Quadrat von iv eine cyklische Function, die nach Voraussetzung bekannt sein soll. Wir setzen daher, indem wir durch die kleinen lateinischen Buchstaben a, &, c . . , Grössen in Si, also rationale Grössen bezeichnen, (2) IV = 4 V^ und bemerken noch, dass jede Function der ^, die durch die cyklische Permutation (0, 1, 2, 3) ihr Vorzeichen ändert, das Product einer rationalen Grösse mit Vc ist. Es handelt sich dann nur darum, cyklische Functionen in genügender Anzahl zu bilden, so dass man die vier Grössen /i:o, l\^ Jco, k,^ daraus berechnen und durch von einander unabhängige rationale Grössen algebraisch ausdrücken kann. Nun sind zwei weitere cyklische Functionen n- 7- ^2 _i_ n- 7- ^2 (/^o — ^2)^ — (h — hY (lo - i,y + (/.x - hy. —(],^-jc,)(\-h) ' und wir bekommen also, wenn a, b rationale Grössen sind, ^ ^ (fco — /.\,)2 — (ky — ksY- = SaVc. 700 Achtzehnter Abschnitt. §. 196. Die drei rationalen Grössen a, &, c sind aber nicht von ein- ander unabhängig, sondern es besteht nach (2) und (3) zwischen ihnen die Relation (4) J2 = c (1 -f a2). Aus (3) ergiebt sich ferner h, — h = 'lVh ^ aVc fc, — Äg = 2 Vö — a Vc, und zwischen den beiden Quadratwurzeln besteht die Relation (6) yc=Vh ^ aVc ]/h — a Vc. Bezeichnen wir ferner mit C und B wieder zwei rationale Grössen, so ist also K -{-h = 2(C - BVc), wodurch nach (5) folgt: Jc,= C ^ BVc-\-Vb -i- aV7 . \= C - BV^-^Vb - aVc Je, = 6'+ BVc-Vb -i- aVc l; =, C - B Vc—Vb — a V^ Es ist auch umgekehrt leicht, zu zeigen, dass diese Grössen die Wurzeln einer biquadratischen cyklischen Gleichung sind. Denn setzen wir zur Abkürzung (10) r = Vc Q = Vb ^ a \/c, q' ^Vb — a Vc, also nach (6) r = Q q', q'^ = b -]- ar, q'"^ = b — ar, so können wir jede rationale Function der /^o, ^i, li-2^ 7%, als lineare Function mit rationalen Coefficienten von den sechs Radicalen 1, r, Q, q', tq, tq' darstellen. Die cyklische Permutation (Icq, Iv^, k,-, ^j) entspricht der Vertauschung — r, q', — 9, und wenn man diese Vertauschung wiederholt, so sieht man, §. 196. Cyklische Gleichungen 4ten Grades. 701 dass eine cyklisclie Function der Je sich nicht ändern kann, wenn in der linearen Darstellung durch diese sechs Grössen folgende Vertauschungen gemacht werden: 1, r, Q, q\ rQ, rg' 1, — r, q', — q, — rp', rQ 1, r, — Q, — q'. — tq, — tq' 1, — r, — q', q, tq', — rQ, und wenn man die vier sich so ergebenden Ausdrücke addirt, so erhält man für die cyklische Function der k einen rationalen Ausdruck. Will man die biquadratische Gleichung bilden, deren Wurzeln die Tc sind, so führt man am besten h — C =■ x als Unbekannte ein. Man bekommt so durch einfache Rechnung die Gleichung x^ — 2{BH + h)x''- — ABacx -f B^c^ — 2B'-bc ^^^ -\- b'- — a'- c = 0. Die Darstellung der k durch die Formeln (9) ist aber noch nicht vollständig befriedigend, weil zwischen den darin vor- kommenden rationalen Grössen «, &, c noch die Relation (4) stattfindet, und wir suchen eine Darstellung durch unabhängige Grössen. Einen besonderen Fall müssen wir zunächst abmachen, nämlich & = 0, was a = i zur Folge hat. Dann geben die Formeln (9) ^•0= C^BVc-^^Jfc lc, = C-BV^^^-^f7 k, = C-i-BVc-^-^fc h= C- BVc-^Vc. und die biquadratische Gleichung (11) wird xi — 2B-^cx'^ — 4:iBcx + BU^ -^ c = 0. Dieser Fall gehört aber nur dann hierher, wenn i im Körper ^ enthalten ist, also niemals bei reellen Körpern. Wenn aber h nicht verschwindet, so führen wir eine neue rationale Grösse h ein, indem wir 6 = /i (1 4- «2), c = /jS (1 + «2) 702 Achtzehnter Abschnitt. §. 196. setzen, wodurch dann die Relation (4) identisch hefriedigt ist, und es geben die Formeln (9), wenn man Bh durch B ersetzt, (12) J:, = C -^ B Vi 4- a^' ^ Vh (l -^ a^ ^ a Vi + a^) h = C — B V' 1 ^ «2 ^ ]/h (1 + «2 _ (j Vi ^ aO Ä-, = C + 5 Vi — «- — V/? (l 4- tt2 4- a Vi — «0 Z:3 z= C — B Vi — «2 _ V/t (i — «2 — a V 1 -T- «2). Dieser Ausdruck für J:^ hat noch den Vorzug, dass er, wie man auch die Vorzeichen der darin vorkommenden Quadrat- wurzeln bestimmen mag, nur vier verschiedene Werthe darstellt. Bei Abel findet sich für 7to ein etwas anderer Ausdruck, nämlich J:, = C-^ B Vi +6^ + Vh{l +e2 + Vl^F^O, der aus (12) hervorgeht, wenn man a == 1 : e setzt und dann B und h durch Be und he- ersetzt. Der Ausdruck (12j ist also insofern allgemeiner, als er auch den besonderen Fall a = 0 umfasst, in dem die biquadratische Gleichung in zwei quadratische Gleichungen zerfällt. Um nun die Wurzel einer metacyklischen Gleichung 5*^*^ Grades darzustellen, sind diese Ausdrücke für Ä'o, l\, /t,, A'a in die Formel (9) des §. 194 zu substituiren. Nehmen wir g = 2 an, so werden die Exponenten r,j,ri,r2,^:i der Reihe nach congruent mit 1,2,4,8, also gleich 1, 2, 4, 3, und es ergiebt sich, wenn, wie in §. 193 T.j = y A'2, Tg = V"-3 gesetzt wird, (13) I = J. -f- Äo T,f r/ r| T3 -T- E^ r{ r^ t/ t^ -|- K2 Tg T3 Tj- T| -|- A3 Tj X^ Tj- T,. Die Coefficienten in diesem Ausdruck, K^. Ki, Ko, K^, sind rationale Functionen der l\,. L\. l;^, k^. die durch cyklische Permu- tation der Je selbst cyklisch permutirt werden. Nach Abel ist -o-o = A-i — •— A.2 A'ij —1— ^3 /i'2 — |- A.i k,) ko zu setzen, worin Aj^, A2, Ä^,, A^ rational sind, und dieselben Ausdrücke legt auch Cayley zu Grunde. Diese Annahme ist aber nicht allgemein genug, weil zwischen /i'o /.',, /.'o und A-g eine aus (12) leicht abzuleitende lineare Relation besteht. Am ein- fachsten drückt man die k durch die drei Radicale JJ. 196. Metacyklische Gleichungen 5ten Grades. 703 r = Vi + a^ Q = Vh (l + «2 ^ a Vi + «0 q' = Vh (l + a2 — a Vi + a2), ^ 9' = Ä r aus. Man kann das Radical q' linear ausdrücken durch r q und (), wie man aus der Formel hr- q' = r Q q'^ ersieht, wenn man rechts für q''^ seinen Ausdruck durch r ein- setzt und bedenkt, dass r^ rational ist. So erhält man, wenn man statt der cyklischen Permutation der Je die Vertauschung r, p, q' r, q', — Q anwendet, und mit Ä^, A.j^ A^, A^ rationale Grössen bezeichnet: J^o = ^, 4- A.2 r -\- A^Q -^ A^rQ K^= A,— A^r ^ A^q' — A^yq' K.2 = Ai ^ A^r — A^Q — AiTQ K^ = Ai — Ja r — A^ q' + Ai r q'. Diese Grössen Äo, Ki, Xg, K^ sind selbst wieder die Wurzeln einer cyklischen biquadratischen Gleichung. Sie haben nur scheinbar eine allgemeinere Form, als die /.;; denn setzt man Kq in die Form (. K, = A,-^ A,r + VqHA, + J,r)2, so erkennt man die Form von /.q in (9) wieder, natürlich mit voränderten a, h, c. Berichtigungen. Seite 151, Zeile 7 von unten ist zu lesen kleiner statt grösser. Seite 151, Formel (19), (20) ^^ statt ^. Seite 278, Die Bedingungen (8), (9) für die Existenz von zwei Paaren gleicher Wurzeln sind zwar nothwendig , aber , wenigstens in dem Falle imaginärer Wurzeln, nicht hinreichend. Die noth'wendigen und hinreichenden Bedingungen für diesen Fall erhält man am ein- fachsten, wenn man die Forderung stellt, dass x*-\- ax^ -\- bx-\- c ein Quadrat sein soll, in der Form b := 0, a^ — 4 c = 0 und für «